AOL3_Módulo B - 79852 7 - Cálculo Vetorial - D1 20221 B

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Pergunta 1 -- /0
Uma das formas de interpretarmos o operador nabla é escrevendo-o como um vetor, sendo 
nabla space equals space fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fractio
plus space fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction plus fraction 
numerator partial differential over denominator partial differential z end fraction k
 . Isso é útil, pois naturalmente surgem as definições de gradiente, como o produto do nabla, por uma função na
 de divergente, como um produto escalar entre vetores nabla times F e, por fim, rotacional, como o produto veto
nabla cross times F space equals space open vertical bar table row i j k row cell fraction numerator partial differe
over denominator partial differential x end fraction end cell cell fraction numerator partial differential over denominat
partial differential y end fraction end cell cell fraction numerator partial differential over denominator partial different
end fraction end cell row P Q R end table close vertical bar 
 , em que 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space P open parentheses x comma 
comma z close parentheses i plus Q open parentheses x comma y comma z close parentheses j plus R open 
parentheses x comma y comma z close parentheses k
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre campos vetoriais, ordene as etapas a seguir de
acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização do operador rotacional:
( ) Somar os termos associados a sua respectiva direção i, j ou k.
( ) Montar a matriz do rotacional.
( ) Aplicar as derivadas parciais.
( ) Calcular o determinante.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
2, 1, 3, 4.
3, 4, 1, 2.
4, 3, 2, 1.
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Resposta cor4, 1, 3, 2.
Pergunta 2 -- /0
Os campos divergente, gradiente e rotacional são calculados dados certos tipos de campos: escalares ou vetoriais
Saber identificar os tipos de campo, portanto, é primordial para a manipulação algébrica dos divergentes, gradiente
rotacionais.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais escalares, analise as afirmativas 
seguir.
I. 
F with rightwards arrow on top space equals space stack x i with rightwards arrow on top space plus stack y j wit
rightwards arrow on top plus space stack z k with rightwards arrow on top
.
II. Error converting from MathML to accessible text. é um campo vetorial.
III. f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x y é uma função na qual se pode calc
o campo divergente.
IV. 
A open parentheses x comma y close parentheses space equals space open parentheses 2 x comma space 2 x
close parentheses
 é um campo escalar. 
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
I e IV.
Resposta corI, II e III.
II e IV.
I, II e IV.
Pergunta 3 -- /0
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Os campos divergentes, gradientes e rotacionais são definidos com base nos campos escalares e vetoriais em que
são calculados. Além disso, a forma algébrica de cada campo é diferente, mas sempre levando em conta o operad
diferencial nabla ( nabla . Somado a isso, os campos supracitados têm sentidos físico e geométrico, que não sã
evidentes apenas quando se observa algebricamente essas estruturas matemáticas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos gradientes, divergentes e rotacionais, 
analise as afirmativas a seguir.
I. O sentido geométrico de um gradiente está relacionado à direção e sentido de maior variação da função.
II. O sentido físico de um divergente está relacionado à ‘entrada’ e ‘saída’ de flechas em um determinado volume 
infinitesimal.
III. O sentido físico de um rotacional está na possibilidade de rotação de um objeto infinitesimal acerca de si mesm
IV. O operador diferencial nabla tem um sentido físico de translação.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
Resposta corI, II e III.
II e IV.
I, III e IV.
II, III e IV.
Pergunta 4 -- /0
Identificar a natureza dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é fundamental para que se estabeleçam 
relações entre eles. As naturezas desses campos podem ser escalares ou vetoriais, ou seja, depender de um valo
numérico ou de um vetor para cada ponto de seu domínio.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos gradientes, divergentes e rotacionais, 
analise as afirmativas a seguir.
I. É possível o cálculo de um divergente de um campo rotacional.
II. É possível o cálculo de um rotacional de um campo divergente.
III. É possível calcular um divergente de um campo gradiente.
IV. É possível calcular um gradiente de um campo rotacional.
Está correto apenas o que se afirma em:
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I, III e IV.
II e IV.
II, III e IV.
Resposta corI e III.
I e II.
Pergunta 5 -- /0
Um campo gradiente de uma função escalar é definido em termos das derivadas parciais dela. Portanto, para uma
função f open parentheses x comma y close parentheses , o campo gradiente é definido da seguinte forma: 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space open 
parentheses fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction comma fractio
numerator partial differential f over denominator partial differential y end fraction close parentheses
.
Considerando essa definição e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais, afirma-se que o campo 
A open parentheses x comma y close parentheses space equals space open parentheses 2 x comma 2 x y close
parentheses
 não é um campo gradiente porque: 
o campo em questão tem inúmeras derivadas.
o campo em questão é um campo escalar.
Resposta cor
há uma impossibilidade de determinação da função 
f open parentheses x comma y close parentheses .
o gradiente é definido em termos de mais derivadas.
o domínio da função faz parte do conjunto numérico dos reais.
