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© Chaim 2009 1 Engenharias Engenharia Econômica Matemática Financeira Ricardo Matos Chaim (Ricardoc@unb.br) Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A 2 Modelo Geral de GC Preço-Demanda Custo-Volume Leis e Princípios Econômicos Matemática Financeira Ambiente Econômico Principios Métodos Engenharia Econômica Conhecimentos inter e multidisciplinares Cenários Complexos Prospectivos Probabilidade e Estatística Fundamentos = genericos Valor do dinheiro no Tempo Gerenciamento de Riscos e Incertezas Projetos e Análise de Investimentos Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Equações Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Juros da Economia – decisões COPOM Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A 11,25 11,25 11,75 12,25 13,00 13,75 13,75 13,75 12,75 11,25 10,25 9,25 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 9,50 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 17,25 16,50 15,75 15,25 14,75 14,25 13,75 13,25 13,00 12,75 12,50 12,00 11,50 11,25 11,25 11,25 11,25 11,25 11,75 12,25 13,00 13,75 13,75 13,75 12,75 11,25 10,25 9,25 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 8,75 9,50 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 Juros da Economia – decisões COPOM Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Indice Bovespa 6 Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Fórmulas dos fatores de tabelas financeiras Fonte: http://www.bcb.gov.br/?INDECO Vigência de Vigência até % a.a. 18.1.2006 8.3.2006 17,25 8.3.2006 19.4.2006 16,50 19.4.2006 31.5.2006 15,75 31.5.2006 19.07.2006 15,25 19.7.2006 30.08.2006 14,75 30.8.2006 18.10.2006 14,25 18.10.2006 29.11.2006 13,75 29.11.2006 24.1.2007 13,25 24.1.2007 7.3.2007 13,00 7.3.2007 18.4.2007 12,75 18.4.2007 6.6.2007 12,50 6.6.2007 18.7.2007 12,00 18.7.2007 5.9.2007 11,50 5.9.2007 17.10.2007 11,25 17.10.2007 5.12.2007 11,25 5.12.2007 23.1.2008 11,25 23.1.2008 5.3.2008 11,25 5.3.2008 16.4.2008 11,25 16.4.2008 4.6.2008 11,75 4.6.2008 23.7.2008 12,25 23.7.2008 10.9.2008 13,00 10.9.2008 29.10.2008 13,75 29.10.2008 10.12.2008 13,75 10.12.2008 21.1.2009 13,75 21.1.2009 11.3.2009 12,75 11.3.2009 29.4.2009 11,25 29.4.2009 10.6.2009 10,25 10.6.2009 22.7.2009 9,25 22.7.2009 2.9.2009 8,75 2.9.2009 21.10.2009 8,75 21.10.2009 9.12.2009 8,75 9.12.2009 27.1.2010 8,75 27.1.2010 17.3.2010 8,75 17.3.2010 28.4.2010 8,75 28.4.2010 9.6.2010 9,50 Juros da Economia – decisões COPOM Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Taxas e Conversão de taxas Em algumas transações financeiras, a taxa de juros informada é apenas aparentemente correta, muitas vezes pela intenção de fazer parecer que a taxa é menor ou maior aos olhos de quem concorda com ela. Ex: 36% a.a. / 12 = 3% a.m; 36% a.a. = (1,36)1/12 -1=2,5955 % a.m 4% a.m x12 = 48%; (1,04)12 =60,10% a.a Para taxas pequenas, essa lógica funciona bem. Uma taxa de 6% a.a. equivale a uma taxa mensal de 0,00486755, pela aplicação da seguinte fórmula: Taxa equivalente = – 1. Na calculadora HP 12C, se executarmos a sequência 6|i|g|12÷, resultará uma taxa de 0,5. A primeira, denomina-se taxa efetiva, a segunda, taxa nominal. Na taxa efetiva, o período referido na taxa coincide com o período de capitalização. Em caso contrário, a taxa é nominal. Exemplos de taxas nominais: 40% a.a. com capitalização mensal; 12% a.s. com capitalização trimestral. 12/1 06,01 Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Taxas e Conversão de taxas Quando é dito que a taxa é de 60% ao ano com capitalização mensal, significa que a taxa a ser efetivamente considerada será de: 60%/12 = 5% ao mês, aplicados em 12 períodos equivalem a: (1,05)12- 1=79,59% a.a. = Taxa efetiva anual. Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% ao semestre? (1+0,12)1/6 – 1 = 1,9% a.m (A49) Qual a taxa semestral equivalente a 10% a.m? (1+0,10)6-1=0,77 ou 77% a.s (um semestre contém seis meses) (A50) F = P(1+i)n (1+im) 12 = (1+it) 4 a taxa mensal im, aplicada doze vezes, deve dar o mesmo resultado que a taxa trimestral it aplicada quatro vezes. Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Taxas e Conversão de taxas – Exercícios (a) Qual a taxa equivalente mensal, de 42% ao ano capitalizada trimestralmente? (A51) (b) Qual é a taxa efetiva anual, de 24% ao semestre capitalizada mensalmente? (c) Uma companhia planeja depositar UM 100.000,00 em um fundo no fim de cada ano, durante os próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de 6,00% a.a, com capitalização quadrimestral, quanto a companhia terá no fim do sexto ano? (380.920,27) (42%/4)+1=1.105^1/3-1=3,3842%^12=49,09% a.a (24%/6)+1=1.04^12-1= 60,10322 a.a (6%/3)+1=1.02^1/4=1.004963^12-1=6,1208% a.a F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 100000|G|CFj;3|ni|CFj; 0|g|CFj; 3|ni|CFj;6,1208|i;f|NPV;25|i; 8|n;FV (380.920,27) Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Taxas e Conversão de taxas – Exercícios (d) Um agiota empresta dinheiro para mensalistas apertados nas seguintes condições: “te dou 5.000 e tu me devolverás 5.500 em uma semana”. Qual a taxa de juros anual envolvida na transação? 10% por semana ^ 52-1*100 = 14.104,29% a.a Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Taxa de desconto A diferença entre o desconto e o juro é que o desconto é calculado a partir do valor futuro, enquanto que o juro sobre o valor presente. Equação: (d =j/(1+j)) Exemplo: Um determinado produto é vendido à vista com desconto de 10%. Qual a taxa de juros que será paga por quem optar pela compra com cheque pré-datado para 30 dias? J =(0,10/(1-0,10)) j = 0,111111 ou 11.11%. OU 90|CHS|PV; n=1; 100|FV;i Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Séries em gradiente Se numa série contínua de compromissos financeiros existir um aumento contínuo em cada período, tal aumento é designado por G e se chama Gradiente Aritmético. Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A A partir do próximo segundo ano, desejo aplicar anualmente, de forma crescente, um valor múltiplo de $ 10.000,00, multiplicando-se o primeiro valor por 1, o segundo por 2, e assim por diante. Quanto terei no final de 7 aplicações, considerando-se uma taxa anual de juros igual a 25%? (B38) F=U((1+i)n-1/i) (fórmula para n anuidades) F = G(((1+i)n -1-ni)/i2) (fórmula do gradiente, derivada da anterior) =10.000(((1+0,25)8-1-8x0,25)/0,252) F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;10.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 50.000|g|CFj; 60.000|g|CFj; 70.000|g|CFj; 25|i;f|NPV;25|i; 8|n;FV (473.674,30) Ex 11 Séries em gradiente Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 6% a.a., para obter, a partir do próximo segundo ano, uma série de 5 pagamentos, sendo que o primeiro pagamento é G = R$ 20.000,00 e os outros são gradativamente, crescentes formando uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G e 5G? (B41) F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;20.000|g|CFj; 40.000|g|CFj; 60.000|g|CFj; 80.000|g|CFj; 100.000|g|CFj; 6|i;f|NPV (229.187,03) P = G(((1+i)n -1 – ni)/(i2(1+i)n)) Ex 12 Séries em gradiente Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos gradativamente crescentes, de tal forma que o primeiro seja igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44) F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV (62.403,58) 62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64) U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1)) Ex13 Séries em gradiente Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Quanto deverei aplicar de forma uniforme, durante 8 períodos anuais, a uma taxa de juros de 15% anuais, para obter, a partir do segundo período, uma série de 7 pagamentos gradativamente crescentes, de tal forma que o primeiro seja igual a G = $ 5.000,00, formando com os outros uma série uniforme gradiente igual a G, 2G, 3G, 4G,5G, 6G,7G? (B44) F|CLEAR|REG; 0|G|CFo; 0|G|CFj;5.000|g|CFj; 10.000|g|CFj; 15.000|g|CFj; 20.000|g|CFj; 25.000|g|CFj; 30.000|g|CFj; 35.000|g|CFj; 15|i;f|NPV (62.403,58) 62403,58|CHS|PV;15|i;8|n;PMT (13.906,64) U = G(((1+i)n -1 – ni)/(i((1+i)n -1)) Ex13 Séries em gradiente Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Inflação • Inflação é a perda do poder aquisitivo