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CREMESP 
 
 
Conjuntos: linguagem básica, pertinência, inclusão, igualdade, reunião e interseção. ........ 1 
Números naturais, inteiros, racionais e reais: adição, subtração, multiplicação, divisão e 
potenciação. .......................................................................................................................... 11 
Fatoração. ........................................................................................................................ 44 
Máximo divisor comum. Mínimo múltiplo comum. ............................................................. 47 
Medidas: comprimento, área, volume, ângulo, tempo e massa. ........................................ 52 
Regra de três simples e composta. ................................................................................... 61 
Porcentagem, juros e descontos simples. ......................................................................... 75 
Operações com expressões algébricas e com polinômios. ............................................... 90 
Equações e inequações do 1º e 2º graus. ....................................................................... 103 
Interpretação de gráficos. ............................................................................................... 125 
Sistemas de equações de 1º e 2º graus. ......................................................................... 135 
Análise combinatória e probabilidade: arranjos, combinações, permutações simples e 
probabilidade de um evento. ............................................................................................... 146 
Progressões aritmética e geométrica. ............................................................................. 165 
Geometria Plana: elementos primitivos. Teorema de Tales. Teorema de Pitágoras. Áreas de 
triângulos, paralelogramos, trapézios e círculos. Áreas e volumes de prismas, pirâmides, 
cilindros, cones e esferas. ................................................................................................... 177 
Operações com funções de 1º e 2º graus. Gráficos de funções de 1º e 2º graus. Máximo e 
mínimo da função de 2º grau. .............................................................................................. 207 
Raciocínio lógico e sequencial. ....................................................................................... 229 
Unidades de medida: metro, centímetro, milímetro, decâmetro, decímetro, hectômetro e 
quilômetro. .......................................................................................................................... 293 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
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Olá Concurseiro, tudo bem? 
 
Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua 
dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do 
edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando 
conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. 
 
Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail 
professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou 
questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam 
por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior 
aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 
 
01. Apostila (concurso e cargo); 
02. Disciplina (matéria); 
03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 
04. Qual a dúvida. 
 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, 
pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até 
cinco dias úteis para respondê-lo (a). 
 
Não esqueça de mandar um feedback e nos contar quando for aprovado! 
 
Bons estudos e conte sempre conosco! 
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CONJUNTOS 
 
Conjunto1 é uma reunião ou agrupamento, que poderá ser de pessoas, seres, objetos, classes…, dos 
quais possuem a mesma característica e nos dá ideia de coleção. 
 
Noções Primitivas 
Na teoria dos conjuntos, três noções são aceitas sem definições: 
- Conjunto; 
- Elemento; 
- E a pertinência entre um elemento e um conjunto. 
 
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de 
conjuntos pois possuem elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um 
livro. 
Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. 
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras 
minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. 
A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. 
 
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈A. 
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. 
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA. 
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. 
 
Como Representar um Conjunto 
1) Pela designação de seus elementos 
Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. 
 
Exemplos: 
{a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais 
{1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 
 
2) Pela sua característica 
Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos. 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: 
{x, | (tal que) x tem a propriedade P}. 
 
Exemplos: 
- {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u}. 
- {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10}. 
 
3) Pelo diagrama de Venn-Euler 
Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada diagrama 
de Venn. 
 
 
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GONÇALVES, Antônio R. - Matemática para Cursos de Graduação – Contexto e Aplicações 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
Conjuntos: linguagem básica, pertinência, inclusão, igualdade, reunião e 
interseção. 
 
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Exemplos: 
- Conjunto das vogais 
 
 
- Conjunto dos divisores naturais de 10 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos A e B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e 
escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja, dizemos que estes conjuntos são distintos e 
escrevemos A ≠ B. 
 
Exemplos: 
a) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 
 
b) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade 
dos conjuntos. 
 
Tipos de Conjuntos 
- Conjunto Universo 
Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. 
 
Exemplo: 
Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. 
 
- Conjunto Vazio 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 0 ou, simplesmente { }. 
 
Exemplo: 
A = {x| x é natural e menor que 0}. 
 
- Conjunto Unitário 
Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. 
 
Exemplos: 
- Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3}. 
- Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6}. 
 
 - Conjuntos Finitos e Infinitos 
Finito: quando podemos enumerar todos os seus elementos. 
Exemplo: Conjuntos dos Estados da Região Sudeste, S= {Rio de Janeiro, São Paulo, Espirito Santo, 
Minas Gerais}. 
Infinito: contrário do finito. 
Exemplo: Conjunto dos números inteiros, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. A reticênciasrepresenta o 
infinito. 
 
 
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Relação de Pertinência 
A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou  
com conjunto. 
 
Exemplo: 
Seja o conjunto B = {1, 3, 5, 7} 
 1∈ B, 3 ∈ B, 5 ∈ B 
 2   B , 9  B 
 
Subconjuntos 
Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, dizemos 
que A é subconjunto de B. 
Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas 
caraterísticas de um conjunto maior. 
 
Exemplos: 
- B = {2, 4} ⊂ A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2 ∈ {2, 3, 4, 5, 6} e 4 ∈ {2, 3, 4, 5 ,6} 
 
 
- C = {2, 7, 4}  A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 7  {2, 3, 4, 5, 6} 
- D = {2, 3} ⊂ E = {2, 3}, pois 2 ∈ {2, 3} e 3 ∈ {2, 3} 
 
 
DICAS: 
1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio; 
2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; 
3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 
 
Exemplo: Pegando o conjunto B acima, temos as partes de B: 
B= {{ },{2},{4},B} 
Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos, então B possui 2n 
subconjuntos e, portanto, P(B) possui 2n elementos. 
Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A = {2, 3, 4, 5, 6}, basta calcularmos 
aplicando o fórmula: 
Números de elementos(n)= 5 → 2n = 25 = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e ele próprio. 
 
Relação de Inclusão 
Deve ser usada para estabelecer a relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto 
é subconjunto ou não de outro conjunto. 
Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos: 
 
⊂→Está contido ⊃→Contém 
⊄→Não está contido ⊅→Não contém 
 
 
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Exemplo: 
Seja A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4} 
Dizemos que B ⊂ A ou que A ⊃ B 
 
Operações com Conjuntos 
- União de conjuntos 
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem 
a A ou a B. Representa-se por A U B. 
Simbolicamente: A U B = {x | x∈A ou x∈B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3} U {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} 
- {2, 3, 4} U {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} 
- {2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 
- {a, b} U  = {a, b} 
 
- Intersecção de conjuntos 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, 
simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩B. Simbolicamente: A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
Exemplos: 
- {2, 3, 4} ∩ {3, 5} = {3} 
- {1, 2, 3} ∩{2, 3, 4} = {2, 3} 
- {2, 3} ∩{1, 2, 3, 5} = {2, 3} 
- {2, 4} ∩{3, 5, 7} =  
 
Observação: Se A∩B = , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
- Propriedades dos conjuntos disjuntos 
1) A U (A ∩ B) = A 
2) A ∩ (A U B) = A 
3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 
4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
 
- Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre 
os respectivos números de elementos. 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
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Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas 
vezes. 
Observações: 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim 
a relação dada será verdadeira. 
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma 
eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove: 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
- Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 
1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 
2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 
3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 
4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
 
- Diferença 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A 
e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta 
observamos o que o conjunto A tem de diferente de B. 
Simbolicamente: A – B = {x | x ∈ A e x  B} 
 
 
Exemplos: 
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}  A – B = {1, 3} e B – A = 
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}  A – B = {1} e B – A = {4} 
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}  A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5} 
 
Note que A – B ≠ B - A 
 
- Complementar 
Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B 
em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. 
 
Dizemos complementar de B em relação a A. 
 
 
 
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Exemplos: 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
a) A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 } B = {0, 1, 2} 
c) C =  C = S 
 
Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos 
Muitos dos problemas constituem- se de perguntas, tarefas a serem executadas. Nos utilizaremos 
dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para 
resolvê-los. 
 
Exemplos: 
1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes 
resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam do 
partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam 
à pesquisa? 
Resolução pela Fórmula 
» n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
» n(A U B) = 92 + 80 – 35 
» n(A U B) = 137 
 
Resolução pelo Diagrama: 
- Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos, 
então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57. 
- Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos, 
então o número de operários que gostam somente do partido B é: 80 – 35 = 45. 
- Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido B e 35 
responderam que gostam dos dois partidos políticos, então o número de pessoas que responderam à 
pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137. 
 
 
2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem 
automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo? 
(A) 16 motoristas 
(B) 32 motoristas 
(C) 48 motoristas 
(D) 36 motoristas 
Resolução: 
 
Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 
Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 
Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 
A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. 
Resposta: B 
 
 
 
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3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos 
estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da 
cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas? 
(A) 20% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 33% 
(E) 35% 
Resolução: 
 
70 – 50 = 20. 
20% utilizam as duas empresas. 
Resposta: A. 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Dos 43 vereadores de uma cidade, 
13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos 
vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas 
comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e 
Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número 
de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a 
(A) 15. 
(B) 21. 
(C) 18. 
(D) 27. 
(E) 16. 
 
02. (UFS/SE - Tecnólogoem Radiologia - AOCP) Em uma pequena cidade, circulam apenas dois 
jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os moradores dessa cidade 
mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por 
centos não leem nenhum dos dois jornais? 
(A) 15% 
(B) 25% 
(C) 27% 
(D) 29% 
(E) 35% 
 
03. (TRT 19ª – Técnico Judiciário – FCC) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 
15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. 
Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar 
documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar 
processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que 
todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total de 
(A) 58. 
(B) 65. 
(C) 76. 
(D) 53. 
(E) 95. 
 
 
 
 
 
 
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04. (Metrô/SP – Oficial Logística – FCC) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação de 
um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse país conquistou medalhas 
apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da delegação desse país que ganhou 
uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo 
com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma 
medalha de ouro. 
 
A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas 
conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de 
(A) 15. 
(B) 29. 
(C) 52. 
(D) 46. 
(E) 40. 
 
05. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde NM – AOCP) Qual é o número de elementos 
que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 31? 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
06. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Considere dois conjuntos A e 
B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que apresenta o 
conjunto B. 
(A) {1;2;3} 
(B) {0;3} 
(C) {0;1;2;3;5} 
(D) {3;5} 
(E) {0;3;5} 
 
07. (Pref. de Inês – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa biblioteca são lidos 
apenas dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que 
todo frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de 
frequentadores que leem ambos, é representado: 
(A) 26% 
(B) 40% 
(C) 34% 
(D) 78% 
(E) 38% 
 
08. (Metrô/SP – Engenheiro Segurança do Trabalho – FCC) Uma pesquisa, com 200 pessoas, 
investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 
pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as 
linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total 
de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente 
que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a 
(A) 50. 
(B) 26. 
(C) 56. 
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9 
 
(D) 10. 
(E) 18. 
 
09. (Pref. de Inês – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS) Numa recepção, foram 
servidos os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram pastel, 
7 comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados? 
(A) 0 
(B) 5 
(C) 1 
(D) 3 
(E) 2 
 
10. (Corpo de Bombeiros/MT – Oficial de Bombeiro Militar – UNEMAT) Em uma pesquisa realizada 
com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular, constatou-se que 
300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam as duas operadoras (A e B) 
e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
(A) 420 
(B) 650 
(C) 500 
(D) 720 
(E) 800 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
De acordo com os dados temos: 
7 vereadores se inscreveram nas 3. 
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer 
nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) 
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico. 
São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram. 
Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3 
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores. 
 
Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 
 
02. Resposta: D 
 
26 + 7 + 38 + x = 100 
x = 100 - 71 
x = 29% 
 
 
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03. Resposta: B 
Técnicos arquivam e classificam: 15 
Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 
Classificam e atendem: 4 
Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 
Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 - 
4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. 
Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos. 
 
04. Resposta: D 
O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. 
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três 
medalhas multiplica-se por 3. 
Intersecções: 
6 ∙ 2 = 12 
1 ∙ 2 = 2 
4 ∙ 2 = 8 
3 ∙ 3 = 9 
Somando as outras: 
2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 
 
05. Resposta: B 
Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto 
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
10 elementos. 
 
06. Resposta: E 
A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. 
A – B são os elementos que tem em A e não em B. 
Então de A  B, tiramos que B = {0; 3; 5}. 
 
07. Resposta: B 
 
 
80 – x + x + 60 – x = 100 
- x = 100 - 140 
x = 40% 
 
 
 
 
 
 
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11 
 
08. Resposta: E 
 
 
92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 
92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 
92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 
x + 462 – 280 = 200  x + 182 = 200  x = 200-182  x = 18 
 
09. Resposta: C 
 
 
2 + 3 + 4 + x = 10 
x = 10 - 9 
x = 1 
 
10. Resposta: C 
 
300 – 150 = 150 
270 – 150 = 120 
Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total). 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O conjunto dos números naturais2 é representado pela letra maiúscula N e estes números são 
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos 
 
2
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
Números naturais, inteiros, racionais e reais: adição, subtração, multiplicação, 
divisão e potenciação. 
 
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12 
 
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que estes números. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este 
conjunto como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos 
números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P={2,3,5,7,11,13...}Construção dos Números Naturais 
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando 
também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessor de 3 é 4. 
 
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do 
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 7, 8 e 9 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número 
dado). 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
13 
 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência 
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação 
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também 
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a matemática é construída a partir dessas duas operações: adição (e subtração) e 
multiplicação (e divisão). 
 
Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
Subtração de Números Naturais 
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação 
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b 
tal que a≥ 𝑏. 
Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 61 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. 
 
Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” 
(vezes) utilizar o ponto “.”, para indicar a multiplicação. 
 
Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no 
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente 
obteremos o dividendo. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um 
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
 
 
 
Relações Essenciais numa Divisão de Números Naturais 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
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14 
 
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois, se admitíssemos que o quociente 
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! 
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (SABESP – Aprendiz – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de 
recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e 
vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e 
sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os 
pagamentos na seguinte tabela: 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
02. (Pref. Imaruí/SC - Auxiliar De Serviços Gerais - PREF. IMARUI) José, funcionário público, recebe 
salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 
35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o 
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 25 
(D) 50 
(E) 100 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
15 
 
04. (Pref. Águas de Chapecó/SC– Operador de Máquinas – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em 
uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma 
geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: 
(A) R$ 150,00. 
(B) R$ 175,00. 
(C) R$ 200,00. 
(D) R$ 225,00. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Ontem, eu tinha 345 
bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 
67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois 
de participar do campeonato? 
(A) 368 
(B) 270 
(C) 365 
(D) 290 
(E) 376 
 
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas 
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 
 
(A) 3995 
(B) 7165 
(C) 7532 
(D) 7575 
(E) 7933 
 
07. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Durante um mutirão para 
promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco 
regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: 
(A) 2500 
(B) 3200 
(C) 1500 
(D) 3000 
(E) 2000 
 
08. UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado número de 
bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e que 
fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons 
ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27.(E) 28 
 
09. (CREFITO/SP – Almoxarife – VUNESP) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse 
mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a 
(A) 24. 
(B) 22. 
(C) 20. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
16 
 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
10. (Pref. de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em uma gráfica, a máquina 
utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 calendários perfeitos 
(P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. 
 
