Laplace resolvido

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Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais
1
CAPÍTULO VI – APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE
LAPLACE ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM COEFICIENTES
CONSTANTES:
A principal aplicação da transformada de Laplace é a resolução de Equações Diferencias
Ordinárias Lineares com Coeficientes Constantes. Por exemplo, se queremos resolver uma equação
diferencial linear de segunda ordem da forma:
( )tf)t(y)t(
dt
dy)t(
td
yd
2
2
=β+α+ , (1.1)
ou, simplesmente,
( )tf)t(y)t(y)t(y =β+′α+′′ , (1.2)
sujeita as condições iniciais
y(0) = A (1.3)
e
B)0(y =′ , (1.4)
onde α , β , A e B são constantes reais dadas. Para resolver este problema, aplicamos a transformada
de Laplace, na variável t, nos dois lados da igualdade em (1.1), usando as propriedades da
transformada de Laplace da derivada e as condições iniciais (1.3) e (1.4). Com isto, obtemos uma
equação algébrica para a determinação de ℒ ( ){ } )s(Yty = , ou seja,
( ) )s(F)s(YA)s(sYBsA)s(Ys2 =β+−α+−− , (1.5)
onde ℒ ( ){ } )s(Ftf = é conhecida. Assim,
β+α+
+
β+α+
α++
=
ss
)s(F
ss
ABsA)s(Y
22
. (1.6)
Então, após obtida a função Y(s), aplicamos a transformada inversa de Laplace na Eq. (1.6), resultando
a função incógnita y(t). Procedendo desta forma, obtemos:
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2
y(t) = ℒ +
�
�
�
�
�
�
�
�
β+α+
α++
−
ss
ABsA
2
1 ℒ
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅
β+α+
− )s(F
ss
1
2
1 , (1.7)
onde a primeira parcela do lado direito desta equação é a transformada inversa de Laplace de uma
função racional (pode ser obtida pelos teoremas de Heaviside ou por completamento de quadrados) e a
segunda parcela é resolvida usando-se o teorema da convolução, sendo que a primeira função é a
transformada inversa de Laplace de uma função racional e a segunda é a função conhecida f(t) (para
maiores informações vide o capítulo 5 deste material). Em outras palavras, é razoavelmente simples
calcular a função y(t) em (1.7).
Observação 1: Em engenharia, uma equação diferencial linear é vista como um Sistema
Físico Linear (vide Fig. 1.1), onde f(t) é dita fonte, excitação ou entrada (input) do sistema e y(t) é dita
resposta ou saída (output) deste sistema. Este sistema físico pode ser, por exemplo, um circuito elétrico
ou um sistema mecânico do tipo massa - mola - amortecedor (exemplos destes tipos de sistema serão
vistos abaixo). Quando a EDO tem coeficientes constantes, dizemos que o sistema físico é invariante
no tempo, pois qualquer atraso na excitação resulta numa mesma resposta, apenas igualmente atrasada.
Figura 1.1: A idéia de um Sistema Físico Linear
No exemplo em questão, como em geral, as duas parcelas do lado direito da equação (1.7) são
estudadas separadamente. A primeira parcela é denominada Resposta Transiente, pois depende apenas
das condições iniciais do sistema e tende a zero com o passar do tempo t, e a segunda parcela é dita
Resposta Permanente, pois é a resposta do sistema a fonte f(t) e permanece atuando enquanto a fonte
estiver ligada.
Observação 2: A inversão da transformada de Laplace das duas funções racionais que
aparecem na equação (1.7) pode ser feita pelo teorema de Heaviside ou por completamento de
quadrados. O método a ser adotado é escolhido pelo tipo das raízes do polinômio β+α+= ss)s(Q 2 .
