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Prof. Ricardo Matos Chaim
2
Modelo Geral de GC
Preço-Demanda
Custo-Volume
Leis e Princípios 
Econômicos
Matemática
Financeira
Ambiente 
Econômico
Principios Métodos
Engenharia Econômica
Conhecimentos inter e multidisciplinares 
Cenários
Complexos
Prospectivos
Probabilidade 
e
Estatística
Fundamentos = genericos 
Valor do dinheiro no
Tempo
Gerenciamento de 
Riscos e Incertezas
Projetos e Análise 
de Investimentos
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- MÉTODOS DETERMINÍSTICOS
- VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
- TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
- PAYBACK
- ENGENHARIA DE VALOR
- MÉTODOS NÃO DETERMINÍSTICOS
- ENFOQUE SOB ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
- TEORIA DOS JOGOS
- SIMULAÇÃO DE MONTE-CARLO
- ÁRVORES DE DECISÃO
Engenharia Econômica
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Incertezas
e
Imprecisão
Fonte: Shimizu, 2006
Modelo Racional Modelo Político
Modelo Processual Modelo Ambíguo
Regras e rotinas bem 
estruturadas
Objetivos múltiplos e c
onflito de interesse
(NEGOCIAÇÃO)
Múltiplos cenários, objetivos e 
alternativas. Processo semi-
estruturado orientado a objeto
Problema anárquico impreciso (Fuzzy) 
Mal formulado
Heurísticas e meta-heurísticas
Planejamento da cadeia de 
suprimentos
Competidores; Conflito de interesses;
Portfólio de ações; Problemas de TI
Programação da produção; 
Controle de estoque;
Orçamento;
Financiamentos;Prêmios; 
Fusão/Aquisição; Nova filial
Eleições
Conflito de objetivos e ambiguidade
Avaliação de investimento
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• Determinístico dado de entrada é 
perfeitamente conhecido.
• Probabilístico não se tem certeza 
dos dados de entrada, exemplo:
– análise baseada em previsão de vendas;
– estimativa do custo de manutenção de 
equipamento em função da probabilidade 
de quebra. 
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Avaliação de investimento
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Tempo
Valor

 + 
 - 
0
Valor -   + 

Probabilidade
P()
0
Risco
Incerteza
Incerteza x Risco
` Prof. Ricardo Matos ChaimProf. Ricardo Matos Chaim
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
• Incerteza
Quando nada ou pouco 
se conhece sobre os 
dados de entrada. 
A análise acontece sob 
condições de incerteza.
• Risco
Quando se conhece 
as distribuições de 
probabilidade das 
parcelas é possível 
analisar o problema 
de forma bastante 
segura.
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Incerteza x Risco
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SIM !!!
NÃO !!!
Existem dados históricos e/ou informações 
passadas suficientes para quantificar a 
probabilidade de ocorrência de um evento futuro?
INCERTEZA
RISCO
Incerteza x Risco
` Prof. Ricardo Matos ChaimProf. Ricardo Matos Chaim
Incerteza
` Prof. Ricardo Matos ChaimProf. Ricardo Matos Chaim
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
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Análise sob condições de Incerteza
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
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Análise sob condições de Incerteza
Prof. Ricardo Matos Chaim
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
12
Análise sob condições de Incerteza
Prof. Ricardo Matos Chaim
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
13
Análise sob condições de Incerteza
Prof. Ricardo Matos Chaim
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
14
Análise sob condições de Incerteza
A melhor opção será B
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
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Análise sob condições de Incerteza
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
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Análise sob condições de Incerteza
A melhor opção será A
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
17
Análise sob condições de Incerteza
Prof. Ricardo Matos Chaim
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
18
A melhor 
opção será 
B
Análise sob condições de Incerteza
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E(A) =
E(B) =
E(C) =
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
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Análise sob condições de Incerteza
Prof. Ricardo Matos Chaim
E(A) =
E(B) =
E(C) =
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
20
A melhor opção será C
Análise sob condições de Incerteza
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
21
? ? ?
Análise sob condições de Incerteza
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
22
? ?
Análise sob condições de Incerteza
Prof. Ricardo Matos Chaim
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
23
?
Análise sob condições de Incerteza
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
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A melhor 
opção será 
A
O menor arrependimento
Análise sob condições de Incerteza
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INCERTEZA – exercício.
Ex. 01 – Você deseja assistir o jogo entre Brasil e 
Argentina, porém ainda não sabe se assiste ao 
jogo no estádio, pela TV ou pelo rádio. Para o 
resultado do jogo, foram arbitrados três 
possíveis resultados. Logo, para esse exemplo, 
o evento incerto é o jogo, tendo em vista que 
não é conhecido seu resultado, e as 
possibilidades são os possíveis resultados.
http://www.bibl.ita.br/xencita/Artigos/63.pdf
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Análise sob condições de Incerteza
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Exercício 01
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• Tabela com índice de satisfação
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 1000 -100 -500
TV 600 0 100
RÁDIO -500 -100 200
Aplique as 5 regras de decisão para a matriz de decisão 
dada acima e avalie qual a melhor opção para assistir o 
jogo sabendo que você é uma pessoa 65% otimista.
http://www.bibl.ita.br/xencita/Artigos/63.pdf
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Maximin 
VITÓRIA EMPATE DERROTA menores
ESTÁDIO 1000 -100 -500 -500
TV 600 0 100 0
RÁDIO -500 -100 200 -500
27
Maximax
VITÓRIA EMPATE DERROTA maiores
ESTÁDIO 1000 -100 -500 1000
TV 600 0 100 600
RÁDIO -500 -100 200 200
Exercício 01
Prof. Ricardo Matos Chaim
Maximin 
VITÓRIA EMPATE DERROTA menores
ESTÁDIO 1000 -100 -500 -500
TV 600 0 100 0
RÁDIO -500 -100 200 -500
28
Maximax
VITÓRIA EMPATE DERROTA maiores
ESTÁDIO 1000 -100 -500 1000
TV 600 0 100 600
RÁDIO -500 -100 200 200
Exercício 01
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Regra de Hurwicz
VITÓRIA EMPATE DERROTA Hurwicz
ESTÁDIO 1000 -100 -500 = 1000.(0,65) + (-500).0,35
TV 600 0 100 = 600.(0,65) + (0).0,35
RÁDIO -500 -100 200 = 200.(0,65) + (-500).0,35
VITÓRIA EMPATE DERROTA Hurwicz
ESTÁDIO 1000 -100 -500
TV 600 0 100
RÁDIO -500 -100 5
29
Exercício 01
Prof. Ricardo Matos Chaim
Regra de Hurwicz
VITÓRIA EMPATE DERROTA Hurwicz
ESTÁDIO 1000 -100 -500 475
TV 600 0 100 390
RÁDIO -500 -100 5 -45
30
Exercício 01
VITÓRIA EMPATE DERROTA Hurwicz
ESTÁDIO 1000 -100 -500 = 1000.(0,65) + (-500).0,35
TV 600 0 100 = 600.(0,65) + (0).0,35
RÁDIO -500 -100 200 = 200.(0,65) + (-500).0,35
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Regra de Hurwicz
VITÓRIA EMPATE DERROTA Hurwicz
ESTÁDIO 1000 -100 -500 475
TV 600 0 100 390
RÁDIO -500 -100 5 -255
31
Exercício 01
VITÓRIA EMPATE DERROTA Hurwicz
ESTÁDIO 1000 -100 -500 = 1000.(0,65) + (-500).0,35
TV 600 0 100 = 600.(0,65) + (0).0,35
RÁDIO -500 -100 200 = 200.(0,65) + (-500).0,35
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Laplace 
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Exercício 01
     
