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Aula_06_EE

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Engenharias
Engenharia Econômica
Matemática Financeira
Fabiano Araujo Soares
(fabianosoares@unb.br) 
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Revisão
Revisão da aula passada
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 Juros da Economia – decisões COPOM
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Taxas e Conversão de taxas 
Para transformação de taxas efetivas de período menor em taxa efetiva de período maior temos:
Ou
Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período
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Taxas e Conversão de taxas 
Para transformação de taxas efetivas de período maior em taxa efetiva de período menor temos:
Ou
Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período
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Relação entre P e U-Fator de Valor Atual
Fator de Valor Atual: Obtendo o valor presente equivalente a uma série uniforme e vice versa.
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Relação entre P e U
Provando a fórmula através de um exercício:
Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais. Iguais e sucessivas de 100,00 R$ cada uma?
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Taxas e Conversão de taxas – Exercícios
A que taxa de juros um capital de 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses?
Um título de renda fixa deverá ser resgatado por 10.000,00 $ no seu vencimento que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 40% ao ano, determinar o seu valor presente. 
f CLEAR REG| 18 n| 43000 CHS PV | 86000 FV | i
f CLEAR REG| 1.4 ENTER 12 1/x y ^x 1 – 100 x i |3 n| 10000 FV | PV
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Taxas e Conversão de taxas – Exercícios
Uma companhia planeja depositar UM 100.000,00 em um fundo no fim de cada ano, durante os próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de 2,00% a.quad., quanto a companhia terá no fim do sexto ano? [380.920,27]
Um agiota empresta dinheiro para mensalistas apertados nas seguintes condições: “te dou 5.000 e tu me devolverás 5.500 em uma semana”. Qual a taxa de juros anual envolvida na transação?
f CLEAR REG| 0 g CF0| 100000 CHS g CFj|3 g Nj| 0 g CFj| 3 g Nj| 1.02 ENTER 3 y ^x 1 – 100 x i| 6 n| f NPV| FV 
f CLEAR REG| 1.1 ENTER| 52 y^x| 1 -| 100 x
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Séries em gradiente
Se numa série contínua de compromissos financeiros existir um aumento contínuo em cada período, tal aumento é designado por G e se chama Gradiente Aritmético.
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Séries em gradiente
Para derivarmos a fórmula para calcular montantes a partir de séries gradientes vamos considerar o seguinte problema:
Determinar o montante no final do 5º mês, das parcelas de $100,00, $200,00, $300,00, $400,00 e $500,00, aplicadas mensalmente à uma taxa de 3% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação ocorre no final do 1° mês.
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A partir do próximo ano, desejo aplicar anualmente, de forma crescente, um valor múltiplo de $ 10.000,00, multiplicando-se o primeiro valor por 1, o segundo por 2, e assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações, considerando-se uma taxa anual de juros igual a 25%? 
 
