1a Avaliacao de Algebra Linear II - T02 - Ferias - 2014-03

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Curso: Engenharia Aluno(a):
Disciplina: Matr´ıcula: Turma: Per´ıodo:
Professor(a): Semestre: Data: Nota:
INFORMAC¸O˜ES GERAIS:
1. Leia com atenc¸a˜o a sua prova. Cada questa˜o valera´ ate´ (2,0) pontos.
2. Esta avaliac¸a˜o e´ Individual e sem consulta.
3. O aluno so´ podera´ entregar a prova trinta minutos apo´s o in´ıcio da mesma.
4. As du´vidas de ordem te´cnica, constantes na prova, so´ podera˜o ser esclarecidas pelo professor da disciplina, nos primei-
ros quarenta minutos iniciais da prova.
5. E´ proibido destacar pa´ginas da prova, bem como utilizar qualquer outra folha de papel, a na˜o ser a entregue pelo(a)
professor(a) fiscal da prova.
6. A avaliac¸a˜o pode ser respondida a a la´pis, pore´m o resultado final da quesra˜o devera´ ser apresentado, obrigatoriamen-
te, em caneta, tinta azul ou preta.
7. E´ proibido uso de celulares, tablets e outros aparelhos de comunicac¸a˜o durante a prova.
8. Todo material e´ de uso individual, na˜o sendo permitido empre´stimo de qualquer material durante a prova
9. O tempo ma´ximo para realizac¸a˜o da prova e´ de 100 minutos.
10. A portaria n. 024/2008/GD/EST/UEA estabelece que, em dia de prova, o aluno dos cursos de Engenharia, Tecnolo-
gia, Licenciatura em Informa´tica e Meteorologia comparec¸a ao local determinado da para a realizac¸a˜o da prova munido
de documento oficial, original, com foto, para apresentac¸a˜o, se solicitado.
1a Avaliac¸a˜o Parcial de A´lgebra Linear II
Questo˜es
Questa˜o 1. [2, 0 pontos] Indicar quais das seguintes sentenc¸as sa˜o verdadeiras (V ) ou falsas (F ).
Justifique sua resposta.
(a) ( ) O conjunto W = {X ∈M2×2(R);X2 = I} e´ subespac¸o vetorial de M2×2(R).
(b) ( ) O conjunto dos polinoˆmios de grau igual a 2 e´ subespac¸o vetorial de P3(R).
(c) ( ) Seja B uma matriz fixa em M2×2(R). A matriz identidade I2×2 pertence ao subespac¸o
W = {X ∈M2×2(R);XB −BX = 0}.
(d) ( ) Se V1 e V2 sa˜o subespac¸os de V tais que V1 + V2 = V1 ∩ V2, enta˜o V1 = V2 = {0}.
Questa˜o 2. [2, 0 pontos] Seja U um subespac¸o de P1(R) definido por
U =
{
p(t) ∈ P1(R);
∫ 1
−1
p(t)dt+ p′(0) = 0
}
.
(a) [1, 0 ponto] Exiba uma base para U e diga qual e´ a sua dimensa˜o.
(b) [1, 0 ponto] Determine U⊥, com respeito ao produto interno
〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(t)q(t)dt, ∀ p, q ∈ P1(R).
1
Questa˜o 3. [2, 0 pontos] Sejam W1 =
{(
a b
c d
)
; a = d e b = c
}
, W2 =
{(
a b
c d
)
; a = c e b = d
}
subespac¸os de M2×2(R).
(a) [1, 0 ponto] Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.
(b) [1, 0 ponto] Determine W1 +W2. Verificar se W1 ⊕W2 =M2×2(R).
Questa˜o 4. [2, 0 pontos] Considere o subespac¸o W de R4, munido com produto interno usual,
gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1) e v3 = (−2, 2, 1, 1). A respeito de W assinale
a u´nica alternativa correta. Justifique sua resposta.
(a) W tem dimensa˜o 3;
(b) W⊥ tem dimensa˜o 1;
(c) {v1, v2, v3} e´ uma base ortogonal de W ;
(d) {(1, 1, 0, 0), (0, 0,−1, 1)} e´ uma base ortonormal de W⊥;
(e) nenhuma das anteriores esta´ correta.
Questa˜o 5. [2, 0 pontos] Considere o espac¸o vetorial real C0([0, pi]) = {f : [0, pi]→ R; f e´ cont´ınua}
munido com o produto interno:
〈f, g〉 =
∫ pi
0
f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0([0, pi]).
A distaˆncia d = d(f, g) entre as func¸o˜es f, g ∈ C0([0, pi]) e´ definida por
d(f, g) = ‖f − g‖.
Calcular a distaˆncia entre as func¸o˜es f(t) = sen t e g(t) = cos t.
Questa˜o 6. [2, 0 pontos] Sejam V o espac¸o das matrizes triangulares superiores, munido do produto
interno usual
〈A,B〉 = Tr(Bt ·A); A,B ∈ V,
e
α =
{(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 1
)
,
(
0 0
0 1
)}
uma base de V . Use o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt, a partir de α, para encontrar
uma base ortogonal de V .
Questa˜o 7. [2, 0 pontos] Considere o espac¸o vetorial real P3(R), com produto interno
〈p, q〉 =
∫ 1
−1
p(t)q(t)dt, ∀ p, q ∈ P3(R),
e o subespac¸o vetorial W = {p(t) ∈ P3(R); p(−1) = p(1) = 0}. Dado o polinoˆmio q(t) = 1+2t− t2,
determine o polinoˆmio p(t) tal que q(t) = p(t) + r(t) para r(t) ∈W⊥.
Boa Prova!
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