3
500.1
3
100.1
3
1000.1
)(



ESTÁDIOE
     
3
100.1
3
0.1
3
600.1
)( TVE
     
3
200.1
3
100.1
3
500.1
)( 



RÁDIOE
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Laplace 
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Exercício 01
     





3
500.1
3
100.1
3
1000.1
)(ESTÁDIOE
     

3
100.1
3
0.1
3
600.1
)(TVE
     





3
200.1
3
100.1
3
500.1
)(RÁDIOE
Prof. Ricardo Matos Chaim
Laplace 
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Exercício 01
     





3
500.1
3
100.1
3
1000.1
)(ESTÁDIOE
     

3
100.1
3
0.1
3
600.1
)(TVE
     





3
200.1
3
100.1
3500.1
)(RÁDIOE
133,33
233,33
- 133,33
Prof. Ricardo Matos Chaim
Laplace 
35
Exercício 01
     





3
500.1
3
100.1
3
1000.1
)(ESTÁDIOE
     

3
100.1
3
0.1
3
600.1
)(TVE
     





3
200.1
3
100.1
3
500.1
)(RÁDIOE
133,33
233,33
- 133,33
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
Se houver a VITÓRIA o arrependimento de ter ido ao estádio será “0”
36
Exercício 01
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 1000 -100 -500
TV 600 0 100
RÁDIO -500 -100 200
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 0
TV 0
RÁDIO 0
Se houver o EMPATE o arrependimento de ter ido ao estádio será “0”
Se houver a DERROTA o arrependimento de ter ido ao estádio será “0”
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
37
Exercício 01
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 1000 -100 -500
TV 600 0 100
RÁDIO -500 -100 200
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 0 0 - (-100) 200 – (-500)
TV 1000-600 0 200 - 100
RÁDIO 1000-(-500) 0 - (-100) 0
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
38
Exercício 01
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 1000 -100 -500
TV 600 0 100
RÁDIO -500 -100 200
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 0 100 700
TV 400 0 100
RÁDIO 1500 100 0
Piores 
casos
700
400
1500
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Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
39
Exercício 01
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 1000 -100 -500
TV 600 0 100
RÁDIO -500 -100 200
VITÓRIA EMPATE DERROTA
ESTÁDIO 0 100 700
TV 400 0 100
RÁDIO 1500 100 0
Piores 
casos
700
400
1500
A melhor 
opção será 
B
O menor arrependimento
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Resposta
As regras de Laplace e Savage são mais elaboradas que a regra de maximax e até 
mesmo que a de Hurwicz que pondera o otimismo. A melhor opção é assistir ao 
jogo pela TV.
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Maximin TV
Maximax estádio
Hurwicz estádio
Laplace TV
Savage (arrependimento) TV
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Ex. 02: 
Brasil e Argentina. Otimismo de 75%. 
41
Resultado GOLEADA
VITÓRIA 
SIMPLES
EMPATE
DERROTA 
SIMPLES
SER 
GOLEADO
ESTÁDIO 1500 1000 -100 -500 -1000
TV 800 600 0 -100 -300
RÁDIO -500 -300 100 200 500
http://www.bibl.ita.br/xencita/Artigos/63.pdf
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Suponhamos que um feirante que trabalha com melões, compra-os por 2UM e revende-os por 4UM. 
Estes melões são comprados no sábado e revendidos na feira de domingo. O feirante só pode comprar 
quantidades fixas de 50 ou 100 ou 150 unidades. Ele desconhece a demanda, então pede-se analisar as 
possibilidades dele vender 50, 100 e/ou 150 melões. Aplique as 5 regras de matriz de decisão e determine qual é 
a melhor opção para o feirante, após construir a tabela (ou matriz) com os “estados da natureza” do problema. 
42
Alternativas Vender 50 melões
Vender 100 
melões
Vender 150
melões
Comprar 50 melões
-(UM 2).50 + (UM 4).50 ?
?
Comprar 100 melões
-200 +200
? ?
Comprar 150 melões ? ? ?
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
Ex. 03: 
Feirante de melões. Otimismo de 45%
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Matriz de decisão resultante
43
Alternativas
Vender 50 
melões
Vender 100 
melões
Vender 150
melões
Comprar 50 melões
A 100 100 100
Comprar 100 melões
B 0 200 200
Comprar 150 melões
C -100 100 300
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
Exercício 03
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http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
REGRAS RESULTADO EXPLICAÇÃO
Maximin A
A alternativa escolhida é a de compra de 50 melões de cada 
vez. O critério envolve um comportamento pessimista ou, 
pelo menos bastante conservador.
Maximax C
A melhor alternativa é agora a opção de comprar 150 
melões, conduzindo ao máximo lucro possível. Esse método 
é claramente a maneira de pensar otimista, que encara o 
futuro como totalmente favorável a seus planos. 
Hurwicz A
Com o grau de otimismo de 45% a melhor opção é A, ou 
seja, comprar 50 melões .
Laplace B
A melhor alternativa é aquela com a maior VEA (VALOR 
ESPERADO DA ALTERNATIVA) , ou seja, a alternativa de se 