F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 10.000 CHS|g|CFj; 20.000 CHS|g|CFj; 30.000 CHS|g|CFj; 40.000 CHS|g|CFj; 50.000 CHS|g|CFj; 60.000 CHS|g|CFj; 70.000 CHS|g|CFj; 25|i; f|NPV;25|i; 7|n;FV (473.674,32)
Séries em gradiente
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Determinar o valor da razão de uma série gradiente de termos vencidos, sabendo –se que a taxa é de 3% ao mês, o montante de 810.716,20 $ e que possui 54 termos
Séries em gradiente
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Calcular o montante, no final de 4 anos e meio de aplicações mensais e sucessivas, à taxa de 3% ao mês, sendo que a primeira aplicação, no valor de 300,00 $ é feita no final do 1º mês; as demais, de valores crescentes, de acordo com uma progressão aritmética de razão igual a 300,00 $, são aplicadas no final dos meses subseqüentes, até o 54º mês.
Séries em gradiente
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 Inflação
Inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda. Possíveis causas: aumento da demanda sem o respectivo aumento da produção; aumento de custos de fatores de produção de alguns produtos; especulação com estoques ou excesso de circulação de moeda.
Impactos na matemática financeira e na análise de investimentos: a correção monetária visa corrigir a moeda na medida exata da inflação. Utiliza-se, na prática, a taxa de inflação para produzir a correção monetária.
Aplica-se, primeiramente, uma taxa de correção monetária, inflação ou variação cambial para, depois, aplicar-se a taxa de juros.
A variação cambial aparecerá nos problemas de empréstimos de forma análoga à correção monetária.
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Inflação 
Uma empresa brasileira fez um empréstimo equivalente a UM 2.000.000,00 em um banco alemão, nas seguintes condições:
	- Juros de 2,8% ao trimestre; 
	- Pagamentos em cinco prestações anuais, em marcos.
Se a valorização do marco em relação à UM nos próximos anos for estimada em 36%, 35%, 38%, 40% e 39%, calcule o valor em UM das prestações a serem pagas. (A86)
Taxa equivalente anual: (1+0,028)4 = 1+i  i = 11,679242
Valor das amortizações: 2.000.000/5 = 400.000,00  Amortização não corrigida
Juros:
J1 = 11,68/100 x 2.000.00 = 233.585,84
J2 = 11,68/100 x 1.600.00 =186.867,88
J3 = 11,68/100 x 1.200.00 = 140.150,91
J4 = 11,68/100 x 800.00 = 93.433,94
J5 = 11,68/100 x 400.000 = 46.716,97
Prestações:
P1 = (400.000 + 233.585,84) x 1,36
P2 = (400.000 + 186.867,88) x 1,36 x 1,35
P3 = (400.000 + 140.150,91) x 1,36 x 1,35 x 1,38
P4 = (400.000 + 93.433,94) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40
P5 = (400.000 + 46.716,97) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40 x 1,39
Resposta: 2.202.556,46
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Inflação 
1º passo: estruturar o fluxo de caixa original (100|CHS; 40,50,60 – receitas)
2º passo: estimar as parcelas a corrigir, aplicando-se a variação cambial sobre as parcelas
Parcela corrigida no ano 1 = 40 x (1+0,2) = 48
Parcela corrigida no ano 2 = 50 x (1+0,2) x (1+0,25) = 75
Parcela corrigida no ano 3 = 60 x (1+0,2) x (1+0,25) x (1+0,3) = 117
Uma empresa investirá UM 100,00 num projeto voltado à exportação que lhe proporcionará lucros de UM 40,00 no 1º ano, UM 50,00 no 2º ano e UM 60,00 no 3º ano . É estimada uma valorização do dólar em relaçao à UM considerada, de 20, 25 e 30%, respectivamente para o 1º, 2º e 3º anos, e evidentemente os lucros da empresa crescerão com a variação cambial. Por outro lado, é estimada uma inflação no período, de 22, 28 e 35%. Pergunta-se qual a taxa de retorno real deste investimento? (A86) 
3º passo: ajustar o fluxo em função das estimativas da inflação
Parcela ajustada no ano 1 = 48/(1+0,22) = 39,34
Parcela ajustada no ano 2 = 75/(1+0,22) x (1+0,28) = 48,03
Parcela ajustada no ano 3 = 117/(1+0,22) x (1+0,28) x x (1+0,35) = 55,50
4º passo: Calcular a taxa
real de retorno do investimento
VP = 0 = -100 + 39,34/(1+i) + 48,03 (1+i)2 + 55,50/ (1+i)3
100|CHS|g|Cfo; 39,34|g|CFj; 48,03|g|CFj; 55,50|g|CFj; f|IRR (18,95%) a.a.
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Inflação e Análise de investimentos
A análise de investimentos deve ser baseada nos índices de inflação, quando esta ocorrer. Por exemplo, um aplicador que teve um rendimento de 45% a.a. quando a inflação neste ano foi de 30% teve um rendimento real de: 
 1,45/1,30 – 1 = 01154 ou 11,54% reais.
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Inflação – Exercícios propostos
Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %) a88
5% a.m de correção monetária mais 10% ao trimestre de juros (62,15);
2% à quinzena de correção cambial mais 15% a.a. de juros (36%)
Qual a taxa efetiva anual de:
Correção monetária de 1% a.m e juros de 12% a.a. (74,90%)
30% ao semestre com capitalização quinzenal (80,87 %)
50% a.a. com correção monetária de 15% ao trimestre (162,35%)
Tarefa para a próxima aula: Resolver os exercícios acima e entregar o manuscrito em uma folha.

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