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos 
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é 
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi 
(A) 3 642. 
(B) 3 828. 
(C) 4 093. 
(D) 4 167. 
(E) 4 256. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B 
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 
120 – 127 = - 7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
02. Alternativa: B 
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 
O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 
 
03. Alternativa: E 
D= dividendo 
d= divisor 
Q = quociente = 10 
R= resto = 0 (divisão exata) 
Equacionando: 
D = d.Q + R 
D = d.10 + 0  D = 10d 
Pela nova divisão temos: 
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄 , isolando Q temos: 
 
𝑄 = 
50𝑑
𝑑
2
 → 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 
 
04. Alternativa: B 
 
2100
12
= 175 
 
Cada prestação será de R$175,00 
 
05. Alternativa: A 
345 – 67 = 278 
Depois ganhou 90 
278 + 90 = 368 
 
06. Alternativa: E 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 
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17 
 
07. Alternativa: D 
15000
5
= 3000 
Cada região terá 3000 voluntários. 
 
08. Alternativa: E 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
09. Alternativa: A 
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. 
(11 + 1)2 = 24 
 
10. Alternativa: D 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 
5000 / 6 = 833 + resto 2. 
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram 
na conta de divisão. 
Assim, são 4167 calendários perfeitos. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros3 como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma questão, 
tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Z+ , Z_ , Z*). 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
3
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
18 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
 
 
Operações entre Números Inteiros 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
19 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
Ex.: 
10 – (10+5) = 
10 – (+15) = 
10 – 15 = 
- 5 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20) : (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo (– 20) : (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquernúmero inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência xn do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número x é 
denominado a base e o número n é o expoente. xn = x . x . x . x ... x, x é multiplicado por x, n vezes. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
20 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (–8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
(–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 
(-13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
[(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. 
(-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
(+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número x. O número n é o índice da raiz enquanto que 
o número x é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
 
√𝑥
𝑛
 = b 
bn = x 
 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número x. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número x. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
21 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8 = 2, pois 2³ = 8 
(b) 
3 8 = –2, pois (–2)³ = -8 
(c) 
3 27 = 3, pois 3³ = 27 
(d) 
3 27 = –3, pois (–3)³ = -27 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a.(b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b + c) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a.(b – c) = ab – ac 
 
Atenção: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua 
como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (Fundação Casa – Agente Educacional – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-
los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, 
bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes 
negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas 
atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior 
quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
22 
 
03. (BNDES – Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número inteiro 
menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (Polícia Militar/MG - Assistente Administrativo - FCC) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus 
obtiveram os seguintes resultados: 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
 
05. (Pref. de Palmas/TO – Técnico Administrativo Educacional – COPESE/UFT) Num determinado 
estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de 
trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando 
os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é 
CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (Casa da Moeda) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói/RJ) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que 
durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia 
e noite, em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
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23 
 
08. (Pref.de Niterói/RJ) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que 
custa R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses 
que ele levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
09. (Pref.de Niterói/RJ) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no oitavo 
degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 
degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
 
Comentários01. Resposta: A 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
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06. Resposta: D 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D 
420: 35 = 12 meses 
 
09. Resposta: D 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional4 é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo 
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma 
questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Q+ , Q_ , Q*). 
 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
 
4
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
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25 
 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso, estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
 
a) Seja a dízima 0, 333... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
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26 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
b) Seja a dízima 5, 1717... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador de acordo com a quantidade de dígitos que tiver o período da dízima. 
 
c) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso dizemos que a dízima periódica 
é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Temos então um anteperíodo 
(2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos 232 no qual será o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99 (dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o anteperíodo, neste caso 
0 (um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, que será a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
 = 
2
3
 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
 = 
2
3
 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
 
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27 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o 
oposto de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p =
b
a
e q = 
d
c
. 
 
 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
 
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que 
vale em toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
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28 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igualao oposto do expoente 
anterior. 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Divisão de potências de mesma base. Para reduzir uma divisão de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
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Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou
2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1
= 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0 = 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada no conjunto dos números racionais. 
Por exemplo, o número 
9
100
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10
 como 
3
10
 , quando 
elevados ao quadrado, dão 
9
100
. 
Já um número racional positivo, só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
E o número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP– Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ 
dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os 
demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como 
disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) De um total de 180 candidatos, 
2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de 
candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
03. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) Em um estado do Sudeste, um 
Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma gratificação de 
R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi 
descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
 
 
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30 
 
04. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo: 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 
 
Obtém-se 
(A) ½. 
(B) 1. 
(C) 3/2. 
(D) 2. 
(E) 3. 
 
05. (SABESP – Aprendiz – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(A) −4; −1; √16; √25;
14
3
 
(B) −1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(C) −1; −4; 
14
3
; √16; √25 
(D) −4; −1; √16;
14
3
; √25 
(E)−4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
06. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x ao 
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, 
o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
07. (SABESP – Aprendiz – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
08. (PM/SE – Soldado 3ªclasse – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
09. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Quando perguntado sobre 
qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
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31 
 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Alternativa: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
03. Alternativa: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
04. Alternativa: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
4
3 +
3
2
3
2
+
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
05. Alternativa: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é: −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
06. Alternativa: B. 
Lá vem o tal do “x” né, mas analise o seguinte, temos a fração 
2
3
, aí ele disse o seguinte: Somando-se 
certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração, 
logo devemos somar “x” no 2 e subtrair “x” de 3, ficando: 
2 + x
3 − x
 
Isso é igual a 5, assim teremos formada nossa equação com números racionais! 
2+x
3−x
= 5, para resolver devemos multiplicar em cruz (como não tem ninguém no denominador do 5, 
devemos colocar o 1). 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
32 
 
1.(2 + x) = 5.(3 – x) 
Aplicando a propriedade distributiva: 
2 + x = 15 – 5x 
Letra para um lado e número para o outro, não esquecendo que quando troca de lado inverte o número. 
x + 5x = 15 – 2 
6x = 13 
x = 
13
6
 
Portanto a alternativa correta é a “B”. 
 
07. Alternativa: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
08. Alternativa: A. 
Este problema é clássico na utilização de frações, primeiro vamos calcular a quantidade de homens e 
mulheres abordadas: 
Total: 800 
Homens: 
3
4
 sendo assim devemos encontrar 
3
4
 𝑑𝑒 800 = 3𝑥800 = 2400, 𝑒 2400 ∶ 4 = 600 
Se temos 600 homens, significa que 200 são as mulheres, pois o total é 800, agora vamos calcular os 
detidos! 
Homens detidos: 
1
5
 de 600, logo 600 x 1 = 600 e 600 : 5 = 120, portanto 120 homens detidos. 
 
Mulheres detidas: 
1
8
 de 200, logo 200 x 1 = 200 e 200 : 8 = 25, portanto 25 mulheres detidas. 
 
O enunciado pede o total de pessoas detidas nessa operação policial, logo 120 + 25 = 145, o que nos 
remete a alternativa “A”. 
 
09. Alternativa: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais5 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Seum número real é racional, não será irracional, e vice-versa). 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
5
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
33 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Ordenação dos números reais 
 
A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais 
positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: 
Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Intervalos reais 
 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
 
> ;< ou ] ; [ 
 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ou [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
34 
 
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em 
sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
 
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o 
sinal. 
 
Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com números relativos 
 
1) Adição e subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e divisão de números relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) I, II e III são falsas. 
(D) apenas II e III são falsas. 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
35 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as 
páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para 
numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O 
total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
36 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x= 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Alternativa: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
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37 
 
03. Alternativa: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Alternativa: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Alternativa: D. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Alternativa: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Alternativa: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
38 
 
08. Alternativa: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Alternativa: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Alternativa: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
POTENCIAÇÃO 
 
 
 Para resolver problemas que envolvam potenciação devemos nos atentar em algumas propriedades 
de potência na qual iremos ver no decorrer deste texto. 
Observando a figura acima, quantos cubos há: 
1) em uma barra? 
2) uma placa? 
3) um bloco? 
 
Respondendo a essas perguntas, efetuamos as seguintes multiplicações: 
1) 1 barra = 10 cubinhos 
2) 1 placa = 10 .10 = 100 cubinhos 
3) 1 bloco = 10.10.10 = 1000 cubinhos 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
39 
 
A esse tipo de multiplicação de fatores iguais chamamos de Potenciação. 
Vejamos: 
 
 
 
Na figura acima, observamos a repetição de um fator (dez “10”) ao qual chamamos de base, e a 
quantidade de vezes que essa base se repete (2, 3, 4...) chamamos de expoente, ao resultado da 
potenciação chamamos de potência6. Dessa forma podemos representar essa repetição da seguinte 
forma: 
10.10 = 10² (lê-se 10 elevado a 2ª potência ou ao quadrado) 
10.10.10 = 10³ (Lê-se 10 elevado a 3ª potência ou ao cubo) 
E assim sucessivamente. 
 
 
Propriedades da Potência 
 
1) Todo número elevado a zero é igual 1(um): 
𝐚𝟎 = 𝟏 
Exemplos: 
210 = 1 ; 
20 = 1. 
 
2) Multiplicação de potência de mesma base: 
Conserva-se a base e soma-se os expoentes. 
𝐚𝐦. 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦+𝐧 
Exemplos: 
212 . 2152 = 212 + 52 ; 
20 . 23 = 20 + 3. 
 
3) Divisão de potência de mesma base: 
Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. 
𝐚𝐦: 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦−𝐧, 𝐚 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
2121 : 2110 = 2121 – 10 = 2111; 
23 : 23 = 23 – 3 = 20 = 1. 
 
4) Potência de uma potência: 
Conserva-se a base e multiplica-se os expoentes. 
(𝐚𝐦)𝐧 = 𝐚𝐦.𝐧 
Exemplos: 
(𝟑𝟔)𝟕 = 𝟑𝟔.𝟕 = 𝟑𝟒𝟐 
(𝟓𝟐)𝟎 = 𝟓𝟐.𝟎 = 𝟓𝟎 = 𝟏 
 
5) Multiplicação de potência de mesmo expoente: 
Conserva-se os expoentes e multiplicam-se as bases. 
𝐚𝐧. 𝐛𝐧 = (𝐚. 𝐛)𝐧 
 
6
www.vivendoentresimbolos.com/2012/10/potenciacao.html 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
40 
 
Exemplos: 
26. 36 = (2.3)6 = 66 
52.82.72 = (5.8.7)2 = 2802 
 
6) Divisão de potência de mesmo expoente: 
Conserva-se os expoentes e dividem-se as bases. 
𝐚𝐧: 𝐛𝐧 = (𝐚: 𝐛)𝐧; 𝐛 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
46 : 26 = (4 : 2)6 = 26 
102 : 82 = (10 : 8)2 = (
5
4
)2 
 
7) Potência de um produto: 
Eleva-se cada termo da multiplicação ao expoente. 
 (𝐚. 𝐛)𝐧 = 𝐚𝐧. 𝐛𝐧 
Exemplos: 
(2.3)6 = 26 . 36 
(5.8.7)2 = 52 . 82 . 72 
 
8) Potência de um quociente: 
Eleva-se cada termo da divisão ao expoente. 
 (𝐚: 𝐛)𝐧 = 𝐚𝐧: 𝐛𝐧, 𝐛 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
(2 : 3)6 = 26 : 36 
(10 : 8)2 = 102 : 82 
 
9) Base elevada a expoente par: 
Qualquer número real (positivo ou negativo), elevado a um expoente par terá sempre como resultado 
um número positivo. 
Exemplos: 
(-3)2 = (-3).(-3) = 9 
(7)4 = 7.7.7.7 = 2 401 
 
10) Base elevada a expoente ímpar: 
Qualquer número real (positivo ou negativo), elevado a um expoente impar terá sempre como resultado 
o mesmo sinal da base. 
Exemplos: 
(-3)3 = (-3).(-3).(-3) = -27 
(7)5 = 7.7.7.7.7 = 16 807 
 
11) Base elevada a expoente negativo: 
Inverte-se a base da potenciação e muda-se o sinal do expoente. 
𝐚−𝟏 = (
𝟏
𝐚
)
𝟏
 
Exemplos: 
2−3 = (
1
2
)
3
=
1
8
 
(
3
2
)
−4
= (
2
3
)
4
=
16
81
 
 
12) Potência elevada a uma outra potência: 
Qualquer número real (positivo ou negativo), elevado a vários expoentes simultaneamente, deve se 
resolver cada expoente separadamente até chegar a uma potência. 
𝐚𝐦𝐧
𝐩
 
Exemplos: 
𝟑𝟐
𝟐
 → Vamos resolver primeiro 22 = 4, logo ficamos com 34 = 81 
𝟔𝟑
𝟐
 → Vamos resolver primeiro 32 = 9, logo ficamos com 69 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
41 
 
Questões 
 
01. (AL/RO – Analista Legislativo – FGV/2018) Se 1002x . 10003x = 1004 , então o valor de x é 
(A) 4/5. 
(B) 4/9. 
(C) 8/11. 
(D) 8/13. 
(E) 8/15. 
 
02. (TRF/3ª Região – Técnico Judiciário – FCC) O resultado da expressão numérica 53 ÷ 5 . 54 ÷ 5 . 
55 ÷ 5 ÷ 56 − 5 é igual a 
(A) 120. 
(B) 1/5. 
(C) 55. 
(D) 25. 
(E) 620. 
 
03. (Pref. de Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Analise as operações a seguir: 
I abac=ax 
 
II 
𝑎𝑏
𝑎𝑐
= 𝑎𝑦 
 
III (𝑎𝑐)2 = 𝑎𝑧 
 
De acordo com as propriedades da potenciação, temos que, respectivamente, nas operações I, II e III: 
(A) x=b-c, y=b+c e z=c/2. 
(B) x=b+c, y=b-c e z=2c. 
(C) x=2bc, y=-2bc e z=2c. 
(D) x=c-b, y=b-c e z=c-2. 
(E) x=2b, y=2c e z=c+2. 
 
04. (FUVEST) A metade de 2100 é: 
(A) 250 
(B) 1100 
(C) 299 
(D) 251 
(E) 150 
 
05. (UFSM) Efetuando a divisão ex : ex-2, teremos: 
(A) e-2 
(B) ex2-2x 
(C) e2 
(D) 𝑒
𝑥
𝑥−2 
(E) ex 
 
06. Simplificando a expressão: 
2𝑛+4 − 2. 2𝑛
2. 2𝑛+3
 
Obtém-se: 
(A) 1/8 
(B) 7/8 
(C) -2n+1 
(D) 1-2n 
(E) 7/4 
 
07. (FATEC) Das três sentenças abaixo: 
I. 2x+3 = 2x . 23 
II. (25)x = 52x 
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42 
 
III. 2x + 3x = 5x 
(A) somente a I é verdadeira; 
(B) somente a II é verdadeira; 
(C) somente a III é verdadeira; 
(D) somente a II é falsa; 
(E) somente a III é falsa. 
 
08. (UFPA) Simplificando a expressão[29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se: 
(A) a 
(B) 2-30 
(C) 2-6 
(D) 1 
(E) 236 
 
09. (CEFET/BA) Se 53a= 64, o valor de5-a é: 
(A) -1/4 
(B) 1/40 
(C) 1/20 
(D) 1/8 
(E) 1/4 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria III – ZAMBINI) A expressão numérica abaixo apresenta como 
resultado 
 
(A) 243. 
(B) 729. 
(C) 2.187. 
(D) 6.561. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Primeiro vamos deixar tudo na mesma base. 
 
1002x = (102)2𝑥 = 104x 
 
10003x = (103)3𝑥 = 109x 
 
1004 = (102)4 = 108 
 
Utilizando a propriedade de multiplicação de potência de mesma base: 
104x . 109x = 1013x 
 
Logo teremos 
1013x = 108 
Simplificando: 
13x = 8 
x = 
8
13
 
 
02. Resposta: A 
Vamos aplicar as propriedades de potência: 
1ª vamos resolver todas as divisões, onde subtraímos os expoentes das potências de mesma base: 
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43 
 
(53 ÷ 5) . (54 ÷ 5 ). (55 ÷ 5) ÷ 56 – 5 → (52 . 53 . 54)÷ 56 – 5, agora vamos resolver a multiplicação, onde 
somamos os expoentes → 59 ÷ 56 – 5, novamente resolvemos a divisão, onde subtraímos os expoentes 
→ 53 -5, agora resolvemos a potência 53 = 125 → 125 – 5 = 120. 
 
03. Resposta: B 
I da propriedade das potências, temos: 
𝑎𝑥 = 𝑎𝑏+𝑐 ⇒ 𝑥 = 𝑏 + 𝑐 
 
II 𝑎𝑦 = 𝑎𝑏−𝑐 ⇒ 𝑦 = 𝑏 − 𝑐 
 
III 𝑎2𝑐 = 𝑎𝑧 ⇒ 𝑧 = 2𝑐 
 
04. Resposta: C 
Como queremos saber a metade de 2100, precisamos dividir esta potência por 2, e subtrairmos os 
expoentes (divisão de mesma base), logo: 
2100
2
= 2100−1 = 299 
 
05. Resposta: C 
Na divisão de potências de mesma base, conserva-se as bases e subtrai-se os expoentes: 
𝑒𝑥
𝑒𝑥−2
= 𝑒𝑥−(𝑥−2) = 𝑒𝑥−𝑥+2 = 𝑒2 
 
06. Resposta: B 
2𝑛+4 − 2𝑛+1
2𝑛+3+1
=
2𝑛+4 − 2𝑛+1
2𝑛+4
=
2𝑛+4
2𝑛+4
−
2𝑛+1
2𝑛+4
= 2𝑛+4−(𝑛+4) − 2𝑛+1−(𝑛+4) = 20 − 2−3 
 
1 −
1
23
= 1 −
1
8
=
8 − 1
8
=
7
8
 
 
07. Resposta: E 
I. 2x+3 = 2x . 23 → multiplicação de potência de mesma base, conserva-se os expoentes e soma-se as 
bases, logo: 2x . 23 = 2x+3 → Verdadeira. 
II. (25)x = 52x → sabemos que 25 = 52, e em uma potência de uma outra potência temos (52)x=52x, logo 
verdadeira. 
III. 2x + 3x = 5x → Neste caso, se fazemos o valor de x = 1, a igualdade é verdadeira, mas para qualquer 
outro valor x>1, temos que a igualdade não é verdadeira, logo será Falsa. 
 
