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Apostila de Física Experimental 1
Departamento de Física e Matemática
Prof. Fernando Saliby de Simoni
Prof. Carlos Magno da Conceição
Prof. Robson Brito Rodrigues
Técnicos: Viviane Amorim e Johnatan Pacheco
2
Conteúdo
1 Conceitos Básicos 5
1.1 O conceito de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tipos de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Erros de medidas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Medidas indiretas e propagação de erro . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Erro relativo percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Algarismo Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Elaboração de gráficos 15
2.1 Gráficos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Construção de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Escolha dos eixos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Determinação das escalas (O cálculo do passo): . . . . . . . 20
2.2.3 Marcação de referência nos eixos . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Marcação dos pontos no gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Ajuste dos Parâmetros do Modelo 29
3.1 Relações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Linearização de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Elaboração de Relatórios 33
5 Movimento Retilínio Uniforme - MRU 39
5.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Modelo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5 Análise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
4 CONTEÚDO
6 Plano Inclinado 43
6.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Modelo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.5 Análise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Movimento Retilínio Uniformemente Variado com Peso 47
7.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2 Modelo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.5 Análise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Queda Livre 51
8.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 Modelo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.5 Análise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9 Trabalho e Energia 55
9.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Modelo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.5 Análise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10 Colisões Elástica e Inelástica 61
10.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.2 Modelo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.3 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.4 Tomada de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.5 Análise de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A Método dos mínimos quadrados - versão avançada 67
Capítulo 1
Conceitos Básicos
A comprovação de um modelo Físico se faz necessariamente através de observa-
ções de fenômenos da natureza que estão previstos por esse modelo. O método
científico estipula que somente quando o modelo concordar com uma série (todas!)
de observações ele será elevado ao status de teoria. Desta forma, junto com todo
o ferramentário matemático desenvolvido nos cursos de Física teórica, é de funda-
mental importância também termos conhecimento de como devemos determinar
se esses modelos estão de acordo com a natureza de fato. Este tipo de análise é
feita atravéś de experimentos.
Nesta apostila iremos introduzir o método científico para determinarmos se
um modelo teórico está de acordo ou não com a natureza. Desta forma iremos
determinar como as medidas de uma certa quantidade devem ser apresentadas, a
determinação do erro das medidas, algo tão importante quanto a medida em sí.
A análise gráfica dos dados medidos e como escrever um relatório com todas as
informações relevantes do experimento realizado e com a conclusão principal: o
modelo teórico corresponde ou não a natureza?
1.1 O conceito de medida
O conceito de medida e sua apreentação são de fundamental importância para
qualquer ciência e para a Engenharia. Uma medida nunca é perfeita, ou seja, ela
estará sempre associada à uma incerteza (erro). O bom experimental, além de
criar ferramentas para medir uma certa quantidade da natureza, tem que levantar
todas as fontes de erros possíveis que afetem essa medida. Desta forma uma medida
experimental m de uma quantidade M esta obrigatoriamente associada a um erro
δm. Desta forma, uma medida deve ser apresentada como:
M = (m± δm) unidade de medida . (1.1)
5
6 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
A letra grega δ (delta minúsculo) na frente da quantidade medida denota o erro
associado.
Como exemplo, suponha que determinamos que a distância entre o Rio de
Janeiro e Rio das Ostras é de D = 178 km, mas como os dois municípios tem uma
certa dimensão, isto é, não são pontuais temos de associar um erro nesta distância,
que iremos assumir ser δD = 5 km. Num relatório de um experimento essa medida
deve ser apresentada como
D = (178± 5) km . (1.2)
1.2 Tipos de erros
1.2.1 Erros de medidas diretas
Uma medida direta de uma quantidade é feita normalmente por aparelhos analógi-
cos ou digitais. Um exemplo típico é uma medida de distância feita por uma régua,
ou a medida da massa de um corpo com uma balança. De uma forma simples,
podemos classificar os equipamentos analógicos como aqueles que possuem uma
graduação feita por uma escala de subdivisões impressa no aparelho.
Utilizando a régua graduada com um exemplo, vemos na figura 1.2.1 que a
mínima divisão da graduação desta régua é de 0.1 centímetros (cm). Claramente,
não é possível fazermos uma medida com uma precisão abaixo deste valor. Desta
forma o erro associado a régua, ou qualquer outro instrumento analógico será dado
por:
Erro analógico =
menor divisão da escala
2
. (1.3)
Figura 1.1: Régua graduada com mínima divisão de 0.1 centímetros.
1.2. TIPOS DE ERROS 7
Para equipamentos digitais normalmente os próprios equipamentos já vêm in-
formando a sua incerteza nos manuais, mas quando não possuem essa informação,
podemos definir o seu erro como sendo:
Erro digital = menor divisão da escala . (1.4)
Na figura 1.2 mostramos uma balança digital com medida de até 1 grama. Caso o
manual não possua o erro associado à balança, devemos estipular o seu erro como
sendo 1 grama.
Figura 1.2: Balança digital com medição até 1 grama.
1.2.2 Medidas indiretas e propagação de erro
Na grande maioria das vezes quando efetuamos um experimento para verificar
alguma teoria física, as quantidades que realmente aparecem na teoria não são
diretamente medidas no experimento. Um bom exemplo do nosso dia-a-dia, que
abrange esta questão, seria a verificação da velocidademédia v¯ de um carro. Nor-
malmente, para inferirmos v¯ de um certo veículo, não medimos essa quantidade
diretamente, ou seja, não possuimos um aparelho de medida que nos forneça dire-
tamente v¯. Na prática efetuamos a medida da posição do carro em pelo menos dois
instantes, x(t1) e x(t2), dessa forma utilizamos a definição de velocidade média,
dada por:
v¯ =
x(t2)− x(t1)
t2 − t1 =
x2 − x1
t2 − t1 . (1.5)
Outro exemplo de medida indireta é a estimativa da área de um tampo de uma
mesa. Para fazer essa estimativa temos de medir em separado dois comprimentos,
8 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
a sua largura y e o seu comprimento x, e assumindo que o tampo da mesa é um
retângulo perfeito, a área é encontrada através da relação
A = xy . (1.6)
Desta forma necessitamos propagar os erros das quantidades medidas para as
quantidades que realmente desejamos, ou seja, para os dois casos acima desejamos
encontrar uma relação do tipo:
δv¯ = F (x2, x1, t1, t2, δx1, δx2, δt2, δt1) (1.7)
δA = F (x, y, δx, δy) . (1.8)
Na duas equações acima apenas determinamos que o erro propagado só poderá
depender das quantidades medidas e de seus respectivos erros, algo intuitivo. Mas
qual será exatamente esta relação? Antes de apresentarmos a relação de erro
propagado, vamos tentar tirar algumas conclusões intuitivas: para o caso da ve-
locidade, assumindo que o erro da medida do tempo é desprezível com relação as
outras medidas, ou seja, δt1 = δt2 ≃ 0, um primeiro chute inocente poderia ser a
seguinte relação
δv¯chute =
δx2 − δx1
t2 − t1 , (1.9)
onde utilizamos que o erro das quantidades são muito pequenos com relação ao
seus valores medidos, desta forma associamos o erro a diferencial (δx ≃ dx). Sem
muita dificuldade podemos concluir que este chute não pode ser correto. Neste
caso em particular para a velocidade média, as medidas das posições x1 e x2 são
feitas com o mesmo aparelho. Logo, estão sujeitas ao mesmo erro de medida,
δx2 = δx1 = δx, desta forma o nosso chute nos forneceria um erro
δv¯chute =
δx− δx
t2 − t1 = 0 (1.10)
Ou seja, apartir de medidas com erro chegamos em um resultado sem nenhum
erro! Obviamente, uma conclusão completamente equivocada.
Da tentativa acima tiramos uma importante conclusão: Erros não podem
subtrair, somente se somam. Para este caso em particular, onde queremos
propagar o erro de uma subtração δf = δ(y − x), temos a seguinte regra:
δf 2 = δy2 + δx2 . (1.11)
Aplicando esta regra para v¯, ainda assumindo que a medida de tempo tem um
erro desprezível e as posições têm o mesmo erro, obtemos
δv¯ =
√
δx22 + δx
2
1
t2 − t1 =
√
2 δx
t2 − t1 . (1.12)
1.2. TIPOS DE ERROS 9
Note que o erro propagado não é apenas a soma dos erros, mas sim a sua soma
quadrática1.
A fórmula genérica de propagação de erros faz uso da noção de derivada. Dada
uma grandeza f , que é obtida de outras grandezas medidas no experimento, x, y,
z, ...,
f = f(x, y, z, ...) (1.13)
e com erros associados δx, δy, δz, ..., assumindo que essas medidas são indepen-
dentes, o erro δf será
δf 2 =
(
∂f
∂x
)2
δx2 +
(
∂f
∂y
)2
δy2 +
(
∂f
∂z
)2
δz2 + ... (1.14)
Esta é a fórmula geral de propagação de erro quando as medidas são independentes.
Segue abaixo alguns exemplos de propagação de erros:
• Uma única variável:
Neste caso a equação (1.14) nos fornece
δf 2 =
(
df
dx
)2
δx2 =⇒ δf =
∣∣∣∣ dfdx
∣∣∣∣ δx . (1.15)
• Soma de variáveis, f = x+ y + z + ...:
∂f
∂x
= 1 ,
∂f
∂y
= 1 ,
∂f
∂z
= 1 , .... (1.16)
Substituindo os valores encontrados na equação (1.14), obtemos:
δf 2 = δx2 + δy2 + δz2 + ... (1.17)
• Diferença de variáveis, f = x− y − z − ...:
∂f
∂x
= 1 ,
∂f
∂y
= −1 , ∂f
∂z
= −1 , .... (1.18)
Substituindo os valores encontrados na equação (1.14), obtemos:
δf 2 = δx2 + δy2 + δz2 + ... (1.19)
Como era de se esperar o erro da soma é igual ao erro da diferença.
1Essa relação para o erro propagado é encontrada utilizando conceitos de probabilidade e
estatística, algo fora do escopo desta apostila. Para um leitor interessado em se aprofundar neste
assunto veja a referência [3].