Assim, se Q(s) possui duas raízes reais distintas, 1α e 2α , usamos o teorema de Heaviside, resultando:
)t(feeeB)(AeB)(A)t(y
21
tt
t
12
2t
21
1 2121 ∗
α−α
−
+
α−α
+α−α
+
α−α
+α−α
=
αα
αα . (1.8)
y(t)f(t)
Sistema
Linear
Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais
3
Por outro lado, se Q(s) possui duas raízes reais repetidas 1α , usamos o completamento de
quadrados, resultando que:
y(t) = ℒ +
�
�
�
�
�
�
�
�
α−
α+α++α−
−
2
1
111
)s(
)(ABA)s( ℒ
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅
α−
− )s(F
)s(
1
2
1
1 , (1.9)
ou seja,
[ ] )t(fetetB)(AeA)t(y tt1t 111 ∗++α+α+= ααα . (1.10)
Por último, se Q(s) possui duas raízes complexas conjugadas, devemos usar também o
completamento de quadrados, obtendo-se que:
y(t) = ℒ
( )
( ) +
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
� α
−β+α+
α++α+
−
42s
A2BA2s
22
1 ℒ ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅
�
�
	
�
� α
−β+α+
− )s(F
42s
1
22
1 , (1.11)
onde 04
22 >α−β=λ , pois Q(s) tem raízes complexas. Então,
)t(f)tsen(e)tsen(
2
AB)tcos(Ae)t(y 2/t2/t ∗
λ
λ
+�
�
�
�
�
�
λ
λ
�
�
	
�
� α
++λ= α−α− . (1.12)
Devemos observar que α > 0 é uma constante de amortecimento da solução harmônica y(t) e que λ é a
freqüência desta harmônica. Os resultados obtidos nas equações (1.8), (1.10) e (1.12) podem ser
obtidos com certa facilidade e ficam como exercício.
Exemplo 1: Resolva o seguinte problema diferencial: ( )
( )��
�
�
�
−=′
=
=+′′
20y
10y
t)t(y)t(y
.
Aplicando a transformada de Laplace na EDO acima, obtemos, de forma semelhante a Eq.
(1.6), que:
( ) 1s 31s ss11s 1s11s 2s1ss 11s 2s)s(Y 222222222 +−++=�������� +−++−=+++−= , (1.13)
sendo que na equação acima foi aplicada a decomposição em frações parciais. Assim:
y(t) = ℒ )tsen(3)tcos(t
1s
3
1s
s
s
1
222
1
−+=�
�
�
�
�
�
+
−
+
+− . (1.14)
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4
Para mais exemplos resolvidos, vide Theory and Problems of Laplace Transforms, Schaum's
Outlines, Murray R. Spiegel, pag. 82.
Da mesma forma, a transformada de Laplace pode ser utilizada na resolução de problemas de
contorno. Por exemplo, seja a equação diferencial linear
( )t2cos)t(y9)t(y =+′′ , (1.15)
sujeita as condições de contorno
y(0) = 1 (1.16)
e
( ) 12y −=π . (1.17)
Aplicando a transformada de Laplace na EDO (1.15), obtemos, após algumas operações
algébricas, que:
( )( )9s4s s9s )0(ys)s(Y 222 ++++′+= , (1.18)
pois y'(0) não é conhecido. Aplicando a decomposição em frações parciais na segunda parcela do lado
direito da Eq. (1.18), ou seja, fazendo
( )( ) 9s DCs4s BAs9s4s s 2222 +++++=++ (1.19)
e calculando a transformada inversa de Y(s), resulta que:
)t2cos(
5
1)t3sen(
3
)0(y)t3cos(
5
4)t(y +
′
+= . (1.20)
A incógnita y'(0) na Eq. (1.20) é obtida calculando-se esta equação em t = π/2 e usando-se a
condição de contorno (1.17), a qual ainda não tinha sido usada no processo de resolução. Assim,
obtemos que 5
12)0(y =′ , ou seja, que
)t2cos(
5
1)t3sen(
5
4)t3cos(
5
4)t(y ++= . (1.21)
Finalizando, a transformada de Laplace também pode ser utilizada na resolução de sistemas
de equações diferenciais, a qual consiste na mais poderosa aplicação desta ferramenta. Para tanto,
vejamos o seguinte exemplo.
Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais
5
Exemplo 2: Resolva o sistema de equações diferenciais lineares 
�
�
�
−=′
−=′
)t(x2)t(y)t(y
)t(y3)t(x2)t(x
,
sujeito as condições iniciais x(0) = 8 e y(0) = 3.
Aplicando a transformada de Laplace na variável t do sistema de EDO acima, considerando
que ℒ ( ){ } )s(Xtx = e ℒ ( ){ } )s(Yty = , resulta que:
( )
( )��
	
=−+
=+−
3)s(Y1s)s(X2
8)s(Y3)s(X2s
 . (1.22)
Resolvendo simultaneamente as equações acima, usando o Método de Cramer, temos:
( )( ) 4s
3
1s
5
4s1s
17s8
4s3s
17s8
1s2
32s
1s3
38
)s(X 2
−
+
+
=
−+
−
=
−−
−
=
−
−
−
= (1.23)
e
( )( ) 4s
2
1s
5
4s1s
22s3
4s3s
22s3
1s2
32s
32
82s
)s(Y 2
−
−
+
=
−+
−
=
−−
−
=
−
−
−
= , (1.24)
onde foi utilizado o teorema de Heaviside. Assim, aplicando a transformada inversa de Laplace,
obtemos que t4t e3e5)t(x += − e t4t e2e5)t(y −= − .
