Aula_02_EE

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© Chaim 2009		
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Engenharias
Engenharia Econômica
Matemática Financeira
Ricardo Matos Chaim
(Ricardoc@unb.br) 
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Engenharia Econômica 		
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Revisão
Dificuldade de se obter dados e formular o problema;
A solução varia conforme a forma que o problema é modelado;
Economia: É o estudo dos métodos de alocação de recursos entre fins alternativos;
Bem escasso e bem abundante;
Lei da Escassez;
Mão invisível de Adam Smith: O mercado financeiro se alto - regula.
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A “mão invisível” de Adam Smith 
Preço de
substitutos
Valor relativo
Demanda
Preço
Lucros
Oferta
Custo de
produção
+
+
+
-
+
+
-
-
STERMAN, 2000, p. 170
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Modelo Geral de GC
Preço-Demanda
Custo-Volume
Leis e Princípios 
Econômicos
Matemática
Financeira
Ambiente 
Econômico
Principios
Métodos
Engenharia Econômica
Conhecimentos inter e multidisciplinares 
Cenários
Complexos
Prospectivos
Probabilidade 
e
Estatística
Fundamentos = genericos 
Valor do dinheiro no
Tempo
Gerenciamento de 
Riscos e Incertezas
Projetos e Análise 
de Investimentos
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Fatores de produção
Os fatores de produção (trabalho, terra, capacidade administrativa, técnica e capital) são remunerados de formas distintas: 
Ao trabalho o salário, à terra o aluguel, à capacidade administrativa o lucro, à técnica o royalty, ao capital os juros.
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Fatores de Produção
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Juros Simples
JUROS SIMPLES: apenas o principal rende juros e estes são diretamente proporcionais ao capital emprestado 
J = iPn 
(P = principal ou capital; i = taxa de juros; n = número de períodos)
Por esta fórmula, os juros obtidos em dois anos são o dobro dos juros de um ano, visto que aumentam linearmente. O montante F que uma pessoa que obteve um empréstimo deverá devolver, ao cabo de n períodos, será: F = P+J = P+inP = P (1+in). F é chamado valor futuro.
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Juros Compostos
Após cada período de capitalização, os juros (J) são incorporados ao principal (P) e passam a render juros também. Depois de cada período de capitalização (mês/ano/...) os juros são somados à dívida anterior e passam a render juros no mês seguinte. Tudo se passa como se a cada mês fosse renovado o empréstimo, mas no valor principal mais juros relativos ao mês anterior.
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Juros Simples x Compostos
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Fluxo de Caixa
A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste em uma escala horizontal onde são marcados os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima as entradas e com setas para baixo as saídas de caixa. A unidade de tempo – mês, semestre, ano – deve coincidir com o período de capitalização dos juros considerados. 
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Fluxo de Caixa 
Eixo horizontal = tempo a partir do instante considerado inicial até o instante considerado final no prazo em questão.
Nos diversos pontos que representam instantes ao longo do eixo tempo, são traçados:
segmentos positivos, isto é, do eixo horizontal para cima, representando dividendos, receitas ou economias realizadas;
segmentos negativos, isto é, do eixo horizontal para baixo, representando despesas, aplicações de dinheiro, custos de aplicações ou parcelas que foram deixadas de receber.”
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Convenções
P = quantia existente ou equivalente no instante inicial e conhecida por valor presente ou valor atual;
F = quantia existente ou equivalente num instante futuro em relação ao inicial e conhecida por valor futuro;