comprar 100 melões.
Savage (arrependimento) B
A melhor alternativa é a que apresenta o menor 
arrependimento entre os piores resultados.
Exercício 03
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Maximin
45
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
Exercício 03
MAXIMIN 
Alternativas
Vender 50 
melões
Vender 100 
melões
Vender 150
melões
MELHORES
Comprar 50 melões
A 100 100 100 100
Comprar 100 melões
B 0 200 200 0
Comprar 150 melões
C -100 100 300 -100
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Maximax
46
Alternativas
Vender 50 
melões
Vender 100 
melões
Vender 150
melões
MELHORES
Comprar 50 melões
A 100 100 100 100
Comprar 100 melões
B 0 200 200 200
Comprar 150 melões
C -100 100 300 300
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
Exercício 03
MAXIMAX 
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Regra de Hurwicz
47
Exercício 01
Alternativas
Vender
50 
melões
Vender 
100 
melões
Vender 
150
melões
Hurwicz
Comprar 50 melões
A 100 100 100
= 100.(0,45) + (100).0,55 = 100
Comprar 100 melões
B 0 200 200
= 200.(0,45) + (0).0,55 = 90
Comprar 150 melões
C -100 100 300
= 300.(0,45) + (-100).0,55 = 80
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
Prof. Ricardo Matos Chaim
Prof. Ricardo Matos Chaim
Regra de Hurwicz
48
Exercício 01
Alternativas
Vender
50 
melões
Vender 
100 
melões
Vender 
150
melões
Hurwicz
Comprar 50 melões
A 100 100 100
= 100.(0,45) + (100).0,55 = 100
Comprar 100 melões
B 0 200 200
= 200.(0,45) + (0).0,55 = 90
Comprar 150 melões
C -100 100 300
= 300.(0,45) + (-100).0,55 = 80
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
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Laplace
49
Exercício 03
     

3
100.1
3
100.1
3
100.1
A
     

3
200.1
3
200.1
3
0.1
B
     



3
300.1
3
100.1
3
100.1
C
100
133,33
100
Prof. Ricardo Matos Chaim
Laplace
50
Exercício 03
     

3
100.1
3
100.1
3
100.1
A
     

3
200.1
3
200.1
3
0.1
B
     



3
300.1
3
100.1
3
100.1
C
100
133,33
100
Prof. Ricardo Matos Chaim
Savage: matriz de arrependimento.
51
Alternativas Vender 50 
melões
Vender 100 
melões
Vender 150
melões
Comprar 50 melões 0 100 200
Comprar 100 melões 100 0 100
Comprar 150 melões 200 100 0
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
Piores
casos
200
100
200
Exercício 03
Prof. Ricardo Matos Chaim
Savage: matriz de arrependimento.
52
Alternativas Vender 50 
melões
Vender 100 
melões
Vender 150
melões
Comprar 50 melões 0 100 200
Comprar 100 melões 100 0 100
Comprar 150 melões 200 100 0
http://phpmetar.incubadora.fapesp.br/portal/Faculdade/Pesquisa%20Operacional/PO18-0~1.pdf
Piores
casos
200
100
200
Exercício 03
Prof. Ricardo Matos Chaim
53
• Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas. 
• Mais um enfoque do que uma técnica.
• Mede o efeito produzido, p.ex., na rentabilidade do investimento, ao 
variar os dados de entrada.
• Varia-se cada parâmetro estabelecendo: valor mais provável, limite 
inferior e superior da variação.
• Calcula-se VPL, TIR e outros para que se tenha a idéia da sensibilidade 
do parâmetro em questão.
http://www.iepg.unifei.edu.br/edson/download/Engecon2/CAP3EE2incertezaapost.pdf
54
Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa 
para manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A 
revisão de vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por 
garrafa. Os custos fixos serão de US$ 20.000,00por mês e os custos variáveis de 
US$ 4,00 por garrafa. Ao final de três meses a empresa venderá a linha por US$ 
30.000,00. Analise a TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros 
nesta previsão. A TMA da empresa é de 10% ao mês. 
55
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
56
SOLUÇÃO:
a) Sob a previsão de vendas original:
Investimento =
Receita mensal =
Custos variáveis =
Custos fixos =
Valor residual =
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
57
SOLUÇÃO:
a) Sob a previsão de vendas original:
Investimento = 100.000
Receita mensal = 10.000 x 10 = US$ 100.000,00 / mês
Custos variáveis = 10.000 x 4 = US$ 40.000,00 / mês
Custos fixos = US$ 20.000,00
Valor residual = US$ 30.000,00
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
58
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
59
RESPOSTA TIR = 20,94 % ao mês
Pela TIR para esta situação pode-se concluir que o projeto é viável.
Análise de investimentos: Nelson C. Filho e Bruno H. Kopittke
60
b) admitindo-se variações negativas nas vendas:
61
62
Construir o gráfico (TIR) x (quantidade de garrafas) e verificar o ponto 
em que a TMA cruza a nova curva.
O ponto deste cruzamento é chamado de ponto de equilíbrio (break even point), 
que é o número mínimo que o fabricante tem que produzir para não ter prejuízo.
63
-5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
TI
R
 