2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS FÍSICOS:
APLICAÇÃO À CIRCUITOS ELÉTRICOS:
Seja um simples circuito RCL, como no desenho abaixo (figura 2.1), onde vemos uma
resistência R (em ohms), uma indutância L (em henrys), uma capacitância C (em farads) e um gerador
ou bateria, fornecendo uma força eletromotriz E(t). Quando a chave K é fechada, ou seja, o circuito é
fechado, uma carga q(t) (em coulombs) fluirá nas placas do capacitor, gerado uma corrente
)t(
dt
dq)t(I = (em amperes). O tempo t é medido em segundos. Devemos lembrar que podemos definir
a diferença de potencial no resistor, indutor, capacitor e gerador, respectivamente, por:
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6
)t(
dt
dqR)t(RIVR == , )t(
dt
qdL)t(
dt
dIL)t(V 2
2
L == , )t(qC
1)t(VC = e )t(E)t(VG −= .
Assim, pela lei de Kirchoff, temos que:
)t(E)t(q
C
1)t(
dt
dqR)t(
dt
qdL
2
2
=++ , (2.1)
ou
)t(
dt
dE)t(I
C
1)t(
dt
dIR)t(
dt
IdL
2
2
=++ . (2.2)
Através do uso da transformada de Laplace, podemos resolver as equações diferenciais acima,
sujeitas a condições iniciais do tipo carga e corrente conhecidas em t = 0.
Figura 2.1: Um circuito elétrico RCL.
Exemplo 1: Um indutor de 2 henrys, um resistor de 16 ohms e um capacitor de 0.02 farads
estão conectados em série à uma força eletromotriz de E(t) volts. Em t = 0, a carga sobre o capacitor e
a corrente no circuito são nulas. Encontre a carga e a corrente num tempo t > 0 qualquer, se: (a) E(t) =
300 V; (b) E(t) = 100 sen(3t) V.
Sejam q(t) e I(t) a carga e a corrente, respectivamente, no circuito, num dado tempo t. Assim,
pela lei de Kirchoff, temos a seguinte EDO,
)t(E)t(q
02,0
1)t(I16)t(
dt
dI2 =++ , (2.3)
sujeita as condições iniciais:
( ) 00q = (2.4)
e
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7
( ) ( ) 00q0I =′= . (2.5)
Usando a transformada de Laplace, onde Q(s) = ℒ{q(t)} e F(s) = ℒ{E(t)}, temos que:
( ) ( )( ) ( ) )s(F
2
1)s(Q25)0(q)s(sQ80q0sq)s(Qs2 =+−+′−− . (2.6)
Usando as condições iniciais (2.4) e (2.5), isolando Q(s) e aplicando a transformada inversa
de Laplace, obtemos que:
2
1)t(q = ℒ
�
�
�
�
�
�
++ 25s8s
F(s)
2
1- . (2.7)
Vamos, então, calcular q(t) e I(t) em cada uma das alternativas para E(t):
a) Para E(t) = 300V, resolveremos a Eq. (2.7) usando a decomposição em frações parciais e o
completamento de quadrados, ou seja,
q(t) = 150 ℒ 150
)25s8s(s
1
2
1-
=
��
�
�
�
��
�
�
�
++
 ℒ 6
94)(s
C)4s(B
s
A
2
1-
=
��
�
�
�
��
�
�
�
++
++
+ ℒ =
��
�
�
�
��
�
�
�
++
++
−
94)(s
4)4s(
s
1
2
1-
[ ])t3sen(8)t3cos(6e6 t4 +−= − . (2.8)
E,
( ) )t3sen(e50)t(
dt
dqtI t4−== . (2.9)
b) Agora, se )t3sen(100)t(E = V, também resolveremos a Eq. (2.7) usando a decomposição em
frações parciais e o completamento de quadrados, ou seja,
q(t) = 150 ℒ 150
)25s89)(s(s
1
22
1-
=
��
�
�
�
��
�
�
�
+++
 ℒ
��
�
�
�
��
�
�
�
++
++
+
+
+
94)(s
D)4s(C
9s
BAs
22
1-
52
75
= ℒ [ ] [ ]{ }1e)t3cos(31e)t3sen(2
52
25
94)(s
2)4s(
9s
2s- t4t4
22
1-
−++=
��
�
�
�
��
�
�
�
++
++
+
+
+
−− . (2.10)
Derivando q(t), obtemos I(t), ou seja,
( ) [ ] [ ])t3cos(6)t3sen(17e
52
25)t3sen(3)t3cos(2
52
75tI t4 +−+= − . (2.11)
Para mais exemplos e exercícios, vide Theory and Problems of Laplace Transforms, Schaum's
Outlines, Murray R. Spiegel, pags. 92 e 106.
Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais
8
APLICAÇÃO À MECÂNICA:
Vamos considerar uma mola comum resistente a compressão e a
extensão. Vamos supor que esta mola está suspensa verticalmente, que
sua extremidade superior está presa em um suporte fixo e que na sua
extremidade inferior está fixado um corpo de massa m muito maior que a
massa da mola, a ponto da massa da mola poder ser desprezada (vide
figura 2.2 abaixo). Puxando esta massa m verticalmente para baixo uma
certa distância e, então, soltando-a, este corpo passará a se movimentar.
Sabemos, pela segunda lei de Newton, que a resultante das
forças que atuam sobre um corpo é igual a Força de Inércia, ou seja, o
produto da massa pela aceleração deste corpo. Analisemos as forças que
atuam sobre este corpo de massa m:
Figura 2.2: Um sistema
massa-mola-amortecedor
1) Força da gravidade: g.mF1 = , onde g é a aceleração da gravidade.
2) Força da mola: É a força exercida pela mola quando deformada. Esta força é proporcional a
deformação (quando mais rígida a mola, maior a constante de proporcionalidade k). Quando o corpo
está em repouso (posição de equilíbrio), esta mola tem uma alongamento 0s devido a força da
gravidade que atua sobre o corpo. Esta força age no sentido para cima, contrário à 1F e é igual em
módulo à g.mks0 = .
Chamamos de x(t) o deslocamento instantâneo da massa m num tempo t a partir de sua
posição de equilíbrio, com sentido positivo voltado para baixo. Assim, pela lei de Hooke, a força da
mola correspondente a um deslocamento x(t) é a resultante da força da mola na posição de equilíbrio e
a força causada pelo deslocamento, ou ( )tkxksF 02 −−= .
Assim a força que atua sobre o sistema é dada por:
( ) ( ) ( )tkxtkxmgmgtkxksmgFFF 021 −=−−=−−=+= . (2.12)
Logo, se o amortecimento do sistema é tão pequeno que pode ser desprezado, segue que
)t(kx− é a resultante de todas as forças que agem sobre o corpo. Assim, de acordo com a lei de
Newton: "Força é igual a massa vezes a aceleração", temos que:
0)t(xk)t(xmou)t(xk)t(
dt
xdm 2
2
=+′′−= . (2.13)
Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais
9
3) Força de Amortecimento: Se levarmos em conta o amortecimento viscoso do sistema, temos ainda
no somatório das forças que atuam sobre o corpo uma força de amortecimento que possui sentido
contrário ao movimento, e que supomos proporcional a velocidade do corpo. Para pequenas
velocidades, esta hipótese constitui em uma boa aproximação. Assim a força de amortecimento é da
forma )t(xF3 ′β= .
Logo, a equação do movimento da mola pode ser escrita como:
0)t(xk)t(x)t(xmou)t(
td
dx)t(kx)t(
td
xdm 2
2
=+′β+′′β−−= , (2.14)
onde a constante de proporcionalidade β é chamada de constante de amortecimento.
Podemos, ainda, ter uma força externa dependente de t, denotada aqui por f(t), atuando sobre
o sistema. Neste caso, temos que
)t(f)t(xk)t(x)t(xmou)t(f)t(
td
dx)t(kx)t(
td
xdm 2
2
=+′β+′′+β−−= . (2.15)
Através do uso da transformada de Laplace, podemos resolver as equações diferenciais acima,
sujeitas a vários tipos de condições iniciais, que são de interesse físico. Por exemplo,
Exemplo 2: Sabe-se que um peso de 5 kg estica uma mola de 1/12 m. O amortecimento
exerce uma força de 0.02 kg para uma velocidade de 1/6 m/s. Um peso de 613,125 g é ligado à mola e
solto de uma posição 1/6 m abaixo da posição de equilíbrio. Determine a posição deste corpo, em
relação à posição de equilíbrio, em um dado instante t.