08. Resposta: D 
Vamos aplicar as propriedades das potências, resolvendo primeiro o que está nos parênteses e depois 
nos colchetes. 
[29: (22+1)3]
−3
→ [29: (23)3]
−3
→ [29: (23.3)]
−3
→ [29: 29]−3 → [20]−3 → 20.(−3) = 20 → 1 
 
09. Resposta: E 
Temos que 64 = 26 = 22.3→ 64=(22)3 
E como 53a =64, reescrevemos assim: 53a = (22)3 → observe que 53a = (5a)3, com isso temos: 
(5𝑎)3 = (22)3, como os expoentes são iguais, podemos escrever da seguinte maneira: 5a=22 →5a =4, 
como queremos o resultado de 5-a, aplicamos a propriedade de ambos os lados: 
5-a = 4-1 → 5-a = 
1
4
 
 
10. Resposta: D 
Resolvendo cada item teremos: 
2² = 4 
24 = 16 
32
22
= 32
4
= 316 
((3²)²)² = 3².2.2 = 38 
(32)2
2
= (32)4 = 32.4 = 38 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
44 
 
(32
2
)
2
= (34)2 = 34.2 = 38 
 
Vamos montar agora que item simplificado: 
316
38
.
38
38
→
316
38
→ 316−8 → 38, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 38 = 6561 
 
 
 
FATORAÇÃO 
 
Fatorar é transformar em produto, o que nos permite a simplificação de expressões algébricas na 
resolução de vários problemas cotidianos. 
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma 
expressão é obter outra expressão que: 
- Seja equivalente à expressão dada; 
- Esteja na forma de produto. 
Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável. 
Há diversas técnicas de fatoração, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis. 
 
Fator Comum 
 
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em 
evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica. 
Observe os exemplos abaixo: 
 
ax + ay = a (x + y) 
12x2y + 4 xy3 = 4xy (3x + y2) 
 
Agrupamento 
 
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja 
um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência. Observe: 
 
ax + ay + bx + by = 
= a (x + y) +b (x + y) = 
= (a + b) (x + y) = 
 
Diferença de Dois Quadrados 
 
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de dois quadrados sempre que dispusermos da 
diferença entre dois monômios cujas partes literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais 
expressões é obtida com os seguintes passos: 
- Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio; 
- Dividimos por dois os expoentes das literais; 
- Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos. 
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma: 
√𝑎2 – √𝑏2 → (a + b).(a – b) 
 
Trinômio Quadrado Perfeito ou Quadrado Perfeito 
 
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar 
do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios. 
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2. 
Trinômios quadrados perfeitos são todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas 
seguintes: 
Fatoração. 
 
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45 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
 
Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c 
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio do segundo grau, ax2 + bx + c (a ≠ 0), dizemos que: 
ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2) 
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da 
fórmula de Bháskara: ( 𝑥 = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
, onde ∆ = b2 – 4ac) 
 
Soma e Diferença de Cubos 
 
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – ab + b², obtemos o seguinte 
desenvolvimento: 
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 
Analogamente, se calcularmos o produto de a – b por a2 + ab + b2, obtemos a3 – b3. 
O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para 
fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado. 
Exemplos 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
 
Cubo Perfeito 
Dado pela fatoração abaixo: 
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 
Não podemos confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma de cubos a3 + b3. 
Não podemos confundir o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença entre cubos a3 - b3. 
 
Questões 
 
01. (ENEM) Calculando 934.2872 – 934.2862 temos como resultado: 
(A) 1 868 573 
(B) 1 975 441 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 10242 
 
02. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente: 
(A) -1 e -1 
(B) 0 e 0 
(C) 1 e 1 
(D) 1 e -1 
(E) -1 e 1 
 
03. (Faculdade Ibero-Americana) O valor de A real, para que se tenha 
𝐴. √3 = (2 + √3)3 − (2 − √3)3 é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 30 
(D) √30 
(E) √20 
 
04. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos 
pode ser: 
(A) 4 
(B) 5 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
46 
 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
05. (FEI) A fração 
𝑎3−𝑏3
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
 , quando a= 93 e b= 92, é igual a: 
(A) 0 
(B) 185 
(C) 932 - 922 
(D) 1 
(E) 185/2 
 
 06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a: 
(A) a2 + 2 
(B) 2a + 1 
(C) a2 + 1 
(D) 2a -1 
(E) a2 
 
07. (TRT 4ª Região - Analista Judiciário - FCC) Dos números que aparecem nas alternativas, o que 
mais se aproxima do valor da expressão (0,6192 – 0,5992)x0,75 é: 
(A) 0,0018. 
(B) 0,015. 
(C) 0,018. 
(D) 0,15. 
(E) 0,18 
 
08. (Pref. Mogeiro/PB - Professor - EXAMES) Simplificando a expressão, (a² b + ab²). 
1
𝑎3
 − 
1
𝑏3
1
𝑎2
− 
1
𝑏2
 
Obtemos: 
(A) a + b. 
(B)a² + b². 
(C) ab. 
(D) a² + ab + b². 
(E) b – a. 
 
09. (TRT 24ª Região - Técnico Judiciário - FCC) Indagado sobre o número de processos que havia 
arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: 
O número de processos que arquivei é igual a 12,252 - 10,252. 
Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que: 
(A) X < 20. 
(B) 20 < X < 30. 
(C) 30 < X < 38. 
(D) 38 < X < 42. 
(E) X > 42. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Temos 934 2872 = (934 286 +1)2 = 934 2862 + 2. 934 286 + 12 
Montando a expressão: 934 2862 + 2. 934 286 + 12 - 934 2862 → 
1 868 573 + 1 = 1 868 573 
 
02. Resposta: E 
Como a forma fatorada de x3 + 1 = (x + 1).(x2 – x + 1), pelo enunciando temos : 
(x + 1) (x2 + ax + b) = (x + 1).(x2 – x + 1); simplificando teremos 
x2 + ax + b = x2 – x + 1, comparando cada termo temos: 
x2 = x2; ax = -x, logo a = - 1; b = 1 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
47 
 
03. Resposta: C 
Vamos aplicar a fatoração: 
A. √3 = 23 + 3.22.√3 + 3.2. (√3 )2 + (√3) 3 –(23 - 3.22.√3 + 3.2. (√3 )2 -(√3) 3 
A. √3 = 8 + 12 √3 +18 + 3 √3 - 8 + 12 √3 -18 +3 √3 
A. √3 = 24√3 + 6√3 → A. √3 = 30 √3 → A= 30 
 
04. Resposta: C 
Cubo da soma (a + b)3 e soma dos cubos a3 + b3, a diferença é: 
a3 + 3a2b +3ab2 + b3 – (a3 + b3) → a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 - b3→ 3a2b + 3ab2→ 3ab(a + b); 
Como temos dois números inteiros e fazendo a e b como 1: 
3.11.(1 + 1) → 3.2 = 6 
 
05. Resposta: D 
Utilizando a soma e a diferença de cubos temos que: 
a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2) → 
(𝑎−𝑏).(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2)
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
 → a - b, como a = 93 e b = 92; a – b = 93 – 92 = 1 
 
06. Resposta: A 
x = a + x-1 → a = x - x-1, elevando ambos os membros ao quadrado temos: 
a2 = (x - x-1)2 → a2 = x2 - 2.x.x-1 + x-2 → x2 + x-2 = a2 + 2 
 
07. Resposta: C 
Da fatoração temos a regra a2 – b2 = (a + b).(a – b) (diferença de dois quadrados), então se a = 0,619 
e b = 0,599, temos: 
(0,6192 – 0,5992)x0,75 → (0,619 + 0,599).(0,619 – 0,599)x0,75 → 1,218 x 0,02 x 0,75 → 0,01827 
 
08. Resposta: D 
 
 
09. Resposta: E 
Nesta questão utilizaremos a diferença de dois quadrados: 
 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). 
x = 12,252 – 10,252 
x = (12,25 + 10,25)(12,25 – 10,25) 
x = 22,5.2 
x = 45 
 
 
 
MDC 
 
O Máximo Divisor Comum(MDC) de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de 
todos os números dados. Consideremos: 
 
Máximo divisor comum. Mínimo múltiplo comum. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
48 
 
- o número 18 e os seus divisores naturais: 
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 
 
- o número 24 e os seus divisores naturais: 
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
 
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: 
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}. 
 
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, 
ou seja: MDC (18, 24) = 6. 
 
Outra técnica para o cálculo do MDC é a decomposição em fatores primos. Para obtermos o MDC de 
dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente. 
 
Exemplo 
 
MMC 
 
O Mínimo Múltiplo Comum(MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo 
comum de todos os números dados. Consideremos: 
 
- O número 6 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 
 
- O número 8 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} 
 
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: 
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...} 
 
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, 
ou seja: MMC (6, 8) = 24 
 
Outra técnica para o cálculo do MMC é a decomposição isolada em fatores primos. Para obter o MMC 
de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior 
expoente. 
 
Exemplo 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
49 
 
O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: 
 
 
MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Professor – GR Consultoria e Assessoria) Um professor quer guardar 
60 provas amarelas, 72 provas verdes e 48 provas roxas, entre vários envelopes, de modo que cada 
envelope receba a mesma quantidade e o menor número possível de cada prova. Qual a quantidade de 
envelopes, que o professor precisará, para guardar as provas? 
(A) 4; 
(B) 6; 
(C) 12; 
(D) 15. 
 
02. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) O policiamento em uma praça da cidade é realizado por 
um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira: 
 
Grupo Intervalo de passagem 
Policiais a pé 40 em 40 minutos 
Policiais de moto 60 em 60 minutos 
Policiais em viaturas 80 em 80 minutos 
 
Toda vez que o grupo completo se encontra, troca informações sobre as ocorrências. O tempo mínimo 
em minutos, entre dois encontros desse grupo completo será: 
(A) 160 
(B) 200 
(C) 240 
(D) 150 
(E) 180 
 
03. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens 
partem de 2,4 em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. 
Se dois trens partem, simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse dia em que 
partirão dois trens simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, 
(A) 10 minutos e 48 segundos. 
(B) 7 minutos e 12 segundos. 
(C) 6 minutos e 30 segundos. 
(D) 7 minutos e 20 segundos. 
(E) 6 minutos e 48 segundos. 
 
04. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Fernanda divide as despesas de um 
apartamento com suas amigas. À Fernanda coube pagar a conta de água a cada três meses, a conta de 
luz a cada dois meses e o aluguel a cada quatro meses. Sabendo-se que ela pagou as três contas juntas 
em março deste ano, esses três pagamentos irão coincidir, novamente, no ano que vem, em 
(A) fevereiro. 
(B) março. 
(C) abril. 
(D) maio. 
(E) junho. 
 
05. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Marcelo é encarregado de dividir as entregas 
da empresa em que trabalha. No início do seu turno, ele observou que todas as entregas do dia poderão 
ser divididas igualmente entre 4, 6, 8, 10 ou 12 entregadores, sem deixar sobras. 
Assinale a alternativa que representa o menor número de entregas que deverão ser divididas por ele 
nesse turno. 
(A) 48 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
50 
 
(B) 60 
(C) 80 
(D) 120 
(E) 180 
 
06. (Pref. de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em janeiro de 2010, três 
entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A, B e C, realizaram bazares beneficentes para arrecadação 
de fundos para obras assistenciais. Sabendo-se que a entidade A realiza bazares a cada 4 meses (isto 
é, faz o bazar em janeiro, o próximo em maio e assim sucessivamente), a entidade B realiza bazares a 
cada 5 meses e C, a cada 6 meses, então a próxima vez que os bazares dessas três entidades irão 
coincidir no mesmo mês será no ano de 
(A) 2019. 
(B) 2018. 
(C) 2017. 
(D) 2016. 
(E) 2015. 
 
07. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Osvaldo é responsável pela manutenção das 
motocicletas, dos automóveis e dos caminhões de sua empresa. Esses veículos são revisados 
periodicamente, com a seguinte frequência: 
Todas as motocicletas a cada 3 meses; 
Todos os automóveis a cada 6 meses; 
Todos os caminhões a cada 8 meses. 
Se todos os veículos foram revisados, ao mesmo tempo, no dia 19 de maio de 2014, o número mínimo 
de meses para que todos eles sejam revisados juntos novamente é: 
(A) 48 
(B) 32 
(C) 24 
(D) 16 
(E) 12 
 
08. (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP) Dois produtos líquidos A 
e B estão armazenadosem galões separados. Em um dos galões há 18 litros do produto A e no outro, há 
42 litros do produto B. Carlos precisa distribuir esses líquidos, sem desperdiçá-los e sem misturá-los, em 
galões menores, de forma que cada galão menor tenha a mesma quantidade e o maior volume possível 
de cada produto. Após essa distribuição, o número total de galões menores será 
(A) 6. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
09. (UNIFESP – Mestre em Edificações – VUNESP) Uma pessoa comprou um pedaço de tecido de 
3 m de comprimento por 1,40 m de largura para confeccionar lenços. Para isso, decide cortar esse tecido 
em pedaços quadrados, todos de mesmo tamanho e de maior lado possível. Sabendo que não ocorreu 
nenhuma sobra de tecido e que o tecido todo custou R$ 31,50, então o preço de custo, em tecido, de 
cada lenço foi de 
(A) R$ 0,30. 
(B) R$ 0,25. 
(C) R$ 0,20. 
(D) R$ 0,15. 
(E) R$ 0,10. 
 
10. (UNIFESP – Engenheiro Mecânico – VUNESP) Iniciando seu treinamento, dois ciclistas partem 
simultaneamente de um mesmo ponto de uma pista. Mantendo velocidades constantes, Lucas demora 
18 minutos para completar cada volta, enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. Sabe-se que 
às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira vez, desde o início do treinamento. 
Desse modo, é correto afirmar que às 8 h 25 min, Daniel já havia completado um número de voltas igual 
a 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
51 
 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5 
(E) 7. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Fazendo o mdc entre os números teremos: 
60 = 2².3.5 
72 = 2³.3³ 
48 = 24.3 
Mdc(60,72,48) = 2².3 = 12 
60/12 = 5 
72/12 = 6 
48/12 = 4 
Somando a quantidade de envelopes por provas teremos: 5 + 6 + 4 = 15 envelopes ao todo. 
 
02. Resposta: C 
Devemos achar o mmc (40,60,80) 
 
 
 
𝑚𝑚𝑐(40,60,80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 
 
03. Resposta: B 
Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o mmc(18,24) e dividir por 10, assim 
acharemos os minutos 
 
 
 
Mmc(18,24)=72 
Portanto, será 7,2 minutos 
1 minuto---60s 
0,2--------x 
x = 12 segundos 
Portanto se encontrarão depois de 7 minutos e 12 segundos 
 
04. Resposta: B 
Devemos fazer o m.m.c. (3, 2, 4) = 12 meses 
Como ela pagou as três contas juntas em MARÇO, após 12 meses, pagará as três contas juntas 
novamente em MARÇO. 
 
05. Resposta: D 
m.m.c. (4, 6, 8, 10, 12) = 120 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
52 
 
06. Resposta: E 
m.m.c. (4, 5, 6) = 60 meses 
60 meses / 12 = 5 anos 
Portanto, 2010 + 5 = 2015 
 
07. Resposta: C 
m.m.c. (3, 6, 8) = 24 meses 
 
08. Resposta: C 
m.d.c. (18, 42) = 6 
Assim: 
* Produto A: 18 / 6 = 3 galões 
* Produto B: 42 / 6 = 7 galões 
Total = 3 + 7 = 10 galões 
 
09. Resposta: A 
m.d.c. (140, 300) = 20 cm 
* Área de cada lenço: 20 . 20 = 400 cm² 
* Área Total: 300 . 140 = 42000 cm² 
42000 / 400 = 105 lenços 
31,50 / 105 = R$ 0,30 (preço de 1 lenço) 
 
10. Resposta: B 
m.m.c. (15, 18) = 90 min = 1h30 
Portanto, às 9h10, Daniel completou: 90 / 15 = 6 voltas. 
Como 9h10 – 8h25 = 45 min, equivale à metade do que Daniel percorreu, temos que: 
6 / 2 = 3 voltas. 
 
 
 
SISTEMA DE MEDIDAS 
 
Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa 
 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
Medidas: comprimento, área, volume, ângulo, tempo e massa. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
53 
 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as 
relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
54 
 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
Questões 
 
 
01. (SESAP-RN – Administrador – COMPERVE/2018) Uma criança desenvolveu uma infecção cujo 
tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico utilizado no tratamento tem recomendação diária 
de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser administrado três vezes ao dia, em doses 
iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose administrada deve ser de 
(A) 7,5 mg. 
(B) 9,0 mg. 
(C) 4,5 mg. 
(D) 6,0 mg. 
 
02. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
03. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
55 
 
04. (UFPE – Assistente emAdministração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
07. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
08. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Observe que 1,5mg é a dose diária para cada quilograma da criança, como ele é aplicado 3x ao dia, 
teremos 0,5mg por aplicação, a criança possui 12kg, assim a quantidade de remédio por aplicação será 
de: 
0,5 . 12 = 6,0mg 
 
02. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
56 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
03. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
04. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
05. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
06. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
07. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
08. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS (TEMPO E ÂNGULO) 
 
Antigamente, para saber o melhor momento de caçar e plantar, entre outras atividades, as civilizações 
observavam a natureza, ou seja, utilizavam-se de fenômenos naturais periódicos. 
A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre dois 
eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do nascer do 
Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas. 
O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações (primavera, verão, 
outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5 horas, 48 minutos 
e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro anos, as horas 
extras acumuladas são reunidas no dia 29 de fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja, o ano com 366 
dias. 
Temos uma maneira prática de verificar se um ano é bissexto: 
- Se o número que indica o ano é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível 
por 400. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
57 
 
- Se o número que indica o ano não é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível 
por 4. 
Exemplo: 
O ano de 2000, por exemplo, foi bissexto porque 2000 termina em 00 e é divisível por 400. 
 
Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar 
(calendário solar) para contagem do tempo. Eles ainda podem definir outras unidades de tempo, como a 
semana, para o propósito de planejar atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses 
ou anos. 
O Ano é dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e cada semana, em 7 dias. 
O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o de 3 meses a um trimestre e o de 6 meses, a um 
semestre. 
Concluindo: 
- 1 ano tem 365 a 366(bissexto) dias; 
- 1 ano está dividido em 12 meses; 
- 1 mês tem de 30 a 31 dias; 
- 1 dia tem 24 horas 
 
Para medirmos o tempo durante o dia, utilizamos o relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. 
 
Em geral, os relógios marcam as HORAS, os MINUTOS e os SEGUNDOS. 
- 1 dia tem 24 horas. 
- 1 hora tem 60 minutos. 
- 1 minuto tem 60 segundos. 
 
Observe-se que não é correto escrever 3,20 horas como forma de representar 3h20min, pois o sistema 
de medida de tempo não é decimal. O 0,20h representa 12 minutos, pois 0,20.60 min = 12, logo 3,20h = 
3horas 12 minutos. 
 
- Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, 
temos, então acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
58 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) dos 2 para 
a coluna minutos. 
 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
Medidas de Ângulos e suas 
Transformações 
 
 
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. 
Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então: 
 
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’) 
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”) 
 
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema de tempo – hora, 
minuto e segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes: 
 
1h 32min 24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia. 
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo. 
 
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema 
grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas. 
 
Questões 
 
01. (SESAP – RN – Técnico em Enfermagem – COMPERVE/2018) Uma profissional de enfermagem 
deve administrar 250 ml de soro fisiológico em um paciente durante 90 minutos. Para obter a vazão 
corretado soro em gotas por minuto, ela deverá utilizar a fórmula de gotejamento, dividindo o volume do 
soro em mililitros pelo triplo do tempo em horas. De acordo com essa fórmula, a quantidade de gotas por 
minuto dever ser de, aproximadamente, 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
59 
 
(A) 28. 
(B) 42. 
(C) 56. 
(D) 70. 
 
02. (Pref. Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 minutos 
para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma prova. 
Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
03. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
04. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
60 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Para resolver esta questão temos que estar atentos ao enunciado, pois é dividir a quantidade em ml 
pelo tempo em horas, então 90min = 1,5hora. 
Logo, 250 : 4,5 = 55,555... que é aproximadamente 56. 
 
02. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
03. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
04. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
UNIDADES DE MEDIDA – VELOCIDADE 
 
A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado 
tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca. 
Segundo o S.I (Sistema Internacional de medidas) as unidades mais utilizadas para se medir a 
velocidade é Km/h (Quilômetro por hora) e o m/s (metro por segundo). 
 
Quando ouvimos que carro se desloca a uma velocidade de 20 km/h, isto significa que ele percorre 20 
km em 1 hora. 
Muitas questões pedem para que passemos de km/h para m/s, para efetuarmos essa transformação, 
basta utilizarmos o que segue na figura abaixo: 
 
 
 
Exemplo: 
Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR. Sabendo que a distância entre as duas 
cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade 
média do carro durante a viagem, em m/s. 
A velocidade média é dada por: 
𝑉𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
=
∆𝑆𝑓 − ∆𝑆𝑖
∆𝑡𝑓 − ∆𝑡𝑖
 
 
Ou seja, a variação da distância ΔS (final menos inicial) dividido por Δt, variação do tempo (final menos 
inicial). 
Montando de acordo com as informações do enunciado temos: 
ΔS = 300 Km 
Δt = 12 – 7 = 5 horas de percurso. 
Então: 
𝑉𝑚 =
300
5
= 60𝑘𝑚/ℎ 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
61 
 
Transformando para m/s teremos apenas que dividir por 3,6: 
60 : 3,6 = 16,67 m/s 
 
Questões 
 
01. (CPTM/SP – Técnico de Manutenção – RBO) Com velocidade média de 70 km/h, Natália foi de 
trem da cidade A para a cidade B em 50 minutos. Se o percurso de volta foi feito em 40 minutos, a 
velocidade média na volta, em km/h, foi de aproximadamente 
(A) 80,0 
(B) 84,0 
(C) 85,5 
(D) 87,5 
(E) 92,5 
 
02. (PM/SC – Soldado – IESES) Dois automóveis percorreram a distância entre as cidades A e B. 
Ambos saíram da cidade A e não realizaram paradas durante as viagens. O primeiro partiu às 9 horas e 
o segundo às 10 horas, chegando juntos na cidade B às 14 horas. Se a velocidade média do primeiro foi 
de 50 km/h, qual é a velocidade média do segundo automóvel? 
(A) 72,5Km/h 
(B) 60km/h 
(C) 65 km/h 
(D) 62,5 km/h 
(E) 125 km/h 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Trajeto de IDA: 50 min = 5/6 hora 
Vm = 70 = x/(5/6) 
70 = 6x/5 
X = 350/6 km 
Trajeto de VOLTA: 40 min = 40/60 = 2/3 
Vm = (350/6)/(2/3) = 350.3/6.2 = 87,5 km/h 
 
02. Resposta: D 
Primeiro automóvel: 
Vm = variação espaço/variação tempo 
50 = x/5 
X = 250 km 
Segundo Automóvel: 
Vm = 250/4 = 62,5 km/h 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples7. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
 
 
7
MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013. 
 
Regra de três simples e composta. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
62 
 
 
 
Exemplos 
01. Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
63 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
02. Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375hora corresponde a 22 minutos aproximadamente (0,375 x 60 minutos), então o percurso 
será feito em 4 horas e 22 minutos aproximadamente. 
 
03. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto nopercurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
64 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala era 
1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
65 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
66 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 75 
anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de vida 
que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
(B) 
5
6
 
(C) 
4
5
 
(D) 
3
4
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
67 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total, regra de três simples 
diretamente proporcional. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: AFaremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
68 
 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
69 
 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta8. 
 
Exemplos 
01. Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (se aumentar o número de máquinas 
precisaremos de menos dias). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) 
uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
8
MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
70 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 





300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
02. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 
4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
Questões 
 
01. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² de 
calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o 
tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
71 
 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 
8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse 
constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma 
área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF/3ª Região – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 
cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma 
capacidade que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a 
estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma 
capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a 
obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de 
mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por 
dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja 
concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefaem quantos dias? 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
72 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
m² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
73 
 
03. Resposta: B 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamentos esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
74 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
75 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem9. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
01. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Resolução: 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir que Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco 
B. 
 
Uma outra maneira de expressar será apenas dividir o numerador pelo denominador, ou seja: 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
= 0,10 = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
= 0,125 = 12,5% 
 
 
9IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
Porcentagem, juros e descontos simples. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
76 
 
02. Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazese 12 são moças. Qual é a taxa percentual de 
rapazes na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
01. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
02. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% 
sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
77 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Aumentar um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
02. Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
03. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do 
retângulo é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Logo, alternativa E. 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
02. Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
03. O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual 
era o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
78 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
01. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
02. Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
03. Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, 
um desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (MPE/GO – Auxiliar Administrativo – MPE/GO/2018) João e Miguel são filhos de Pedro e 
recebem pensão alimentícia do pai no percentual de 20% sobre o seu salário, cada um. Considerando 
que os rendimentos de Pedro são de R$ 2.400,00 mensais, quantos reais sobram para Pedro no final do 
mês? 
(A) R$ 1.510,00 
(B) R$ 1.920,00 
(C) R$ 960,00 
(D) R$ 1.440,00 
(E) R$ 480,00 
 
02. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE/GO/2018) Joana foi trazer compras. Encontrou um vestido 
de 150 reais. Descobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de muito pensar, Joana 
pagou à vista o tal vestido. 
Quanto ela pagou? 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
79 
 
(A) 120,00 reais; 
(B) 112,50 reais 
(C) 127,50 reais. 
(D) 97,50 reais. 
(E) 95,00 reais. 
 
03. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2018) O preço de um automóvel, à vista, 
é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo automóvel seja pago em 18 
parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a compra do automóvel, 
o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em 
(A) 20%. 
(B) 12%. 
(C) 10%. 
(D) 15%. 
(E) 22%. 
 
04. (SANEAGO/GO – Agente de Saneamento – UFG/2018) As vendas de Natal em 2017 nos 
shopping centers cresceram 6% em relação a 2016, movimentando R$ 51,2 bilhões [O Estado de S. 
Paulo, 27/12/2017, p. B1]. De acordo com essas informações, o valor movimentado, em bilhões, pelos 
shopping centers com as compras de Natal em 2016 foi, aproximadamente, de 
(A) R$ 45,13 
(B) R$ 48,20 
(C) R$ 48,30 
(D) R$ 50,14 
 
05. (SEAD/AP – Assistente Administrativo – FCC/2018) Em uma empresa, o departamento de 
recursos humanos fez um levantamento a respeito do número de dependentes de cada funcionário e 
organizou os resultados na seguinte tabela: 
 
A porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente é igual a 
(A) 60%. 
(B) 40%. 
(C) 50%. 
(D) 33%. 
(E) 66%. 
 
06. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO/2018) Um comerciante comprou 
algumas geladeiras, ao preço unitário de R$ 1.550,00, e conseguiu vender apenas algumas delas. Em 
cada geladeira vendida, o comerciante obteve um lucro de 16% sobre o preço de compra, e o lucro total 
obtido com todas as geladeiras vendidas foi de R$ 26.040,00. 
Quantas geladeiras o comerciante vendeu? 
(A) 15 
(B) 45 
(C) 75 
(D) 105 
(E) 150 
 
07. (Câm. de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
Apostila gerada especialmentepara: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
80 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
09. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
11. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Para resolver esta questão devemos encontrar 20% do salário de Pedro, ou seja: 
2.400,00 x 20% = 2400 x 0,20 = 480,00 
que é o valor que ele paga de pensão, mas como são 2 filhos será 480 + 480 = 960,00, portanto o 
valor que ele recebe será de 2400 – 960 = 1440,00. 
 
02. Resposta: D 
Vamos calcular quanto representa 35% de 150 reais. 
150 x 0,35 = 52,50 (é o valor do desconto) 
Logo o valor do vestido à vista será de: 150,00 – 52,50 = 97,50. 
 
03. Resposta: C 
Primeiramente vamos encontrar o valor o automóvel financiado em 18 parcelas de 2.200: 
18 x 2.200 = 39.600. 
Agora basta fazermos uma regra de três simples onde o valor à vista de 36.000,00 será os 100% e do 
resultado o que aumentar além dos 100% será o valor da porcentagem de acréscimo. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
81 
 
36000 ---- 100 
39600 ---- x 
36000x = 39600 . 100 
36000x = 3960000 
x = 
3960000
36000
= 110 
Assim o valor financiado passou a ser 110%, logo o aumento foi de 110 – 100 = 10% 
 
04. Resposta: C 
Primeiramente devemos saber que 51,2 bilhões já está com o aumento de 6% então ele representa 
106%, agora basta descobrir o valor ante do aumento, através de uma regra de três simples. 
 
51,2 ---- 106 
 x ---- 100 
106x = 51,2 . 100 
106x = 5120 
x = 
5120
106
 = 48,30 aproximadamente. 
 
05. Resposta: B 
Aqui devemos ficar atentos pois existe uma pegadinha, observe que o número de funcionários que têm 
um ou mais dependentes é de 15, e na outra coluna o número de funcionários que têm dois ou mais 
dependentes é de 5, assim estes 5 já estão inclusos nos 5, portanto o total de funcionários será 10 + 15 
= 25 e também temos que o número de funcionários que terão apenas 1 dependente será 15 – 5 = 10 
funcionários. 
Vamos agora encontrar a porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente: 
10
25
= 0,40 = 40% 
 
06. Resposta: D 
O primeiro passo é saber quanto que o comerciante lucra por geladeira, com ele lucra 16%, basta 
encontrar 16% de 1550. 
0,16 x 1550 = 248 
Assim o valor que ele lucra por geladeira será 248, mas 26040 foi o valor total de lucro, portanto para 
saber quantas geladeiras ele vendeu devemos dividir o lucro total pelo lucro de uma geladeira. 
26040
248
= 105 
Vendeu 105 geladeiras no total. 
 
07. Resposta: B 
Vamos encontrar o valor pago pelo sofá e pelo tapete em cada uma das formas de pagamento: 
 
Cartão de crédito: 
10
100
 (750 + 380) = 0,10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 
8
100
. (750 + 380) = 0,08 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
08. Resposta: E 
Vamos encontrar o preço que ele revende e depois dar o desconto sob esse preço de revenda. 
Preço de revenda: 1500 + 40% = 1500 + 1500 x 0,40 = 1500 + 600 = 2100 
Preço com desconto: 2100 – 35% =2100 – 0,35 x 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
09. Resposta: A 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
82 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
10. Resposta: A 
Vamos encontrar o valor da primeira embalagem: 
2,40 . 12 = 28,80 
Agora como tem desconto de 25% na segunda embalagem, vamos encontrar seu valor (100% - 25% 
= 75%): 
28,80. 0,75 = 21,60 
O total que ele gastou foi de 
28,80 + 21,60 = 50,40 
Como ele revendeu cada lata por 3,50 ele terá recebido um total de: 
3,50 x 24 = 84,00 
O lucro então foi de: 
R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
 
11. Resposta: B 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
JUROS SIMPLES10 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C 
(capital) ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
 
 
10 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
83 
 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valorfuturo) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
84 
 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 
400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. 
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 
150,00, foi de 
(A) 8,70%. 
(B) 7,50%. 
(C) 6,25%. 
(D) 5,10%. 
 
02. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemática financeira 
e finanças, julgue o item seguinte. 
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante 
ao final do período será inferior a R$ 10.140. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do 
seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com 
menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. 
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, 
para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: 
(A) R$ 3.096,00; 
(B) R$ 3.144,00; 
(C) R$ 3.192,00; 
(D) R$ 3.200,00; 
(E) R$ 3.252,00. 
 
04. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: 
(A) A capitalização de juros ocorre sobre o capital inicial 
(B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. 
(C) Os juros são pagos durante o período de capitalização 
(D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização 
(E) Todas as alternativas acima estão erradas 
 
05. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
85 
 
06. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
07. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
08. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
O capital será de: 400,00 
2 trimestres: 2.3 = 6 meses 
J = 150 reais. 
Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos: 
 
j = 
100
.. tiC
 
150 . 100 = 400 . i . 6 
 i = 
15000
2400
 = 6,25% ao mês 
 
02. Resposta: Errado 
Pela fórmula de juros simples teremos j = 
100
.. tiC
 
Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. 
i = 12% ao ano = 1% ao mês 
t = 45 dias = 1,5 meses 
C = 10000 
Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. 
Vamos lá! 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
10000 . 1 . 1,5
100
 = 
15000
100
 = 150 reais, que é superior à 140 reais conforme dito no enunciado. 
 
03. Resposta: A 
Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
86 
 
i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
3000 . 0,4 . 8
100
 = 
9600
100
 = 96 reais 
 
Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 
 
04. Resposta: A 
Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está 
correta. 
 
05. Resposta: E 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
06. Resposta: B 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
07. Resposta: C 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
08. Resposta: C 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
87 
 
DESCONTOS 
 
Entende-se por Valor Nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data 
de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. 
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou 
um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença 
entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. 
Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 
 
Valor descontado = Valor nominal – Desconto 
 
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros 
compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-
se o descontocomposto para as operações de longo prazo. 
Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto: 
(a) desconto “por dentro” (ou racional) e; 
(b) desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial). 
 
Exemplo 
Ao resgatar uma duplicata dois meses, antes da data do vencimento (04/03/2005), o credor José da 
Silva (aquele que irá receber o valor da mesma) recebe uma quantia de R$ 460,00. 
A essa diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual) damos o nome 
de desconto. 
 