Volume de vendas (garrafas/mês)
64
-5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
TI
R
 
Volume de vendas (garrafas/mês)
TMA
65
-5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
TI
R
 
Volume de vendas (garrafas/mês)
TMA
66
-5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
TI
R
 
Volume de vendas (garrafas/mês)
TMA
Pelo gráfico é possível visualizar a situação da rentabilidade do projeto em função do volume
de vendas realizadas pela empresa. É necessário que pelo menos 8500 garrafas sejam
vendidas para que o projeto não de prejuízo.
67
-5,00%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
TI
R
 
Volume de vendas (garrafas/mês)
TMA
Garrafas TIR (%)
9000 13,56
X 10
8000 6,02
8500
02,656,13
56,1310
80009000
9000






x
x
Exercício: Henrique Hirschfeld, pág 386, eng. econ. e análise de custo.
68
1 2 3 10
60.000
80.000
5.000200.000
Dado que TMA é 15% VARIAR em ± 10%, ± 20%, ± 50%:
• Receitas anuais
• Custos operacionais anuais
• Vida de serviço 
• Valor residual
• TIR
69
Está sendo analisada a compra de uma máquina com custo inicial de 
65000UM. A vida econômica da máquina é de 4 anos. A empresa calcula que a 
demanda seja de 70 mil unidades a um preço de 1UM. Os custos variáveis são 
formados por custos de custos de mão de obra de UM 0,2/unid, custos de 
materiais a UM 0,3/unid e demais custos a UM 0,1/unid. A TMA da empresa é
de 20% a.a. Calcule: a) o valor presente líquido do investimento; b) a demanda 
crítica para a qual o valor presente é zero, isto é, o ponto de equilíbrio do 
investimento.
Resposta: a) UM7485 e b) 62772 unid.
Exercício desafio:
Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A instalação deste novo 
gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em investimento fixo. Estima-se uma vida 
econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar com um volume de gás para 
comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este gás um preço de US$0,90 por milhão de Btu. A 
empresa espera comercializar este gás a um valor de US$2,70 por milhão de Btu. O poder calorífico do gás 
é de 36785,43 (Btu/m3). A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de 
manutenção de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas. O valor dos 
equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de US$200.000.000,00. A empresa tem 
um custo de capital de 15% ao ano. Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões: 
70
http://www.iepg.unifei.edu.br/edson/download/Engecon2/CAP3EE2incertezaapost.pdf
71
VIABILIDADE FINANCEIRA
TESTE Z
Alunos: trazer tabela Z
z
z
http://www.science.mcmaster.ca/ps
ychology/poole/z-table2.jpg
Qual a área sob a curva normal padrão que se encontra entre z=1 e z=-1
P(-1≤ z ≤+1) = [P(Z< 1) + P(Z > -1)] = [0,34134 + 0,34134]
P(-1≤ z ≤+1) = 0,6827 = 68,27%
Tabela: 
A área da direita de zero até z = +1 resulta em: a probabilidade de z < 1, ou seja, 
P(z<1) = 0,34134
A área da esquerda de zero até z = -1 resulta em: a probabilidade de z < 1, ou seja, 
P(z> -1) = 0,34134
Entendendo a tabela e os resultados



X
z
Utilizando a fórmula para transformar de X para z
Estando a mais de 120 km/h a 
infração corresponde a 7 pontos 
na carteira, qual a porcentagem 
de carros que receberam 
multas?
33,1
15
100120




 
X
z
)/(100 hkm
)/(15 hkm
Na tabela tem-se:?



X
z
Utilizando a fórmula para transformar de X para z
Estando a mais de 120 km/h a 
infração corresponde a 7 pontos 
na carteira, qual a quantidade 
de carros que receberam 
multas?
33,1
15
100120




 
X
z
)/(100 hkm
)/(15 hkm
40824,0)33,1( zP
Ou seja:
1,33



X
z
Utilizando a fórmula para transformar de X para z
Estando a mais de 120 km/h a 
infração corresponde a 7 pontos 
na carteira, qual a quantidade 
de carros que receberam 
multas?
33,1
15
100120




 
X
z
)/(100 hkm
)/(15 hkm
40824,0)33,1( zP
09176,040824,05,0)( multaP
Ou seja:



X
z
Utilizando a fórmula para transformar de X para z
Estando a mais de 120 km/h a 
infração corresponde a 7 pontos 
na carteira, qual a quantidade 
de carros que receberam 
multas?
33,1
15
100120




