2a Avaliacao Parcial de Alg Lin II - 2a chamada - 2013-02

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Curso: Engenharia Aluno(a):
Disciplina: Matr´ıcula: Turma: Per´ıodo:
Professor(a): Semestre: Data: Nota:
INFORMAC¸O˜ES GERAIS:
1. Leia com atenc¸a˜o a sua prova. Cada questa˜o valera´ ate´ (2,5) pontos.
2. Esta avaliac¸a˜o e´ Individual e sem consulta.
3. O aluno so´ podera´ entregar a prova trinta minutos apo´s o in´ıcio da mesma.
4. As du´vidas de ordem te´cnica, constantes na prova, so´ podera˜o ser esclarecidas pelo professor da disciplina, nos primei-
ros quarenta minutos iniciais da prova.
5. E´ proibido destacar pa´ginas da prova, bem como utilizar qualquer outra folha de papel, a na˜o ser a entregue pelo(a)
professor(a) fiscal da prova.
6. A avaliac¸a˜o pode ser respondida a a la´pis, pore´m o resultado final da quesra˜o devera´ ser apresentado, obrigatoriamen-
te, em caneta, tinta azul ou preta.
7. E´ proibido uso de celulares, tablets e outros aparelhos de comunicac¸a˜o durante a prova.
8. Todo material e´ de uso individual, na˜o sendo permitido empre´stimo de qualquer material durante a prova
9. O tempo ma´ximo para realizac¸a˜o da prova e´ de 100 minutos.
10. A portaria n. 024/2008/GD/EST/UEA estabelece que, em dia de prova, o aluno dos cursos de Engenharia, Tecnolo-
gia, Licenciatura em Informa´tica e Meteorologia comparec¸a ao local determinado da para a realizac¸a˜o da prova munido
de documento oficial, original, com foto, para apresentac¸a˜o, se solicitado.
2a Avaliac¸a˜o Parcial de A´lgebra Linear II - 2a chamada
Questo˜es Obrigato´rias
Questa˜o 1. [2, 5 pontos] Considere o operador linear T : P3 → P3 definido por:
T (p(x)) = p(x) + p′(x) + x2p′′(x).
Determine os autovalores e autovetores do operador linear T , descrevendo para cada autovalor o
subespac¸o associado.
Questa˜o 2. [2, 5 pontos] Sejam T : R4 → R4 um operador linear, α a base canoˆnica de R4 e
[T ]αα =

2 0 0 0
2 1 0 0
0 1 −1 0
0 0 −1 −2
 .
(a) [ 2, 0 ponto] Determinar os autovalores e os autovetores de T .
(b) [ 0, 5 ponto] O operador T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
Questa˜o 3. [2, 5 pontos] Dizemos que uma matriz A e´ semelhante a uma matriz B, quando existe
uma matriz P, na˜o-singular, tal que A = PBP−1. Mostrar que:
(a) [1, 25 pontos] se A e´ semelhante a B, e B e´ semelhante a matriz C, enta˜o A e´ semelhante a
C.
(b) [1, 25 pontos] se A e´ semelhante a uma matriz diagonaliza´vel B, enta˜o A2 e´ diagonaliza´vel.
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Questa˜o 4. [2, 5 pontos] Considere o espac¸o vetorial real C0([0, pi]) = {f : [0, pi]→ R; f e´ cont´ınua}
munido com o produto interno:
〈f, g〉 =
∫ pi
0
f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0([0, pi]).
A distaˆncia d = d(f, g) entre as func¸o˜es f, g ∈ C0([0, pi]) e´ definida por
d(f, g) = ‖f − g‖.
Calcular a distaˆncia entre as func¸o˜es f(t) = sen t e g(t) = cos t.
Questo˜es Extras (OPCIONAL)
Questa˜o 5. [2, 0 pontos] Sejam A e P matrizes quadradas de mesma ordem, com P invert´ıvel.
(a) [1, 5 pontos] Mostre que se p(t) ∈ Pn(R), enta˜o
p(P−1AP) = P−1p(A)P.
(b) [0, 5 ponto] Mostre que se p e´ o polinoˆmio caracter´ıstico de A, enta˜o
p(P−1AP) = 0.
Questa˜o 6. [2, 0 pontos] Considere o espac¸o vetorial P2(R) munido com o produto interno:
〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(t)q(t)dt, ∀ p, q ∈ P2(R).
Determine todos os polinoˆmios q(t) = at2 + bt + c ∈ P2(R) que sa˜o ortogonais ao polinoˆmio
p(t) = 12(t+ 1) com relac¸a˜o a este produto interno dado.
Boa Prova!
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