D = N – A 
Onde: 
D = desconto 
N = valor nominal 
A = valor atual 
 
O desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento é maior, resultando 
num resgate de menor valor para o proprietário do título. O desconto é o contrário da capitalização. 
 
Comparando com o regime de juros, observamos que: 
 
- o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante; 
- o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital; 
- e o Desconto nos dá ideia de Juros. 
 
DESCONTOS SIMPLES11 
 
Desconto Racional Simples (por dentro) 
O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, incorpora os conceitos e relações 
básicas de juros simples. Assim, sendo Dr o valor do desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a 
taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado antes de 
seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros simples 
 
𝐷𝑟 = 𝐶 . 𝑖 . 𝑛 
 
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital 
no cálculo do desconto, tem-se: 
 
𝐷𝑟 = 𝑁 − 𝑉𝑟 
 
Sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e V o valor descontado racional (ou valor 
atual) na data da operação. 
 
11 NETO. A. Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ed. Atlas, São Paulo. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
88 
 
Como: 
𝑉𝑟 = 𝐶 = 
𝑁
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
Tem-se: 
 
𝐷𝑟 = 
𝑁. 𝑖. 𝑛
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
A partir dessa fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de determinado valor 
nominal (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a determinado prazo de antecipação (n). 
Já o valor descontado, conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte expressão de cálculo: 
 
𝑉𝑟 = 
𝑁
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
Observe, uma vez mais, que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples. 
É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital 
liberado da operação. 
A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do 
desconto. 
 
Desconto Comercial Simples (por fora) 
Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, 
proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. Observe que, ao contrário dos 
juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, 
sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais 
ao tomador de recursos. 
A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em 
operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. 
O valor desse desconto, genericamente denominado desconto “por fora” (Df) no regime de juros 
simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por 
fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é: 
 
Df = N . d . n 
 
O valor descontado “por fora” (Vf), aplicando-se a definição, é obtido: 
 
Vf = Nx(1 – d . n) 
 
Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada 
Em alguns casos teremos acréscimos de taxas pré-fixadas aos títulos, que são as taxas de despesas 
bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) cobradas sobre o valor nominal (N). Quando 
as mesmas aparecem nos enunciados, devemos somá-la à taxa de juros, conforme a fórmula abaixo: 
 
Df = N. (i.t + h) 
 
Onde: 
Df = desconto comercial ou bancário 
N = valor nominal 
i = taxa de juros cobrada 
t = tempo ou período 
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias. 
 
Temos ainda o valor bancário recebido, que nada mais é que: V = N – Db na qual podemos escrever 
da seguinte forma: 
 
V = N – Db → V = N – N (i.t + h) → V = N . [1 - (i.t + h)] 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
89 
 
Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr) 
Algumas questões propõem a utilização dessa relação para sabermos o valor do desconto caso fosse 
utilizado o desconto comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa. A relação é dada 
por: 
 
Df = Dr . (1 + i.t) 
 
Questões 
 
01. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros 
simples de 12% a.m. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da 
promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível 
em três meses. O valor da comissão é de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 30.000,00 
(C) R$ 40.000,00 
(D) R$ 50.000,00 
(E) R$ 60.000,00 
 
02. (FCC) Dois títulos são descontados em um banco 4 meses antes de seus vencimentos com uma 
taxa de desconto, em ambos os casos, de 2% ao mês. O valor atual do primeiro título foi igual a R$ 
29.440,00 e foi utilizada a operação de desconto comercial simples. O valor atual do segundo título foi 
igual a R$ 20.000,00 e foi utilizada a operação de desconto racional simples. A soma dos valores nominais 
destes dois títulos é igual a 
(A) R$ 53.600,00. 
(B) R$ 54.200,00. 
(C) R$ 55.400,00. 
(D) R$ 56.000,00. 
(E) R$ 56.400,00. 
 
03. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a. O 
valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o 
tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de: 
(A) R$ 9000,00 
(B) R$ 8600,22 
(C) R$ 8000,00 
(D) R$ 9600,22 
(E) R$ 10.600,00 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A 
h = 0,04 
t = 3 
iB = 0,12 . 3 
AB = N . [1 - (iB + h)] 
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)] 
300 000 = N . [1 – 0,4] 
N = 500 000 
Vc = 0,04 . N 
Vc = 0,04 . 500 000 
Vc = 20 000 
 
02. Resposta: A 
1º título - Dcs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 29440 
N1 = ? 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
90 
 
D = N – A 
Dcs = N.i.t → N – A = N.i.t → N – 29440 = N.0,02.4 → N – 29440 = N.0,08 → N – 0,08N = 29440 → 
0,92N = 29440 → N = 29440 / 0,92 → N = 32000 
 
2º título - Drs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 20000 
N2 = ? 
N = A (1 + i.t) → N = 20000 (1 + 0,02.4) → N = 20000 (1 + 0,08) → N = 20000.1,08 → N = 21600 
Como o enunciado da questão pede a soma dos valores nominais, então teremos: 
N1 + N2 → 32000 + 21600 = 53600. 
 
03. Resposta: B 
Dc = 860 
Dr = 781,82 
Usando N = (Dc . Dr) / (Dc – Dr), 
N = (860 . 781,82) / (860 – 781,82) = 672365,2 / 78,18 = 8600,22 
 
 
 
CÁLCULOS ALGÉBRICOS 
 
Cálculo algébrico é aquele onde não se trabalha a resolução de problemas e sim onde diferenciamos, 
um monômio, binômio, trinômio, polinômio, e suas referidas operações elementares (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). 
 
Expressões Algébricas: São aquelas que contêm números e letras. 
Ex.: 2ax² + bx 
 
Variáveis: São as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de 
princípio não possuem um valor definido. 
 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por 
números e efetuamos suas operações. 
 
Ex.: Sendo x = 1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: 
x² + y → 1² + 2 = 3; Portando o valor numérico da expressão é 3.Monômio: Os números e letras estão ligados apenas por produtos. 
Ex.: 4x 
 
Binômio: São as operações de adição e subtração entre dois monômios. 
Ex.: 4x + 5x 
 
Trinômio: São operações de adição e subtração entre três monômios. 
Ex.: 3x² + 3x + 4 
 
Polinômio: É a soma ou subtração de monômios. 
Ex.: 4x + 2y 
 
Termos semelhantes: São aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis). 
Ex.: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z  são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. 
 
 
 
Operações com expressões algébricas e com polinômios. 
 
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91 
 
Adição e Subtração de Expressões Algébricas 
 
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos 
semelhantes. 
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 
 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z 
 
Convém lembrar-se dos jogos de sinais. 
 
Na expressão: 
 
 
Multiplicação e Divisão de Expressões Algébricas 
Devemos usar a propriedade distributiva. Exemplos: 
 
2) (a + b).(x + y) = ax + ay + bx + by 
3) x (x² + y) = x³ + xy 
 
 Obs.: Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
 Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Exemplos: 
1) 4x² ÷ 2x = 2x 
2) (6x³ - 8x) ÷ 2x = 3x² - 4 
3) = 
 
Resolução: 
 
 
Potenciação de monômios 
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação: 
 
I- (a . b)m = am . bm 
II- (am)n = am . n 
 
Veja alguns exemplos: 
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade 
 
(-5)2 . (x2)2 . (b6)2 = 25 . x4 . b12 = 25x4b12 
 
Radiciação de monômios 
Na radiciação de monômios retiramos a raiz do coeficiente numérico e também de cada um de seus 
fatores, em resumo isso equivale a dividirmos cada expoente dos fatores pelo índice da raiz. 
 
Exemplo 
A raiz de √9𝑥4𝑦6𝑧2 
√9𝑥4𝑦6𝑧2 → √9.√𝑥4. √𝑦6. √𝑧2 → 3. 𝑥4:2. 𝑦6:2. 𝑧2:2 → 3𝑥2𝑦3𝑧 
 
Questões 
 
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92 
 
01. (Pref. de Terra de Areia/RS – Agente Administrativo – OBJETIVA) Assinalar a alternativa que 
apresenta o resultado do polinômio abaixo: 
2x(5x + 7y) + 9x(2y) 
(A) 10x + 14xy + 18yx 
(B) 6x² + 21xy 
(C) 10x² + 32xy 
(D) 10x² + 9y 
(E) 22x + 9y 
 
02. (Pref. de Cipotânea/MG – Auxiliar Administrativo – REIS&REIS) Subtraia os polinômios 
abaixo: 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) = 
(A) 2ab + a 
(B) a + b 
(C) ab + a 
(D) ab + 2a 
(E) -14ab 
 
03. (Pref. de Trindade/GO – Auxiliar Administrativo – FUNRIO) Um aluno dividiu o polinômio 
(x2 − 5x + 6) pelo binômio (x − 3) e obteve, corretamente, resto igual zero e quociente (ax + b). O 
valor de (a − b) é igual a: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
04. Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5, então o valor de 2A – 3B é: 
(A) -7x² + 20x -9 
(B) -7x² + 20x -15 
(C) -9x² + 10x -9 
(D) x² + 20x -9 
(E) 4x² - 10x + 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
2x (5x + 7y) + 9x(2y) 
10x² + 14xy + 18xy 
10x² + 32xy 
 
02. Resposta: C. 
(-12ab + 6a) – (-13ab + 5a) 
= -12ab + 6a +13ab - 5a 
= ab + a 
 
03. Resposta: D. 
 
O Polinômio "x² -5x +6" é dividido por "x - 3" gerando o resultado de "x - 2", o termo que acompanha 
o "x" será o "a" e o que está sozinho será o "b", então: 
Se o quociente é (ax+b), temos que o quociente da nossa questão é x-2, como a questão pede (a-b), 
que será a=1 e b= -2 --> (1 - (-2)) = 1+2 = 3 
 
04. Resposta: A. 
Se A = x² - 2x + 3 e B = 3x² - 8x + 5 
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93 
 
Então, 
2A = 2.( x² - 2x + 3) = 2x² - 4x + 6 
3B = 3.(3x² - 8x + 5) = 9x² - 24x + 15. 
Assim 2A – 3B = 
2x² - 4x + 6 – (9x² - 24x + 15) 
2x² - 4x + 6 –9x² + 24x – 15 = 
-7x² + 20x -9 
 
POLINÔMIOS 
 
Para polinômios podemos encontrar várias definições diferentes como por exemplo: 
Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. 
 - 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em 
monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). 
- 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. 
 
Grau de um Polinômio 
 
Assim como nos monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados, 
ou seja, para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do 
polinômio. 
 
Exemplos 
5x2 – 9x – 8 o monômio de maior grau possui grau 2, logo é um polinômio do 2º grau. 
4x4 – 10x² – 5x¹ o monômio de maior grau possui grau 4, logo é um polinômio do 4º grau. 
 
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, 
potenciação e radiciação. 
 
Operações com Polinômios 
 
Adição 
O procedimento utilizado na adição de polinômios envolve técnicas de redução de termos 
semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. 
 
Exemplos: 
01. Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. 
(x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. 
+ (– 3x2) = – 3x2 
+ (+ 8x) = + 8x 
+ (– 6) = – 6 
Assim, 
 
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 
– 2x2 + 5x – 7 
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) = – 2x2 + 5x – 7 
 
02. Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 
4x2 – 4x + 7 
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 
 
Subtração 
O procedimento utilizado na subtração de polinômios é análogo ao utilizado na adição, ou seja, envolve 
técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais 
diferentes. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
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Exemplos: 
01. Subtraindo – 3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. 
(5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 
– (– 3x2) = + 3x2 
– (+ 10x) = – 10x 
– (– 6) = + 6 
Assim, 
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 
8x2 – 19x – 2 
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 
 
02. Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5 teremos: 
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. 
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 
0x³ – 6x² + x + 16 
– 6x² + x + 16 
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16 
 
03. Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 
20. Calcule: 
a) A + B + C 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 
9x³ + 6x² – 8x + 45 
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 
 
b) A – B – C 
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 
3x³ + 4x² – 8x – 15 
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15 
 
Multiplicação 
A multiplicação com polinômios (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas: 
1) Multiplicação de monômio com polinômio. 
2) Multiplicação de número natural com polinômio. 
3) Multiplicação de polinômio com polinômio. 
 
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades: 
- Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m 
- Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e 
coeficiente com coeficiente. 
 
1) Multiplicação de monômio com polinômio 
 - Se multiplicarmos3x por (5x2 + 3x – 1), teremos: 
3x.(5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva. 
3x.5x2 + 3x.3x + 3x.(-1) 
15x3 + 9x2 – 3x 
Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x 
 
- Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos: 
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. 
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1) 
- 10x3 + 2x2 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
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Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2 
 
2) Multiplicação de número natural com polinômio 
- Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos: 
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. 
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5 
6x2 + 3x + 15. 
Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15. 
 
3) Multiplicação de polinômio com polinômio 
 - Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2) 
(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva. 
3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2 
15x3 + 6x – 5x2 – 2 
Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2 
 
- Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos: 
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva. 
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2) 
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2 
10x3+ x2 + 3x – 2 
Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2 
 
Divisão 
Assim como ocorre na multiplicação, a divisão será separada em casos, vamos analisá-los. 
 
01. Divisão de monômio por monômio 
Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos seguir a regra: 
dividimos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal, e não podemos esquecer a 
propriedade an : am = 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
 = a n - m. 
 
Exemplos: 
6x3 ÷ 3x = 
6𝑥3
3x
, agora faremos 6:3 e x³:x, e obteremos 2x 
 
−10𝑥2𝑦4: 2𝑥𝑦2 =
−10
2
𝑥2
𝑥
𝑦4
𝑦2
= −5𝑥𝑦2 
 
02. Divisão de polinômio por monômio 
 
Exemplos: 
a) (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) 
 
O dividendo 10a3b3 + 8ab2 é formado por dois monômios. Dessa forma, o divisor 2ab2, que é um 
monômio, irá dividir cada um deles, veja: 
(10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) 
 
10𝑎3𝑏3
2𝑎𝑏2
+
8𝑎𝑏2
2𝑎𝑏2
 
 
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de monômio por 
monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal 
por parte literal. 
10𝑎3𝑏3
2𝑎𝑏2⏟ 
5𝑎2𝑏 
+
8𝑎𝑏2
2𝑎𝑏2⏟ 
4
 
 
ou 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
96 
 
 
 
Portanto, (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) = 5a2b + 4 
 
b) (9x2y3 – 6x3y2 – xy) ÷ (3x2y) 
 
O dividendo 9x2y3 – 6x3y2 – xy é formado por três monômios. Dessa forma, o divisor 3x2y, que é um 
monômio irá dividir cada um deles, veja: 
9𝑥2𝑦3
3𝑥2𝑦
−
6𝑥3𝑦2
3𝑥2𝑦
−
𝑥𝑦
3𝑥2𝑦
 
 
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio. 
Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte 
literal. 
9𝑥2𝑦3
3𝑥2𝑦
−
6𝑥3𝑦2
3𝑥2𝑦
−
𝑥𝑦
3𝑥2𝑦
⟶ 3𝑦2 − 2𝑥𝑦 −
1
3𝑥
 
 
Portanto, 
(9𝑥2𝑦3 − 6𝑥3𝑦2 − 𝑥𝑦): (3𝑥2𝑦) = 3𝑦2 − 2𝑥𝑦 −
1
3𝑥
 𝑜𝑢 3𝑦2 − 2𝑥𝑦 −
1𝑥−1
3
 
 
03. Divisão de Polinômio por polinômio 
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. 
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas 
condições abaixo: 
 
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 
 
 
 
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 
 
Nessa divisão: 
P(x) é o dividendo. 
D(x) é o divisor. 
Q(x) é o quociente. 
R(x) é o resto da divisão. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
97 
 
Obs.: Quando temos R(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) 
é divisor de P(x). 
 
Se D(x) é divisor de P(x)  R(x)=0 
 
Exemplo: 
Determinar o quociente de P(x) = x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1 por D(x) = x2 + 3x – 2. 
Resolução: Aplicando o método da chave, temos: 
 
 
 
Verificamos que: 
 
 
O dispositivo de Briot-Ruffini 
 
Utiliza-se para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax + b). 
 
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por (x – 
2). 
Resolução: 
 
 
Para resolvermos este problema, vamos seguir o passo a passo abaixo: 
1) Vamos achar a raiz do divisor: x – 2 = 0 → x = 2; 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
98 
 
2) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da reta, 
como mostra a figura acima; 
3) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo; 
4) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º 
coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste; 
5) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto 
com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente; 
6) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à 
esquerda deste serão os coeficientes do quociente. 
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. 
Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4. 
O teorema das divisões sucessivas é aplicado em várias divisões utilizando este método citado 
acima. 
 
