NOTAS DE CÁLCULO NUMÉRICO_ANDRÉA_FRAGATA

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Centro de Estudos Superiores de São Gabriel da Cachoeira - UEA 
Profa. Msc. Andréa F. Fragata Curso de Matemática – Cálculo Numérico 
 
 
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Conceitos e Princípios Gerais em Cálculo Numérico 
1.1 Objetivo: 
Propiciar ao estudante o conhecimentos de processos numéricos já concebidos pela análise 
numérica. 
Problema físico Modelagem Modelo matemático Resolução Solução 
1.2 Resolução do modelo matemático por meio de cálculo numérico 
(i) Feita a modelagem matemática, a fase seguinte consiste na resolução do modelo. 
(ii) A área da matemática que trata da concepção de processos numéricos e estuda sua 
exequibilidade para encontrar aproximações à solução do modelo matemático denomina-se 
Análise Numérica. 
Conceitos Básicos de Cálculo Numérico 
(a) Problema Numérico: 
Tanto os dados (dados de entrada) como os resultados (dados de saída) para o problema 
são conjuntos numéricos finitos. 
Exemplo : 
0100705501120 23456  xxxxxx
 
(b) Problema não numérico 
Os dados de entrada e de saída não se apresentam como uma quantidade finita de números 
reais. 
Exemplo: 












1)5(
0)0(
)5,0(,22
2
2
y
y
xyx
dx
yd
 
 
Métodos Numéricos 
A escolha do método mais eficiente para resolver um problema numérico devem envolver os 
seguintes aspectos: 
(i) Precisão desejada para os resultados; 
(ii) Capacidade dos métodos em conduzir os resultados; 
(iii) Esforço computacional despendido . 
 
Algorítmo: é a descrição sequencial dos passos que caracterizam um método numérico. 
Fontes de Erro: 
a. Erros nos dados de entrada; 
b. Erros no estabelecimento do modelo matemático; 
c. Erros de arredondamento durante a computação; 
d. Erros de truncamento; 
e. Erros humanos e de máquinas. 
Erros 
a. Cálculo do perímetro de uma circunferência de raio 100m. Para π vamos assumir os valores 
 
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2 
Π 
Aprox. obtidas 
3.14 
 6.28m 
3.1416 
628.32m 
3.141592654 
628.3185380m 
 
Os resultados acima são aproximações para o perímetro devido ao erro de arredondamento 
cometido na escolha do valor de π. 
Obs: O erro ocorrido no problema depende da representação do número na máquina a ser 
utilizada. Além disto, um número pode ter representação finita em uma base e não finita em 
outras bases. A base decimal é a mais empregada atualmente. Já o computador geralmente 
opera na base 2. 
A partir do momento em que se calcula um resultado por aproximação, é preciso saber 
como estimar ou delimitar o erro cometido na aproximação. Sem isso a aproximação obtida não 
tem significado. Frequentemente é possível, no cálculo numérico, estimar o erro e até delimitá-
lo, isto é, estabelecer a menor das cotas superiores para o erro. A delimitação do erro é sempre 
desejável, pois com ela tem-se um valor em que o erro cometido seguramente é inferior a um 
limite. 
Para se estimar ou delimitar o erro, recorre-se a dois conceitos: erro absoluto e erro relativo. 
Com efeito, seja 
x
 um valor aproximado para uma quantidade cujo valor exato é 
x
. Então se 
define: 
(i) Erro absoluto em 
x
: 
xx 
 
 O erro relativo é frequentemente dado como uma porcentagem. Por exemplo, 5% de erro 
relativo significa que o eroo relativo é de 0,05. 
 
(ii) Erro relativo em 
x
: 
x
xx  
Se a magnitude do erro em 
x
 não excede 0,5 X 10-t, então se diz que 
x
 tem t casas 
decimais corretas do valor exato 
x
. Por exemplo: 0,001234 

0,000004 tem cinco casas 
decimais corretas. 
Representação de Números Inteiros 
De um mo do geral, dado um número na base , podemos 
escrever na forma polinomial: 
 
 
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3 
 
Exemplo 
a. (347)10 = 3 x 10
2 + 4 x 101 + 7 x 100 
b. (10111)2 = 1 x 2
4 + 0 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20 
c. (10111)2 = 1 x 2
4 + 0 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = (23)10 
d. (1011,101)2 =1 x 2
3 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 +1 x 2-1 +0 x 2-2 +1 x 2-3 
 
Algorítmo para converter um número para um número 
representado na base 10: 
 ↔ (b)10 
 
 bn = an 
 bn-1 = an-1 + 2.bn 
 bn-2 = an-2 + 2.bn-1 
. 
. 
. 
 b1 = a1 + 2.b2 
 b0 = a0 + 2.b1 
Exemplo: 
(10111)2 
b4 = a4 = 1 
b3 = a3 + b4 x 2 = 0 + 1 x 2 = 2 
b2 = a2 + b3x 2 = 1 + 2 x 2 = 5 
b1 = a1 + b2x 2 = 1 + 5 x 2 = 11 
b0 = a0 + b1 x 2 = 1 + 11 x 2 = 23 
 
De modo análogo para converter um número da base 2 para a base 10 aplica-se o algoritmo 
anterior tendo-se o cuidado de escrever todos os dígitos na base 2, inclusive o número 
 e efetuara aas operações na base 2. 
Exemplo 
(347)10 
b2 = a2 = 3 
b1 = a1 + b2 x 10 = 4 + 3 x 10 = (100)2 + (11)2 X (1010)2 = (100010)2 
b0 = a0 + b1 x 10 =7 + (100010)2 x (1010)2 = (111)2 + (100010)2 x (1010)2 = (101011011)2 
 
