Espaços e Subespaços Vetoriais

Prévia do material em texto

Lista 1
Espac¸os e Subespac¸os Vetoriais
1. Sejam X um conjunto na˜o vazio e V um espac¸o vetorial. Mostre que, com as definic¸o˜es
naturais de soma e multiplicac¸a˜o por escalar de func¸o˜es, o conjunto das func¸o˜es de X em
V, F(X,V), e´ um espac¸o vetorial.
2. Mostre que em um espac¸o vetorial o vetor nulo e´ u´nico e para cada vetor v ∈ V o sime´trico
−v ∈ V tambe´m e´ u´nico.
3. Sejam u, x, w ∈ V. Prove que x+ w = x+ u implica que w = u.
4. Em um espac¸o vetorial V, αx = βx implica que α = β? E se x 6= 0?
5. Mostre que se v a um espac¸o vetorial V e n e´ um inteiro positivo, enta˜o nv = v + · · ·+ v
(n parcelas).
6. Verifique se os seguintes conjuntos sa˜o espac¸os vetoriais.
(a) O conjunto das func¸o˜es f em C0[−1, 1] tais que f(−1) = f(1).
(b) O conjunto das func¸o˜es cont´ınuas na˜o decrescentes em [0, 1].
(c) O conjunto das func¸o˜es f em C0[−1, 1] tais que f(−1) = 0 ou f(1) = 0.
(d) O conjunto de todos os polinoˆmios de grau 3.
7. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados sa˜o ou na˜o espac¸os
vetoriais.
(a) {B ∈Mn×n | AB = BA}.
(b) {B ∈Mn×n | AB 6= BA}.
(c) {B ∈Mn×n | BA = 0}.
8. Seja X um conjunto na˜o vazio. Mostre que para qualquer t0 ∈ X fixado, o conjunto
{f ∈ F(X,R) | f(t0) = 0} e´ um subespac¸o de F(X,R).
9. Sejam W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = z} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0}. Mostre que
R3 = W1 ⊕W2.
10. Encontre um conjunto de vetores que gera o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0,
em que
(a) A =
 1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1

(b) A =
 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2

11. Verifique que o espac¸o gerado pelo conjunto {sen2 t, cos2 t} e´ igual ao gerado por {1, cos 2t}.
12. Encontre conjuntos geradores para os seguintes subespac¸os:
(a) {(a, b, c) ∈ R3 | 3a− 5b+ 2c = 0}.
(b) {A ∈M2×2 | 3a11 = 2a12}.
(c) {p ∈ P3 | p(2) = 0}.
(c) {p ∈ P3 | p(2) = p(−1)}.
1
13. Mostre que o conjunto dos quocientes de polinoˆmios chamado frac¸o˜es racionais,
R(t) =
{
p(t)
q(t)
| p(t), q(t) ∈ R[t], q(t) 6= 0
}
.
e´ um espac¸o vetorial sobre R.
14. Mostre que um subconjunto na˜o vazio W, de um espac¸o vetorial V e´ um subespac¸o se, e
somente se, v + αw ∈W, para quaisquer vetores v, w ∈W e qualquer escalar α ∈ R.
15. Mostre que W1+W2 e´ o menor subespac¸o que conte´m W1 e W2 no sentido de que qualquer
subespac¸o que contenha W1 e W2 tem que contem W1 +W2.
16. Seja X um subconjunto na˜o vazio de um espac¸o vetorial V.
(a) Mostre que o conjunto [X] de todas as combinac¸o˜es lineares
α1v1 + · · ·+ αkvk
de vetores v1, . . . , vk ∈ X e´ um subespac¸o vetorial de V.
(b) Mostre que [X] e´ o menor subespac¸o de V que conte´mX, ou seja, seW e´ um subespac¸o
de V e X ⊆W, enta˜o [X] ⊆W.
(c) Mostre que X1 e X2 sa˜o subconjuntos de um espac¸o vetorial V e X1 ⊆ X2, enta˜o
[X1] ⊆ [X2].
(d) Mostre que se X1 e X2 sa˜o subconjuntos de um espac¸o vetorial V, enta˜o [X1 ∪X2] =
[X1] + [X2].
17. Sejam X um subconjunto de um espac¸o vetorial V e Y um subconjunto obtido de X
substituindo-se um de seus elementos v por v + αu, para u ∈ X e α ∈ R. Mostre que
[X] = [Y ].
18. Mostre que {v1, . . . , vk} subconjunto de um espac¸o vetorial V set e {v1, v2−v1, . . . , vk−v1}
geram o mesmo subespac¸o de V.
2