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Existem inúmeras maneiras de se representar algebricamente objetos matemáticos, o que vale também para os 
campos gradientes, divergentes e rotacionais, nem sempre escritos com o operador diferencial nabla . Portanto,
fundamental conhecer as mais diversas formas de representação de modo a se reconhecer tais objetos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos gradientes, divergentes e rotacionais, pod
afirmar que a expressão 
open parentheses fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fraction comm
fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction comma fraction numerator 
partial differential over denominator partial differential z end fraction close parentheses times open parentheses A 
comma B comma C close parentheses
 refere-se ao cálculo de um divergente porque:
é outra forma de se representar nabla squared times X with rightwards arrow on top .
é outra forma de se representar nabla squared f .
é outra forma de se representar open parentheses f close parentheses .
é outra forma de se representar nabla open parentheses f close parentheses .
Resposta cor
é outra forma de se representar 
nabla space times space X with rightwards arrow on top .
Pergunta 7 -- /0
O campo divergente em R³ é definido na forma 
nabla times X with rightwards arrow on top space equals space fraction numerator partial differential A over 
denominator partial differential x end fraction plus fraction numerator partial differential B over denominator partial 
differential y end fraction plus fraction numerator partial differential C over denominator partial differential z end frac
 , ou seja, é calculado a partir de um campo vetorial X with rightwards arrow on top . Desse modo, é necessário 
apenas conhecer os parâmetros desse campo vetorial X with rightwards arrow on top para que se efetue o cálcu
do campodivergente nabla times X with rightwards arrow on top . Considere, portanto, o campo Vetorial 
X with rightwards arrow on top space equals space stack x i with rightwards arrow on top space plus space stack
with rightwards arrow on top space plus space stack z k with rightwards arrow on top
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Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campo divergente no R³, afirma-se que o campo 
divergente do vetor em questão é 3, porque:
Resposta corcada uma de suas derivadas parciais vale 1.
o campo vetorial é ortonormal.
o campo é definido em R³.
o campo vetorial tem seu contradomínio em R³.
cada uma de suas derivadas parciais vale 2.
Pergunta 8 -- /0
Um campo divergente de uma função vetorial é definido em termos das derivadas parciais dessa função, respeitan
suas componentes x, y e z. Existe uma maneira algébrica de efetuar o cálculo desse divergente, porém, é possíve
compreender os resultados algébricos por meio de representações imagéticas, tal como a figura a seguir: 
Figura – Representação de um campo divergente
Considerando essas informações e a forma imagética de se compreender um divergente, afirma-se que a figura 
apresentada tem um campo divergente positivo porque:
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão03_v1(1).png
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume é irrelevante.
Resposta cor
existem mais flechas saindo do que entrando no elemento de volume representado pela 
caixa.
existem mais flechas entrando do que entrando no elemento de volume representado pela caixa.
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume são iguais.
há uma distância visível entre algumas flechas que estão dentro do elemento de volume representado pe
caixa.
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Pergunta 9
--
Para calcular o gradiente de uma função escalar, basta fazer as derivadas parciais da mesma. Esse campo escala
definido a partir de um operador diferencial conhecido como operador nabla, que é escrito da seguinte forma:
nabla with rightwards arrow on top space equals open parentheses fraction numerator partial differential over 
denominator partial differential x end fraction comma fraction numerator partial differential over denominator partial 
differential y end fraction comma fraction numerator partial differential over denominator partial differential z end fra
close parentheses
 .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre gradiente, analise as afirmativas a seguir e assinal
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared y minus y cubed é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 2 x y i
open parentheses x squared space minus space 3 y squared close parentheses j
.
II. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space ln open parentheses x space plus space 
close parentheses
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space fractio
numerator 1 over denominator x plus 2 y end fraction i plus fraction numerator 2 over denominator x plus 2 y end 
fraction
.
III. ( ) O gradiente de f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x cos y ov
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals spa
cos y over z i minus x over z sin y over z j minus x over z squared sin y over z k
.
IV. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space square root of x squared plus y
squared plus z squared end root
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals spa
fraction numerator 1 over denominator cube root of open parentheses x squared plus y squared plus z squared clo
parentheses squared end root end fraction open parentheses x i space plus space y j plus z k close parentheses
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Resposta corV, V, F, F.
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V, F, F, V.
F, F, V, V.
V, V, F, V.
Pergunta 10 -- /0
O operador divergente é definido como 
nabla times F space equals space P subscript x open parentheses x comma y comma z close parentheses spac
plus space Q subscript y open parentheses x comma y comma z close parentheses plus R subscript z open 
parentheses x comma y comma z close parentheses
 onde F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space P i plus Q j plus R k. Ess
definição é feita com base no operador diferencial nabla, que leva em conta as derivadas parciais de uma determin
função.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, pode-se dizer que o gradiente e o divergente são 
operadores diferentes porque:
as derivadas são feitas em sistemas de coordenadas diferentes.
Resposta cor
o gradiente atua em um campo escalar, resultando em um campo vetorial, enquanto o 
divergente faz o contrário.
as derivadas parciais não estão definidas para vetores.
as derivadas são em primeira ordem no gradiente, enquanto no divergente são em segunda.
os módulos dos campos vetoriais do gradiente e do divergente são diferentes.