 
X
z
)/(100 hkm
)/(15 hkm
40824,0)33,1( zP
09176,040824,05,0)( multaP
Ou seja:
9,18%
Probabilidade de viabilidade de um empreendimento
)(
)(
VPL
VPLEX
z



nmK
n
n FPE .
1

Em = valores esperados (médios) relativo ás várias estimativas e respectivas 
probabilidades de ocorrência em cada período n.
Peck = probabilidade várias m estimativas de cada contribuição em cada período 
n.
Fim= valores várias m estimativas de cada contribuição em cada período n.
Valor esperado do VPL ??
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
(b503) Uma análise de um empreendimento forneceu o seguinte fluxo de caixa.
Investimento: Ano 0 = -1.650
Receita líquida: Ano 1 = +1.000
Receita líquida: Ano 2 = +1.150
Receita líquida: Ano 3 = +1.250
Analisando sob condições de risco, admitamos que se chegou ao seguinte quadro 
de avaliações das contribuições e respectivas possibilidades:
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
Probabilidade P01 = 0,10 P02 =0,10 P03 = 0,80
Ano 0 1900 1950 2000
Com as condições assumidas do risco:
- Verificar se o empreendimento é viável, em condições de risco
- Calcular a probabilidade de inviabilidade do empreendimento.
Para tanto, considerar a taxa mínima de atratividade igual a 10% a.a.
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000
Receitas líquidas
Investimento
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Investimento
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
Probabilidade P01 = 0,1 P02 =0,1 P03 = 0,8
Ano 0 1900 1950 2000
nmK
n
n FPE .
1

Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Investimento
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
E0 = [0,10 x (1.900)] + [0,10 x (1950)] + [0,8 x (2000)] = 1985
Cálculo do valor esperado do investimento E0:Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 E0
Ano 0 1900 1950 2000 1985
Probabilidade P01 = 0,1 P02 =0,1 P03 = 0,8
Ano 0 1900 1950 2000 nmK
n
n FPE .
1

Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 E1 = ?
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 E2 = ?
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 E3 = ?
nmK
n
n FPE .
1

Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 E1 = ?
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 E2 = ?
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 E3 = ?
E1 = [0,15 x 630] + [0,25 x 720] + [0,60 x 810] =
E2 = [0,15 x 720] + [0,25 x 830] + [0,60 x 900] =
E3 = [0,15 x 800] + [0,25 x 920] + [0,60 x 1.000] =
nmK
n
n FPE .
1

Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 760
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 855
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 950
E1 = [0,15 x 630] + [0,25 x 720] + [0,60 x 810] = 760
E2 = [0,15 x 720] + [0,25 x 830] + [0,60 x 900] = 855
E3 = [0,15 x 800] + [0,25 x 920] + [0,60 x 1.000] = 950
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 760
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 855
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 950
Probabilidade P01 = 0,1 P02 =0,1 P03 = 0,8 E0
Ano 0 1900 1950 2000 1985
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
)(
)(
VPL
VPLEX
z



Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
     321 10,01
950
10,01
855
10,01
760
1985





VPLE
127VPLE
)(
)(
VPL
VPLEX
z



     321 10,01
950
10,01
855
10,01
760
1985





VPLE
127VPLE
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
O investimento é viável, porque o 
valor de VPL é maior que zero:
VPL > 0
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
)(
)(
VPL
VPLEX
z



2
nn
 
Em = valores esperados (médios) relativo ás várias estimativas e respectivas probabilidades de ocorrência em cada 
período n.
Pk = probabilidade várias m estimativas de cada contribuição em cada período n.
Fmn= valores várias m estimativas de cada contribuição em cada período n.
Desvio padrão do VPL ??
 2
1
2
nnmk
n
n EFP 
Variância do 
VPL ??
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
)(
)(
VPL
VPLEX
z



2
nn
 
Desvio padrão do VPL ??
 2
1
2
nnmk
n
n EFP 
Variância do 
VPL ??
Variância do valor esperado de cada contribuição do fluxo de caixa, representa a 
incerteza associada ao grau de dispersão da distribuição das freqüências de 
ocorrência.
Desvio padrão do valor esperado de cada contribuição do fluxo de caixa, representa a 
incerteza associada ao grau de dispersão da distribuição das freqüências de 
ocorrência.
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
Probabilidade P01 = 0,1 P02 =0,1 P03 = 0,8 E0 variância
Ano 0 1900 1950 2000 1985 1025
 2
1
2
nnmk
n
n EFP 
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Probabilidade de (in)viabilidade 
de um empreendimento
 2
1
2
nnmk
n
n EFP 
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado Variância
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 760 4435
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 855
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 950
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
2
2
Probabilidade de (in)viabilidade de 
um empreendimento
 2
1
2
nnmk
n
n EFP 
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado Variância
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 760
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 855 4105
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 950
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
2
3
 2
1
2
nnmk
n
n EFP 
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado Variância
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 760
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 855
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 950 5100
Probabilidade de (in)viabilidade de 
um empreendimento
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado Variância
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 760 4435
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 855 4105
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 950 5100
Probabilidade P01 = 0,1 P02 =0,1 P03 = 0,8 E0 variância
Ano 0 1900 1950 2000 1985 1025
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Cuidado!!!!
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
        nnnnVPL iiii 2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
02
1111 








       6
2
3
4
2
2
2
2
1
0
2
02
1111 iiii
VPL









Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
Probabilidade P01 = 0,1 P02 =0,1 P03 = 0,8 E0 Variância
Ano 0 -1900 -1950 -2000 -1985 1025
Probabilidade P4 = 0,15 P5 =0,25 P6 = 0,60 Esperado Variância
Ano 1 F11 = 630 F12 = 720 F13 = 810 760 4435
Ano 2 F21 = 720 F22 = 830 F23 = 900 855 4105
Ano 3 F31 = 800 F32 = 920 F33 = 1000 950 5100
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
     6
2
3
4
2
2
2
2
12
0
2
10,0110,0110,01 