da moeda. Possíveis causas: aumento da demanda sem o respectivo aumento da produção; aumento de custos de fatores de produção de alguns produtos; especulação com estoques ou excesso de circulação de moeda. • Impactos na matemática financeira e na análise de investimentos: a correção monetária visa corrigir a moeda na medida exata da inflação. Utiliza-se, na prática, a taxa de inflação para produzir a correção monetária. • Aplica-se, primeiramente, uma taxa de correção monetária, inflação ou variação cambial para, depois, aplicar-se a taxa de juros. • A variação cambial aparecerá nos problemas de empréstimos de forma análoga à correção monetária. Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Inflação Uma empresa brasileira fez um empréstimo equivalente a UM 2.000.000,00 em um banco alemão, nas seguintes condições: - Juros de 2,8% ao trimestre; - Pagamentos em cinco prestações anuais, em marcos. Se a valorização do marco em relação à UM nos próximos anos for estimada em 36%, 35%, 38%, 40% e 39%, calcule o valor em UM das prestações a serem pagas. (A86) Taxa equivalente anual: (1+0,028)4 = 1+i i = 11,679242 Valor das amortizações: 2.000.000/5 = 400.000,00 Amortização não corrigida Juros: J1 = 11,68/100 x 2.000.00 = 233.585,84 J2 = 11,68/100 x 1.600.00 =186.867,88 J3 = 11,68/100 x 1.200.00 = 140.150,91 J4 = 11,68/100 x 800.00 = 93.433,94 J5 = 11,68/100 x 400.000 = 46.716,97 Prestações: P1 = (400.000 + 233.585,84) x 1,36 P2 = (400.000 + 186.867,88) x 1,36 x 1,35 P3 = (400.000 + 140.150,91) x 1,36 x 1,35 x 1,38 P4 = (400.000 + 93.433,94) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40 P5 = (400.000 + 46.716,97) x 1,36 x 1,35 x 1,38 x 1,40 x 1,39 Resposta: 2.202.556,46 Para próxima aula: Fazer a planilha EXCEL com a evolução deste empréstimo Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Inflação 1º passo: estruturar o fluxo de caixa original (100|CHS; 40,50,60 – receitas) 2º passo: estimar as parcelas a corrigir, aplicando-se a variação cambial sobre as parcelas Parcela corrigida no ano 1 = 40 x (1+0,2) = 48 Parcela corrigida no ano 2 = 50 x (1+0,2) x (1+0,25) = 75 Parcela corrigida no ano 3 = 60 x (1+0,2) x (1+0,25) x (1+0,3) = 117 Uma empresa investirá UM 100,00 num projeto voltado à exportação que lhe proporcionará lucros de UM 40,00 no 1º ano, UM 50,00 no 2º ano e UM 60,00 no 3º ano . É estimada uma valorização do dólar em relaçao à UM considerada, de 20, 25 e 30%, respectivamente para o 1º, 2º e 3º anos, e evidentemente os lucros da empresa crescerão com a variação cambial. Por outro lado, é estimada uma inflação no período, de 22, 28 e 35%. Pergunta-se qual a taxa de retorno real deste investimento? (A86) 3º passo: ajustar o fluxo em função das estimativas da inflação Parcela ajustada no ano 1 = 48/(1+0,22) = 39,34 Parcela ajustada no ano 2 = 75/(1+0,22) x (1+0,28) = 48,03 Parcela ajustada no ano 3 = 117/(1+0,22) x (1+0,28) x x (1+0,35) = 55,50 4º passo: Calcular a taxa real de retorno do investimento VP = 0 = -100 + 39,34/(1+i) + 48,03 (1+i)2 + 55,50/ (1+i)3 100|CHS|g|Cfo; 39,34|g|CFj; 48,03|g|CFj; 55,50|g|CFj; f|IRR (18,95%) a.a. Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Inflação A análise de investimentos deve ser baseada nos índices de inflação, quando esta ocorrer. Por exemplo, um aplicador que teve um rendimento de 45% a.a. quando a inflação neste ano foi de 30% teve um rendimento real de: 1,45/1,30 – 1 = 01154 ou 11,54% reais. Engenharia Econômica © Chaim2010 U n iv e rs id a d e d e B ra s il ia – C a m p u s G A M A Inflação – Exercícios propostos Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %) a88 (a) 5% a.m de correção monetária mais 10% ao trimestre de juros (62,15); (b) 2% à quinzena de correção cambial mais 15% a.a. de juros (36%) Qual a taxa efetiva anual de: (a) Correção monetária de 1% a.m e juros de 12% a.a. (74,90%) (b) 30% ao semestre com capitalização quinzenal (80,87 %) (c) 50% a.a. com correção monetária de 15% ao trimestre (162,35%) Tarefa para a próxima aula: Resolver os exercícios acima e entregar o manuscrito em uma folha.
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