Máximo Divisor Comum de um Polinômio 
Um máximo divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes 
racionais, P1(x), P2(x), ... , Pm(x) é um polinômio de maior grau M(x) que divide todos os polinômios 
P1(x), P2(x), ... , Pm(x) . 
 
M(x) também deve só conter coeficientes racionais. 
 
Saiba: P(x) = 2x3 + x – 1 é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das 
potências xn (n = 1, 2, 3, ...) e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3. 
 
 
Saiba: 
P(x) = 140x5 + √2 x3 – x2 + 3 NÃO é um polinômio de coeficientes racionais porque há pelo menos um 
coeficiente das potências xn (n = 1, 2, 3, ...) ou do termo independente que não é um número racional. No 
caso, o coeficiente irracional (que é um número real não racional) é √2 da potência cúbica. Preste atenção: 
P(x) não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional. 
 
Um polinômio D(x) divide um polinômio A(x) - não nulo - se existe um polinômio Q(x) tal que 
 
A(x) ≡ Q(x)D(x) 
 
Por exemplo, D(x) = x + 2 divide A(x) = x3 + 2x2 – 9x – 18 pois existe um Q(x) = x2 – 9 tal que A(x) ≡ 
Q(x)D(x). Veja: 
 
x3 + 2x2 – 9x – 18 ≡ (x + 2)(x2 – 9) 
 
Denotamos D(x) | A(x) e lemos: D(x) divide A(x) ou A(x) é divisível por D(x). Q(x) é o quociente. 
 
Procedimento 
Obtendo um mdc usando FATORAÇÃO: 
Obter a fatoração de P1, P2, etc... Isso quer dizer, decomponha P1, P2, etc... em fatores com menor 
grau possível onde os fatores ainda sejam polinômios racionais. 
1) Um mdc entre os polinômios é igual produto dos fatores comuns dos polinômios. 
2) Caso não existam fatores comuns, o maior divisor comum é 1, logo o mdc(P1, P2, ...) = 1 
 
Exemplos: 
1) Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (x2 – 1) 
x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) 
x2– 1 = (x – 1)(x + 1) 
Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e x2– 1. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
99 
 
2) Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (5x2 – 5) 
x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) 
5x2– 5 = 5(x – 1)(x + 1) 
Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e 5x2– 5 . 
Entretanto, em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de mdc (entre polinômios não 
nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de mdc 
para polinômios. 
Pela definição, para que um polinômio M(x) seja mdc entre A(x) e B(x) - não nulos - basta que M(x) 
divida A(x) e B(x). 
 
Perceba, por exemplo, que A(x) = x2 – 2x + 1 e B(x) = x2 – 1 são ambos divisíveis por x – 1, 
2x – 2, 3x – 3, – 4x + 4, ... enfim! A(x) e B(x) são divisíveis por qualquer polinômioda forma 
a(x – 1) onde a é um número real não nulo. 
 
 
Pelo Teorema de D'Alembert, (x – 1) | A(x) assim como (x – 1) | B(x), pois A(1) = B(1) = 0. 
 
Dica → O MDC entre polinômios não é único. 
Mas se P é um mdc entre os polinômios considerados, todo mdc entre eles pode ser escrito como a·P 
(a é uma constante não nula). 
Não se esqueça que para ser mdc é OBRIGATÓRIO que ele seja o produto de TODOS os divisores 
dos polinômios dados (desconsiderando as constantes multiplicativas). O grau do mdc é único. 
 
Teorema do Resto 
 
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio 
para , ou seja, . 
 
Exemplo 
Calcule o resto da divisão de P(x) = x² + 5x - 1 por B(x) = x + 1: 
Achamos a raiz do divisor: 
x + 1= 0 x = - 1 
Pelo teorema do resto, sabemos que o resto é igual a P(-1): 
P(-1) = (-1)² + 5.(-1) -1 P(- 1) = - 5 = r 
Portanto, o resto da divisão de x² + 5x - 1 por x + 1 é - 5. 
Note que P(x) é divisível por ax + b quando r = 0, ou seja, quando . Daí vem o enunciado 
do seguinte teorema: 
 
Teorema de D’Alembert 
 
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio 1 se e somente se . 
 
O caso mais importante da divisão de um polinômio P(x) é aquele em que o divisor é da forma (x - 
). 
Note que é a raiz do divisor. Então o resto da divisão de P(x) por (x – ) é: 
r = P( ) 
Assim: 
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100 
 
P(x) é divisível por (x – ) quando r = 0, ou seja, quando P( ) = 0. 
 
Exemplo 
Determine o valor de p, para que o polinômio seja divisível por x – 2: 
Resolução 
Para que P(x) seja divisível por x – 2 devemos ter P(2) = 0, pois 2 é a raiz do divisor: 
 
Assim, para que seja divisível por x – 2 devemos ter p = 19. 
 
Questões 
 
01. (Guarda Civil/SP) O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é: 
(A)1 
(B)2 
(C)10 
(D)11 
(E) 12 
 
02. (Guarda Civil/SP) Considere o polinômio 
P(x) = 4x4 + 3x3 – 2x2 + x + k 
Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é: 
(A) 386. 
(B) 405. 
(C) 324. 
(D) 81. 
(E) 368. 
 
03. (UNESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é igual a: 
(A)-3 
(B)-2 
(C)-1 
(D)1 
(E) 2 
 
04. (UFAL) Seja o polinômio do 3° grau p = ax³ + bx² + cx + d cujos coeficientes são todos positivos. 
O n° real k é solução da equação p(x) = p(- x) se, e somente se, k é igual a: 
(A) 0 
(B) 0 ou 1 
(C) - 1 ou 1 
(D) ± √c/a 
(E) 0 ou ± √-c/a 
 
05 . (UFSM) Considere os polinômios, de coeficientes reais: 
A(x)= x3 + ax2 + bx + c 
B(x)= bx3 + 2x2 + cx +2 
Teremos que A(k)=B(k), qualquer que seja o número real k, quando: 
(A) a=c=2 e b=1 
(B) b=c=1 e a=2 
(C) a=b=c=1 
(D) a=b=c=2 
(E) nunca 
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101 
 
06. (FUVEST) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, satisfaz as seguintes condições: 
P(1) = 0; P(–x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)? 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
07. (MACK) 
 
Considerando as divisões de polinômios acima, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x2 
– 8x + 12 é: 
(A) 3x – 2 
(B) x + 1 
(C) 2x + 2 
(D) 2x + 1 
(E) x + 2 
 
08. (FGV) Sabe-se que o polinômio f = x4 – x3 – 3x2 + x + 2 é divisível por x2 – 1. Um outro divisor de f 
é o polinômio: 
(A) x2 – 4 
(B) x2 + 1 
(C) (x + 1)2 
(D) (x – 2)2 
(E) (x – 1)2 
 
09. (FGV) Um polinômio P (x) do 4o grau é divisível por (x – 3)3. Sendo P (0) = 27 e P (2) = –1, então 
o valor de P (5) é: 
(A) 48 
(B) 32 
(C) 27 
(D) 16 
(E) 12 
 
10. (MACK) Se P (x) = x3 – 8 x2 + kx – m é divisível por (x – 2) (x + 1) então 
𝑘
𝑚
 , (m≠ 0), vale: 
(A) 2/5 
(B) – 5/14 
(C) 7/2 
(D) 2/7 
(E) 1/2 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
 
 
 
02. Resposta: A 
P(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2 
P(1) = 4 + 3 – 2 + 1+ k = 2 
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102 
 
10 + k = 2 
k = 2 – 6 
k = – 4 
 Substituindo k, e fazendo P(3), teremos: 
 P(3) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4 
P(3) = 4.(3)4 + 3.(3)3 + 2.(3)2 + 3 -4 
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4 
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4 
P(3) = 386 
 
03. Resposta: E 
 
 
Como é divisível, então o resto deverá ser igual a zero, logo teremos que: 
m – 2 = 0 
m = + 2 
 
04. Resposta: E 
p(x) = p(- x) 
ax³ + bx² + cx + d = - ax³ + bx² - cx + d 
2ax³ + 2cx = 0 
2(ax³ + cx) = 0 
ax³+cx=0 
Como k é solução da equação ax³ + cx = 0, teremos 
p(k) = ak³ + ck = 0 
ak³ + ck = 0 
k(ak² + c) = 0 
k = 0 ou 
ak² + c = 0 
k² = - c/a 
k = ± √−𝑐/𝑎 
 
05. Resposta: E 
A(x) = B(x)  x3 + ax2 + bx + c = bx3 + 2x2 + cx + 2  x3 +ax2 + bx +c - bx3 - 2x2 – cx - 2 = 0 
x3 (1 - b) + x2(a - 2) + x(b - c) + c – 2 = 0, daí tiramos: 
b = 1 ; a = 2 ; b = c ; c = 2 , b = 2 , então se b = 1 e b = 2 , b não pode ter dois valores, logo não existe 
resposta correta. 
 
06. Resposta: E 
P(x) = x3 + ax2 + bx + c 
P(1) = 13+ a12 + b1 + c  a + b + c = - 1 
P(- x) + P(x) = - x3 + ax2 – bx + c + x3 + ax2 + bx + c  2ax2 + 2c = 0  ax2 + c = 0  a = 0 ; c = 0 
Substituindo em a + b + c = - 1, b = - 1 
P(2) = 23 - 1.2 = 8 - 2 = 6 
 
07. Resposta: E 
P(x) = Q(x) (x – 2) + 4; Q(x) = Q1 (x) (x – 6) + 1 
P(x) = (Q1 (x) (x – 6) + 1) (x – 2) + 4 
P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + x – 2 + 4 
P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + (x + 2) 
R(x) = x + 2 
 
 
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103 
 
08. Resposta: C 
 
09. Resposta: E 
P(x) = (x – 3)3 . Q(x) + R(x) 
P(0) = – 27 . Q(0) = 27 ⟹ Q(0) = – 1 
P(2) = – 1 . Q(2) = – 1 ⇒ Q(2) = 1 
P(5) = ? 
Q(x) = ax + b 
Q(0) = b = – 1 
Q(2) = 2a – 1 = 1  a = 1  Q(x) = x – 1 
P(5) = (5 – 3)3 . Q(5)  P(5) = 8 . (5 – 1) = 32 
 
10. Resposta: B 
Resolução: 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
(termo desconhecido) ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Equações e inequações do 1º e 2º graus. 
 
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104 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nosdois lados da igualdade. 
 
Registro: 
 
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105 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Equações Literais12 
Uma equação será literal se possuir no mínimo, uma letra que não é a variável, chamada de parâmetro 
e que assume um valor numérico. Alguns exemplos de equações literais são: 
 
7ax + 10ax = 27 
 
7ax + 10ax → Primeiro membro 
27 → Segundo membro 
x → Variável 
a → Parâmetro 
 
 
9aby + 11a = 7aby – 3 
 
9aby + 11a → Primeiro membro 
9aby – 3 → Segundo membro 
y → Variável 
a → Parâmetro 
b → Parâmetro 
 
Uma equação literal será do primeiro grau quando o maior expoente que a variável possuir for o número 
1. Para resolver uma equação literal do primeiro grau com uma variável, devemos isolar o termo que 
representa a variável em um dos membros da equação de modo que, no outro membro, tenhamos a sua 
solução, que é representada pelo parâmetro e algum valor numérico. 
 
Exemplo: 
 
Obtenha a solução da equação ax + 2a = 2 
 
Variável: x 
Parâmetro: a 
 
ax + 2a = 2 
 
ax = 2 – 2a 
 
x = (2 – 2a) / a 
 
 
x = 2/a – 2 
 
12https://bit.ly/3gRRU8Z 
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106 
 
x = 2a-1 – 2 
 
Primeiro membro (variável isolada): x 
Segundo membro e solução: 2a-1 – 2 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
107 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
108 
 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
109 
 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa:A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
110 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação13 é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
 
 
13
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111 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
 
- Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
 
O que é falso, pois -15 < -6. 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por ( 
-1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
112 
 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
 
 
Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método prático 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a 
desigualdade inicial. 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar. 
 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o 
ponto auxiliar. 
 
 
Exemplo 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
113 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √𝑥 < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
 
02. (Assistente Administrativo) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. Enfermagem) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
04. (TRT 6ª Região – Auxiliar Técnico - FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou 
o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número 
negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
114 
 
07. (SEE/AC – Professor – FUNCAB) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento – UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, 
R$ 100,00 para uma compra de batata e feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, 
respectivamente, na compra de batata e de feijão, a inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
02. Alternativa: D 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
 
03. Alternativa: C 
4x + 2 – 2 > x-12 
4x + 2x – x > -12 +2 
5x > -10 
x > -2 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Alternativa: A 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Alternativa: B 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 
11x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06. Alternativa: E 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
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115 
 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Alternativa: B 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →
2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Alternativa: B 
Batata = X 
Feijão = Y 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita14, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
 
14
somatematica.com.br 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
116 
 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
117 
 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
118 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
119 
 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobrodo número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
 
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120 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
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121 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como: x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
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122 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c, para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
 
 
Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Resolveremos como uma equação do 2º grau para obtermos suas raízes. 
 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
123 
 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
Novamente, devemos encontrar as raízes da equação. 
 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Observe que ao montarmos o gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos, pois queremos valores ≥ 0. Logo: 
S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Resolvendo por Bháskara: 
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124 
 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
S = {
1
3
} 
 
02. Resposta: E 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
𝑥 =
−9±5
−2
  𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
03. Resposta: C 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
 
 
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125 
 
 
 
TABELAS E GRÁFICOS 
 
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, sendo muito delas expressas em 
formas de tabelas e gráficos15, as quais constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas, 
entre outros. Os gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e compreensão 
desses elementos é fundamental para a leitura de informações e análise de dados. 
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a partir deles fornecer conclusões 
é chamada de Estatística. 
 
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, possibilitando uma melhor 
leitura e interpretação. Exemplo: 
 
Fonte: SEBRAE 
 
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que a um título e uma fonte. O título é utilizado 
para evidenciar a principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde os dados foram obtidos. 
 
Tipos de Gráficos 
 
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandezaem certo 
período de tempo. 
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligados por 
segmentos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a 
linha oferecem informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo: 
 
 
 
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, são utilizados, em geral, quando há 
uma grande quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem 
ser colocados acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras verticais e 
horizontais. 
 
15 https://www.infoenem.com.br 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br 
Interpretação de gráficos. 
 
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126 
 
Gráfico de barras verticais: as frequências são indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos 
determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao eixo das classes por meio de 
barras verticais. Exemplo: 
 
 
 
Gráfico de barras horizontais: as frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os 
pontos determinados pelos pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por 
meio de barras horizontais. Exemplo: 
 
 
 
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela 
representada. 
 
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar a relação entre as partes e o todo. 
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às frequências 
de classes. A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é 
dada por: 
𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 
Onde: 
Ft = frequência total 
 
Exemplo 
 
 
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples: 
400 --- 100% 
160 --- x 
x = 160 .100/ 400 = 40%, e assim sucessivamente. 
 
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127 
 
Aplicando a fórmula teremos: 
 
−𝐹𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 160 → 𝛼 = 144° 
 
−𝑉ô𝑙𝑒𝑖: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 120 → 𝛼 = 108° 
 
−𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 60 → 𝛼 = 54° 
 
−𝑁𝑎𝑡𝑎çã𝑜: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 20 → 𝛼 = 18° 
 
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção 
da área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico 
será demarcada da seguinte maneira: 
 
 
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico: 
 
 
 
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, certos gráficos, encontrados em jornais, 
revistas e outros meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são 
desenhos ilustrativos. Exemplo: 
 
 
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128 
 
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com 
área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada 
densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da 
faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o 
que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes 
são utilizadas nas faixas. Exemplo: 
 
 
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das 
classes. Exemplo: 
 
 
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal 
ascendente utilizando os pontos extremos. 
 
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o 
objetivo é de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
129 
 
Interpretação de tabelas e gráficos 
 
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter em mente algumas considerações: 
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal, 
para então fazer a leitura adequada do gráfico; 
- Fazer a leitura isolada dos pontos. 
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado. 
 
Exemplos 
 
(Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades 
ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, 
industrialização e comercialização dos produtos. 
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: 
 
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado) 
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do 
agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. 
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de 
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006. 
D) 2003 e 2007. 
E) 2003 e 2008. 
 
Resolução 
 
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no 
PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta 
do gráfico: em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, 
chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar. 
Resposta: C 
 
(Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros 
quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos 
meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de 
setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar 
de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o 
aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. 
 
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global 
em 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
130 
 
(A)1995. 
(B)1998. 
(C) 2000. 
(D)2005. 
(E)2007. 
 
Resolução 
 
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a 
resolução da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e 
consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor 
será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. 
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007. 
 