VPL
Substituindo os valores tem-se que:
Dado que TMA =10%; i = 0,10
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
     642
2
10,01
5100
10,01
4105
10,01
4435
1025





VPL
103722 VPL
Substituindo os valores tem-se que:
102103722 
VPLVPL

A VARIÂNCIA do período 0 não é zero porque há INCERTEZA sobre o valor do investimento. 
Quanto menor a variância menor a incerteza.
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
)(
)(
VPL
VPLEX
z



2
nn
 
Desvio padrão do VPL = 102
 2
1
2
nnmk
n
n EFP  Variância do VPL = 10372
Calcular z
)(VPLE
Valor esperado do VPL = 127
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
)(
)(
VPL
VPLEX
z



25,1
102
1270
)(
)(





VPL
VPLEX
z 
Tabela 
Probabilidade de (in)viabilidade de um empreendimento
O valor de X é zero, porque quando 
VPL é zero indica que o 
investimento será indiferente. 
Portanto, tudo que for negativo é 
INVIABILIDADE.
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
http://www.science.mcmaster.ca/ps
ychology/poole/z-table2.jpg
z = -1,25
z = -1,25
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade ou Inviabilidade
Probabilidade de 
inviabilidade
Probabilidade de 
viabilidade
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
Viabilidade Financeira de Empreendimentos
Se z = -1,25 corresponde a uma área sob a curva normal padrão de 0,3944 
(de = 0 até – 0,5). Assim, a probabilidade de inviabilidade é dada por:
%56,101056,03944,05,0)( adeinviabilidP
-1,25 
Teorema do Limite Central – eng. econ., Hirschfeld
ÁRVORE DE DECISÃO
ÁRVORE DE DECISÃO
ÁRVORE DE DECISÃO
• Ferramenta importante que considera as decisões seqüenciais ao longo do 
tempo.
• Mostra a anatomia de uma decisão de investimento
• Mostra interação entre:
– decisão presente,
– eventos possíveis,
– atitudes de competidores e
– possíveis decisões futuras
• Abordam dois elementos fundamentais para análise de investimentos reais:
– Investimento seqüencial
– Incerteza 
Existe a idéia de se fazer ou não uma planta piloto de 125 para testar um 
investimento de 1000 de um projeto de fraldas descartáveis para idoso. Os testespermitirão 
reduzir a incerteza sobre o projeto. Após os testes, apresentam-se, com a mesma probabilidade, 
dois cenários: sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita 
líquida anual perpétua de 250. No segundo cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita 
líquida anual perpétua de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de desconto) é 10%.
a) É viável investir?
b) Qual das opções?
c) Vale ou não a pena investir na planta piloto?
Renda perpétua: 
i
U
IVPL  0
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente é 
realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para fazer 
testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o projeto. 
Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 
1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de 250. No 
segundo cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida 
anual perpétua de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de 
desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. 
Inicialmente é realizado um investimento de 125 em uma 
planta piloto, para fazer testes de mercado que permitam 
reduzir a incerteza sobre o projeto. Após os testes, 
apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, 
investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida anual 
perpétua de 250. No segundo cenário, investe-se 1000 e 
obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de apenas 50. A 
taxa mínima de atratividade (taxa de desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
PARAR
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente é 
realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para fazer 
testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o projeto. 
Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 
1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de 250. No 
segundo cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida 
anual perpétua de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de 
desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. 
Inicialmente é realizado um investimento de 125 em uma 
planta piloto, para fazer testes de mercado que permitam 
reduzir a incerteza sobre o projeto. Após os testes, 
apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, 
investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida anual 
perpétua de 250. No segundo cenário, investe-se 1000 e 
obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de apenas 50. A 
taxa mínima de atratividade (taxa de desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
Investe 1000
Produção em plena escala
NÃO investe
PARAR
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente é 
realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para fazer 
testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o projeto. 
Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 
1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de 250. No 
segundo cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida 
anual perpétua de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de 
desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
Investe 1000
Produção em plena escala
NÃO investe
PARAR
PARAR VPL = 0
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente é 
realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para fazer 
testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o projeto. 
Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 
1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de 250. No 
segundo cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida 
anual perpétua de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de 
desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
Investe 1000
Produção em plena escala
NÃO investe
PARAR
PARAR VPL = 0
CALCULAR VPLSUC
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente é 
realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para fazer 
testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o projeto. 
Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 
1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de 250. No 
segundo cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida 
anual perpétua de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de 
desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. 
Inicialmente é realizado um investimento de 125 em uma 
planta piloto, para fazer testes de mercado que permitam 
reduzir a incerteza sobre o projeto. Após os testes, 
apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, 
investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida anual 
perpétua de 250. No segundo cenário, investe-se 1000 e 
obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de apenas 50. A 
taxa mínima de atratividade (taxa de desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
NÃO investe
PARAR
PARAR
Investe 1000
Produção em plena escala
NÃO investe
VPL = 0
Investe 1000
Produção em plena escala
CALCULAR VPLSUC
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
NÃO investe
PARAR
PARAR
VPL = 0
NÃO investe
PARAR
VPL = 0
Investe 1000
Produção em plena escala
CALCULAR VPLSUC
Investe 1000
Produção em plena escala
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
NÃO investe
PARAR
PARAR
VPL = 0
NÃO investe
PARAR
VPL = 0
Investe 1000
Produção em plena escala
CALCULAR VPLSUC
Investe 1000
Produção em plena escala
CALCULAR VPLINSUC
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
CALCULAR VPLSUC
CALCULAR VPLINSUC
?sucVPL
?insucVPL
Renda perpétua: 
i
U
IVPL  0
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente 
é realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para 
fazer testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o 
projeto. Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com 
a mesma probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro 
cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida anual 
perpétua de 250. No segundo cenário, investe-se 1000 e obtêm-se 
uma receitalíquida anual perpétua de apenas 50. A taxa mínima de 
atratividade (taxa de desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
CALCULAR VPLSUC
CALCULAR VPLINSUC
10,0
250
1000sucVPL
10,0
50
1000insucVPL
Renda perpétua: 
i
U
IVPL  0
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente é 
realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para fazer 
testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o projeto. 
Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 
1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de 250. No segundo 
cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua 
de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
CALCULAR VPLSUC
CALCULAR VPLINSUC
1500
10,0
250
1000 sucVPL
500
10,0
50
1000 insucVPL
Decidir se deve ou não ser feito um investimento de 1000 em 
determinado projeto, fraldas descartáveis para idoso. Inicialmente é 
realizado um investimento de 125 em uma planta piloto, para fazer 
testes de mercado que permitam reduzir a incerteza sobre o projeto. 
Após os testes, apresentam-se dois cenários possíveis com a mesma 
probabilidade de sucesso e insucesso. No primeiro cenário, investe-se 
1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua de 250. No segundo 
cenário, investe-se 1000 e obtêm-se uma receita líquida anual perpétua 
de apenas 50. A taxa mínima de atratividade (taxa de desconto) é 10%.
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
CALCULAR VPLSUC
CALCULAR VPLINSUC
1500
10,0
250
1000 sucVPL
500
10,0
50
1000 insucVPL
Viável 
Não viável 
Resposta item a:
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
NÃO investe
PARAR
PARAR
VPL = 0
NÃO investe
PARAR
VPL = 0
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLSUC = 1500
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLINSUC = -500
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
NÃO investe
PARAR
PARAR
VPL = 0
NÃO investe
PARAR
VPL = 0
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLSUC = 1500
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLINSUC = -500
Escolher esta opção
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Resposta item b:
É melhor investir na opção de:
planta piloto/sucesso/1000
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Resposta item c:
TMA de 10%
Investimento inicial de 125
50% sucesso e VPL de
50% insucesso e VPL de
    