Cálculos: 
3 = 1 x 21 + 1 x 20 = (11)2 
4 = 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = (100)2 
7 = 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = (111)2 
10 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = (1010)2 
 
Observação: Na aritmética do sistema binário tem-se: 
 
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0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 =10 
0 . 0 = 0 1 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 1 = 1 
 
Conversão de Números Fracionários: Binário Decimal 
Seja r um número real positivo na base 10 então, r = rI + rF 
 
 rI é o maior inteiro, menor ou igual a r, 
 rF é um número entre 0 e 1, 
 rF = b1 x 10
-1 + b2 x 10
-2 + b3 x 10
-3 + ...+ bk x 10
-k 
 
 Se bk = 0 para todo k > m, dizemos que rF tem representação decimal finita, 
rF = = 0.125 = 1 x 10
-1 + 2 x 10-2 + 5 x 10
-3 
caso contrário, dizemos que rF não tem representaçãofinita 
rF = = 0.111... = 1 x 10
-1 + 1 x 10-2 + 1 x 10
-3 + ... 
 Se r estiver representado na base binária teremos, 
 rF = b1 x 2
-1 + b2 x 2
-2 + b3 x 2
-3 + ...+ bk x 2
-k, onde bj = 0 ou 1 para todo j. 
Dada uma fração rF no sistema decimal, como obter sua representação na base 2? 
Exemplo: 
a. rF = (0.5)10 = 5 x 10
-1 . Sejam bk = k = 1,2,... tais que, rF = 
2rF = = 
 
 Portanto, rF = (0.5)10 = (0.1)2 
b. rF = (0.125)10 = 1 x 10
-1 + 2 x 10-2 + 5 x 10
-3 
rF = 2(rF) = 0.25 = 
2 (2rF)F = 2(0.25) = 0.5 = 
2[2 (2rF)F ]= 2(0.5) = 1 = 
 Portanto, rF = (0.125)10 = (0.001)2 
 Os exemplos acima mostram que o número r tem representação finita no sistema decimal e no 
sistema binário. Porém isto nem sempre ocorre, confira o exemplo a seguir: 
c. rF = (0.1)10 
2(rF) = 2 (0.1) = 0.2 
 
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5 
2[(rF)F] = 2 (0.2) = 0.4 
2{2[(rF)F] }F = 2 (0.4) = 0.8 
2{2{2[(rF)F] }F}F = 2(0.8) = 1.6 = 1 + 0.6 e 
2(0.6) = 1.2 
15 b
 e 2(0.2) = 0.4 
 Observe que a parte fracionária (0.2) se repete. Então rF = (0.1)10 = (0.0001100110011...)2, 
logo rF não tem representação finita na base 2. 
Exercício 1 
1. Converta os seguintes números decimais para a base binária: 
x = 47; y = 93; z = 26.35; w = 0.1217 
2. Converta os seguintes números binários para a sua correspondente forma na base 
decimal: 
a. x =(110101)2 
b. y = (0,1101)2 
c. z = (11100,1101)2 
d. w = (0,1111101)2 
3. Converta rF = (0,1011)2 do sistema binário para o sistema decimal. 
 
 
Aritmética de Ponto Flutuante 
Anteriormente mostramos que Erros de arredondamento podem surgir de duas fontes 
distintas: no processo de conversão de base e na representação finita de dígitos que as 
máquinas utilizam para representar um número. 
Um número qualquer na base , em aritmética de ponto flutuante de dígitos, tem a seguinte 
forma: 
 
 Onde 
 é um fração na base , também chamada de mantissa. 
 , 
 é o expoente que varia no intervalo . são inteiros e dependem da máquina 
utilizada. Em geral, . 
 Um número em aritmética de ponto flutuante, está normalizado se . 
O número máximo de dígitos da mantissa é determinado pelo comprimento da palavra do 
computador. Um ‘bit’ é um dígito da mantissa, quando é empregada a base 2. 
Dado um número , sua representação em Aritmética de Ponto Flutuante de dígitos é feita 
por truncamento ou arredondamento. Este número não pode ser representado neste sistema se o 
expoente estiver fora dos limites e . São os casos de “underflow” ou “overflow” 
. 
 
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Neste sistema o zero é, em geral, representado com o menor expoente possível para se evita a 
perda de dígitos nas operações. 
Exemplo: 
 
X Representação obtida por 
arredondamento 
Representação obtida por 
truncamento 
1.25 0.125 x 10 0.125 x 10 
10.053 0.101 x 102 0.100 x 102 
-238.15 -0.238 x 103 -0.238 x 103 
2.71828... 0.272 x 10 0.271 x 10 
0.000007 Expoente menor que -4 = 
718235.82 Expoente maior que 4 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Equações Algébricas e Trancendentes 
 Zeros de funções Reais: 
Um número real é um zero (raiz) da função se = 0. Em alguns casos, de 
equações polinomiais, os valores de que anulam podem ser reais ou complexos. Nesta nota, 
estaremos interessados somente nos zeros reais de . Graficamente os zeros reais são 
representados pela interseção do gráfico de com o eixo . 
 
 
 
• Como obter raízes de uma equação qualquer? 
Estudaremos métodos numéricos para resolver equações da forma . Na maioria 
dos casos estas equações não tem solução algébrica como há para as equações de 2O grau. No 
entanto, métodos numéricos podem fornecer uma solução satisfatória. A idéia, desses métodos é 
partir de uma aproximação inicial para a raiz, em seguida fazer o “refinamento” dessa aproximação 
através de um processo iterativo 
 Processo para encontrar uma solução: 
Consiste de duas fases, 
Fase1: Isolamento de raízes - consiste em achar um intervalo [a,b] que contém a raíz. 
 
Fase2: Refinamento - Partindo de uma aproximação inicial refinamos a solução até que 
certos critérios sejam satisfeitos. 
 