Resposta: E 
 
Mais alguns exemplos: 
 
01. Todos os objetos estão cheios de água. 
 
 
 
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
(A) A caneca 
(B) A jarra 
(C) O garrafão 
(D) O tambor 
 
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida, no 
caso, o litro. Preste atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na alternativa B. 
 
02. No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos 
federais no período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
131 
 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais. 
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais. 
(C) manteve-se constante nos quatro anos. 
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos. 
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais. 
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D.Questões 
 
01. (Pref. Fortaleza/CE – Pedagogia – Pref. Fortaleza) “Estar alfabetizado, neste final de século, 
supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir representações, para 
formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de informações. Essa 
característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar 
elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os ciclos iniciais” (BRASIL, 1997). 
Observe os gráficos e analise as informações. 
 
 
 
A partir das informações contidas nos gráficos, é correto afirmar que: 
(A) nos dias 03 e 14 choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
(B) a quantidade de chuva acumulada no mês de março foi maior em Fortaleza. 
(C) Fortaleza teve mais dias em que choveu do que Florianópolis. 
(D) choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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132 
 
02. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE) 
 
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional 
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen, 
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro, 
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações) 
 
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por 
região em 2013. Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de 
vagas no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário — registrado 
em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil 
habitantes. 
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir. 
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se encontrava na região Sudeste. 
( )certo ( ) errado 
 
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) A distribuição de salários de uma empresa com 
30 funcionários é dada na tabela seguinte. 
 
Salário (em salários mínimos) Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
 
Pode-se concluir que 
(A) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários. 
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salários. 
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários. 
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda total. 
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda total. 
 
04. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) Considere a tabela de distribuição de frequência 
seguinte, em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta dos dados. 
 
xi fi 
30-35 4 
35-40 12 
40-45 10 
45-50 8 
50-55 6 
TOTAL 40 
 
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor representa a distribuição de 
frequência da tabela. 
 
 
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133 
 
 
 
05. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário – VUNESP) Observe os gráficos e analise as afirmações 
I, II e III. 
 
 I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, 
foi maior que 1000%. 
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior. 
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à 
distância foi de 2 para 5. 
É correto o que se afirma em 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
 
 
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134 
 
06. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE) 
 
 
 
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue o item que se segue. 
Se os percentuais forem representados por barras verticais, conforme o gráfico a seguir, então 
o resultado será denominado histograma. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
A única alternativa que contém a informação correta com os gráficos é a C. 
 
02. Resposta: CERTO. 
555----100% 
306----x 
X=55,13% 
 
03. Resposta: D. 
(A) 1,8*10+2,5*8+3,0*5+5,0*4+8,0*2+15,0*1=104 salários 
(B) 60% de 30, seriam 18 funcionários, portanto essa alternativa é errada, pois seriam 12. 
(C)10% são 3 funcionários 
(D) 40% de 104 seria 41,6 
20% dos funcionários seriam 6, alternativa correta, pois5*3+8*2+15*1=46, que já é maior. 
(E) 60% dos trabalhadores: 18 
30% da renda: 31,20, errada pois detêm mais. 
 
04. Resposta: A. 
A menor deve ser a da primeira 30-35 
Em seguida, a de 55 
Depois de 45-50 na ordem 40-45 e 35-40 
 
05. Resposta: E. 
I- 69,8------100% 
 781,6----x 
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135 
 
X=1119,77 
 
II- 781,6-680,7=100,9 
 
III- 
10
25
=
2
5
 
 
06. Resposta: ERRADO. 
Como foi visto na teoria, há uma faixa de valores no eixo x e não simplesmente um dado. 
 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava 
do preço unitário dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno 
com as informações que temos? 
 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela 
que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
Exemplos de sistemas: 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
Resolução de Sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
 
Exemplos: 
a) O par (4,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
x - y = 2 ; x + y = 6 
Sistemas de equações de 1º e 2º graus. 
 
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136 
 
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
 
b) O par (5,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 8
 
 
x – y = 2 
x + y = 8 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x – y = 2 ; x + y = 8 
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro) 8 = 8 (verdadeiro) 
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
Métodos para solução de sistemas do 1º grau 
 
Método de Substituição 
Este método de resolução para os sistemas de equações de 1º grau estabelece que “extrair” o valor 
de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
{
x – y = 2
x + y = 4
 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 
x = 2 + y 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y) + y = 4 
2 + 2y = 4 
2y = 4 – 2 
2y = 2 
y = 1 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
Método da Adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações 
fornecidas. 
Observe: 
{
x – y = −2
3x + y = 5
 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
 x - y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
 
Vejanos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer 
para que possamos achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
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137 
 
{
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por + 2 
» multiplica-se a 2ª equação por - 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 (x +2) 
2x + 3y = 1 (x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
Gráfico de um sistema do 1º grau 
 
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los graficamente em um plano cartesiano. A figura 
formada por esses pontos é uma reta. 
Exemplo: Dado x + y = 4, vamos traçar o gráfico desta equação. Vamos atribuir valores a x e a y para 
acharmos os pontos no gráfico. 
 
 
Unindo os pontos formamos uma reta, que contém todos os pontos da equação. A essa reta damos o 
nome de reta suporte. 
 
 
Mas, e aí, será que agora conseguiremos resolver aquele problema lá do início? 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
138 
 
João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros 
e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno 
Vamos chamar de x o preço do caderno e de y o preço do livro. 
Assim temos 2x + 3y = 15,40 e 1x + 2y = 9,20. 
{
2x + 3y = 15,40 
1x + 2y = 9,20
 
Vamos resolver pelo método da substituição. 
Iremos isolar x na segunda equação, ficando então com: 
x = 9,20 – 2y 
Agora vamos substituir na primeira equação: 
2x + 3y = 15,40 
2 (9,20 – 2y) + 3y = 15,40 
18,40 – 4y + 3y = 15,40 
-4y + 3y = 15,40 – 18,40 
-1y = -3 (-1) 
y = 3 
 
Temos 
x = 9,20 – 2y 
x = 9,20 – 2.3 
x = 9,20 – 6 
x = 3,20 
 
Assim cada caderno custa R$3,20 e cada livro custa R$3,00. 
 
Questões 
 
01. (SABESP - Aprendiz - FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, 
vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 
quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe 
branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370 
 
02. (PM/SE - Soldado - FUNCAB) Os cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha Nacional 
de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e 
calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 armas e pagou 
indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 18 
 
03. (Pref. Lagoa da Confusão/TO - Orientador Social - IDECAN) A razão entre a idade de Cláudio 
e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual a diferença 
entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
139 
 
04. (Pref. de Nepomuceno/MG - Porteiro - CONSULPLAN) Numa adega encontram-se armazenadas 
garrafas de vinho seco e suave num total de 300 garrafas, sendo que o número de garrafas de vinho seco 
excede em 3 unidades o dobro do número de garrafas de vinho suave. Assim, a porcentagem de garrafas 
de vinho seco dessa adega é igual a 
(A) 60%. 
(B) 63%. 
(C) 65%. 
(D) 67%. 
(E) 70%. 
 
05. (PETROBRAS - Técnico de Administração e Controle Júnior - CESGRANRIO) Maria vende 
salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, R$1,50. Ontem ela faturou R$95,00 
vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades. 
Quantos doces Maria vendeu? 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 40 
 
06. (TRT 6ª Região - Analista Judiciário - FCC) Para fazer um trabalho, um professor vai dividir os 
seus 86 alunos em 15 grupos, alguns formados por cinco, outros formados por seis alunos. Dessa forma, 
sendo C o número de grupos formados por cinco e S o número de grupos formados por seis alunos, o 
produto C⋅S será igual a 
(A) 56. 
(B) 54. 
(C) 50. 
(D) 44. 
(E) 36. 
 
07. (Banco do Brasil - Escriturário - FCC) Dos 56 funcionários de uma agência bancária, alguns 
decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3 mulheres, e 1 a cada 4 homens, 
totalizando 24 pessoas. 
 A razão do número de funcionárias mulheres para o número de funcionários homens dessa agência 
é de 
(A) 3 para 4. 
(B) 2 para 3. 
(C) 1 para 2. 
(D) 3 para 2. 
(E) 4 para 5. 
 
08. (SABESP - Analista de Gestão - FCC) Em um campeonato de futebol, as equipes recebem, em 
cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto se forem derrotadas. 
Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido apenas dois jogos e 
acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
 
09. (TJ/SP - Escrevente Técnico Judiciário - VUNESP) Uma empresa comprou um determinado 
número de folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para facilitar a sua 
distribuição entre os diversos setores. 
Todo o material deverá ser entregue pelo fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. 
Se o fornecedor colocar 25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por 
caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi 
(A) 2200. 
(B) 2000. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
140 
 
(C) 1800. 
(D )2400. 
(E) 2500. 
 
10. (SEAP - Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária - VUNESP) A razão entre o número de 
litros de óleo de milho e o número de litros de óleo de soja vendidos por uma mercearia, nessa ordem, foi 
de 5/7. Se o número total de litros de óleo vendidos (soja + milho) foi 288, então o número de litros de 
óleo de soja vendidos foi 
(A) 170. 
(B) 176. 
(C) 174. 
(D) 168. 
(E) 172. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Vamos chamar as cores de letras, usaremos x, y, z. 
Amarela: x 
Vermelha: y 
Branca: z 
x = y + 50 
y = z - 30 
z = y + 30 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
 
Substituindo a II e a III equação na I: 
 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 
 3𝑦 = 1040 − 80 
y = 320 
Substituindo na equação II 
x = 320 + 50 = 370 
z=320+30=350 
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 
 
02. Resposta: A 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
 {
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
 
x = 30 – y 
Substituindo na 1ª equação: 
 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 
 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 
 300𝑦 = 3000 
 𝑦 = 10 
 𝑥 = 30 − 10 = 20 
O total de indenizações foi de 20. 
 
03. Resposta: C 
Cláudio :x 
Otávio: y 
 
𝑥
𝑦
= 3 
 {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
 
 𝑥 + 𝑦 = 28 
3y + y = 28 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
141 
 
4y = 28 
y = 7 x = 21 
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 
 
04. Resposta: D. 
Vinho seco: x 
Vinho suave: y 
 {
𝑥 + 𝑦 = 300 (𝐼)
𝑥 = 2𝑦 + 3 (𝐼𝐼)
 
Substituindo II em I 
2y + 3 + y = 300 
3y = 297 
y = 99 
x = 201 
300------100% 
201-----x 
x = 67% 
 
05. Resposta: C 
Doces: x 
Salgados: y 
{
𝑥 + 𝑦 = 55 
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Resolvendo pelo método da adição, vamos multiplicar todos os termos da 1ª equação por -1,5: 
{
−1,5𝑥 − 1,5𝑦 = −82,5
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Assim temos: 
0,5𝑦 = 12,5 
𝑦 = 25 ∴ 𝑥 =30 
 Ela vendeu 30 doces 
 
06. Resposta: D 
{
5𝐶 + 6𝑆 = 86
𝐶 + 𝑆 = 15
 
C = 15 – S 
Substituindo na primeira equação: 
5(15 – S) + 6S = 86 
75 – 5S + 6S = 86 
S = 11 
C = 15 – 11 = 4 
 𝐶 ∙ 𝑆 = 4 ∙ 11 = 44 
 
07. Resposta: A 
Mulheres: x 
Homens: y 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 56 (. −
2
3
)
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
 
{
−
2
3
𝑥 −
2
3
𝑦 = −
112
3
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
Somando as duas equações: 
 
−
2
3
𝑦 +
1
4
𝑦 = −
112
3
+ 24 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
142 
 
mmc(3,4) = 12 
 
−8𝑦 + 3𝑦 = −448 + 288 
-5y = - 160 
y = 32 
x = 24 
razão de mulheres pra homens: 
24
32
=
3
4
 
 
08. Resposta: E 
Vitórias: x 
Empate: y 
Derrotas: 2 
Pelo método da adição temos: 
 {
𝑥 + 𝑦 + 2 = 30. (−1)
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 {
−𝑥 − 𝑦 = −28
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 
2x = 30 
x = 15 
 
09. Resposta: D 
Total de pacotes: x 
Caixas: y 
 
𝑥
25
= 𝑦 + 16 
 
25𝑦 + 400 = 𝑥 
𝑥
30
= 𝑦 
𝑥 = 30𝑦 
 
{
25𝑦 − 𝑥 = −400
𝑥 = 30𝑦
 
Substituindo: 
25𝑦 − 30𝑦 = −400 
−5𝑦 = −400 
𝑦 = 80 
𝑥 = 30 ∙ 80 = 2400 
 
10. Resposta: D 
Óleo de milho: M 
Óleo de soja: S 
 
𝑀
𝑆
=
5
7
 7𝑀 = 5𝑆 
{
𝑀 + 𝑆 = 288 . (−7)
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
{
−7𝑀 − 7𝑆 = −2016 
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
−12𝑆 = −2016 
𝑆 = 168 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
143 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Precisamos antes de resolvermos, interpretarmos minuciosamente cada questão e depois equacioná-
las de forma a transcrever o texto em linguagem matemática. 
Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas de 1º grau, por adição, substituições, etc., 
porém devemos ficar atentos para o fato de ter que resolver uma equação do 2° grau. 
Uma sequência prática para acharmos sua solução é: 
- Estabelecer o sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática; 
- Resolver o sistema de equações; 
- Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. 
 
Exemplo 
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma área retangular de 4 m². Quais as 
medidas dos lados desse retângulo? 
 
 
 
Temos: 
Comprimento: x 
Largura: y 
 
Deduzimos acima que seu perímetro é 10, assim: 
x + y + x + y = 10 
ou 2x + 2y = 10, dividindo tudo por 2 
x + y = 5 
E sua área é 4, como a área do retângulo é dada por largura x comprimento, temos: 
x.y = 4 
 
Montando o sistema temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥. 𝑦 = 4
 → (isolando x na 1ª equação) x = 5 – y, → (substituindo na 2ª equação) (5 – y) . y = 4 
 
Resolvendo: 
5y – y2 = 4 
- y2 + 5y – 4 = 0.(.-1) 
y2 – 5y + 4 =0 (Temos então uma equação do 2ª grau, vamos resolver pela fórmula de bháskara) 
 
a = 1 ; b= -5 e c= 4 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.1. (4)
2.1
→ 𝑥 =
5 ± √25 − 16
2
 
 
𝑥 =
5 ± √9
2
 ∴ 𝑥′ =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 𝑒 𝑥" =
5 + 3
2
=
8
2
= 4 
 
Logo: 
Se x = 1 → y = 5 - 1 → y = 4 
Se x = 4 → y = 5 - 4 → y = 1 
 
Observando temos os valores 1 e 4, tanto para x como para y. Então as medidas dos lados são 1 e 4, 
podendo x ou y assumirem os mesmos. 
Fazendo a conferência temos: 
x + y = 5 ∴ x.y = 4 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
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4 + 1 = 5 4.1 = 4 
5 = 5 4 = 4 
Os pares ordenados (1,4) ou (4,1) satisfazem o sistema de equações. 
 
Questões 
 
01. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS Concursos) A soma entre dois 
números positivos é 37. Se o produto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor 
número é: 
(A) 7. 
(B) 23. 
(C) 61. 
(D) 17. 
(E) 49. 
 
02. (Câm. de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade - FUMARC) Marque, dentre as 
alternativas abaixo, a que identifica os pontos comuns aos gráficos de y = x2 + 2x e y = x + 2. 
(A) (-2, 1) e (-1,3). 
(B) (-2, 0) e (-1,3). 
(C) (2,0) e (1,3). 
(D) (-2,0) e (1,3). 
 
03. (CPTM - Médico do trabalho - Makiyama) Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade 
de Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a soma das idades de Miguel e Lucas? 
(A) 40. 
(B) 55. 
(C) 65. 
(D) 50. 
(E) 45. 
 
04. O produto de dois números inteiros e positivos é 10. O maior é igual ao dobro do menor mais 1.O 
valor desse número é: 
(A) 3 e 5 
(B) 5 e 2 
(C) 8 e 2 
(D) 2 e 3 
(E) 1 e 5 
 
05. (TJ/RS - Técnico Judiciário - FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto 
é igual a 20, a soma de seus quadrados é igual a: 
(A) 30 
(B) 40 
(C) 50 
(D) 60 
(E) 80 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como não sabemos quem são esses números, iremos atribuir letras a eles, um será x e o outro será 
x. 
Teremos o seguinte sistema: 
{
x + y = 37 (I)
x. y = 330 (II)
 
Vamos resolver pelo método da substituição: 
Isolando y na equação (I) temos x + y = 37 → y = 37 – x, substituindo na equação (II): 
x.(37 – x) = 330 (propriedade distributiva) 
37x – x2 = 330 
37x – x2 – 330 = 0 (multiplicando tudo por -1) 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
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x2 – 37x + 330 = 0 (vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1; b = - 37 e c = 330 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (- 37)2 – 4.1.330 
∆ = 1369 – 1320 
∆ = 49 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2.𝑎
 
𝑥 =
−(−37)±√49
2.1
 = 
37±7
2
 
 
𝑥 =
37+7
2
=
44
2
= 22 ou 𝑥 =
37−7
2
=
30
2
= 15 
 
Se x = 22 → y = 37 – 22 = 15 
Se x = 15 → y = 37 – 15 = 22 
Logo, os números serão 22 e 15, e a diferença entre eles será: 
22 – 15 = 7. 
 