10 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
• Erro da área do tampo da mesa, A = xy:
∂A
∂x
= y ,
∂A
∂y
= x . (1.20)
Substituindo os valores encontrados na equação (1.14), obtemos:
δA2 = y2δx2 + x2δy2 . (1.21)
Assumindo que o erro δx = δy = δL, pois medimos ambas as distâncias com
a mesma régua, obtemos:
δA = δL
√
x2 + y2 . (1.22)
• Velocidade média, desprezando o erro na medição do tempo t, dada
pela equação (1.5):
∂v¯
∂x2
= (t2 − t1)−2 , ∂v¯
∂x1
= −(t2 − t1)−2 . (1.23)
Substituindo os valores encontrados na equação (1.14), obtemos:
δv¯2 =
δx22
(t2 − t1)2 +
δx21
(t2 − t1)2 (1.24)
Colocando o termo do tempo em evidência e assumindo que δx2 = δx1 = δx
obtemos:
δv¯ =
√
2 δx
t2 − t1 , (1.25)
como encontrado anteriormente.
Abaixo apresentamos uma tabela com algumas propagações de erro mais uti-
lizadas no nosso curso de Física Experimental do PURO:
1.2. TIPOS DE ERROS 11
Função Erro
f = x+ y δf 2 = δx2 + δy2
f = x− y δf 2 = δx2 + δy2
f = Ax (A = cte) δf 2 = (Aδx)2
f = xy
(
δf
f
)2
=
(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
f = x
y
(
δf
f
)2
=
(
δx
x
)2
+
(
δy
y
)2
f = x2 δf 2 = (2xδx)2
Exercícios
1. Encontre o erro na medida do volume de um cilindro, onde foram medidos
diretamente o comprimento L, com erro δL e o seu raio R com erro associado
δR.
2. Encontre o erro na medida da velocidade média, como feito anteriormente,
mas neste caso, além das posições terem o mesmo erro, não suponha que o
tempo tem erro desprezível, mas apenas que eles são iguais δt2 = δt1 = δt.
1.2.3 Erro relativo percentual
Uma outra forma de avaliar o resultado da medida de uma grandeza é comparar
esse resultado com um valor preestabelecido, ou um valor de referência. O erro
relativo de uma medida x, dado um valor de referência x¯ é definido por:
∆x =
x− x¯
x¯
× 100 . (1.26)
Como um exemplo, suponha que fizemos uma medição da aceleração da gra-
vidade, e encontramos o seguinte resultado g = 997 cm/s2, comparando com o
resultado teórico g¯ = 980 cm/s2, o erro relativo percentual será:
∆g =
997− 980
980
× 100 = 1.7% , (1.27)
12 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
ou seja, uma diferença de ∼ 2% com o esperado teoricamente.
1.3 Algarismo Significativos
Na matemática aplicada, algarismos significativos são utilizados para monitorar
os erros ao se representar números reais na base 10. Por exemplo, 1/7 = 0,14 com
dois algarismos significativos (já que o erro está na terceira casa decimal: 1/7 =
0,1428571429). Analogamente, 1/30 = 0,0333 com três algarismos significativos
(erro na quinta casa decimal).
Como identificar os algarismos significativos:
• Os algarismos zero que correspondem às ordens maiores não são significati-
vos. Exemplos: em 001234,56 os dois primeiros zeros não são significativos,
o número tem seis algarismos significativos; em 0,000443 os quatro primeiros
zeros não são significativos, o número tem três algarismos significativos.
• Os algarismos zero que correspondem às menores ordens, se elas são fra-
cionárias, são significativos. Exemplo: em 12,00 os dois últimos zeros são
significativos, o número tem quatro algarismos significativos.
• Os algarismos de 1 a 9 são sempre significativos. Exemplos: em 641 o número
tem três números significativos; em 38,984 o número tem cinco algarismos
significativos.
• Zeros entre algarismos de 1 a 9 são significativos. Exemplo: em 1203,4 todos
os cinco algarismos são significativos.
Especificamente para dados experimentais, os algarismos significativos estão
associados com os erros das medidas. Vamos fazer um exemplo para entendermos
melhor: suponha que medimos duas posições em dois instantes de tempos de um
carro numa estrada, dados por: x1 = 10.5m, x2 = 32.1m, com erros dados por
δx1 = δx2 = 0.3m, os instantes têm erros desprezíveis e são t1 = 0 e t2 = 3.3
segundos. Desta forma podemos determinar a sua velocidade média e a respectiva
incerteza:
v¯ =
32.1− 10.5
3.3− 0 m/s = 6.545454545454546...m/s (1.28)
δv¯ =
√
2× 0.3
3.3− 0 m/s = 0.12856486930664501...m/s . (1.29)
Note que escrevemos osresultados sem fazer nenhum arredondamento. Se fôsse-
mos escrever o resultado desta forma estaríamos colocando valores sem sentido
físico para o nosso experimento, pois o erro nos fornece o grau que conseguimos
determinar a medida da velocidade. Neste caso específico o erro esta na primeira
1.3. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 13
casa decimal, e fornecer valores menores que a primeira casa decimal não gera
informações relevantes ou mesmo confiáveis. Em experimentos, é usual escrever-
mos os resultados com apenas 1 algarismo significativo no erro, neste exemplo, o
resultado deveria ser mostrado como:
v¯ = (6.5± 0.1)m/s . (1.30)
Observe que a medida v¯ tem 2 algarismo significativos. A obrigatoriedade é que o
erro da medida tenha apenas 1 algarismo significativo2.
Como um segundo exemplo, vamos escrever a distância até a Lua, que fica a
dlua = 384405.085711... km, com erro de δdlua = 1922.02598282... km. Escrevendo
com 1 algarismo significativo no erro, temos:
dlua = (384000± 2000)Km = (384± 2)× 103Km. (1.31)
Na segunda igualdade utilizamos a notação científica para ficar mais evidente que
o erro realmente só tem 1 algarismo significativo. Quantos algarismos significativos
possuia a medida da distância da Lua?
2Na verdade não é obrigtório que o erro possua somente 1 algarismo significativo, mas no
curso de Física Experimental iremos usar esse critério.
14 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS
Capítulo 2
Elaboração de gráficos
O uso de gráficos na física e nas engenharias é tão importante quanto o conceito
de função na Matemática. Sua utilização na representação de fenômenos permite
ilustrar propriedades importantes. Um gráfico serve, entre outras coisas, para
mostrar a conexão entre duas ou mais grandezas físicas, sendo uma representação
visual do modo como umas variam em relação às outras.
Em vez de olhar para uma tabela com um conjunto de medidas realizadas, os
cientistas e ou engenheiros, olham para o gráfico traçado a partir dessas medi-
das e percebem o comportamento geral das grandezas físicas envolvidas naquela
particular medição.
Neste curso, vamos trabalhar apenas com a relação entre duas grandezas físi-
cas, sendo uma independente e a outra dependente desta. Por exemplo, a grandeza
física velocidade é dependente da grandeza física tempo, que é independente. Ou
seja, o tempo flui independentemente de como a velocidade varia, porém, a ve-
locidade varia em função de como o tempo flui. Atualmente, é quase impossível
imaginar alguma área da ciência ou tecnologia em que a construção e o estudo de
gráficos não seja necessário.
Na disciplina de Física Experimental I é indispensável ao aluno um bom co-
nhecimento a respeito da elaboração de um gráfico. Existem inúmeros tipos de
gráficos. No entanto, aprenderemos a trabalhar apenas com gráficos que envolvam
duas variáveis e que podem ser traçados em papel milimetrado. Em particular,
iniciaremos com o estudo de gráficos cartesianos em papel milimetrado e seus fun-
damentos.
2.1 Gráficos cartesianos
Vamos considerar uma grandeza física dependente Y que varia como função de
uma grandeza independente X. Matematicamente, isto pode ser representado por
15
16 CAPÍTULO 2. ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
uma função:
Y = f(X) (2.1)
Se for conhecida de forma explícita a função Y = f(X), pode-se representá-
la graficamente em um sistema de coordenadas cartesianas, que consiste de duas
retas perpendiculares: o eixo x (eixo das abscissas), onde deve ser representada
a variável independente (X), e o eixo y (eixo das ordenadas), onde deve ser
representada a variável dependente (Y ).
Vamos considerar um determinado valor da grandeza X, por exemplo, seja Xn
tal valor, da relação dada pela equação (2.1), temos que associado a esse valor
existe um outro valor Yn = f(Xn), portanto, fazendo uso de um par ordenado,
podemos introduzir um ponto Pn = (Xn, Yn), cuja representação gráfica é dada
por:
X
Y
Xn
Yn Pn = (Xn, Yn)
Se considerarmos agora o conjunto dos vários pontos (P1, P2, . . . , Pi, . . . ), ob-
teremos o seguinte gráfico
X
Y
Xn
Yn Pi = (Xn, Yn)
P1
P2
O conjunto de todos os pontos Pn é denominado de curva da função Y = f(X),
e os gráficos construídos através de relações desse tipo são chamados de gráficos
cartesianos.
2.2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 17
2.2 Construção de gráficos
Na observação de um fenômeno físico medidas são feitas, logo faz-se necessário a
coleta de dados, os quais geralmente são apresentados em tabelas de valores. Por
exemplo, vamos considerar a queda de tensão elétrica (voltagem) em função da
corrente elétrica que atravessa um resistor, vejamos como se constrói o gráfico a
partir desta tabela, usando o papel milimetrado.
i Corrente (mA) Voltagem (V )
1 10,0 1,402
2 20,0 1,428
3 30,0 1,450
4 40,0 1,470
5 50,0 1,492
6 60,0 1,511
7 70,0 1,530
8 80,0 1,549
Cada par de valores (in, Vn), onde o subscrito n é o índice que indica a ordem
da medida (n = 1, 2, 3, ..., 9), deve ser representado por um ponto em um gráfico
cartesiano de V × i, onde esta ordem significa (variável dependente versus variável
independente1), pois a queda de voltagem é dependente da corrente elétrica que
atravessa um resistor. Nota-se na própria tabela, que à medida que a corrente
aumenta, a voltagem também aumenta, como conseqüência.
1Por exemplo, quando um experimentador mede a distância (d) que um corpo móvel percorre
em um certo intervalo de tempo (t), verifica que essa distância varia de acordo com o tempo
medido, e não o contrário. Assim, o gráfico y×x deve ser de d× t, e nunca de t×d, pois d = d(t).
18 CAPÍTULO 2. ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
Para construir o gráfico, a partir da tabela acima, é necessário que algumas
instruções sejam seguidas.
2.2.1 Escolha dos eixos:
No eixo das abcissas (eixo horizontal) deve ser registrada a variável independente
associada à grandeza física que, ao variar, assume valores que não dependem dos
valores da outra grandeza física. No eixo das ordenadas (eixo vertical) deve ser
registrada a variável dependente associada à grandeza física cuja variação depende
de como varia a outra grandeza física. Para a tabela em questão devemos ter um
gráfico V × i.
i× V
V
i
Vn
in Pn = (Vn, in)
ER
RA
DO
V × i
i
V
in
Vn Pn = (in, Vn)
CO
RR
ET
O
Na parte inferior do eixo das abcissas, à direita, e preferencialmente fora da
região quadriculada do papel milimetrado, deve ser registrada a variável indepen-
dente, com sua unidade entre parênteses. Na parte superior do eixo das ordenadas,
à esquerda, e preferencialmente fora da região quadriculada do papel milimetrado,
deve ser registrada a variável dependente, com sua unidade entre parênteses.
2.2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 19
i (mA)
V (V )
No caso da unidade de uma grandeza física incluir uma eventual potência de
10, que pode ter expoente positivo ou negativo, deve-se explicitar essa potência no
eixo em questão, no nosso exemplo, ao invés de expressarmos a corrente em (mA)
podemos expressá-la em (A). Assim temos:
20 CAPÍTULO 2. ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
i (10−3A)
V (V )
2.2.2 Determinação das escalas (O cálculo do passo):
Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no eixo vertical, e
180 mm no eixo horizontal, então podemos escolher usá-la nesta posição (“re-
trato”) ou em outra posição, invertendo os eixos (“paisagem”). A escolha é feita de
modo a otimizar a construção do gráfico visando ocupar o melhor possível a folha.
Entretanto, “ocupar o melhor possível a folha” não significa que se deve usar a
escala que preencha todo o papel. Na prática, deve-se escolher uma escala que
facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro ponto representado
no gráfico.
No que segue vamos fazer o cálculo do passo2 da escala para representar as
variáveis i e V , separadamente, ou seja, façamos o cálculo do passo primeiramente
para a variável dependente e em seguida para a variável independente.
Variável independente: a corrente elétrica (i)
Da tabela, vemos que a grandeza física varia entre os valores 10 mA e 80 mA.
Vamos considerar um papel milimetrado com 150 mm na verticale 120 mm na
horizontal.
2O passo corresponde ao valor referencial de marcação do eixo e é ele que define a escala.
2.2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 21
Vamos considerar o papel na posição retrato, o eixo vertical é maior do que o
horizontal. Teremos duas possibilidades:
(a) Começando do zero:
Se começarmos o gráfico a partir do zero, o cálculo do passo para a corrente
é:
pi =
Valor máximo da medida
Comprimento do papel
(2.2)
Para os valores de corrente elétrica da tabela, temos o passo:
pi =
(80− 0) mA
(120− 0) mm = 0, 666... (mA/mm) ≈ 0, 7... (mA/mm) (2.3)
Este resultado significa que para cada 0, 7 unidade de mA corresponde 1
unidade de mm do papel milimetrado. Note que, se usarmos qualquer escala
diferente cujo passo seja menor do que esse, isto é, se ao invés de arredon-
darmos tivessemos truncado em 0, 6, não teríamos como marcar o último
ponto que é 80 mA, pois teríamos o último ponto do gráfico marcável em
(120 mm×0, 6 mA/mm = 72 mA), ou seja, o gráfico não iria caber no papel.
No entanto nada nos impede de considerar valores maiores para o passo, po-
rém é necessário que alguns aspectos estéticos sejam levados em conta, pois
quanto mais nos afastamos do valor do passo mais diminuímos a ocupação
do papel: por exemplo, podíamos escolher um passo igual a pi = 2 mA/mm,
porém essa escolha nos levaria a fazer uso de menos da metade do papel.
Para a marcação adequada da escala, tanto no eixo horizontal, quanto no
vertical, devem ser indicados os valores dos passos que sejam, preferencial-
mente, múltiplos de 2, 5, 10, 20, 50, 100, etc. Nunca use múltiplos ou
submúltiplos de números primos ou fracionários, tais como 3, 7, 9, 11, 13,
15, 17, ou 2,5; 3,3; 7,5; 8,25; 12,5; 16,21; etc.
Quando o passo for menor do que um e maior do que meio, ou seja, se valer
a desigualdade 0.5 < pi < 1 podemos sempre arredondar o valor do passo
para um, sem alterar muito a ocupabilidade da folha do papel, ou seja, para
facilitar, tanto para quem faz o gráfico quanto para quem vai lê-lo, adota-se
a escala mais próxima desta que seja bem clara para todo mundo. Mesmo
que isso signifique não ocupar todo o papel milimetrado.
Portanto, para o passo da corrente elétrica começando a partir do zero, po-
demos considerar o valor do passo igual a:
pi = 1, 0(mA/mm) (2.4)
Deve-se adotar uma “escala limpa e fácil de ser lida” de modo que não seja
necessário fazer cálculos para achar a localização dos pontos no gráfico. Aliás,
se se precisar fazer muitos cálculos, algo está inadequado.
22 CAPÍTULO 2. ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
(b) Não começando do zero:
Se não começarmos o gráfico a partir do valor zero, o cálculo do passo é feito
da seguinte forma:
pi =
(Valor máximo− Valor mínimo)
comprimento do papel
(2.5)
Iniciamos a partir do valor mínimo da medida desde que esse seja um número
múltiplo de 10, caso contrário escolhemos o número mais próximo que seja
múltiplo de 10.
Para o nosso exemplo da corrente elétrica, teremos:
pi =
(80− 10) mA
(120− 0) mm = 0, 5833... (mA/mm) (2.6)
portanto, seguindo as considerações anteriores, o passo deve ser arredondado
para:
pi = 1, 0 (mA/mm) (2.7)
O primeiro ponto da escala a ser marcado passa a ser agora o valor mínimo, ou
seja, a origem da nossa escala não é mais o zero (0) e sim o valor 10 mA
Variável dependente: a voltagem elétrica (V )
Da tabela, vemos que a grandeza física varia entre os valores 1,402 V e 1,549 V .
Novamente vamos considerar um papel milimetrado com 150 mm na vertical e 120
mm na horizontal. Vamos então calcular o passo em duas situações
(a) Começando do zero:
Seguindo os mesmos procedimentos feitos anteriormente temos para o cálculo
do passo, com a origem da marcação partindo do zero:
pV =
Valor máximo medido
comprimento do papel
(2.8)
o que nos fornece
pV =
1, 549 V
150 mm
= 0, 0103266... (V/mm) (2.9)
Das considerações referentes a escolha dos valores do passo, temos que um possível
valor seria arrendondar para pV = 0, 015 (V/mm), que é um múltiplo de 5, no
2.2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 23
entanto, também é um múltiplo de 3, logo não é adequado. O valor mais adequado
seria
pV = 0, 016 (V/mm) (Múltiplo de 2) (2.10)
Este valor nos diz que para cada 0,016 V corresponde a 1 mm da escala do papel
milimetrado.
(a) Não começando do zero:
Neste caso a origem da nossa marcação não é mais o zero e sim o valor
mínimo da medida. O valor mínimo é 1, 402 V que não é um múltiplo de
10, logo, podemos escolher o número 1, 400 V que é o número redondo mais
próximo de 1, 402 V . Seguindo os procedimentos anteriores temos para o
cálculo do passo:
pV =
(Valor máximo medido− Valor mínimo medido)
comprimento do papel
(2.11)
Para a tabela em questão
pV =
(1, 549− 1, 400)V
150 mm
= 0, 0009933... (V/mm) (2.12)
Logo, o valor mais adequado para o passo é fazer o arredondamento para o
valor
pV = 0, 001 (V/mm) (Múltiplo de 10) (2.13)
Este valor significa que para cada 1 V corresponde 0,001 mm da escala do
papel milimetrado.
Note que os valores dos passos devem ter a mesma quantidade de algarismos
significativos das medidas.
2.2.3 Marcação de referência nos eixos
O próximo passo consiste na marcação de referência, que nada mais é do que marcar
nos eixos os valores mais adequados para a leitura do gráfico. Uma forma rápida
e organizada de fazer a marcação de referência é considerar os valores espaçados
de 10 mm na escala, mas nada impede de considerarmos valores maiores. Por
exemplo, no caso de escolhermos a marcação, considerando um espaço de 10 mm,
basta multiplicar esse valor pelo passo em questão, de tal maneira que a cada
10 mm do papel milimetrado corresponde a um valor (10 × p unidade) para a
marcação de referência.
É importante ter em mente que a escala usada em um eixo é totalmente
independente da escala usada no outro. Isto significa que, para representar
24 CAPÍTULO 2. ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
graficamente as medidas de voltagem, podemos adotar uma escala diferente da-
quela que determinamos para apresentar as medidas de corrente elétrica no gráfico.
Portanto, existem quatro formas distintas para fazermos os gráficos:
i) o eixo horizontal e vertical têm suas origens partindo do zero;
ii) o eixo horizontal tem sua origem no zero e o eixo vertical tem sua origem
diferente de zero;
iii) o eixo horizontal tem uma origem diferente de zero e o vertical tem sua
origem a partir de zero;
iv) tanto o eixo vertical quanto o eixo horizontal tem origens diferentes de zero.
No que segue vamos estabelecer um gráfico considerando duas das possibilidades.
2.2.4 Marcação dos pontos no gráfico
Possibilidade (i): (pi = 1 mA/mm) e (pV = 0, 016 V/mm)
Uma maneira mais adequada de colocar os pontos no gráfico é criar uma tabela de
marcação, onde podemos obter diretamente a que valor da medida corresponde em
mm na escala do papel milimetrado, ou seja, vamos construir a tabela da seguinte
maneira:
2.2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 25
n i (mA) i/pi (mm) V (V ) V/pV (mm)
1 10,0 10,0 1,402 87,6
2 20,0 20,0 1,428 89,2
3 30,0 30,0 1,450 90,6
4 40,0 40,0 1,470 91,9
5 50,0 50,0 1,492 93,3
6 60,0 60,0 1,511 94,4
7 70,0 70,0 1,530 95,6
8 80,0 80,0 1,549 96,8
Jamais indique nos eixos os valores dos pontos experimentais. Os valores in-
dicados nos eixos devem ter a mesma quantidade de algarismos significativos das
medidas.
26 CAPÍTULO 2. ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
i (mA)
V (V )
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
0.16
0.32
0.48
0.64
50
0.96
1.12
1.28
1.44
100
//0.80
///1.60
2.2. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 27
O gráfico acima está correto, no entanto, perceba que uma vez que os valores
das medidas da voltagem estão muito próximos uns dos outros, a inclinação da reta
é muito pequena e a ocupação do gráfico não é feita da melhor maneira, pois muito
espaço vazio existe abaixo dos pontos. Portanto, todas as vezes que os valores das
medidas forem muito próximos uns dos outros, é mais adequado mudar a origem
dos eixos.
Possibilidade (ii): (pi = 1 mA/mm) e (pV = 0, 001 V/mm)
Do gráfico anterior podemos concluir que é mais adequado e esteticamente melhor,
mudar a origem da marcação,ao invés de partir do zero, podemos partir do menor
valor medido.
Novamente vamos fazer uma tabela de marcação:
n i (mA) i/pi (mm) V (V ) V/pV (mm)
1 10,0 10,0 1,402 1402
2 20,0 20,0 1,428 1428
3 30,0 30,0 1,450 1450
4 40,0 40,0 1,470 1470
5 50,0 50,0 1,492 1492
6 60,0 60,0 1,511 1511
7 70,0 70,0 1,530 1530
8 80,0 80,0 1,549 1549
28 CAPÍTULO 2. ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS
i (mA)
V (V )
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1.400
1.410
1.420
1.430
1.440
50
1.460
1.470
1.480
1.490
100
1.510
1.520
1.530
1.540
//1.450
///1.500
Este gráfico, além de ocupar o papel mais adequadamente, permite uma leitura
melhor do que o gráfico anterior.
Depois de marcados os pontos experimentais, é importante que não se faça
nenhuma marcação adicional, tal como fazer tracejados desde o ponto até os ei-
xos, isto sobrecarrega o gráfico e não adiciona nenhuma informação importante.
Portanto, identifique apenas os pontos experimentais, e indique os cálculos dos
passos.
Capítulo 3
Ajuste dos Parâmetros do Modelo
Um experimental deve determinar os parâmetros de um modelo teórico dado um
conjunto de dados medidos. No curso de Física Experimental 1 iremos tratar de
modelos teóricos que seguem uma relação linear, ou quadrática. No caso de uma
movimento retilíneo e uniforme (MRU), temos que o modelo teórico da posição da
partícula com o tempo é dado por:
x(t) = x0 + vt . (3.1)
Mas nem sempre o modelo segue uma relação linear. No caso de um movimento
retilíneo uniformemente variado (MRUV), com a partícula saindo do repouso v0 =
0, a relação entre a posição da partícula e o tempo é dado por:
x(t) = x0 +
1
2
at2 (3.2)
No primeiro caso o experimental quer encontrar quais são os valores de x0 e v do
modelo teórico que se ajustam aos dados medidos no experimento. E no caso do
MRUV, quais são os melhores valores da aceleração e da posição inicial. Desta
forma, antes de introduzir um método para encontrar esses valores, vamos re-
lembrar as propriedades básicas de uma reta e como manipulamos relações não-
lineares.
3.1 Relações lineares
Quando a relação matemática entre duas grandezas físicas x e y é linear, é repre-
sentada por uma equação do primeiro grau do tipo:
y = Ax+B , (3.3)
29
30 CAPÍTULO 3. AJUSTE DOS PARÂMETROS DO MODELO
onde B é o coeficiente linear e A o coeficiente angular da reta. O coeficiente linear
fornece o valor de y quando x é nulo, o que caracteriza uma condição inicial. No
caso do MRU seria a posição da partícula no tempo zero x0. O coeficiente angular
representa a taxa de variação de y com x. Dados dois pares de pontos (x1, y1) e
(x2, y2) que satisfazem a equação da reta, o coeficiente angular é obtido por:
A =
y2 − y1
x2 − x1 . (3.4)
Deve-se ter cuidado para não confundir o coeficiente angular A com a inclina-
ção geométrica (angular) da representação gráfica da equação da reta. Enquanto
o coeficiente angular A independe da escala atribuída a cada eixo, a tangente
geométrica depende.
3.2 Linearização de gráficos
Muitas vezes, as relações estudadas não são descritas por equações lineares. En-
tretanto, em alguns casos é possível transformar gráficos não-lineares em gráficos
que seguem uma relação linear, ou seja, é possível linearizar a curva.
O processo de linearização consiste em se aplicar uma transformação nas esca-
las, para que a curva representada assuma uma forma de uma reta. No caso da
relação entre posição e tempo para um MRUV, como mostrado acima, se fizemos
o gráfico de x × t teria a forma de uma parábola, mas se fizemos um gráfico de
x × t2, esta assume a forma de uma reta com coeficientes B → x0 e A→ a/2 1.
3.3 Método dos mínimos quadrados
A idéia básica no processo de ajuste analítico de uma função f(x), a partir de um
conjunto de dados experimentais {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN , yN )}, é o de se obter a
curva que melhor represente o conjunto de pontos. Para isso deve-se minimizar
as distâncias de cada ponto experimental a curva teórica do modelo físico (veja a
figura 3.1).
Definindo as distâncias di = f(xi)−yi, como mostrado na figura 3.1, temos que
criar uma forma de achar o mínimo para todas as distâncias ao mesmo tempo. O
método dos mínimos quadrados, como o próprio nome sugere, faz uso do quadrado
das distâncias, d2i = [f(xi) − yi]2, e desta forma temos de encontrar o mínimo da
função
χ2 =
N∑
i=1
d2i , (3.5)
1Essa forma de linearização será a única aplicada no curso de Física Experimental 1. Nos
próximos curso de Física Experimental serão apresentadas as outras formas.
3.3. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 31
x
y
Reta qualquer
d1
d2
d3
d4
d5
Figura 3.1: Esquema das distâncias entre os pontos experiemntais e os pontos de
uma reta qualquer utlizado no método do mínimos quadrados para encontrar o
melhor ajustes para os parâmetros de uma reta.
onde a soma em todos os pontos se deve ao fato de querermos minimizar todas as
distâncias ao mesmo tempo. Para achar o mínimo devemos derivar a função χ2
com relação a cada um dos parâmetros a serem ajustados da função f(x) e igualar
estas derivadas a zero.
Para o curso de Física Experimental 1 iremos ajustar somente os pontos ex-
perimentais à uma reta, f(x) = Ax + B, desta forma vamos desenvolver todos os
cálculos para este caso particular. Neste caso a função a ser minimizada é:
χ2(A,B) =
N∑
i=1
[Axi + B − yi]2 (3.6)
onde os parâmetros que queremos encontrar são os coeficientes linear B e angular
A, logo devemos tomar duas derivadas com respeito a estes parâmetros e igualar
32 CAPÍTULO 3. AJUSTE DOS PARÂMETROS DO MODELO
a zero (condição de mínimo):
∂χ2
∂A
=
N∑
i=1
∂[Axi + B − yi]2
∂A
= 0 (3.7)
∂χ2
∂B
=
N∑
i=1
∂[Axi + B − yi]2
∂B
= 0 (3.8)
Desenvolvendo as duas equações e eliminando os termos constantes temos, final-
mente, duas equações para as duas icógnitas A e B:
A
N∑
i=1
x2i + B
N∑
i=1
xi −
N∑
i=1
xiyi = 0 (3.9)
A
N∑
i=1
xi +NB −
N∑
i=1
yi = 0 (3.10)
onde N é o número total de medidas, no caso da figura 3.1 N = 5. Resolvendo
para A e B encontramos os melhores ajustes para os dados observados. Nos dias
de hoje, com os computadores cada vez com mais capacidades de processamento,
a resolução das equações acima é muito rápida e simples. Para uma análise mais
completa e que leva em conta o erro nas medidas e com a demonstração dos erros
no parâmetros A e B veja o apêndice A.
Capítulo 4
Elaboração de Relatórios
Um relatório consiste na apresentação organizada de informações provenientes da
atividade experimental. Em um experimento todos o resultados parciais ou totais
devem estar organizados de modo a facilitar a leitura. Um relatório para transmitir
algo e ser apresentável, é necessário que ele satisfaça certos requisitos: deve ter
clareza e exatidão, ser objetivo e conciso e acima de tudo deve destacar todos os
aspectos importantes.
Ao escrever um relatório é apropriado usar a 3a pessoa do plural ou fazer uso
de expressões que indetermine o sujeito, por exemplo: “Nesse experimento foi feito
as medidas x de uma grandeza Y "ou “Fizemos uma tabela com os valores x de
uma grandeza Y ".
Uma dica ao escrever um relatório é estruturar melhor o que se pretende es-
crever, para isso siga o esquema abaixo:
0 A capa:
É comum ouvirmos falar que a primeira impressão é a que fica, pois bem, o
mesmo pode-se dizer de um relatório. A organização de um relatório começa
pela capa. É necessário escrever um título para o relatório, onde deve constar
o nome da experiência realizada e o número do relatório e as especificações
referentes a pessoa que escreve o relatório, por exemplo: o nome e a turma
a qual pertence. Abaixo segue uma sugestão:
Relatório I
“Medida do volume de um objeto"
José Fulano de Tal
Turma: A
1 Objetivo:
Nesta parte deve constar quais os principais objetivos para a realização de
33
34 CAPÍTULO 4. ELABORAÇÃO DE RELATÓRIOS
um determinado experimento, ou seja, devem ser colocados a finalidade e as
metas a serem atingidas, por exemplo:
“Neste experimento faremos medidas a respeito das dimensões espaciais de
um determinado objeto, largura, comprimento e altura e de posse dessasmedidas obteremos o volume e analisaremos qual o papel da incerteza nessas
medidas."
2 Introdução teórica:
Esta parte deve consistir de uma breve introdução teórica, onde hipóteses
são feitas e um modelo teórico é introduzido, por exemplo:
“Todo processo de medição consiste de fazer comparações entre grandezas
físicas que possuem a mesma natureza, por exemplo, não existe forma de se
comparar a grandeza tempo com a grandeza densidade dada suas diferentes
naturezas. Para se medir uma grandeza é necessário antes de tudo fixar
um padrão previamente escolhido com o qual comparações devem ser feitas.
Vamos tomar um metro (1 m ) como sendo a distância percorrida pela luz
em um tempo de um segundo (1 s). Se medirmos o comprimento de um
objeto e dizermos, por exemplo, que ele tem c = 1, 5 m significa que ele é
1, 5 vezes maior que o comprimento padrão adotado. No que se refere às
dimensões de um determinado objeto, vamos considerar o seu volume, que
consiste do produto das medidas de seu comprimento (c), da sua largura (l)
e da sua altura (h), isto é, temos que o seu volume (V ) é por definição:
cl
h
V = c× l × h (4.1)
Uma vez que estamos tratando com grandezas de mesma natureza podemos
fazer comparações entre elas usando o mesmo padrão, o metro, logo a equação
para o volume leva a uma nova unidade de medida, no caso o metro cúbico
(m3)".
3 Material Utilizado:
Todo relatório deve conter uma listagem dos materiais que foram utilizados
para a elaboração da experiência. Por exemplo:
35
“Neste experimento, fez-se uso do seguinte material:
– Régua;
– Uma caixa de papelão de formato retangular;"
4 Procedimento experimental e coleta de dados:
Nesta parte do relatório deve estar contido todos os detalhes de como a
experiência foi montada e de como os dados foram coletados. Dependendo
da experiência, podemos apresentar os dados em uma tabela, por exemplo:
“Com o uso de uma régua graduada em centímetros (cm) foram feitas medi-
das do comprimento, da largura e da altura da caixa de papelão. As medidas
foram feitas separadamente por cada uma das pessoas do grupo, sendo que
cada um dos integrantes do grupo não conhecia o valor das medidas feitas
pelo outro, de tal forma que foi obtido os seguintes resultados dispostos na
tabela:
Integrante comprimento c (cm) largura l (cm) altura h (cm)
Chico 25, 12 13, 05 16, 50
Maria 25, 15 13, 00 16, 51
João 25, 11 13, 01 16, 50
José 25, 10 13, 09 16, 58
Olga 25, 15 13, 00 16, 55
Na tomada das medidas, devido a dificuldade de se posicionar a régua, não
foi possível obter um valor uniforme e homogêneo, os resultados sofreram
uma ligeira flutuação."
5 Análise de dados:
Esta parte do relatório é a mais importante, ela deve conter os cálculos
necessários para constatar a veracidade ou não das hipóteses sugeridas na
introdução teórica e verificar a validade do modelo teórico proposto. Toda
36 CAPÍTULO 4. ELABORAÇÃO DE RELATÓRIOS
a análise referentes aos erros devem ser tratados nessa parte. Caso seja
necessário, gráficos devem ser anexados. Por exemplo:
“Como houve variações nas medidas feitas por cada um dos integrantes, uma
maneira adequada de obter um valor mais próximo ao valor mais provável
da grandeza é fazer uso dos valores médios, ou seja,
c¯ =
∑
5
i=1 ci
5
=
25, 12 + 25, 15 + 25, 11 + 25, 10 + 25, 15
5
= 25, 13 (4.2)
igualmente temos,
l¯ =
∑
5
i=1 li
5
=
13, 05 + 13, 00 + 13, 01 + 13, 09 + 13, 00
5
= 13, 03 (4.3)
e
h¯ =
∑
5
i=1 hi
5
=
16, 50 + 16, 51 + 16, 50 + 16, 58 + 16, 55
5
= 16, 53 (4.4)
Analisando os dados coletados da tabela, vemos que existe uma incerteza no
último algarismos1, podemos estimar que a cada uma das medidas existe
uma imprecisão de cerca de δx = 0, 05 cm. Então podemos reescrever os
dados a serem utilizados no cálculo do volume da seguinte forma:
l = (l¯ ± δx) = (25, 13± 0, 05) cm
c = (c¯± δx) = (13, 03± 0, 05) cm (4.5)
h = (h¯± δx) = (16, 53± 0, 05) cm
Portanto, calculando o volume, temos
V = 5413 cm3 (4.6)
Para calcularmos o erro associado à medida indireta2 do volume, seria razoá-
vel pensar que bastaria multiplicar os erros de cada uma das medidas, o que
nos daria um valor insignificantemente menor do que o erro δx = 0, 05 cm
associado a cada uma das medidas, o que não é fisicamente razoável, no en-
tanto, veremos que a fórmula abaixo nos fornece o valor adequado ao erro
da medida indireta do volume3
δV = δx
√
(c× h)2 + (l × h)2 + (c× l)2 (4.7)
1No capítulo de introdução a teoria de erros é discutido em detalhe o papel da incerteza desse
último algarismo que provém diretamente da precisão da escala utilizada.
2Medidas diretas, são obtidas diretamente através do uso de um dispositivo de medida, já
medidas indiretas são aquelas provenientes de relações matemáticas.
3Na introdução a teoria dos erros é discutidos como é feita a propagação de erros e como esta
fórmula é deduzida.
37
Portanto, obtemos para a incerteza na medida indireta do volume
δV = 29 cm3 (4.8)
Neste resultado foi considerado somente valores naturais, ou seja, desconsiderou-
se casas decimais."
6 Resultados principais e conclusões:
Esta parte do relatório consiste de uma síntese de tudo que foi feito no expe-
rimento; nesta parte deve constar de forma organizada os resultados obtidos
e ou calculados e quais as principais conclusões que esses resultados levaram.
Geralmente, deve-se perguntar se os resultados confirmam ou não as hipóte-
ses sugeridas, ou seja, se o modelo teórico proposto está de acordo ou não.
Em alguns experimentos para obter um determinado resultado é comum fa-
zer uso de duas formas de medidas, uma diretamente e outra indiretamente,
quando isto se faz necessário comparações podem e devem ser feitas o que
enriquece muito muito mais a confiabilidade no modelo teórico. Caso o mo-
delo esteja de acordo com os resultados experimentais dizemos que o mesmo
representa uma visão de mundo adequada. Por exemplo:
“Como resultado do nosso processo de medida, obtemos para o volume do
objeto o valor V = (5413 ± 29) cm. Isto significa que o valor mais provável
do volume do objeto está dentro de intervalo I = [5384 cm; 5442 cm]."
Um erro que não se deve cometer ao escrever um relatório é fazer uso de gírias
ou linguagem muito técnica, deve-se procurar transmitir o que interessa de forma
coerente.
38 CAPÍTULO 4. ELABORAÇÃO DE RELATÓRIOS
Capítulo 5
Movimento Retilínio Uniforme -
MRU
5.1 Objetivo
Este experimento tem como objetivo estudar o movimento de um corpo sem a ação
de forças e verificar que este movimento é retilínio e uniforme (MRU), e por fim,
determinar a sua velocidade durante este movimento.
5.2 Modelo Teórico
Pela primeira Lei de Newton, um corpo com força resultante nula deve ficar parado
ou seguir um movimento retilínio e uniforme, ou seja, para intervalos de tempos
iguais o corpo percorre distâncias iguais. Desta forma a velocidade média do corpo
é igual a velocidade instântanea:
v =
dx
dt
=
∆x
∆t
. (5.1)
Desta relação encontramos a dependência da posição com o tempo,
x = x0 + vt (5.2)
onde, x0 é a posição no instante t = 0 do carrinho, v é a sua velocidade e t é o
tempo.
5.3 Procedimento Experimental
Neste experimento será utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-
zar o atrito do carrinho. Por se tratar de um MRU devemos colocar o cronometro
39
40 CAPÍTULO 5. MOVIMENTO RETILÍNIO UNIFORME - MRU
na função MRU ou F1, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.
Para darmos uma velocidade inicial ao carrinho será utilizado um peso ligado
ao carrinho por um fio ideal. Esse peso não poderá atuar no carrinho quando ele
passar pelo primeiro sensor, ou seja, o peso deverá tocar no chão antes do carrinho
passar no primeiro sensor. Utilize uma massa de aproximadamente 30 gramas, já
com o porta pesos incluído.
1. Posicione os cinco sensores de tal forma que fiquem a uma distância relativa
de aproximadamente 10 cm.
2. Verifique se os sensores estão conectadas corretamente.
3. Com o eletroimã ligado, prenda o carrinho na sua posição inicial.
4. Faça algumas tomadas de dados testese verifique se todos os sensores estão
funcionando adequadamente e se o cronômetro está fornecendo resultados
estáveis.
5.4 Tomada de Dados
1. Registre o movimento do carrinho com os sensores e o cronômetro.
2. Construa uma tabela de medidas de tempo e posição como mostrado abaixo.
P t(s) x(cm) δx(cm)
1 0.000
2
3
4
5
5.5. ANÁLISE DE DADOS 41
5.5 Análise de Dados
Para esta análise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos são despre-
zíveis, ou seja, δt = 0.
1. Encontre a velocidade média para cada um dos intervalos e a sua incerteza
(erro) associada. Coloque todos os passos necessários para encontrar a fór-
mula do erro da velocidade. Construa uma tabela com os resultados, como
mostrado abaixo:
v (cm/s) δv (cm/s)
2. Construa um gráfico no papel milimetrado da posição em função do tempo
(x × t). Não se esqueça de colocar as barras de erro se for possível na sua
escala adotada. Qual a forma funcional esperada pelo modelo teórico para
esse gráfico?
3. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesma
reta? Obtenha, apartir da reta encontrada o seu coeficiente angular α.
4. No computador, utilize o programa de regressão linear para fazer o ajuste dos
seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatível com o do
gráfico feito no papel milimetrado? Pelo seu modelo teórico, os coeficientes
angular e linear correspondem a quais quantidades físicas? O coeficiente
linear encontrado está de acordo com o esperado pelo seu experimento?
5. As velocidades médias calculadas no primeiro item estão compatíveis com os
resultados obtidos pelo método do gráfico?
42 CAPÍTULO 5. MOVIMENTO RETILÍNIO UNIFORME - MRU
Capítulo 6
Plano Inclinado
6.1 Objetivo
O objetivo deste experimento é observar e estudar um movimento retilíneo uni-
formemente variado (MRUV) de um corpo descendo um plano inclinado. Este
experimento tem como objetivo principal a determinação da aceleração da gravi-
dade g, e comparar o resultado encontrado no experimento com o valor
g = 9.8m/s2 . (6.1)
6.2 Modelo Teórico
Aplicando as Leis de Newton numa partícula de massa m que se encontra num
plano inclinado com inclinação θ com relação a horizontal (veja figura 6.1), encon-
tramos que a partícula sofrerá uma aceleração constante, dada por (encontre essa
igualdade):
a = g sen θ . (6.2)
Desta forma se conseguirmos medir a aceleração da partícula e a inclinação θ do
plano inclinado, podemos estimar a aceleração da gravidade gˆ.
6.3 Procedimento Experimental
Neste experimento será utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-
zar o atrito do carrinho. Por se tratar de um MRUV devemos colocar o cronometro
na função MRUV ou F2, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.
1. Nivele o trilho de ar antes de incliná-lo.
43
44 CAPÍTULO 6. PLANO INCLINADO
Figura 6.1: Diagramas de forças para um corpo num plano inclinado.
2. Incline ligeiramente o trilho de ar, levantando o ponto de apoio com duas
bases a uma altura h.
3. Verifique se os sensores estão conectadas corretamente.
4. Posicione os sensores com distâncias relativamente constantes com aproxi-
madamente 10 centímetros entre eles e inclusive com a posição inicial do
carrinho. O último sensor não é utilizado no experimento.
5. Com o eletroimã ligado coloque o carrinho na sua posição inicial.
6. Faça uma tomada de dados teste e verifique se todos os sensores estão fun-
cionando adequadamente.
6.4 Tomada de Dados
1. Determine seno do ângulo θ de inclinação do trilho de ar.
2. Registre o movimento do carrinho com os sensores e o cronômetro.
3. Construa uma tabela de medidas de tempo e posição como mostrado abaixo.
6.5. ANÁLISE DE DADOS 45
P t(s) x(cm) δx(cm)
1 0.000
2
3
4
5
Como foi medida a posição inicial do carrinho? O erro associado a esta medida
será o mesmo que o erro associado as medidas das posições dos sensores? Discuta
sobre essa questão com os integrantes da sua bancada e o professor.
6.5 Análise de Dados
Para esta análise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos tem erro
desprezível, ou seja δt = 0.
1. Encontre a velocidade média para cada um dos intervalos e a sua incerteza
associada. Monte uma tabela com esses resultados.
2. Calcule a incerteza para a quantidade sen θ. Utilize a tabela de propagação
de erro fornecida nesta apostila. Você mediu diretamente a altura h que foi
levantado o trilho de ar e a distância entre os seus pés L, logo, o ângulo θ
será dado por:
sen θ =
h
L
(6.3)
Qual será a fórmula de propagação de erro associado a esta medida? Faça
essa demonstração com todos os passos necessários. Discuta qual será o erro
associado as medidas de h e L. Eles serão os mesmos que para a posição x
dos sensores?
3. Construa um gráfico no papel milimetrado da posição em função do tempo ao
quadrado (x× t2). Não se esqueça de colocar as barras de erro se for possível
46 CAPÍTULO 6. PLANO INCLINADO
na sua escala adotada. Qual a forma funcional esperada pelo modelo teórico
para esse gráfico?
4. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesma
reta? Obtenha, a partir desta reta, a aceleração do carrinho. Qual é a relação
entre o coeficiente angular deste gráfico e a aceleração do carrinho?
5. No computador, utilize o programa de regressão linear para fazer o ajuste
dos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatível com
o do gráfico feito no papel milimetrado? O coeficiente linear esta de acordo
com os seus dados experimentais?
6. Utilizando a equação (6.2), determine g apartir da aceleração encontrada na
regressão linear e sen θ obtida anteriormente. O seu valor experimental esta
de acordo com o resultado esperado? Por que? Qual é a fórmula do erro
associado a esta medida?
Capítulo 7
Movimento Retilínio Uniformemente
Variado com Peso
7.1 Objetivo
Este experimento tem como objetivo estudar o movimento retilínio uniformemente
variado (MRUV) e determinar a aceleração da gravidade g, e comparar o resultado
experimental obtido com o valor:
g = 9.8m/s2 . (7.1)
7.2 Modelo Teórico
Aplicando as leis de Newton no sistema mostrado na figura, obtemos a seguinte re-
lação entre a aceleração das massas mA emB e a aceleração da gravidade (encontre
essa relação!):
a =
mA
mA +mB
g . (7.2)
47
48CAPÍTULO 7. MOVIMENTO RETILÍNIO UNIFORMEMENTE VARIADO COM PESO
Desta forma, se medirmos a aceleração das partículas e as suas respectivas massas,
podemos fazer uma estimativa da aceleração da gravidade.
7.3 Procedimento Experimental
Neste experimento será utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-
zar o atrito do carrinho. Por se tratar de um MRUV devemos colocar o cronometro
na função MRUV ou F2, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.
1. Verifique se os sensores estão conectadas corretamente.
2. Posicione os sensores com distâncias relativamente constantes com aproxi-
madamente 10 centímetros entre eles e inclusive com a posição inicial do
carrinho. O último sensor não é utilizado no experimento.
3. Com o eletroimã ligado coloque o carrinho na sua posição inicial.
4. Faça uma tomada de dados teste e verifique se todos os sensores estão fun-
cionando adequadamente.
Neste experimento devem ser analisados 5 movimentos diferentes com 5 massas
diferentes para massa mA, em passos de 10 gramas, ou seja, será medido o movi-
mento do carrinho para mA ≃ 20, 30, 40, 50 e 60 gramas (as massas não precisam
ser exatamente essas, só aproximadamente).
7.4 Tomada de Dados
1. Registre o movimento para as 5 massas diferentes com os sensores e o cronô-
metro.
2. Construa uma tabela de medidas de tempo para as cinco massas e posição
como mostrado abaixo.
7.5. ANÁLISE DE DADOS 49
P t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) x(cm)
1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2
3
4
5
Como foi medida a posição inicial do carrinho? O erro associado a esta medida
será o mesmo que o erro associado as medidas das posições dos sensores? Discuta
sobre essa questão com os integrantes da sua bancada e o professor.
7.5 Análise de Dados
Para esta análisede dados vamos assumir que a medida do tempo tem erro des-
prezível, ou seja δt = 0 s.
1. Para cada um dos sistemas com massas diferentes estime a aceleração do
carrinho. Para tal, utilize o programa de regressão linear para ajustar a
melhor reta a cada um dos gráficos x× t2. Pelo seu modelo teórico, o que são
os coeficientes angular e linear deste ajuste? (Não precisa fazer esses gráficos
no papel milimetrado).
2. Os coeficientes lineares dos 5 ajustes são iguais dentro da barra de erro? Por
que eles deveriam ser iguais de acordo com o nosso modelo teórico?
3. Da relação do modelo teórico entre o coeficiente angular e a aceleração do
carrinho, construa uma tabela com os resultados, como mostrado abaixo
(demonstre a fórmula para o cálculo da incerteza do fator das massas):
50CAPÍTULO 7. MOVIMENTO RETILÍNIO UNIFORMEMENTE VARIADO COM PESO
mA
mA+mB
± δ
(
mA
mA+mB
)
a± δa (cm/s2)
4. Construa um gráfico no papel milimetrado da aceleração em função de mA
mA+mB
.
Não se esqueça de colocar as barras de erro se for possível na sua escala
adotada. Qual a forma funcional esperada para esse gráfico? Você saberia
explicar o porquê desta forma funcional?
5. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesma
reta? Obtenha, apartir da reta encontrada o seu coeficiente angular α. Pelo
seu modelo teórico, o coeficiente angular corresponde a que quantidade física?
6. No computador, utilize o programa de regressão linear para fazer o ajuste
dos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatível com
o do gráfico feito no papel milimetrado?
7. Compare o seu resultado com o modelo teórico. O seu resultado esta con-
sistente com este modelo, ou seja, você encontrou g compatível com o valor
esperado? O modelo teórico também fornece o valor esperado do coefeiciente
linear? No seu experimento, qual é o valor esperado do coefeciente linear?
Capítulo 8
Queda Livre
8.1 Objetivo
Este experimento é uma reprodução do clássico e polêmico experimento suposta-
mente realizado por Galileu na Torre de Pisa. O objetivo deste experimento é
observar e estudar o movimento de um corpo em queda livre. Este experimento
tem como objetivo principal verificar a independência do movimento de queda li-
vre com a massa do corpo e também a determinação da aceleração da gravidade
g, e comparar o resultado experimental com o valor
g = 9.8m/s2 . (8.1)
Antes de Galileu era esperado que a queda de um corpo sob ação pura da
força da gravidade dependia da sua massa, corpos mais pesados cairiam mais
rapidamente ao chão do que corpos mais leves (com menor massas). Galileu foi o
primeiro a perceber que a queda livre não depende da massa do corpo, verificando
primeiramente a igualdade entre massa inercial (que aparece na segunda lei de
Newton) e massa gravitacional (o quanto um corpo sente o campo gravitacional).
Essa propriedade da natureza foi um dos pontos de partida para a formulação da
Relatividade Geral por Albert Einstein em 1915.
51
52 CAPÍTULO 8. QUEDA LIVRE
8.2 Modelo Teórico
Aplicando as leis de Newton numa partícula de massa m que se encontra apenas
sob a ação da sua força gravitacional, isto é, o seu peso, assumindo que a massa
gravitacional (mg) é diferente da sua massa inercial (mi), a segunda lei nos fornece
a seguinte relação (colocando o referencial na vertical para baixo):
~F = mi~a =⇒ mgg = mia (8.2)
Dessa forma a aceleração que a partícula irá sofrer de acordo com as leis de Newton
é
a =
mg
mi
g (8.3)
Concluímos que somente se a massa inercial for igual a massa gravitacional, obte-
mos o resultado
a = g . (8.4)
Desta forma teremos 2 objetivos no experimento de queda livre:
1. Verificar a igualdade entre massa inercial e massa gravitacional, verificando
que a aceleração de queda é igual para dois corpos com massas distintas;
2. encontrar a aceleração da gravidade g, dado que as massas inerciais e gravi-
tacionais são iguais.
8.3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 53
8.3 Procedimento Experimental
Neste experimento será utilizado o equipamento de queda livre, desprezando o
arrasto do ar com o corpo. Por se tratar de um MRUV devemos colocar o cronô-
metro na função MRUV ou F2, dependendo do aparelho que se encontra na sua
bancada.
1. Posicione os sensores de tal forma a ficarem a uma distância relativa de
aproximadamente 10 cm.
2. Verifique se os sensores estão conectadas corretamente.
3. Com o eletroimã ligado coloque uma bola de metal na sua posição inicial.
4. Faça uma tomada de dados teste e verifique se todos os sensores estão fun-
cionando adequadamente.
8.4 Tomada de Dados
1. Registre o movimento de duas bolas de metal com massas diferentes com os
sensores e o cronômetro.
2. Construa duas tabelas de medidas de tempo e posição como mostrado abaixo,
para cada uma das massas.
P t(s) x(cm) δx(cm)
1 0.000
2
3
4
5
54 CAPÍTULO 8. QUEDA LIVRE
Como foi medida a posição inicial da bola de metal? O erro associado a esta
medida será o mesmo que o erro associado as medidas das posições dos sensores?
Discuta sobre essa questão com os integrantes da sua bancada e o professor.
8.5 Análise de Dados
Para esta análise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos tem erro
desprezível, ou seja δt = 0.
1. Construa dois gráficos no papel milimetrado da posição em função do tempo
ao quadrado (x × t2). Não se esqueça de colocar as barras de erro se for
possível na sua escala adotada. Qual a forma funcional esperada para esse
gráfico? Você saberia explicar o porque desta forma funcional?
2. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesma
reta? Obtenha, a partir das retas encontradas nos dois gráficos, as acelera-
ções das bolas de metal.
3. No computador, utilize o programa de regressão linear para fazer o ajuste
dos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatível com
o do gráfico feito no papel milimetrado?
4. Compare o seu resultado com o modelo teórico. O seu resultado esta con-
sistente com este modelo, ou seja, você encontrou g compatível com o valor
esperado? Justifique a sua resposta.
5. Podemos dizer que a massa inercial é igual a massa gravitacional pelos seus
resultados? Justifique a sua resposta.
Capítulo 9
Trabalho e Energia
9.1 Objetivo
Este experimento tem como objetivo verificar o teorema Trabalho-Energia para
uma força constante e estudar o balanço da energia de um sistema sob a ação da
gravidade como mostrado na figura.
9.2 Modelo Teórico
Aplicando as leis de Newton no sistema mostrado na figura, obtemos a seguinte
relação para a tensão do fio sobre o bloco B (encontre essa relação!):
T =
mAmB g
mA +mB
. (9.1)
Desta forma, se medirmos as massas do carrinho e do porta pesos, e dada a ace-
leração da gravidade g = 9.8m/s2, podemos fazer uma estimativa da Tensão.
Utilizando a definição de trabalho para o caso de uma força constante, podemos
55
56 CAPÍTULO 9. TRABALHO E ENERGIA
encontrar o trabalho realizado pela tensão sobre o carrinho WT num certo deslo-
camento ∆x:
WT = T∆x =
mAmB g
mA +mB
∆x (9.2)
O teorema trabalho-energia nos fornece que a variação da energia cinética ∆K
é igual ao trabalho realizado por todas as forças sobre a partícula em questão.
Para o caso da massa B (carrinho no trilho de ar), e assumindo que o sistema
parte do repouso, temos
KB =
1
2
mBv
2
B = WT +WN +Wg = WT . (9.3)
Para verificarmos o balanço de energia do sistema temos de definir o ponto zero
da energia potencial gravitacional do bloco pendurado (por que não precisamos
medir a energia potencial gravitacional do carrinho?). Neste experimento vamos
definir o ponto zero da energia como sendo a posição inicial do bloco pendurado,
desta forma, com o sistema saindo do repouso, a energia inicial será nula
Ei = 0 . (9.4)
A energia do sistema em qualquer instante será dada por:
E = KB +KA + UA . (9.5)
Onde KA e KB são as energias cinéticas do peso e do carrinho respectivamente e
UA é a energia potencial gravitacional do peso, que pela nossa escolha de ponto
zero será dada por
UA = −mA g∆x , (9.6)
onde utilizamos que o fio que liga os blocosé ideal, nos permitindo igualar o
deslocamento ∆x do carrinho com a altura que o peso desce (você saberia explicar
o sinal?).
9.3 Procedimento Experimental
Neste experimento será utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-
zar o atrito do carrinho. Por se tratar de um MRUV devemos colocar o cronometro
na função MRUV ou F2, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.
1. Nivele o trilho de ar.
2. Posicione os sensores de tal forma a ficarem a uma distância relativa de
aproximadamente 10 cm, incluindo a posição inicial do carrinho.
9.4. TOMADA DE DADOS 57
3. Verifique se os sensores estão conectadas corretamente. O último sensor não
é utilizado no experimento.
4. Com o eletroimã ligado coloque o carrinho na sua posição inicial.
5. Faça pelo menos 4 tomadas de dados testes de posição e tempo e verifique
se todos os sensores estão funcionando adequadamente.
Para a massa pendurada utilize uma massa entre os valores 30 < mA < 50 gramas
já incluso o porta-pesos.
9.4 Tomada de Dados
1. Registre o movimento do carrinho com os sensores e o cronômetro.
2. Construa uma tabela de medidas de tempo e posição como mostrado abaixo.
P t(s) x(cm) δx(cm) v(cm/s) δv(cm/s)
1 0.000
2
3
4
5
As colunas com a velocidade e o seu erro serão explicadas mais adiante.
9.5 Análise de Dados
Para esta análise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos e das massas
tem erro desprezível, ou seja δm = 0 e δt = 0.
58 CAPÍTULO 9. TRABALHO E ENERGIA
1. Construa um gráfico no papel milimetrado da posição em função do tempo
ao quadrado (x × t2). Não se esqueça de colocar as barras de erro se for
possível na sua escala adotada. Qual a forma funcional esperada para esse
gráfico?
2. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesma
reta? Obtenha, a partir desta reta, a aceleração do carrinho.
3. No computador, utilize o programa de regressão linear para fazer o ajuste
dos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatível com
o do gráfico feito no papel milimetrado?
4. Para estimar as velocidades instantaneas do carrinho e do peso utilize a
relação v = v0 + at, com a aceleração obtida do programa de regressão
linear. Lembre-se que a aceleração possui erro.
5. Faça a estimativa do trabalho da tensão para os intervalos entre cada sensor
e a posição inicial utilizando a equação (9.2). Qual será o erro associado?
Ele vai variar?
6. Faça a estimativa da energia cinética para o carrinho e o peso, KB e KA,
utilizando a sua definição e a estimativa da aceleração encontrada.
7. Encontre a energia potencial gravitacional do peso UA para quando o carrinho
passa pelos sensores.
8. Encontre a energia total quando o carrinho passa em cada um dos sensores?
9. Não esqueça de colocar o erro associado de todas as quantidades para cada
instante. Utilize a unidade (cm2Kg/s2) para as energias e o trabalho.
10. Construa uma tabela com os resultados, como mostrado abaixo:
9.5. ANÁLISE DE DADOS 59
WT ± δWT KB ± δKB KA ± δKA UA ± δUA E ± δE
11. Compare o seu resultado com o modelo teórico. O seu resultado está consis-
tente com este modelo? Justifique a sua resposta.
12. A energia foi conservada? O teorema trabalho-energia foi confirmado?
13. Quais são os possíveis fatores que explicariam a não conservação da energia,
se esse fato ocorreu?
60 CAPÍTULO 9. TRABALHO E ENERGIA
Capítulo 10
Colisões Elástica e Inelástica
10.1 Objetivo
Este experimento tem como objetivo verificar a conservação do momento linear de
um sistema de duas partículas em um processo de colisão elástica e inelástica em
uma dimensão.
10.2 Modelo Teórico
Colisão Elástica: Para uma colisão elástica, como mostrada na figura 10.2, tanto
o momento linear quanto a energia cinética total do sistema irão se conservar, logo,
Pi = p1i + p2i = p1f + p2f = Pf (10.1)
Ki =
p21i
2m1
+
p22i
2m2
=
p2
1f
2m1
+
p2
2f
2m2
= Kf (10.2)
Utilizando essas duas relações, podemos encontrar a velocidade final, após o cho-
que, das duas partículas:
v1f =
m1 −m2
m1 +m2
v1i +
2m2
m1 +m2
v2i (10.3)
v2f =
2m1
m1 +m2
v1i +
m1 −m2
m1 +m2
v2i (10.4)
Para o caso a ser analisado no experimento, o alvo, partícula 2, estará em repouso,
ou seja, v2i = 0 e também só será medida as velocidades iniciais da partícula 1 e a
velocidade final da partícula 2, logo só precisaremos da seguinte relação entre v1i
e v2f :
v2f =
2m1
m1 +m2
v1i (10.5)
61
62 CAPÍTULO 10. COLISÕES ELÁSTICA E INELÁSTICA
Figura 10.1: Esquema de uma colisão elástica (figura no topo) e uma colisão
inelástica (figura debaixo).
Colisão Inelástica: Para uma colisão inelástica, temos pela conservação do
momento linear:
Pi = m1v1i +m2v2i = (m1 +m2)vf = Pf (10.6)
O que já nos permite determinar a velocidade final após a colisão:
vf =
m1v1i +m2v2i
m1 +m2
, (10.7)
e com a mesma configuração especificada anteriormente, alvo em repouso, temos
vf =
m1
m1 +m2
v1i (10.8)
Desta forma, medindo as velocidades v1i do carrinho em movimento e as velocida-
des v2f e vf do alvo após o choque, com o auxílio das equações (10.5) e (10.8) do
nosso modelo teórico descrito acima, podemos estimar as seguintes relações entre
as massas:
• Elástica: 2m1
m1+m2
;
• Inelástica: m1
m1+m2
.
Estas duas quantidades serão comparadas com a medição direta da balança no
laboratório.
10.3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 63
10.3 Procedimento Experimental
Neste experimento será utilizado o trilho de ar, de tal forma que poderemos despre-
zar o atrito do carrinho. Por se tratar de uma colisão devemos colocar o cronometro
na função choque ou F3, dependendo do aparelho que se encontra na sua bancada.
1. Nivele o trilho de ar. Neste experimento é de fundamental importância que
o trilho esteja nivelado da melhor maneira possível.
2. Posicione os 4 sensores da seguinte forma: você quer medir a velocidade do
carrinho antes do choque e a velocidade do outro carrinho depois do choque.
Desta forma coloque os 4 sensores em pares, um par para antes do choque,
e outro para depois do choque, com uma distância de 10 centímetros entre
cada par. Tome cuidado para que o posicionamento dos dois pares de sensores
seja tal que não haja interação entre os carrinhos durante as medições (veja
a figura 10.2).
3. O carrinho que servirá de alvo deve ficar entre os dois pares de sensores. E
o carrinho que será lançado deverá ser empurrado antes do primeiro par de
sensores.
4. Verifique se os sensores estão conectadas corretamente. O último sensor não
é utilizado no experimento.
5. Verifique se todos os sensores estão funcionando adequadamente.
Não acrescente massas adicionais aos carrinhos, para evitarmos atrito entre eles e
o trilho de ar.
Trilho de ar
∆x ∆x
Figura 10.2: Posicionamento dos sensores e carrinhos antes da colisão no experi-
mento.
64 CAPÍTULO 10. COLISÕES ELÁSTICA E INELÁSTICA
10.4 Tomada de Dados
Neste experimento serão feitas duas tomadas de dados, uma para a colisão elática
e outra para a colisão inelástica.
1. Meça a massa dos dois carrinhos e suas respectivas incertezas (erros). Denote
por m1, o carrinho a ser lançado e m2 o carrinho alvo, de tal forma a utilizar-
mos a notação do modelo teórico descrito anteriormente. Neste experimento
não iremos desprezar o erro na medida das massas dos carrinhos. Discuta
com o seu professor qual seria uma estimativa deste erro e sua justificativa.
2. Para os dois casos iremos dar 7 impulsos iniciais diferentes para o carrinho
1. Tente coletar intervalos de tempos variando de 0.100 s a 0.400 s com
intervalos de ∆t = ±0.05 s. Como você fará isso "na mão"não terá um
controle perfeito sobre a velocidade do carrinho 1, entretanto tente fazer o
mais próximo possível.
3. Construa uma tabela de medidas de ∆t1, v1i, ∆t2 e v2f como mostrado
abaixo.
∆t1(s) v1i(cm/s) ∆t2(s) v2f (cm/s)
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
Para o caso de colisão inelástica, faça uma tabela idêntica, trocando apenas
v2f por vf .
10.5. ANÁLISE DE DADOS 65
10.5 Análise de Dados
Para esta análise de dados vamos assumir que as medidas dos tempos tem errodesprezível, ou seja δt = 0.
1. Com as medidas dos intervalos de tempo ∆t, e o espaçamento ∆x entre os
sensores para os dois carrinhos, calcule as velocidades do carrinho 1 (v1i)
antes da colisão e do carrinho 2 (v2f , vf ) depois da colisão. Qual a fórmula
para o erro associado a essa medida da velocidade?
2. Construa dois gráficos no papel milimetrado, um para a colisão elástica e
outro para a inelástica. Os gráficos serão (v2f × v1i) e (vf × v1i) respecti-
vamente. Não se esqueça de colocar as barras de erro para o parâmetro no
eixo vertical se for possível na sua escala adotada. Qual a forma funcional
esperada para os dois gráficos?
3. Os pontos experimentais podem ser considerados como pontos de uma mesma
reta? Obtenha, a partir destas duas retas, as relações entre as massas obtidas
no modelo teórico.
4. No computador, utilize o programa de regressão linear para fazer o ajuste
dos seus pontos experimentais a uma reta. O resultado esta compatível com
os dos gráficos feitos no papel milimetrado?
5. Com as medidas das massas, feita diretamente da balança, obtenha as re-
lações das massas para os dois tipos de colisões e os seus erros associados.
Compare essas duas medidas com os resultados obtidos nos gráficos.
6. Podemos concluir que o momento linear do sistema se conservou nos dois
tipos de colisões? Por que?
66 CAPÍTULO 10. COLISÕES ELÁSTICA E INELÁSTICA
Apêndice A
Método dos mínimos quadrados -
versão avançada
Nos experimentos com o carrinho em MRUV sobre o trilho de ar, medimos duas
grandezas, o quadrado do instante de tempo, t2 e a posição do carrinho, x, que,
segundo nosso modelo, deveriam relacionar-se de uma maneira linear, ou seja, sua
relação era do tipo x = at2 + b. De posse de vários pontos experimentais preten-
díamos determinar os valores dos coeficientes a e b. Contudo, ao construirmos um
gráfico desses pontos, descobrimos que eles não se alinhavam perfeitamente, for-
mando uma reta, mas apresentavam certa aleatoriedade em sua distribuição. Na
verdade, já deveríamos esperar por isso, pois esses pontos são pontos experimentais
e suas medidas estão sujeitas a erros aleatórios. Devido à distribuição dos pontos,
várias retas com diferentes coeficientes a e b, poderiam ser boas candidatas para
descrever o comportamento de nossos pontos experimentais. Precisávamos, por-
tanto, descobrir qual era a reta que melhor se ajustava aos pontos experimentais.
Essa é uma situação comum no laboratório: temos um conjunto de pontos
experimentais e gostaríamos de obter a melhor função para descrever esses pontos.
Esse procedimento é chamado de regressão ou ajuste de curva. Naturalmente, a
primeira pergunta que deve passar por sua cabeça é: que critério deve ser usado
para definir objetivamente o que é a melhor função? Geralmente, usamos como
critério o princípio de máxima verossimilhança. Admitimos que, ao realizarmos um
conjunto de medidas, ocorre o resultado que tem maior probabilidade de ocorrer.
Note que isso não acontece necessariamente. No entanto, essa ainda parece ser a
melhor hipótese a ser feita. Segundo esse princípio, a melhor função é aquela para a
qual a probabilidade de ocorrência de um dado conjunto de pontos experimentais
é máxima, quando tal função é considerada como a verdadeira. É importante
notar que esse critério estatístico não permite ajustar uma função arbitrária a um
conjunto de pontos experimentais. Por isso o que se considera é o ajuste de uma
função particular, dentro de uma família de funções com forma pré-determinada,
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68APÊNDICE A. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - VERSÃO AVANÇADA
aos pontos experimentais. Por exemplo, procura-se determinar entre todas as
retas y = ax + b , quais os valores particulares dos coeficientes a e b que melhor
se ajustam aos pontos experimentais.
O método dos mínimos quadrados é um método baseado no princípio de má-
xima verossimilhança e que pode ser aplicado quando as distribuições de erros
experimentais são gaussianas. O que, na prática, acontece frequentemente. Além
disso, a melhor função f(x), deve ser determinada a partir de uma função tentativa
f(x) = f(x; a1, a2, ..., ap) , previamente escolhida. Isso significa que as variáveis a
serem ajustadas são os parâmetros a1, a2, ..., ap.
Considere que num processo de medida de duas grandezas x e y, obtemos um
conjunto de n pontos experimentais que designaremos por
{x1, y1, σ1} , {x2, y2, σ2} , ..., {xn, yn, σn}
onde a variável independente xi é considerada isenta de erros e a variável yi tem
incerteza estatística dada pelo desvio padrão σi. Na prática a variável xi também
apresenta erros estatísticos. Quando esses erros forem significativos, eles podem
ser transferidos para a variável yi através das regras de propagação de erros.
Considere, agora, o ponto experimental , {xi, yi, σi}. Como estamos conside-
rando que a distribuição estatística de yi é gaussiana, então, a probabilidade Pi
de ocorrência desse ponto é determinada pela função gaussiana de densidade de
probabilidade correspondente a:
Pi =
C
σi
exp
[
−1
2
(
yi − µi
σi
)2]
onde µi é o valor médio verdadeiro correspondente a yi e C é uma constante de
normalização. Como a probabilidade total Ptotal de ocorrência do conjunto dos n
pontos experimentais é o produto das probabilidades de ocorrência de cada ponto,
pois eles são estatisticamente independentes, temos que:
Ptotal =
n∏
i=1
Pi =
Cn
σ1σ2...σn
exp
[
−1
2
n∑
i=1
(
yi − µi
σi
)2]
Se substituirmos o valor médio verdadeiro µi pela função tentativa f(x) = f(x; a1, a2, ..., ap)
teremos:
Ptotal =
n∏
i=1
Pi =
Cn
σ1σ2...σn
exp
[
−1
2
n∑
i=1
(
yi − f(x; a1, a2, ..., ap)
σi
)2]
=
Cn
σ1σ2...σn
exp
[
−1
2
χ2
]
onde
χ2 =
n∑
i=1
(
yi − f(x; a1, a2, ..., ap)
σi
)2
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Segundo o princípio da máxima verossimilhança, a função f(x) = f(x; a1, a2, ..., ap)
que melhor se ajusta aos pontos experimentais é aquela que maximiza a probabi-
lidade total Ptotal, se for considerada como a função verdadeira. Portanto, tudo o
que devemos fazer é determinar os parâmetros a1, a2, ..., ap que maximizam Ptotal.
Devido à exponencial na expressão acima para Ptotal, essa probabilidade é uma
função decrescente de χ2. Portanto, para maximizar Ptotal, basta minimizar χ2 em
relação aos parâmetros a1, a2, ..., ap.
Resumindo, se f(x; a1, a2, ..., ap) é uma função tentativa previamente escolhida.
Então, o método dos mínimos quadrados consiste em determinar os parâmetros
que minimizam a soma dos quadrados na expressão de χ2.
Nas situações em que as incertezas σi são todas iguais, teremos χ2 = S/σ2,
onde
S =
n∑
i=1
(yi − f(x; a1, a2, ..., ap))2
Nesses casos, os parâmetros a1, a2, ..., ap devem ser tais que minimizam S. Note
que, num gráfico, S representa a soma dos quadrados das distâncias verticais dos
pontos experimentais à curva que representa f(x).
Regressão linear
O problema da minimização de χ2, no método dos mínimos quadrados, se
torna especialmente simples quando a função tentativa representa uma reta, ou
seja, f(x) = ax + b. O problema do ajuste de uma reta a um conjunto de dados
experimentais se chama regressão linear. Como nesse caso a aplicação do método
dos mínimos quadrados é bastante simples, vamos realizá-la aqui explicitamente
para que você tenha uma idéia de como o método funciona.
Nosso problema consiste em minimizar a expressão
χ2 =
n∑
i=1
(
yi − (axi + b)
σi
)2
em relação aos parâmetros a e b. Para isso, vamos derivar χ em relação a a e b e
igualar essas derivadas a zero:
∂χ2
∂a
= −2
n∑
i=1
[yi − (axi + b)] xi
σ2i
∂χ2
∂b
= −2
n∑
i=1
[yi − (axi + b)]
σ2i
Ou
aSx2 + bSx = Sxy
aSx + bSσ = Sy (A.1)
70APÊNDICE A. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - VERSÃO AVANÇADA
onde
Sσ =
n∑
i=1
1
σ2i
; Sx =
n∑
i=1
xi
σ2i
Sx2 =
n∑
i=1
x2i
σ2i
Sy =
n∑
i=1
yi
σ2i
Sxy =
n∑
i=1
xiyi
σ2i
(A.2)
A solução desse sistema de equações pode ser facilmente obtida, fornecendo:
a =
SσSxy − SxSy
SσSx2 − SxSx (A.3)
b =
Sx2Sy − SxSxy
SσSx2 − SxSx (A.4)
As grandezas a e b foram obtidas em função das variáveis yi que possuem incertezas
estatísticas σi. Portanto,