1,1
????.5,0????.5,0
125plVPL
Vale ou não a pena investir na planta piloto?
•Calcular o VPL do investimento com planta piloto.
•Calcular o VPL do investimento sem planta piloto. 
0
ou 
+1500 
-500
ou 
0
?
?
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Resposta item c:
TMA de 10%
Investimento inicial de 125
50% sucesso e VPL de
50% insucesso e VPL de
    
1,1
0.5,01500.5,0
125

plVPL
0
ou 
+1500 (escolhido porque é positivo)
-500
ou 
0 (escolhido porque é melhor que negativo)
Exemplo 01 – Eng. Econ.; Carlos P. Samanez
Vale ou não a pena investir na planta piloto?
•Calcular o VPL do investimento com planta piloto.
•Calcular o VPL do investimento sem planta piloto. 
Resposta item c:
TMA de 10%
Investimento inicial de 125
50% sucesso e VPL de
50% insucesso e VPL de
    
0557
1,1
0.5,01500.5,0
125 

plVPL
0
ou 
+1500 (escolhido porque é positivo)
-500
ou 
0 (escolhido porque é melhor que negativo)
O VPL dá 
positivo, o que é 
bom. 
Mas, e se não tivesse a planta?
Vale ou não a pena investir na planta piloto?
•Calcular o VPL do investimento com planta piloto.
•Calcular o VPL do investimento sem planta piloto. 
Se ao contrário de 
fazer o teste piloto a 
empresa partisse logo 
para a fabricação do 
produto em larga 
escala, tem-se:
Resposta item c:
Vale ou não a pena investir na planta piloto?
•Calcular o VPL do investimento com planta piloto = 557
•Calcular o VPL do investimento sem planta piloto. 
Teste:
Investir 
125
Teste:
NÃO
Investir
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
NÃO investe
PARAR
PARAR
VPL = 0
NÃO investe
PARAR
VPL = 0
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLSUC = 1500
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLINSUC = -500
Resposta item c:
SUCESSO 50%
INSUCESSO 50%
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLSUC = 1500
Investe 1000
Produção em plena escala
VPLINSUC = -500
Resposta item c:
    
0557
1,1
0.5,01500.5,0
125 

semplVPL
TMA de 10%
Investimento inicial de 125
50% sucesso e VPL de
50% insucesso e VPL de
0
ou 
+1500 (escolhido porque é positivo)
-500
ou 
0 (escolhido porque é melhor que negativo)
(1+0,10)n = 1,pois n=0, período inicial
Resposta item c:
Vale ou não a pena investir na planta piloto?
•Calcular o VPL do investimento com planta piloto = 557
•Calcular o VPL do investimento sem planta piloto. 
TMA de 10%
Investimento inicial de 125
50% sucesso e VPL de
50% insucesso e VPL de
0
ou 
+1500 (escolhido porque é positivo)
-500
ou 
0 (escolhido porque é melhor que negativo)
Resposta item c:
500
)10,01(
)]500.(5,0[1500.5,0
0