Teorema: Se uma função contínua assume valores de sinais opostos nos pontos 
extremos do intervalo , isto é, se , então existe pelo menos um ponto 
, tal que . 
 
Definição: Se é uma função dada, um ponto é um zero (ou raiz) de 
se . 
 
Exemplo: Seja . Determinar as raízes de . 
Solução: 
 
 
 
 
 
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Façamos a interseção dos gráficos de cada uma das funções acima. A projeção de 
cada ponto interseção dos gráficos sobre o eixo indica uma raiz de , em seguida 
identificamos o intervalo e o refinamos através de um método numérico. Neste exemplo 
apenas estamos interessados em verificar se o intervalo que contém a raiz cumpre as 
condições do teorema. 
 
 
 
 
 
 , raiz negativa. 
, raiz positiva. 
 
Importante: Sob as hipóteses do teorema anterior. Se existir e preservar o 
sinal em então este intervalo contém um único zero de . 
Exemplo: com 
 
 0 1 2 3 ... 
 - - + + ... 
 
 admite pelo menos um zero em 
 admite um único zero em todo o seu domínio, e este 
zero está em . 
 
Exercício: 
 -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5 
 - - - - + + + - - + + + 
Identifique os intervalos que possuem pelo menos uma raiz. 
 
Teorema de Bolzano: Seja uma equação algébrica com coeficientesreais e 
. 
 
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 Se , então existe um número impar de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) no intervalo . 
 
 Se , então existe um número par de raízes reais (contando suas 
multiplicidades) ou não existem raízes reais no intervalo . 
 
 
Critérios de Parada 
Depois de isolar a raiz no intervalo , passamos a cálculá-la através de métodos 
numéricos. Estes métodos devem fornecer uma sequência de aproximações, cujo limite 
é a raiz . Conforme uma tolerância préfixada, em cada aproximação da raiz exata usa-
se um dos critérios abaixo para fazer uma comparação com . 
 (critério 1) 
 
 (critério 2) 
 
 (critério 3) 
 
Exercício 2 
1. Esboce o gráfico para delimitar os zeros da função f(x) = ex + x2 – 2. 
2. Esboce o gráfico para delimitar os zeros da função f(x) = ln(x) + x 
3. Esboce o gráfico para delimitar os zeros da função f(x) = e x − 1/x 
4. Esboce o gráfico para delimitar os zeros da função f(x) = cos x – 3x 
5. Esboce o gráfico para delimitar os zeros da função f(x) = ln (x) – x + 2 
 
 
 
Métodos Numéricos 
a. Método da Bisseção: 
Seja uma função contínua no intervalo e . 
 Se dividindo o intervalo ao meio, obtém-se , e dois subintervalos e ]. Se 
 temos ; caso contrário a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais 
opostos nos pontos extremos, ou seja, se , então, ; senão 
 e . 
 
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O novo intervalo que contém é dividido ao meio e obtém-se o ponto . O 
proçesso se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata , com a 
tolerância desejada. 
 
Interpretação geométrica do Método da Bisseção 
 
 
Para faça: 
 
 
 
Se 
 
 
Exemplo 
 Calcular a raiz positiva da equação f(x)=x2 – 3 com є ≤ 0,01 no intervalo [1,2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n a
n
 b
n
 x
n
 F[x
n
] |x
n+1
 - x
n
| 
0 1.00000 2.00000 1.50000 - 0.75000 -------------- 
1 1.50000 2.00000 1.75000 0.06250 0.25000 
2 1.50000 1.75000 1.62500 - 0.35938 0.12500 
3 1.62500 1.75000 1.68750 - 0.15234 0.06250 
4 1.68750 1.75000 1.71875 - 0.04590 0.03125 
5 1.71875 1.75000 1.73437 - 0.00806 0.01563 
6 1.71875 1.73437 1.72656 - 0.01898 0.00781 
 
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b. Método de Newton 
Seja uma função contínua em e o seu único zero neste intervalo;as 
derivadas e devem também ser contínuas. Encontra-se uma 
aproximação 
Para a raiz e é feita uma expansão em série de Taylor para : 
 
) 
 
) 
 
 
 
 
 
 é uma aproximação para . 
 
É condição suficiente para a convergência do Método de Newton que: e 
sejam não nulas e preservem o sinal em e seja tal que . 
 
Interpretação geométrica do Método de Newton 
Exemplo: 
Calcular uma raiz da equação , com ≤ 0,01 usando o método 
de Newton ,considerando [0,1]. 
n xn f(xn) df(xn) erro 
0 1 -0,27854 -3,04208 
1 0,908439 -0,01027 -2,81731 0,100789 
2 0,904794 -1,6E-05 -2,80831 0,004028 
3 0,904788 -4,2E-11 -2,80829 6,46E-06 
4 0,904788 0 -2,80829 1,66E-11 
5 0,904788 0 -2,80829 0 
 
Observe que o erro é atingido na segunda iteração. 
 
 
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c. Método da Secante 
Observamos anteriormente uma séria desvantagem do Método de Newton , é a 
necessidade de se obter , bem como calcular se valor numérico a cada passo. Há várias 
maneiras de modificar o método de Newton a fim de eliminar essa desvantagem. Uma 
modificação consiste em substituir a derivada pelo quociene das diferenças: 
 
Onde e são duas aproximações quaisquer para . Note é o limite do 
quociente acima quando . 
O Método de Newton quando modificado desta maneira é conhecido como Método 
da Secante. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Interpretação geométrica do Método da Secante 
 
Exemplo: 
Calcular uma raiz da equação , usando o método das 
secantes, considerando e . Parar na iterada . 
 
