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© Chaim 2009 * * Engenharias Engenharia Econômica Matemática Financeira Fabiano Araujo Soares (fabianosoares@unb.br) * Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA Revisão Revisão da aula passada Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Juros da Economia – decisões COPOM Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Taxas e Conversão de taxas Para transformação de taxas efetivas de período menor em taxa efetiva de período maior temos: Ou Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Taxas e Conversão de taxas Para transformação de taxas efetivas de período maior em taxa efetiva de período menor temos: Ou Onde: iM é a taxa de maior período e im é a taxa de menor período Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Relação entre P e U-Fator de Valor Atual Fator de Valor Atual: Obtendo o valor presente equivalente a uma série uniforme e vice versa. Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Relação entre P e U Provando a fórmula através de um exercício: Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais. Iguais e sucessivas de 100,00 R$ cada uma? Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Taxas e Conversão de taxas – Exercícios A que taxa de juros um capital de 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses? Um título de renda fixa deverá ser resgatado por 10.000,00 $ no seu vencimento que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 40% ao ano, determinar o seu valor presente. f CLEAR REG| 18 n| 43000 CHS PV | 86000 FV | i f CLEAR REG| 1.4 ENTER 12 1/x y ^x 1 – 100 x i |3 n| 10000 FV | PV Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Taxas e Conversão de taxas – Exercícios Uma companhia planeja depositar UM 100.000,00 em um fundo no fim de cada ano, durante os próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de 2,00% a.quad., quanto a companhia terá no fim do sexto ano? [380.920,27] Um agiota empresta dinheiro para mensalistas apertados nas seguintes condições: “te dou 5.000 e tu me devolverás 5.500 em uma semana”. Qual a taxa de juros anual envolvida na transação? f CLEAR REG| 0 g CF0| 100000 CHS g CFj|3 g Nj| 0 g CFj| 3 g Nj| 1.02 ENTER 3 y ^x 1 – 100 x i| 6 n| f NPV| FV f CLEAR REG| 1.1 ENTER| 52 y^x| 1 -| 100 x Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Séries em gradiente Se numa série contínua de compromissos financeiros existir um aumento contínuo em cada período, tal aumento é designado por G e se chama Gradiente Aritmético. Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Séries em gradiente Para derivarmos a fórmula para calcular montantes a partir de séries gradientes vamos considerar o seguinte problema: Determinar o montante no final do 5º mês, das parcelas de $100,00, $200,00, $300,00, $400,00 e $500,00, aplicadas mensalmente à uma taxa de 3% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação ocorre no final do 1° mês. Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * A partir do próximo ano, desejo aplicar anualmente, de forma crescente, um valor múltiplo de $ 10.000,00, multiplicando-se o primeiro valor por 1, o segundo por 2, e assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações, considerando-se uma taxa anual de juros igual a 25%? F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 10.000 CHS|g|CFj; 20.000 CHS|g|CFj; 30.000 CHS|g|CFj; 40.000 CHS|g|CFj; 50.000 CHS|g|CFj; 60.000 CHS|g|CFj; 70.000 CHS|g|CFj; 25|i; f|NPV;25|i; 7|n;FV (473.674,32) Séries em gradiente Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Determinar o valor da razão de uma série gradiente de termos vencidos, sabendo –se que a taxa é de 3% ao mês, o montante de 810.716,20 $ e que possui 54 termos Séries em gradiente Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Calcular o montante, no final de 4 anos e meio de aplicações mensais e sucessivas, à taxa de 3% ao mês, sendo que a primeira aplicação, no valor de 300,00 $ é feita no final do 1º mês; as demais, de valores crescentes, de acordo com uma progressão aritmética de razão igual a 300,00 $, são aplicadas no final dos meses subseqüentes, até o 54º mês. Séries em