semplVPL
Vale ou não a pena investir na planta piloto?
•Calcular o VPL do investimento com planta piloto = 557
•Calcular o VPL do investimento sem planta piloto = 500 
Resposta item c:
Vale ou não a pena investir na planta piloto?
• VPL do investimento com planta piloto = 557
• VPL do investimento sem planta piloto = 500 
Resposta: É melhor fazer o teste com a planta piloto.
Uma empresa tem que decidir se constrói uma fábrica grande com investimento 
inicial de 3milhões ou pequena com investimento inicial de 1,3milhões, para produzir um novo 
produto por 10 anos, com taxa mínima de atratividade de 10%. A procura pelo produto tem 
sempre chance de ser baixa ou 70% de ser alta. Quando a procura é alta existe a 
probabilidade de 10% da satisfação do consumidor diminuir depois dos dois primeiros anos ou, 
então manter-se constante. Se a procura for de baixa, ela se manterá constante, isto é, fica 
excluída a possibilidade de procura diminuída seguida de procura aumentada.
A fábrica grande, com alto volume de produção, para atender a procura, rende 1milhão 
por ano. Se o volume de produção for baixo, rende apenas 100mil por ano.
Se optar pela fábrica pequena, a diretoria tem a opção de expandi-la no segundo ano 
com investimento extra de 2,2 milhões, caso a procura seja alta no período inicial.
Se a fábrica for expandida para atender à procura alta, não será tão eficiente como a 
fábrica grande original e renderia 700mil por ano. Se a procura for baixa, a receita líquida 
será de apenas 50mil por ano. 
A fábrica pequena, com procura baixa, rende anualmente 400mil. Se a procura for alta, 
ela pode render 450mil por ano, mas a receita líquida cai para 300mil depois dos dois 
anos iniciais devido à concorrência.
Exemplo 02 – Eng. Econ.; Oswaldo F.F. Torres
141
142
143
144
145
TEOREMAS PROBABILIDADE (do produto, independência estatística, da partição, de Bayes) 
Probabilidade condicionada: dados dois eventos A e B, sendo P(B)≠0, tem-se que 
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
𝑃 𝐴 𝐵 é a probabilidade de A ocorrer, na hipótese de B ter ocorrido. 
𝑃 𝐴 𝐵 representa a reavaliação da probabilidade de A, em face da informação de que B 
ocorreu. 
Exemplo: Dados: 85.993 pessoas vivas com 60 anos sendo 80.145 pessoas vivas com 65 anos.
Se A é o evento que um indivíduo esteja vivo aos 60 anos e B é o evento que sobreviva até 65 anos, então 
é o evento que a pessoa esteja viva aos 60 anos e também aos 65 anos. Se alguém está vivo aos 65 
anos, estava também aos 60 anos, portanto, 
147
TEOREMAS PROBABILIDADE (do produto, independênciaestatística, da partição, de Bayes) 
Probabilidade condicionada: dados dois eventos A e B, sendo P(B)≠0, tem-se que 
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
𝑃 𝐴 𝐵 é a probabilidade de A ocorrer, na hipótese de B ter ocorrido. 
𝑃 𝐴 𝐵 representa a reavaliação da probabilidade de A, em face da informação de que B 
ocorreu. 
Exemplo: Considere-se um baralho de 52 cartas. A probabilidade de ao retirar uma carta sair um rei é 4/52, ou
1/13. No entanto, se alguém retira uma carta e nos diz que é uma figura, então a probabilidade de ter saído um rei é
4/12=1/3, ou seja, P(sair um rei|sair uma figura)=1/3.
   
 BP
BAP
BAP

   3/1
52/12
52/4
BAP
148
Calculando as probabilidades:
 Temos 10% de chances da demanda ser alta e se tornar baixa;
 Temos 60% de chances da demanda ser alta e continuar alta;
 Temos então: 70% (60%+10%) de chances da demanda ser alta;
 Temos 30% de chances da demanda ser baixa e continuar baixa;
Logo:  
 
  1
3,0
3,0
143,0
7,0
1,0
857,0
7,0
6,0



BaixaBaixaP
BaixaAltaP
AltaAltaP
149
150
Calculando os VPLs:
Fábrica Grande: 
Investimento: 3.000.000 UM
Lucro (Demanda Alta): 1.000.000 UM
Lucro (Demanda Baixa): 2x 1.000.000 UM 
8x100.000 UM
 
 
145,3
1,11,0
11,1
13),,(
10
10



AAGVPL
824,0
1,1
1,0
1,1
1
1,1
1
3),,(
10
3
2
 
i
i
BAGVPL
151
Calculando os VPLs: (Lembrando que no caso alta demanda e depois baixa
demanda decorrem dois períodos de alta demanda e a partir do terceiro período
a demanda cai).
 
 
 
 

749,0
1,1
7,0
1,1
2,2
1,1
45,0
1,1
45,0
3,1),,,(
386,2
1,11,0
11,1
1,03),(
824,0
1,1
1,0
1,1
1
1,1
1
3),,(
145,3
1,11,0
11,1
13),,(
10
3
22
10
10
10
3
2
10
10














i
i
i
i
AEAPVPL
BGVPL
BAGVPL
AAGVPL
152
EXEMPLO 1: Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de
vender camisas esportivas. As camisas seriam compradas por $10,00 e vendidas por
$35.00. Como a qualidade do material é baixa estima-se que haja 30% de perda para
o vendedor ambulante. Independente da quantidade adquirida, seus custos de
transporte e manutenção serão de $ 1.000,00 por dia. As camisas não vendidas terão
um valor residual de $ 2.00. A demanda diária pelas camisas depende das condições
de vigilância nas ruas: se a vigilância for ostensiva, o vendedor somente consegue
vender 50 camisas, vendendo 4 vezes mais se a vigilância das ruas for fraca. Caso a
vigilância for média, o vendedor consegue vender 120 camisas. As camisas só
podem ser compradas em lotes pré - determinados: 80, 160, 240 ou 320 unidades. A
experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância seja fraca
contra 30% de vigilância ostensiva. Em consequência ela é média 30% das vezes.