 
 
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n xn+1 f(xn+1) erro 
0 1,5708 -0,4292 
1 4,71239 6,71239 3,14159 
2 1,759605 -0,20485 2,952785 
3 1,847051 -0,07712 0,087446 
4 1,899844 0,007143 0,052793 
5 1,895369 -0,00021 0,004475 
 
Observaçõe sobre os métodos: 
a. Bisseção 
Não exige o conhecimento das derivadas, mas tem uma convergência lenta. Deve ser 
usado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz. 
b. Newton 
Requer o conhecimento da forma analítica de , mas sua convergência é 
extraordinária. 
c. Secante 
Exige que o sinal da derivada segunda permaneça contante no intervalo (ver o 
gráfico). Se o ponto fixado for razoavelmente próximo da raiz, método tem boa 
convergência; caso contrário, poderá ser mais lento que a bisseção. 
 
 Exercício 3 
 
1. Usando o método da Bisseção, determine as raízes reais. 
a. 
3 2 1 0.x x  
 em (-1 0) 
b. 
2 ( ) 0.xe sen x  
 em (0.5 1.5) 
c. 
( ) / 4 cos( ) 0.xe x x  
 em (0.5 1) 
d. 
ln( ) 0,8 0.x x  
 em (1.5 2) 
2. Useo método de Newton para calcular a raíz de 
5 1 0x x  
, no intervalo (1 1.5) até 
a quarta decimal correta. Tome x0 = 1.2 
3. Use o método de Newton para calcular a raíz de 
0,5 2( 1) 0x x  
, no intervalo (0.8 1) 
até a quarta decimal correta. 
4. Use o método de Newton para calcular a raíz de
4 5 0x x  
, nos intervalos: 
(i) (1 2) com ponto inicial 1.5 até a quinta decimal correta. 
(ii) (-2 -1) com ponto inicial -1.5 até a quinta casa decimal correta. 
5. Uma raíz da equação 
4 32 2 1 0x x x   
 é 
1x
. Qual é a multiplicidade dessa raiz? 
Justifique a resposta. 
6. Aplicando o Método de Newton à equação 
0)( xf
, onde 







0,
0,
)(
xx
xx
xf
 
para a raiz 
0x
, o que acontecerá com as iterações? 
 
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7. Considere 
3
1
1
)(,:
2




x
x
e
e
xfRRf
. Determine uma aproximação para o zero de 
f
 usando o método da secante e calculando as iterações até que 
3
1 10

  nn xx
. 
n xn+1 |xn+1 - xn| 
0 x0 =1 x1 = 3 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
Métodos Diretos e Iterativos para a solução de Sistemas 
Lineares 
Existem duas classes de métodos para solução de Sistemas Lineares. Os denominados 
métodos diretos e os denominados métodos iterativos. Como veremos, a escolha de uma classe 
para a solução do sistema vai depender de características e propriedades da matriz . 
Métodos Diretos 
Os métodos diretos são aqueles em que após um número finito de etapas e não se 
considerando os erros de arredondamento encontramos a solução do sistema. 
Método de Cramer ( ver livros de Ensino Médio) 
Solução de Sistemas Triangulares (ver livros de Ensino Médio) 
Eliminação Gaussiana 
Um dos métodos mais eficiente e utilizado na solução de um sistema linear geral da forma 
 (I) 
A idéia central do método consiste na eliminação sistemática das incógnitas transformando 
o sistema geral em um sistema do tipo triangular. 
Suponha que a matriz referente ao sistema acima é não singular, . 
Se podemos eliminar nas equações do sistema, fazendo: 
 
 
Assim as últimas equações do sistema se tornam 
 
 
 
Este sistema tem equações e incógnitas. 
 
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16 
Com um procedimento análogo, e supondo podemos eliminar das últimas 
equações do sistema fazendo: 
 (II) 
 
Fazendo em (II) temos que o sistema (I) é equivalente a ao sistema triangular 
 
onde estamos denotando e . 
No método da eliminação de Gauss os elementos representam um papel 
fundamental e são denominados de pivôs da eliminação. 
Importante: 
 O pivô escolhido não pode ser nulo; 
 A escolha de um pivô não nulo é necessária mas não é suficiente; 
 Escolher um pivô muito próximo de zero poderá levar a ”soluções” completamente 
absurdas. 
 Para “evitar” problemas, como no item acima, adotaremos a seguinte estratégia: 
Na é-sima etapa escolha de modo que 
 
 
Então troque as linhas e . 
Exemplos: 
a. 
Após a primeira etapa da eliminação temos, 
 
Não continuaremos o processo de eliminação porque . 
 
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17 
b. 
 
Após a primeira etapa de eliminação temos, 






)210()110(
110
4
2
4
21
4
x
xx logo, 
000,1
)110(
)210(
4
4
2 


x
 
Substituindo na primeira equação temos que, e teríamos 
como solução, o que não é verdade pois esses valores não verificam a segunda equação 
do sistema: 
 
Portanto, não pode ser solução. 
 
Agora vamos refazer a mesma questão usando a estratégia descrita acima: 
 
 
Assim devemos permutar as linhas 10 e 20. 
 