i = taxa de juros por períodos de capitalização. A representação de juros pela letra i se deve ao fato de provir da palavra inglesa interest. Se a taxa de juros i for, por exemplo, 10% a.a. (ao ano), ela será substituída nas fórmulas por i=0,10 e não por i = 10;
n = número de períodos de capitalização;
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Convenções
A = Série Uniforme é definida como sendo uma série uniforme de pagamentos (ou recebimentos) que inicia no período 1 e termina no período n. Ela corresponde às mensalidades ou anuidades na prática.
U=valor de cada contribuição considerada uma série uniforme de dispêndios ou recebimentos que ocorrem nos períodos 1,2,3,...,n chamados de períodos de capitalização. Após cada um destes períodos, os juros são capitalizados, isto é, são somados ao valor acumulado até então, passando, no período seguinte, a render com tal soma, a taxa convencionada de juros. 
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Convenções 
PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO: É um período em que uma quantia rende uma taxa de juros i, após o qual, os valores resultantes dos juros são somados à quantia acumulada até então. No período seguinte, tal soma renderá novamente a taxa de juros i, repetindo-se o mesmo processo até o final dos períodos.
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA OU QUANTIDADES EQUIVALENTES: Conhecidos n e i podemos sempre transformar P, F ou U em valores equivalentes U, P ou F ou ainda F, U ou P utilizando os mesmos cálculos simples da matemática financeira. 
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Exercícios - Objetivos
Estruturar fluxos de caixa, 
exercitar juros simples e juros compostos bem como e as respectivas relações de equivalência . 
É necessário convertê-los em excel e Goldsim (exercício para a próxima aula)
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Exercícios 
Aplico $ 10.000, por 10 anos a juros de 5% a.a. Quanto terei após 10 anos? 
Fórmula: F = P(1+i)n 
Ex1
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Exercícios 
F|CLEAR|REG; 10.000|CHS|PV; 5|i; 10|n; FV 
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Exercícios 
Para ter $ 400.000,00 dentro de 5 anos, quanto deverá ser aplicado agora, a uma taxa de 10% a.a? 
Fórmula: F = P(1+i)n 
Ex2
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Exercícios 
F|CLEAR|REG; 400.000|CHS|FV; 10|i; 5|n; PV
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Exercícios 
Paulo emprestou a um amigo UM 2.500, o qual liquidou a dívida pagando UM 2.730 após dois meses. Qual a taxa de juros envolvida na transação? (A28)
Fórmula: F = P(1+i)n 
F|CLEAR|REG; 2.730|CHS|FV; 2.500|PV; 2|n; i
Ex3
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Exercícios 
Após quantos meses um capital empregado a 5% a.m. duplica seu valor? (A27)
F|CLEAR|REG; 1|CHS|PV; 3|FV; 5| i; n
Ex4
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Exercícios 
Caso a inflação esteja estabilizada em 20% ao ano, calcule em quantos anos os preços triplicam? (A28)
F|CLEAR|REG; 1|CHS|PV; 3|FV; 20| i; n
Ex5
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Exercícios 
Nos
instantes finais deste ano e nos instantes finais dos próximos anos, pretendo aplicar em cada ano a importância de $ 20.000,00 a uma taxa de juros de 12% a.a. Pergunta-se (1) Quanto dinheiro terei por ocasião da décima aplicação, instantes após tal aplicação? (2) Quanto dinheiro terei no instante final do 10º período, isto é, no instante 10, considerando que a última aplicação foi no instante 9, tendo esta aplicação também rendido juros, pelo menos, por 1 período e não havendo aplicação no instante 10? 
(Fórmula = U * (((1+i)n – 1))/i)
Ex6
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Exercícios 
F|CLEAR|REG; 20.000|CHS|PMT; 12|i; 10|n; FV
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Exercícios Propostos 
Quanto deverei aplicar anualmente durante 7 períodos anuais, a uma taxa de 8% a.a., para obter no fim do sétimo período a quantia de $ 200.000,00? (B32) 
U = F(i/(1+i)n -1)
 
