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Engenharia e Ambiente
Módulo 2 Aula 02
Vida e meio ambiente
Professores : Rudi van Els
http://www.aprender.unb.br/gama/
Dinâmica das populações
Histórico do crescimento humano
Modelos de crescimento
− Taxa de crescimento
− Crescimento exponencial
− Crescimento J e S
− Outros modelos de crescimento
− Modelo Presa Predador
− Flutuação de população
Demografia humana
Bibliografia
Botkin e Keller, Environmental science, 2000. cap. 5 
– The human population as an environmental 
problem
Braga et. al., Introdução a Engenharia Ambiental, 
2002. cap. 5. A dinâmica das populações
Odum e Barrett. Fundamentos de ecologia. Cap. 6 
Ecologia de população. P224
Malthus. T.R. An essay on the principles of 
population. in: NICO NELISSEN et al.(eds.), 
Classics in Environmental Studies : An Overview of 
Classics Texts in Environmental Studies. Utrecht: 
International Books. 1998.
Taxa instantânea de 
crescimento
 N / t = taxa média
∂N / t = ∂ A taxa instantânea 
ou a derivada (a derivada 
de N em relação ao tempo)
Taxa de crescimento 
instantânea
∂ N t 
∂ t
=limb t
N  t −N b 
t−b
Crescimento populacional
Onde é o coeficiente instantâneo 
de crescimento, N é o número inicial de 
indivíduos da população e r potencial 
biótico da população
r=∂ N
∂ t
∂ N /∂ t
Tipos de crescimento
Imagina uma comunidade onde a cada ano são 
adicionados uma quantidade fixa de indivíduos.
anos população Tx Cresc.
0 10 2
1 12 2
2 14 2
3 16 2
4 18 2
5 20 2
6 22 2
7 24 2
8 26 2
9 28 2
10 30 2
11 32 2
12 34 2
13 36 2
14 38 2
15 40 2
16 42 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Crescimento linear
população Tx Cresc.
anos
p
o
p
u
la
çã
o
N=102⋅t ∂ N /∂ t=limbt
N t −N b
t−b 
=2
Modelando
A partir dos dados do medidos da população determinar 
uma equação que representa seu comportamento
y = -0 ,1 4 7 7 x 2 + 3 ,1 0 3 8 x + 2 ,4 1 6 7
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
2 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
S rie 1é
P o lin m io ( S r ie 1 )ô é
Taxa média específico 
constante
No caso quando uma população apresenta 
uma taxa média específico constante
∂ N
∂ t⋅N
=a
∂ N
∂ t
=a⋅N
Equação diferencial
∂ N
∂ t
=N⋅r
Quando a taxa de variação do tamanho da 
população em relação ao tempo for proporcional 
ao tamanho da população.
Equação diferencial
Uma das regras do capitalismo é 
que todo o capital empregado 
deve render juros, ou seja, que a 
variação do capital C(t) no 
tempo deve ser proporcional ao 
capital
d Ct 
dt
=k⋅C  t 
Em geral, a variação da 
concentração C(t) de determinada 
substância no sangue é 
proporcional à concentração inicial 
e tende a diminuir com o tempo
d Ct 
dt
=−k⋅C  t 
Leithold 2 3ed. p. 1131
Crescimento exponencial
O resultado dessa equação diferencial leva à 
equação de crescimento da população
N  t =N 0⋅ e
r t
Planilha exponencial
Características do 
crescimento exponcial
O tempo necessário para duplicar a população (doubling 
time) = 70 / taxa de crescimento anual (em 
porcentagem)
Crescimento populacional
Quando o ambiente em que vive uma dada 
população possui recursos ilimitados, 
condições climáticos favoráveis e ausência de 
outras espécies que limitam o crescimento 
dessa população, ocorre um crescimento 
exponential a uma taxa máximo denominada 
potential biótico. O valor dessa taxa de 
crescimento é característico da população e 
depende de sua estrutura etária e das 
condições do meio, sendo denominada taxa 
de crescimento específico.