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Avaliacao Final de Algebra Linear II - Curso de Ferias 2014-03

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Curso: Engenharia Aluno(a):
Disciplina: Matr´ıcula: Turma: Per´ıodo:
Professor(a): Semestre: Data: Nota:
Avaliac¸a˜o Final de A´lgebra Linear II
Questo˜es
Questa˜o 1. [2, 0 pontos] Seja B ∈M2×2(R) uma matriz fixa.
(a) [1, 0 ponto] Mostrar que W = {X ∈M2×2(R);XB−BX = 0} e´ um subespac¸o de M2×2(R).
(b) [1, 0 ponto] Determinar a dimensa˜o de W⊥ quando B =
(
0 1
−1 0
)
.
Questa˜o 2. [2, 0 pontos] Considere os subespac¸os W1 = {p(t) ∈ P2(R); p′(0) = 0} e W2 = {p(t) ∈
P2(R); p′′(0) = 0} de P2(R).
(a) [1, 0 ponto] Determinar W1 ∩W2 e exibir uma base.
(b) [1, 0 ponto] Determinar W1 +W2. E´ verdade que W1 ⊕W2 = P2(R)? Justifique.
Questa˜o 3. [2, 0 pontos] Seja β = {1 − t3, (1 − t)2, 1 − t, 1} um subconjunto do espac¸o vetorial
P3(R).
(a) [1, 0 ponto] Mostrar que o conjunto β e´ linearmente independente.
(b) [1, 0 ponto] Mostrar que [1− t3, (1− t)2, 1− t, 1] = P3(R).
Questa˜o 4. [2, 0 pontos] Seja o espac¸o vetorial V =M2×2(R) munido com o produto interno usual
〈A,B〉 = Tr(Bt ·A); A,B ∈ V.
Sejam A =
(
1 1
m− 1 1
)
e B =
( −1 m
m2 1−m
)
matrizes em V . Determinar m ∈ R de modo
que A e B sejam ortogonais, com respeito a este produto interno.
Questa˜o 5. [2, 0 pontos] Considere o subespac¸o W de R3 gerado por v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1) e
v3 = (1, 1,−1). Sendo 〈·, ·〉 o produto interno usual, exiba uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R3
tal que Im T =W e kerT =W⊥.
Questa˜o 6. [2, 0 pontos] Determinar a transformac¸a˜o linear T : R2 → P1(R) tal que T (1, 1) = t−1
e T (1,−1) = t+1. Se α = {(1, 1), (1,−1)} e β = {1, 1−t} sa˜o bases de R2 e P1(R), respectivamente,
encontrar [T ]αβ .
Questa˜o 7. [2, 0 pontos] Seja D2 : S → S a aplicac¸a˜o derivada de segunda ordem dada por
D2(f) = f ′′, em que S = [sen t, cos t] e´ um subespac¸o de F(R,R) (espac¸o das func¸o˜es f de uma
varia´vel real em valores reais).
(a) [1, 0 ponto] Seja α = {sen t, cos t} uma base de S. Determinar [D2]αα.
(b) [1, 0 ponto] Determinar os autovalores e autovetores de D2.
Questa˜o 8. [2, 0 pontos] Determinar os autovalores e autovetores da matriz

1 0 1 0 1
0 −1 0 −1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 −2 0
0 0 0 0 2
 .
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