Desejo aplicar agora $ 300.000,00 por 3 anos a uma taxa de juros igual a 20% a.a. Com quanto poderei contar nos instantes finais de cada um destes 3 períodos anuais? (B34) 
U = P(i(1+i)n/(1+i)n-1)
 
F|CLEAR|REG; 200.000|CHS|FV; 8|i; 7|n; PMT (R$ 142.417,58)
F|CLEAR|REG; 200.000|CHS|FV; 8|i; 7|n; PMT (R$ 22.414)
Ex7
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Exercícios Propostos 
Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 15% a.a para poder obter receitas nos próximos 7 anos iguais a anuidades de $ 100.000,00? (B36) 
P = U( ((1+i)n -1) / (i(1+i) n) )
 
 
F|CLEAR|REG; 100000|CHS|PMT; 15|i; 7|n; PV (R$ 416.041,97)
Ex8
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Exercícios Propostos 
Paulo está interessado em comprar uma moto, cujo preço à vista é 4.000 UM. Se Paulo der uma entrada de UM 500,00 e pagar o restante em 24 meses, qual será o valor da prestação se a taxa for de 5% ao mês? (A34) 
 
 
F|CLEAR|REG; 3.500|CHS|PMT; 5|i; 24|n; PV (R$ 253,65)
Ex9
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Exercícios Propostos 
Paulo negociou com a loja no sentido de reduzir o valor das prestações para UM 250,00 e pagar numa 25a prestação o valor da diferença acumulada. Qual o valor desta 25a prestacao, considerando-se a incidência da mesma taxa de juros? (A35) 
 
 
F|CLEAR|REG; 3.500|CHS|PMT; 5|i; 24|n; PV (R$ 253,65)
Ex10
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Convenções
Se numa série contínua de compromissos financeiros existir um aumento contínuo em cada período, tal aumento é designado por G e se chama Gradiente Aritmético.
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Exercícios Propostos 
A partir do próximo segundo ano, desejo aplicar anualmente, de forma crescente, um valor múltiplo de $ 10.000,00, multiplicando-se o primeiro valor por 1, o segundo por 2, e assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações, considerando-se uma taxa anual de juros igual a 25%? (B38) 
F=U((1+i)n-1/i) (fórmula para n anuidades)
F = G(((1+i)n -1-ni)/i2) (fórmula do gradiente, derivada da anterior)
=10.000(((1+0,25)8-1-8x0,25)/0,252)
 
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;10.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 50.000|g|CFj; 60.000|g|CFj; 70.000|g|CFj; 25|i;f|NPV;25|i; 8|n;FV (473.674,30)
Ex 11
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Exercícios Propostos 
Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 6% a.a., para obter, a partir do próximo segundo ano, uma série de 5 pagamentos, sendo que o primeiro pagamento é G = R$ 20.000,00 e os outros são gradativamente, crescentes formando uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G e 5G? (B41)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj; 20.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 60.000|g|CFj; 80.000|g|CFj; 100.000|g|CFj; 6|i;f|NPV (229.187,03)
P = G(((1+i)n -1 – ni)/(i2(1+i)n))
Ex 12
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Exercícios Propostos 
Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos gradativamente crescentes, de tal forma que o primeiro seja igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV (62.403,58) 
62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64)
U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1))
Ex13
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Exercícios Propostos 
Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos gradativamente crescentes, de tal forma que o primeiro seja igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44)
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV (62.403,58) 
62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64)
U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1))
Ex13
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(1) Você pretende construir uma casa de campo no terreno que comprou para férias. Seu tio rico lhe oferece um empréstimo de R$ 35.000 a juros de 10,5% ao ano. Se você fizer pagamentos de R$ 325 no fim de cada mês, quantos pagamentos serão necessários para pagar o empréstimo e quanto tempo levará?
Pv= 35000
I=10.5|g|12÷ (0,88) (Tx. Efetiva = 0,835516)
Pmt=325 (sinal contrário) 
N = 328 meses 
12 ÷ = 27 anos e 33 meses 
Último pagamento = 328|n;FV; RCL|PMT;+ (143,11)
Pagamento fracionário com o 327o pagamento: 327|n;FV;RCL|PMT;+ (466,87)
Alternativamente, é possível fazer 328 pagamentos iguais de 326,4390
Exercícios Propostos 
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(2) Você abre uma caderneta de poupança hoje (no meio do mês) com um depósito de R$ 775. A conta rende 6,25% ao ano com capitalização quinzenal. Se você fizer depósitos quinzenais de R$ 50, começando no mês que vem, quanto tempo levará para poupar R$ 4.000?
I=6,25|Enter|24|÷i; (0,26 tx efetiva 0,252922)
775|CHS|PV= (-775,00)
50|CHS|PMT (-50,00) 
4.000|FV
G|End
N (58 depósitos quinzenais, ou,)
2|÷ (29 meses)
Exercícios Propostos 
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(3) Qual taxa de juros anual deve ser atingida para se acumularem R$ 10.000 em 8 anos com um investimento de R$ 6.000 com aplicação trimestral?
6000|CHS|PV;
10000|FV
8|Enter|4|x|n;
I (1,61) (taxa efetiva = 1,0161^4=6,5972 a.a)
4|x (6,44 Tx. Nominal)
Exercícios Propostos