gradiente Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Inflação Inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda. Possíveis causas: aumento da demanda sem o respectivo aumento da produção; aumento de custos de fatores de produção de alguns produtos; especulação com estoques ou excesso de circulação de moeda. Impactos na matemática financeira e na análise de investimentos: a correção monetária visa corrigir a moeda na medida exata da inflação. Utiliza-se, na prática, a taxa de inflação para produzir a correção monetária. Aplica-se, primeiramente, uma taxa de correção monetária, inflação ou variação cambial para, depois, aplicar-se a taxa de juros. A variação cambial aparecerá nos problemas de empréstimos de forma análoga à correção monetária. Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Inflação Uma empresa brasileira fez um empréstimo equivalente a UM 2.000.000,00 em um banco alemão, nas seguintes condições: - Juros de 2,8% ao trimestre; - Pagamentos em cinco prestações anuais, em marcos. Se a valorização do marco em relação à UM nos próximos anos for estimada em 36%, 35%, 38%, 40% e 39%, calcule o valor em UM das prestações a serem pagas. (A86) Taxa equivalente anual: (1+0,028)4 = 1+i i = 11,679242 Valor das amortizações: 2.000.000/5 = 400.000,00 Amortização não corrigida Juros: J1 = 11,68/100 x 2.000.00 = 233.585,84 J2 = 11,68/100 x 1.600.00 =186.867,88 J3 = 11,68/100 x 1.200.00 = 140.150,91 J4 = 11,68/100 x 800.00 = 93.433,94 J5 = 11,68/100 x 400.000 = 46.716,97 Prestações: P1 = (400.000 + 233.585,84) x 1,36 P2 = (400.000 + 186.867,88) x 1,36 x 1,35 P3 = (400.000 + 140.150,91) x 1,36 x 1,35 x 1,38 P4 = (400.000 + 93.433,94) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40 P5 = (400.000 + 46.716,97) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40 x 1,39 Resposta: 2.202.556,46 Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Inflação 1º passo: estruturar o fluxo de caixa original (100|CHS; 40,50,60 – receitas) 2º passo: estimar as parcelas a corrigir, aplicando-se a variação cambial sobre as parcelas Parcela corrigida no ano 1 = 40 x (1+0,2) = 48 Parcela corrigida no ano 2 = 50 x (1+0,2) x (1+0,25) = 75 Parcela corrigida no ano 3 = 60 x (1+0,2) x (1+0,25) x (1+0,3) = 117 Uma empresa investirá UM 100,00 num projeto voltado à exportação que lhe proporcionará lucros de UM 40,00 no 1º ano, UM 50,00 no 2º ano e UM 60,00 no 3º ano . É estimada uma valorização do dólar em relaçao à UM considerada, de 20, 25 e 30%, respectivamente para o 1º, 2º e 3º anos, e evidentemente os lucros da empresa crescerão com a variação cambial. Por outro lado, é estimada uma inflação no período, de 22, 28 e 35%. Pergunta-se qual a taxa de retorno real deste investimento? (A86) 3º passo: ajustar o fluxo em função das estimativas da inflação Parcela ajustada no ano 1 = 48/(1+0,22) = 39,34 Parcela ajustada no ano 2 = 75/(1+0,22) x (1+0,28) = 48,03 Parcela ajustada no ano 3 = 117/(1+0,22) x (1+0,28) x x (1+0,35) = 55,50 4º passo: Calcular a taxa real de retorno do investimento VP = 0 = -100 + 39,34/(1+i) + 48,03 (1+i)2 + 55,50/ (1+i)3 100|CHS|g|Cfo; 39,34|g|CFj; 48,03|g|CFj; 55,50|g|CFj; f|IRR (18,95%) a.a. Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Inflação e Análise de investimentos A análise de investimentos deve ser baseada nos índices de inflação, quando esta ocorrer. Por exemplo, um aplicador que teve um rendimento de 45% a.a. quando a inflação neste ano foi de 30% teve um rendimento real de: 1,45/1,30 – 1 = 01154 ou 11,54% reais. Engenharia Econômica © Chaim2010 Universidade de Brasilia – Campus GAMA * Inflação – Exercícios propostos Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %) a88 5% a.m de correção monetária mais 10% ao trimestre de juros (62,15); 2% à quinzena de correção cambial mais 15% a.a. de juros (36%) Qual a taxa efetiva anual de: Correção monetária de 1% a.m e juros de 12% a.a. (74,90%) 30% ao semestre com capitalização quinzenal (80,87 %) 50% a.a. com correção monetária de 15% ao trimestre (162,35%) Tarefa para a próxima aula: Resolver os exercícios acima e entregar o manuscrito em uma folha.
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