 
Fazendo agora o primeiro processo de eliminação 
 
 
 
Portanto a solução é é a solução procurada do sistema. 
Métodos Iterativos 
A ideia central dos métodos iterativos é transformar um sistema original , num 
sistema equivalente na forma e, a partir de uma aproximação inicial , gerar uma 
sequência de aproximações para a solução do sistema. Para isso,é utilizada a equação 
recursiva: 
 
Assim, dado o sistema linear , onde: 
 
 
 
 
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18 
Este sistema é convertido, num sistema do tipo , em que é uma matriz 
, e é um vetor . A função é denominada função de iteração, dada na forma 
matricial, e seu ponto fixo, ou seja, tal que constitui a solução do sistema . 
O esquema iterativo resultante da equação recursiva, , partindo de uma 
aproximação inicial , nos dá: 
 
 
 
 
A sequência de aproximações é convergente se, e somente se, 
 , onde , ou seja, é solução do sistema . 
Teste de Parada 
O processo iterativo será repetido até que o vetor esteja “suficientemente próximo” do 
vetor . Para medir a distância entre duas aproximações consecutivas, podemos usara norma 
dada por: 
 
Desta forma, dada uma precisão , o vetor será escolhido como solução aproximada da 
solução exata , quando . Em alguns casos, computacionalmente é também utilizado como 
teste de parada um número máximo de iterações, para evitar loops infinitos – quando não se tem 
garantia de convergência ou esta é muito lenta. 
Outro teste de parada que pode ser utilizado é o erro relativo, fazendo: 
 
 
Método de Gauss-Jacobi 
Dado o sistema , , e , o método de Gauss-Jacobi transforma o 
sistema original no sistema , usando o procedimento indicado a seguir. 
Considere o sistema original: 
 
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19 
 
Supondo isolamos o vetor , a partir dos elementos da diagonal, da seguinte forma: 
 
Assim, obtemos a função de iteração na forma , onde: 
, e , ou seja, e 
. 
Daí o método de Gauss-Jacobi consiste em obter a sequência , escolhida 
uma aproximação inicial , através da equação recursiva: , ou seja, 
 
 
 
Exemplo: Resolva o sistema, pelo método de Gauss-Jacobi, com e 
. 
 
 
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20 
 
Os cálculos ficam como exercício. 
 
Método de Gauss-Seidel 
Este método usa o mesmo princípio do método de Gauss-Jacobi, exceto pelo fato de utilizar 
os valores atualizados de . Desta forma a função , para um dado 
sistema , será calculado por: 
 
Portanto o procedimento descrito pelas equações recursivas acima, nos diz que para calcularmos o 
valor de ,usamos os valores já calculados e assim sucessivamente. 
Exemplo: Resolva o sistema, pelo método de Gauss-Seidel, com e . 
 
 
Os cálculos ficam como exercício. 
 
 
 
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21 
Estudo da Convergência 
A aplicação dos métodos iterativos requer um estudo de viabilidade de sua aplicação, pois 
nem sempre se tem a convergência da sequência definida pelo método de Gauss-Jacobi ou Gauss-
Seidel. Neste sentido, é importante estabelecer alguma condição que seja suficiente para a 
convergência do método. 
a. Teorema (Critérios das Linhas) 
Seja um sistema linear e . Se , então o 
método iterativo (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel) gera uma sequência { } convergente para a 
solução do sistema dado, qualquer que seja a escolha a para aproximação inicial . 
 
 
b. Teorema (Critério das Colunas) 
Seja o sistema linear e . Se , então o método 
iterativo (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel) gera uma sequência { } convergente para a solução do 
sistema dado, qualquer que seja a escolha a para aproximação inicial . 
 
c. Teorema (Critério de Sassenfeld) 
Dado o sistema linear sejam e 
 
 
Seja . Se , então o método iterativo Gauss-Seidel gera uma sequência 
{ } convergente para a solução do sistema dado, qualquer que seja a escolha a para 
aproximação inicial . Além disso, quanto menor for mais rápida será a convergência. 
 
Exemplo: 
1- Considere o sistema linear e verifique porque este sistema não satisfaz o critério das 
linhas. O que se deve fazer para haver convergência? 
 
2- Considere o sistema 
 
Aplique o critério de Sassenfeld para este sistema, com disposição de linhas e colunas 
para verificar se o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente para a 
solução do sistema. 
 
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22 
 
Exercícios 4 
1- Analise os sistemas abaixo quanto a possibilidade de solução e, caso afirmativo, se 
há convergência para os métodos iterativos. 
 
a. 
 
b. 
 
2- Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito para os sistemas a seguir e , caso 
afirmativo, resolva-os por Gauss-Seidel. 
a. , onde e 
 
3- Usando o critério de Sassenfeld, verifique para que valores de se tem garantia de 
convergência do método de Gauss-Seidel para o seguinte sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
Interpolação 
Polinômio de Interpolação 
O problema geral de interpolação por meio de polinômios consiste em, dados 
números (pontos) distintos (reais ou complexos) e números (reais ou complexos) 
, números estes que, em geral, são valores de uma função em 
, determinar-se um polinômio de grau no máximo tal que: 
 
Exemplo: 
Consideremos a tabela, 
 -1 0 3 
 15 8 -1 
Determinar o polinômio de interpolador para a função definida por este conjunto de pontos. 
Solução: 
Como ⇒ tal que 
Então, 
 
Fazendo as substituições adequadas e resolvendo o sistema teremos, 
 
Fórmula de Lagrange 
Sejam , pontos distintos. Consideremos para os seguintes 
polinômios de grau : 
 
Tais que: 
 
 
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Assim, para os valores dados de uma função , o 
polinômio: 
 
é de grau no máximo e satisfaz , 
Exemplo: 
Considere a tabela 
 -1 0 3 
 15 8 -1 
 
a. Determine o polinômio de interpolação usando a fórmula de Lagrange. 
b. Calcule uma aproximação para , usando o ítem a. 
Solução a: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução b: 
 
Para estimar o erro cometido ao aproximar o valor da função num ponto por seu polinômio de 
interpolação, utilizaremos o seguinte resultado: 
 
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25 
Seja . Se e sua derivadas até ordem são contínuas em 
 então: 
 
Exemplo: Dada a tabela, 
 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 
 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817 
 
Cálcular um limitante superior para o erro de truncamento quando avaliamos , onde 
, usando o polinômio de interpolação do 20 grau. 
Solução: 
 
 
Como , temos: 
 
 
 