Pelo que vimos acima, a massa do corpo será de:
m
s.kg
16
1
s/m81.9
kg613125.0
g
Pm
2
2 === (2.16)
e as constantes da mola e de amortecimento assumirão os valores:
m
kg60
m
kg5
s
Pk
12
10
=== (2.17)
e
m
s.kg12.0
s/m
kg02.0
Velocidade
Força
6
1 ===β . (2.18)
Consequentemente, pela fórmula (2.14), temos que
Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais
10
0)t(x60)t(x12.0)t(x
16
1
=+′+′′ , (2.19)
onde x é medido em metros e t em segundos. As condições iniciais são 61)0(x = e 0)0(x =′ . A
equação (2.19) será resolvida usando a transformada de Laplace na variável t. Assim,
[ ] [ ] 0)s(X60)0(x)s(sX12.0)0(x)0(xs)s(Xs
16
1 2
=+−+′−− (2.20)
ou, multiplicando a Eq. (2.20) por 16 e usando as condições iniciais,
960s92.1s
92.1s
6
1)s(X0)s(X960
6
1)s(sX92.1
6
s)s(Xs 2
2
++
+
=�=+��
�
��
�
−+��
�
��
�
− . (2.21)
Finalmente, x(t) é reconstruído utilizando-se a transformada inversa de Laplace e a técnica do
completamento de quadrados, ou seja,
6
1)t(x = ℒ ( )( ) ��
�
��
�
+≅
�
�
�
�
�
�
�
�
++
++ −
− )t97.30sen(
97.30
96.0)t97.30cos(
6
e
0784.95996.0s
96.096.0s t96.0
2
1 . (2.22)
O mesmo raciocínio é aplicado à molas com deslocamento horizontal. Para exemplos desta
situação, vide Theory and Problems of Laplace Transforms, Schaum's Outlines, Murray R. Spiegel,
pag. 88. A transformada de Laplace também pode ser aplicada a problemas de vibrações (osciladores
harmônicos), de vigas (problemas de contorno), de difusão (equações diferenciais parciais) e
problemas de transporte (equações integro-diferenciais), entre outros. Para exemplos destes problemas,
vide Theory and Problems of Laplace Transforms, Schaum's Outlines, Murray R. Spiegel, capítulos 3 e
8, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, William E. Boyce e
Richard C. Diprima, seções 3.7 - 3.8 e capítulo 10, ou ainda a tese de doutorado de Augusto V.
Cardona, pelo PROMEC - UFRGS, intitulada "MétodoGenérico de Solução Analítica para
Aproximações da Equação Linear de Transporte", Porto Alegre (1996).
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM COEFICIENTES
VARIÁVEIS:
A Transformada de Laplace também pode ser usada para resolver algumas EDOs com
coeficientes variáveis. Num caso particular, o método se mostra bastante útil quando os termos da
Cálculo Avançado A - Equações Diferenciais
11
EDO tem o formato ( )( )tyt nm , com m e n naturais, cuja transformada de Laplace é dada por
( ) [ ])0(y)0(sy)0(ys)s(Ys
ds
d1 )1n()2n(1nnm
m
m −−−
−−−−− � . Vejamos um exemplo:
Exemplo 1: Resolva o seguinte problema diferencial: ( )
( )��
�
�
�
=π
=
=+′+′′
0y
10y
0)t(ty)t(y2)t(yt
.
Aplicando a transformada de Laplace na equação acima, obtemos que:
[ ] [ ] 0)s(Y
ds
d)0(y)s(sY2)0(y)0(sy)s(Ys
ds
d 2
=−−+′−−− , (3.1)
ou, usando a condição y(0) = 1 e considerando que y'(0) é constante,
1s
1)s(Y01)s(Y)1s(0)s(Y2)s(sY21)s(sY2)s(Ys 2
22
+
−=′�=−′+−�=′−−++−′− . (3.2)
Integrando a última igualdade da Eq. (3.2) em relação à variável s, obtemos que:
�
�
�
�
�
�
=−
π
=−=
s
1arctg)s(arctg
2
)s(arctgA)s(Y , (3.3)
pois, pela propriedade 11, seção 4, da transformada de Laplace, 0)s(Ylim
s
=
+∞→
 e, então, 
2
A π= .
Assim, aplicando a transformada inversa de Laplace e usando o exemplo 18, seção 4 do capítulo V,
reconstruímos a solução y(t), dada por:
t
)tsen()t(y = . (3.4)
Devemos observar que esta solução satisfaz a condição de contorno 0)(y =π , ainda não usada.
Para mais exemplos, vide Theory and Problems of Laplace Transforms, Schaum's Outlines,
Murray R. Spiegel, capítulo 3.
	1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM COEFICIENTES CONSTANTES:
	2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS FÍSICOS:
	APLICAÇÃO À CIRCUITOS ELÉTRICOS:
	APLICAÇÃO À MECÂNICA:
	3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM COEFICIENTES VARIÁVEIS: