Integração Numérica

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Ensino Superior
2.2- Integração Numérica
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
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Problema (I)
x
y
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)
(x4,y4)
(x5,y5)
(x6,y6)
a
b
(x7,y7)
g(x)
h(x)
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Problema (II)
x
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Motivação
Calcular a integral de uma função f(x) em casos onde:
f(x) é conhecida apenas em certos pontos
II) é impossível calcular ou difícil de expressar a antiderivada F(x) de f(x) 
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Integração Numérica
Utilizam-se funções polinomiais de interpolação para aproximar o valor da integral definida:
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Aproximações para a integral
Regra do Retângulo
(P0(x))
Regra do Trapézio
(P1(x))
Regra de Simpson
(P2(x))
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Regra do Retângulo
Aproximamos a integral de f(x) divindo o intervalo [a,b] em m subintervalos e calculando a área dos retângulos de base h=(b-a)/m e altura f(x), isto é, 
usando 
f(x) do ponto à esquerda
usando 
f(x) do ponto à direta
usando 
f(x) do ponto médio
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Regra do Trapézio
Aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1 que interpola (x0,y0) e (x1,y1)=(x0+h,y1) pela forma de Lagrange:
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Regra do Trapézio
Integrando o polinômio no intervalo [x0,x1]:
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Regra do Trapézio
Interpretação geométrica: a expressão anterior mostra que a integral de f(x) pode ser aproximada pela a área do trapézio:
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Regra do Trapézio Repetida
Dividindo o intervalo de integração em m partes iguais de medida h=(b-a)/m,
 temos a Regra do Trapézio Repetida:
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Regra de Simpson
Aproximando f(x) pelo polinômio de grau 2 que interpola os pontos 
	(x0, f(x0)), 
 (x1, f(x1))=(x0+h, f(x0+h)),
	(x2,f(x2))=(x0+2h, f(x0+2h)), 
 
temos: 
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Regra de Simpson
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Regra de Simpson
Integrando a expressão anterior no intervalo [x0,x2],
após simplificações, obtemos:
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Regra de Simpson
Interpretação geométrica: a integral de f(x) é aproximada pela área entre o eixo-x e a parábola que passa pelo ponto médio e pelos extremos do intervalo [a,b] :
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Regra de Simpson Repetida
Subdividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos (sendo m par):
obtemos a Regra de Simpson Repetida: 
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Estimativas de Erro
Pela Regra dos Trapézios Repetida:
Pela Regra de Simpson Repetida:
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Exercícios
1. a) Calcule a integral definida de f(x)=ex no intervalo [0,1] pelo método de Simpson com uma estimativa de erro inferior a 10-5. 
 b) Para se obter um resultado com estimativa de erro semelhante utilizando a Regra do Trapézio, quantas subdivisões do intervalo de integração são necessárias?
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Exercícios
a) Qual o erro máximo cometido na aproximação de pela regra de Simpson com quatro subintervalos? E por Trapézios? 
	b) Calcule a integral pelos dois métodos e compare com a estimativa do item a).
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Exercícios
3. Use a Regra de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor números de divisões e maior precisão). Justifique sua resposta.Trabalhe com três casas decimais. 
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Exercícios
4. Sabendo que a Regra de Simpson é, em geral, mais precisa que a Regra dos Trapézios, qual seria o modo mais adequado de calcular a integral definida de f(x) no intervalo dado, usando a tabela abaixo? Aplique este processo para determinar o valor da integral.
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Exercícios para Entrega
a) Calcule a integral a seguir pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson, usando quatro e seis divisões do intervalo [a,b]. Compare os resultados.
	b) Quantas divisões do intervalo são necessárias, no mínimo, para se obter erros menores que 10-5, com cada uma das regras?
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Respostas aos exercícios
1. a) m  8; para m=8 temos IS= 1.718284 b) m 151
2. ESR=0; IS=172; |ETR | ≤ 24; IT=184.
3. IS=44.083 com erro zero.
4. I = 4.227527 (Trapézios no primeiro intervalo e o restante por Simpson).
1. a) Trapézios (m=4): 4.7683868
 Trapézios (m=6): 4.7077771
 Simpson (m=4): 4.6763744
 Simpson (m=6): 4.6614894
 b) Trapézios: 1382
 Simpson: 80
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