 
Portanto, 
 
Importante: Se tomarmos um polinômio do 20 grau para avaliar , obteremos o resultado 
com duas casas decimais corretas. 
Confirme este resultado! 
Interpolação Linear 
Neste caso substituímos a função linear entre dois pontos por um polinômio 
interpolador do 10 grau, tal que e . Assim, 
 
 
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26 
Erro cometido: 
 
onde 
 
 é um limitante superior para em . 
Exemplo: Seja e os pontos, 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
Isto significa que, no resultado obtido para através do polinômio de interpolação linear 
temos apenas um dígito significativo correto. 
, pelo polinômio 
, via máquina de calcular. 
Diferença Dividida 
Para calcular as Diferenças Divididas de uma função sobre os pontos , 
construiremos a tabela de Diferenças Divididas da seguinte forma: 
a. A primeira coluna é constituída dos pontos ; 
b. A segunda coluna contém os valore de nos pontos ; 
c. Nas colunas 3,4,5,... estão as diferenças divididas de ordem 1,2,3... Cada uma destas 
diferenças é uma fração cujo numerador é sempre a diferença entre duas diferenças 
divididas consecutivas e de ordem imediatamente inferior, cujo denominador é a 
diferença entre os dois extremos dos pontos envolvidos. 
 
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27 
 
Exemplo 
Construir a tabela de diferenças divididas, dados, 
 -2 -1 0 1 2 
 -2 29 30 31 62 
 
 
 
Polinômio Interpolador de Newton 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
 é conhecida como Fórmula de Newton 
 
Diferenças Ordinárias 
Para calcular as diferenças ordinárias de uma função sobre os pontos 
(igualmente espaçados de h), construímos uma tabela da seguinte maneira: 
a. a primeira coluna é composta de , 
b. a segunda coluna contém os valores de nos pontos , 
c. nas colunas 3,4,5,...estão as diferenças ordinárias de ordem 1,2,3,.... Cada uma dessas 
diferenças é simplesmente a diferença entre duas diferenças ordinárias consecutivas e 
de ordem imediatamente inferior. 
 
 
 
Exemplo: 
Para a seguinte função tabelada: 
 -2 -1 0 1 2 
 -2 29 30 31 62 
 
Construir a tabela das diferenças ordinárias. 
 
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29 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 5 
1. Considere a função 
)(xfy 
 dada pela tabela: 
x -1 0 1 2 
 -2 0 2 4 
Determinar o polinômio de interpolação usando: 
a. a fórmula de Newton 
b. a fómula de Newton-Gregory 
2. Dada a função 
)(xseny 
tabelada: 
 
X 
sen (x) 
1.2 
0.932 
1.3 
0.964 
1.4 
0.985 
1.5 
0.997 
 
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30 
a. Calcular o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton. 
b. Calcular o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton-Gregory. 
c. Calulara sen (1.35) 
d. Dar um limitante superior para o erro. 
3. Dada a tabela 
0 
-1 
1 

 
2 
5 
3 

 
4 
7 
5 

 
6 
13 
 Calcular 

, 

 e 

, sabendo que ela corresponde a um polinômio do 30 grau. 
Sugestão: construa a tabela das diferenças ordinárias. 
4. Dada a tabela 
X 
F(x) 
-2 
15 
-1 
0 
0 
-1 
1 
0 
Calcular f(0.5) usando o polinômio de interpolação sobre todos os pontos. 
5. Uma das maneiras de se calcular o valor da derivada de uma função em um ponto xo , 
quando não se conhece a expressão analítica da mesma, é usar uma tabela para formar 
um polinômio que aproxime a função, derivar esse polinômio e avaliar sua derivada em 
x = xo . Dada a tabela: 
x 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 
f(x) -1.52 1.51 1.49 1.47 1.44 1.42 1.39 
Calcule o valor aproximado para f’(0.52) usando o polinômiode imterpolação de grau 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
Integração Numérica 
 Integrar numericamente uma função 
)(xfy 
em [a, b] consiste, em geral, em 
integrar um polinômio 
)(xPn
 que aproxime 
)(xf
 em [a,b]. 
Se 
)(xfy 
for dada por um conjunto de pares ordenados tais como, 
))(,()),...,(,()),(,( 1100 nn xfxxfxxfx
, com 
ax 0
 e 
bxn 
 
 podemos usar como polinômio de aproximação para a função 
)(xfy 
em [a,b], o seu 
polinômio de interpolação, que será o mesmo polinômio de aproximação para 
)(xfy 
para 
qualquer sub-intervalo [xi , xj] com 
,0,0 njni 
de [a,b]. 
 As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima que aproxima 
)(xfy 
ao 
invés de 
)(xf
, são principalmente as seguintes: 
a) 
)(xf
pode ser uma função difícil de se integra ou para a qual a integraçào seja impossível, 
enquanto que um polinômio é sempre de integraçào imediata. 


t
dx
xt
x
0 3
2
2
3
2
3
)(
 
b) a solução analítica do resultado da integral é conhecida, mas seu cálculo só pode ser obtido 
aproximadamente. 
...,293386.0|269(
27
6.0
0
2
3
3
6.0
0
2  xx
e
dxex
x
x
 
c) a função é conhecida apenas em pontos discretos obtidos através de experimentos. 
As fórmulas de integraçào são de manejo fácil e prático e quando a funçào é 
conhecida nos permite ter uma idéia do erro cometido na integração numérica como veremos a 
seguir. 
 Fórmulas de Newton – Cotes do tipo fechado 
 Tais fórmulas são aquelas em que todos os pontos estão no intervalo de integração 
[a,b] e a palavra fechado significa que os pontos a e b são pontos extermos de quadratura, isto 
é: 
(i) 
ax 0
 e 
bxn 
; 
(ii) Os argumentos 
kx
são igualmente espaçados de uma quantidade fixa 
h
, isto é, 
,1 hxx xk 
 
1...1,0  nk
; 
 
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32 
(iii) a função peso, 
1)( xw
e o intervalo de integração é finito. 
Seja 
)(xfy 
uma função cujos valores 
)(),...,(),( 10 nxfxfxf
sao conhecidos. 
Pela fórmula de quadratura 
 


b
a
n
k
kk fAdxxfxw
0
)()(
 onde 

b
a
kk dxxlxwA )()(
 
Dá fórmula acima temos: 
   


b
a
x
x
n
k
x
x
kk
n n
dxxlfdxxfdxxf
0 0
0
)()()(
 
Supondo que os argumentos 
ix
estão igualmente espaçados (
hxx kk 1
) e 
considerando a mudança de variável: 
h
xx
u 0


, temos: 
hdudx 
 logo, para 
00  uxx
e para 
nuxx n 
 
Assim, 
  


nx
x
n
k
n
kk duuhfdxxf
0
0 0
)()( 
; 
kl
são os polinômios usados na fórmula de 
Lagrange. 
Fazendo: 
 
n
n
kk Cduul
0
)(
obtemos, 
 


nx
x
n
k
n
kkhCfdxxf
0
0
)(
 
A fórmula acima independe dos limites de integração. A seguir vamos obter algumas 
fórmulas de Newton-Cotes e mais adiante analizaremos o erro cometido. 
10 Caso: 
1n
, ou seja, queremos obter uma fórmula para integrar 
)(xf
entre dois 
pontos consecutivos 
0x
 e 
1x
, usando o polinômio do 10 grau. 
Pela expressão anterior temos que: 
 


1
0
1
0
1)(
x
x k
kkhCfdxxf
 onde, 
   


1
0
1
0
1
0
0
1
0 2/1)1(
10
1
)( duudu
u
duuC 
 
   


1
1
1
1
1
1
1
1
1 2/1)1(
01
0
)( duudu
u
duuC 
 
Substituindo esses resultados temo: 
 
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33 
)](
2
1
)(
2
1
[)()( 10
1
11
1
00
1
0
1
1
0
1
1
0
xfxfhCfCfhCfhhCfdxxf
k
kk
x
x k
kk   

 
ou 
)]()([
2
)( 10
1
0
xfxf
h
dxxf
x
x

, que é a Regra do Trapézio 
Pela temos que se o intervalo [a,b] é pequeno, a aproximação é razoável; mas se 
[a,b] é grande, o erro também pode ser grande. O erro é a soma das áreas entre a curva e as 
retas. 
 
Regra do Trapézio para 
1n
 Regra do Trapézio para 
3n
 
Se o intervalo de integração é grande, dividimos o intervalo [a,b] em 
N
sub-
intervalos de amplitude 
N
ab
h


 de tal forma que 
ax 0
 e 
bxN 
e aplicamos a Regra do 
Trapézio em cada sub-intevalo [
1, jj xx
], 
1,...1,0  Nj
. 
Quando 
,0h
o erro está diminuindo e assim estamos tendendo ao resultado 
exato da integral. 
 
Então, 
 


N
N
N x
x
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfdxxf
1
2
10
1
0
)(...)()()(
 
)]()([
2
...)]()([
2
)]()([
2
12110 NN xfxf
h
xfxf
h
xfxf
h
 
 
 
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34 
Note que, a imagem de f é calculada uma vez nos pontos 
0x
 e 
Nx
 e é calculada duas vezes 
no extremo de cada sub-intervalo de integração. Portanto, obtemos a Regra do Trapézio 
Generalizada. 
)]())(...)()((2)([
2
)( 1210
0
NN
x
x
xfxfxfxfxf
h
dxxf
N
 
 
 Exemplo: Calcular usando a Regra do Trapézio 

2.1
0
cos xdxe x
para 
2.0h
 
 
 
)]())()()()()((2)([
2
cos 6543210
2.1
0
xfxfxfxfxfxfxf
h
xdxe x 
 
639.1]202.1)468.1552.1503.1374.197.1(21[
2
2.0

 
20 Caso: 
2n
, ou seja, queremos obter uma fórmula para integrar 
)(xf
entre três pontos 
consecutivos 
0x
, 
1x
 e 
2x
, usando o polinômio do 20 grau. 
 


2
0
2
0
2)(
x
x k
kkhCfdxxf
 
 



2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
3
1
)23(
2
1
)20)(10(
)2)(1(
)( duuudu
uu
duuC  
 
 


2
0
2
2
0
2
0
1
2
1
3
4
)2(
)21)(01(
)2)(0(
)( duuudu
uu
duuC  
3
12
2 C
 , Propriedade: 
n
kn
n
k CC 
 
Logo, 
)]()(4)([
3
)](
3
1
)(
3
4
)(
3
1
[)( 210210
2
0
xfxfxf
h
xfxfxfhdxxf
x
x

 
 
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35 
Este resultado é conhecido com Regra 
3
1
de Simpson. 
Para generalizar a Regra 
3
1
de Simpson para um intervalo [a,b], devemos dividir o 
intervalo em um número par 
)2( N
de sub-intevalos. A amplitude de cada intervalo é dada por 
N
ab
h
2


, de tal forma que 
ax 0
 e 
bx N 2
. Para aplicar Regra 
3
1
de Simpson precisamos 
de dois sub-intevalos, ou seja, precisamos de três pontos e é por isso que o número de 
subdivisões tem que ser múltiplo de dois. 
  


4
2
2
22
2
0
2
0
)(...)()()(
x
x
x
x
x
x
x
x
N
N
N
dxxfdxxfdxxfdxxf
 
...)]()(4)([
3
)]()(4)([
3
)( 432210
2
0
 xfxfxf
h
xfxfxf
h
dxxf
Nx
x
 
)]()(4)([
3
... 21222 NNN xfxfxf
h
 
 
 
...)(2)(4)(2)(4)([
3
)( 43210
2
0
 xfxfxfxfxf
h
dxxf
Nx
x
)]()(4)(2... 21222 NNN xfxfxf  
 
30 Caso: 
3n
, ou seja, queremos obter uma fórmula para integrar 
)(xf
entre quatro 
pontos consecutivos 
0x
 ,
1x
, 
2x
e 
3x
 usando o polinômio do 30 grau. 
Fica como exercício deduzir este caso, o resultado será a Regra 
8
3
de Simpson e para 
generalizar temos que cumprir as etapas: número de subdivisões do intervalo [a,b] deve ser 
múltiplo de três 
)3( N
e amplitude 
N
ab
h
3


 e procedemos analogamente aos casos 
anteriores. 
Erro nas Fórmulas de Newton-Cotes 
Para estudar o erro cometido ao aproximar o valor de uma integral usando as fórmulas 
de Newton-Cotes do tipo fechado enunciaremos dois teoremas omitindo suas demonstrações, 
cujos resultados são muito importantes. 
 
 
 
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10 Teorema (número impar de intervalos iguais) 
Se os pontos 
njjhxx j ,...,1,0,0 
dividem [a,b] em um número impar de 
intervalos iguais e 
)(xf
 tem derivadas de ordem 
)1( n
contínua em [a,b], então a expressão 
do erro para as fómulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com 
n
impar, é dada por: 
 

 nnn
dunuuu
n
fh
fE
0
)1(2
))...(1(
)!1(
)(
)(
, para algum ponto ].,[ ba 
20 Teorema (número par de intervalos iguais) 
Se os pontos 
njjhxx j ,...,1,0,0 
dividem [a,b] em um número par de intervalos 
iguais e 
)(xf
 tem derivadas de ordem 
)2( n
contínua em [a,b], então a expressão do erro 
para as fómulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com 
n
par, é dada por: 
,))...(1()
2
(
)!2(
)(
)(
0
)2(3
 

 nnn
dunuuu
n
u
n
fh
fE
 para algum ponto ].,[ ba 
Erro na Regra do Trapézio 
Para 
1n
, ou seja, o erro sobre o intervalo 
],[ 10 xx
. Aplicando o 10 teorema 
10
31
0
3
,
12
)(''
)]1([
!2
)(''
)( xx
fh
duuu
fh
fE   
 
O erro na fórmula generalizada é obtido adicionando-se 
N
erros, da forma como na 
expressão anterior, onde 
h
ab
N


. 
 
 
Nxxf
h
h
ab
fE 

  0
3
),(''
12
)(
)(
 
Nxxfh
ab
fE 

  02 ),(''
12
)(
)(
 
Erro na Regra 
3
1
de Simpson 
Para 
2n
, ou seja, o erro sobre o intervalo 
],[ 20 xx
. Aplicando o 20 teorema 
Nxxf
h
NfE   0
3
),(''
12
)(
 
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 
2
0
)(5
)2)(1()1(
!4
)(
)( duuuuu
fh
fE
IV  
.,)(
90
)254(
24
)(
)( 20
2
0
)(
5
234
)(5
xxf
h
duuuuu
fh
fE IV
IV
   
O erro na fórmula generalizada é obtido adicionando-se 
N
erros, da forma como na 
expressão anterior, onde 
h
ab
N
2


. 
N
IV xxf
ab
fE 

  0)(
4
),(
180
)(
)(
 
Exercício: Verificar que as expressões do erro para a regra 
8
3
de Simpson e para a regra 
8
3
de Simpson generalizada são dadas, por: 
30
)(5 ),(
80
3
)( xxfhfE IV  
 
N
IV xxf
hab
fE 30
)(
4
),(
180
)(
)( 

 
, desde que 
h
ab
N
3


. 
Exercício 6 
1. Use a fórmula de Simpson com 
2n
para calcular a integral
 
2
0
3 )133( dxxx
. 
Comparae seu resultado com o valor exato da integral. Qual seria sua explicação para justificar 
um resultado tão bom? 
2. Podemos calcular ln (5) com erro inferior à 10-3 usando: ln (5) = 

5
1
x
dx
. 
 Pergunta-se : 
(a) Se usarmos a fórmula dos trapézios em quantos subintervalos deveremos dividir o intervalo 
[1, 5] ? 
(b) E se usarmos a fórmula de Simpson ? 
(c) Calcule ln(5) usando a fórmula de Simpson. 
3. Calcule: 
 
1
0
1
)(
dx
x
xsen
, com erro inferior à 10-2 
 
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4. Um corpo se desloca ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força variável F. Calcular 
o trabalho realizado para se deslocar o corpo de 
0x
 até 
5.3x
 sendo dado: 
 
 
5. Seja 
)(fr 
 a equação de uma curva dada em coordenadas polares. Calculara a 
área da região limitada pela curva sabendo-se que: 

2
1
2
2
1


drÁrea
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
RUGGIERO, MárciaA. G. e LOPES, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais. Makron Books ( 
1996 ). 
BARROSO, Leônidas C. e Outros, Cálculo Numérico ( com aplicações ) Editora HARBRA ( 1987 ). 
CLÁUDIO, D.M. e MARINS, J.M., Cálculo Numérico Computacional – Teoria e Prática. Atlas ( 1994 ). 
FRANCO, Neide Maria Bertoldi., Cálculo Numérico. Prentice Hall Brasil. São Paulo, ( 2006 ). 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P.; Métodos Numéricos para Engenharia, Mcgraw-Hill Interamiericana, 5ª Edição, 2008. 
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; SILVA, L. H. M., Cálculo Numérico, Prentice-Hall, 1ª Edição, 2003 
 
 
 
 
 
 
 
 
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