02. Resposta: D 
Do enunciado y = x2 + 2x e y = x + 2, então vamos substituir y por x + 2 na equação y = x2 + 2x: 
x2 + 2x = x + 2 
x2 + 2x – x – 2 = 0 
x2 + x – 2 = 0 (resolvendo pela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 1 e c = - 2 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 12 − 4.1. (−2) 
∆ = 1 + 8 = 9 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−1±√9
2.1
 
 
𝑥 =
−1±3
2
 
 
𝑥 =
−1+3
2
= 1 ou 𝑥 =
−1−3
2
= −2 
Se x = 1 → y = 1 + 2 = 3 (1, 3) 
Se x = - 2 → y = - 2 + 2 = 0 (-2, 0) 
 
03. Resposta: E 
Vamos substituir as idades de Miguel e Lucas pelas letras M e L, assim teremos o seguinte sistema: 
{
𝑀. 𝐿 = 500 (𝐼)
𝑀 = 𝐿 + 5 (𝐼𝐼)
 
 
Como M já está isolado em (II), vamos substituir em (I) 
substituindo II em I, temos: 
(L + 5).L = 500 
L2 + 5L – 500 = 0 (Vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 5 e c = - 500 
 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = 52 – 4.1.(- 500) 
∆ = 25 + 2000 
∆ = 2025 
 
𝐿 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
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𝐿 =
−5±√2025
2.1
=
−5±45
2
 
𝐿 =
−5+45
2
=
40
2
= 20 ou 𝐿 =
−5−45
2
=
−50
2
= −25 esta não convém pois L (idade) tem que ser positivo. 
Então L = 20 → M.20 = 500 → M = 500 : 20 = 25 
M + L = 25 + 20 = 45. 
 
04. Resposta: B 
Pelo enunciado temos o seguinte sistema: 
{
𝑥. 𝑦 = 10
𝑥 = 2𝑦 + 1
 
(2y + 1).y = 10 
2y2 + y - 10 = 0 (Resolvendo pela fórmula de Bháskara) 
a= 2 ; b = 1 e c = -10 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑦 =
−1± √(1)2 − 4.2. (−10)
2.2
→ 𝑦 = 
−1 ± √1 + 80
4
 
 
𝑦 =
−1 ± 9
4
 ∴ 𝑦1 =
−1− 9
4
=
−10
4
= −2,5 𝑒 𝑦2 =
−1+ 9
4
=
8
4
= 2 
 
Como são números positivos então descartamos o valor de y1 
Substituindo: 
Se y = 2, temos x = 2 . 2 + 1 → x = 5 
Os números são 5 e 2. 
 
05. Resposta: D. 
De acordo com o enunciado, vamos montar o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥. 𝑦 = 20
 
Eu quero saber a soma de seus quadrados: x2 + y2 
Vamos elevar o x + y ao quadrado: 
(x + y)2 = (10)2 
x2 + 2xy + y2 = 100 
Como x . y=20 substituímos o valor: 
x2 + 2.20 + y2 = 100 
x2 + 40 + y2 = 100 
x2 + y2 = 100 – 40 
x2 + y2 = 60 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Análise Combinatória16 é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem, sendo eles: 
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 
- Fatorial de um número natural; 
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação); 
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação).16
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina 
Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
 
Análise combinatória e probabilidade: arranjos, combinações, permutações 
simples e probabilidade de um evento. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
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A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as 
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem-PFC (Princípio Multiplicativo) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através das possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 
 
 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa 
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o 
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
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3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Sílvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
DEFINIÇÃO do PFC: Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer de a maneiras e um outro 
evento que chamaremos de E2 puder ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente será dado por axb, 
isto é, a quantidade de maneiras de a ocorrer, multiplicado pela quantidade de maneiras de b ocorrer. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua 
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente 
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções 
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. Rio de Janeiro) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
Fatorial de um Número Natural 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
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facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
 
Exemplos 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
 
 
Tipos de Agrupamento 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é importante, é o que diferencia. 
 
Exemplos 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
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Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
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- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quandoqueremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Exemplos 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo formado, 
os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes possibilidades 
que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois pontos entre 
os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então sabemos que 
se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
Vejamos: 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
152 
 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟔𝟕𝟔. 𝟏 = 𝟔𝟕𝟔. (𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
Exemplo 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
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α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶!𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
 
Exemplo 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑪𝑹𝒏,𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Questões 
 
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
154 
 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, um 
para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só não 
come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições alimentares 
dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
06. (Pref. Lagoa da Confusão/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge 
de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas 
idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa sala há 
3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é 
possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
155 
 
08. (CREA/PR – Agente Administrativo– FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra deum estádio de 
futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo 
um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
09. (ESA – Música – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da 
palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
 
10. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
02. Resposta: C 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
03. Resposta: B 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
 
04. Resposta: E 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
156 
 
05. Resposta: A 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
06. Resposta: C 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
 
07. Resposta: C 
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
08. Resposta: A 
Engenheiros 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
157 
 
09. Resposta: D 
O anagrama que ele quer é ZILUF, assim como se inicia com Z podemos admitir todos os outros 
anagramas que iniciam com letra diferente de “Z” estão antes do desejado, assim: 
F_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
I_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
L_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
U_ _ _ _ = 4.3.2.1 = 24 
Daí começa os com Z 
Portanto colocaremos Z e a menor letra na segunda opção que será o F 
ZF_ _ _ = 3.2.1 = 6 
Agora depois do último que começa com ZF vem o que começa com ZI 
Mas antes do L temos o F 
Assim devemos contar todos que comecem por ZIF 
ZIF_ _ = 2 
Agora temos o que começa com ZIL 
Mas só temos estes possíveis anagramas em ordem crescente que começam com ZIL 
 
ZILFU = 1 
ZILUF (Que é o anagrama que queremos) 
 
Agora basta saber a posição em que ele ficará, 
24 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 = 105 antes dele, portanto ele estará na 106ª posição. 
 
10. Resposta: D 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 
 
PROBABILIDADE 
 
A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos de 
cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos do 
conhecimento. 
 
Definições17: 
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para 
estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos 
probabilísticos. 
 
Experimentos aleatórios 
 
São fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições 
sejam semelhantes. 
 
Exemplos: 
a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima 
b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces 
c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número das suas páginas. 
 
Espaço amostral 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado experimento aleatório. 
Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S, A, Ω ... variando de acordo com a bibliografia 
estudada. 
 
Exemplo: 
 
17
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
BUCCHI, Paulo – Curso prático de Matemática – Volume 2 – 1ª edição - Editora Moderna 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
158 
 
a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda 
cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é: 
S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do 
espaço amostral n(A) = 8 
 
Evento 
 
É qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser caracterizado 
por um fato. Indicamos pela letra E. 
 
Exemplo: 
a) no lançamento de 3 moedas: 
E1→ aparecer faces iguais 
E1 = {(c,c,c);(k,k,k)} 
O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2 
 
E2→ aparecer coroa em pelo menos 1 face 
E2 = {(c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)} 
Logo n(E2) = 7 
 
Veremos agora alguns eventos particulares: 
 
Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto de 
si mesmo); E = S. 
E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12. 
 
Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio. 
E: o número de uma das faces de um dado comum ser 7. 
E: Ø 
 
Evento simples: evento que possui um único elemento. 
E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12. 
E: {(6,6)} 
 
Evento complementar: se E é um evento do espaço amostral S, o evento complementar de E indicado 
por C tal que C = S – E. Ou seja, o evento complementar é quando E não ocorre. 
E1: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser menor ou igual a 2. 
E2: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser maior que 2. 
S: espaço amostral é dado na tabela abaixo: 
 
 
 
E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)} 
Como, C = S – E 
C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), 
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
159 
 
Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a 
ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, 
então: A ∩ B = Ø. 
Sejam os eventos: 
A: quando lançamos um dado, o número na face voltada para cima é par. 
A = {2,4,6} 
B: quando lançamos um dado, o número da face voltada para cima é divisível por 5. 
B = {5} 
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = Ø. 
 
Probabilidade em Espaços Equiprováveis 
 
Considerando um espaço amostral S, não vazio, e um evento E, sendo E ⊂ S, a probabilidade de 
ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que: 
 
𝐏(𝐄) =
𝐧(𝐄)
𝐧(𝐒)
 
 
Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma 
“chance” de acontecer. 
Onde: 
n(E) = número de elementos do evento E. 
n(S) = númerode elementos do espaço amostral S. 
 
Exemplo: 
Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida 
da seguinte forma: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 
E = {1, 3, 5} n(E) = 3 
 
P(E) =
n(E)
n(S)
=
3
6
=
1
2
= 0,5 𝑜𝑢 50% 
 
Probabilidade da União de dois Eventos 
 
Vamos considerar A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral A, o número de 
elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de 
elementos do evento B, subtraindo o número de elementos da intersecção de A com B. 
 
 
Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação 
por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A U B). 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
−
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
160 
 
Para eventos mutuamente exclusivos, onde A ∩ B = Ø, a equação será: 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) 
 
 
Exemplo: 
A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A 
probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. 
Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A) = 95% = 0,95 
Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B) = 8% = 0,08 
P (A ∩ B) = a probabilidade de ser 110 milhões: P (A ∩ B) = ? 
P (A U B) = 100% = 1 
Utilizando a regra da união de dois eventos, temos: 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
1 = 0,95 + 0,08 - P (A ∩ B) 
P (A ∩ B) = 0,95 + 0,08 - 1 
P (A ∩ B) = 0,03 = 3% 
 
Probabilidade Condicional 
 
Vamos considerar os eventos A e B de um espaço amostral S, definimos como probabilidade 
condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P(A | B) ou 𝑃 (
𝐴
𝐵
), a razão: 
 
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑩)
= 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
 
Lemos P (A | B) como: a probabilidade de A “dado que” ou “sabendo que” a probabilidade de B. 
 
Exemplo: 
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o 
número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7. 
Montando temos: 
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), 
(3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), 
(6,5), (6,6)} 
Evento A: o número 5 no primeiro dado. 
A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
 
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7. 
B = {(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
A ∩ B = {(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
P (A ∩ B) = 4/36 
P(B) = 15/36 
Logo: 
𝑃(𝐴|𝐵) = 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
4
36
15
36
=
4
36
.
36
15
=
4
15
 
 
Probabilidade de dois Eventos Simultâneos (ou sucessivos) 
 
A probabilidade de ocorrer P (A ∩ B) é igual ao produto de um deles pela probabilidade do outro em 
relação ao primeiro. Isto significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrem dois eventos 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
161 
 
simultâneos (ou sucessivos), que é P (A ∩ B), é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles 
P(B) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P (A | B). 
Sendo: 
 
𝐏(𝐀|𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
 𝐨𝐮 𝐏(𝐁|𝐀) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐀)
 
 
Eventos independentes: dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando 
P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Sendo os eventos A e B independentes, temos: 
 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
 
Exemplo: 
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 
no dado e cara na moeda. 
Sendo, c = coroa e k = cara. 
 
S = {(1,c), (1,k), (2,c), (2,k), (3,c), (3,k), (4,c), (4,k), (5,c), (5,k), (6,c), (6,k)} 
Evento A: 3 ou 5 no dado 
A = {(3,c), (3,k), (5,c), (5,k)} 
𝑃(𝐴) =
4
12
=
1
3
 
 
Evento B: cara na moeda 
B = {(1,k), (2,k), (3,k), (4,k), (5,k), (6,k)} 
𝑃(𝐵) =
6
12
=
1
2
 
 
Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer o evento A não modifica a probabilidade de 
ocorrer o evento B. Com isso temos: 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
3
.
1
2
=
1
6
 
 
Observamos que A ∩ B = {(3,k), (5,k)} e a P (A ∩ B) poder ser calculada também por: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
2
12
=
1
6
 
No entanto nem sempre chegar ao n(A ∩ B) nem sempre é fácil dependendo do nosso espaço 
amostral. 
 
Lei Binomial de probabilidade 
 
Vamos considerar um experimento que se repete n número de vezes. Em cada um deles temos: 
P(E) = p, que chamamos de probabilidade de ocorrer o evento E com sucesso. 
P(�̅�) = 1 – p, probabilidade de ocorrer o evento E com insucesso (fracasso). 
 
A probabilidade do evento E ocorrer k vezes, das n que o experimento se repete é dado por uma lei 
binomial. 
 
A probabilidade de ocorrer k vezes o evento E e (n - k) vezes o evento �̅� é o produto: pk . (1 – p)n - k 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
162 
 
As k vezes do evento E e as (n – k) vezes do evento �̅� podem ocupar qualquer ordem. Então, 
precisamos considerar uma permutação de n elementos dos quais há repetição de k elementos e de (n – 
k) elementos, em outras palavras isso significa: 
 
𝑃𝑛
[𝑘,(𝑛−𝑘)] =
𝑛!
𝑘.(𝑛−𝑘)!
= (𝑛
𝑘
), logo a probabilidade de ocorrer k vezes o evento E no n experimentos é 
dada: 
 
𝒑 = (
𝒏
𝒌
) . 𝒑𝒌. 𝒒𝒏−𝒌 
 
A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições: 
 
- O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes. 
- Em cada experimento devem ocorrer os eventos E e �̅�. 
- A probabilidade do E deve ser constante em todas as n vezes. 
- Cada experimento é independente dos demais. 
 
Exemplo: 
Lançando-se uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrência 3 caras? 
Está implícito que ocorrerem 3 caras deve ocorrer uma coroa. Umas das possíveis situações, que 
satisfaz o problema, pode ser: 
 
Temos que: 
n = 4 
k = 3 
𝑃(𝐸) =
1
2
, 𝑃(𝐸)̅̅ ̅ = 1 −
1
2
 
 
Logo a probabilidade de que essa situação ocorra é dada por: 
(
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, como essa não é a única situação de ocorre 3 caras e 1 coroa. Vejamos: 
 
Podemos também resolver da seguinte forma: (4
3
) maneiras de ocorrer o produto (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, 
portanto: 
𝑃(𝐸) = (
4
3
) . (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
= 4.
1
8
.
1
2
=
1
4
 
 
Questões 
 
01. (BANESTES – Técnico em Segurança do Trabalho – FGV/2018) Dados os conjuntos A = {1, 2, 
3} e B = {4, 5, 6, 7}, João escolhe ao acaso um elemento de cada um deles. A probabilidade de que o 
produto dos dois elementos escolhidos seja um número par é: 
 
(A) 1/4; 
(B) 1/3; 
(C) 1/2; 
(D) 2/3; 
(E) 3/4. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
163 
 
02. (ENEM – CESGRANRIO) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês 
é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em 
uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador 
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos 
alunos. 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é 
(A) 23,7% 
(B) 30,0% 
(C) 44,1% 
(D) 65,7% 
(E) 90,0% 
 
03. (ENEM – CESGRANRIO) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas 
numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. 
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? 
(A) 1/100 
(B) 19/100 
(C) 20/100 
(D) 21/100 
(E) 80/100 
 
04. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades 
dos funcionários de certa repartição pública: 
 
Escolhendo ao acaso um desses funcionários,a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é: 
(A) 30%; 
(B) 35%; 
(C) 40%; 
(D) 45%; 
(E) 55%. 
 
05. (UFES – Economista – UFES/2018) Um casal pretende ter 3 filhos. A probabilidade de nascerem 
2 meninos e 1 menina, desse casal, é 
(A) 45,5% 
(B) 37,5% 
(C) 33,3% 
(D) 30% 
(E) 26,5% 
 
06. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 
quadradinhos brancos. 
 
Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro é: 
(A) ½; 
(B) ¼; 
(C) 1/8; 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
164 
 
(D) 9/16; 
(E) 7/32. 
 
07. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Fernanda organizou 
um sorteio de amigo secreto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de 
cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro 
de um saco. Fernanda, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A 
probabilidade de Fernanda retirar seu próprio nome é: 
(A) 3/5. 
(B) 2/10. 
(C) 1/10. 
(D) ½. 
(E) 2/3. 
 
08. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST) Uma loja de 
eletrodoméstico tem uma venda mensal de sessenta ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis 
apresentam algum tipo de problema nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto 
em um serviço autorizado. 
Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos não apresentem problemas nos 
seis primeiros meses é de aproximadamente: 
(A) 90% 
(B) 81% 
(C) 54% 
(D) 11% 
(E) 89% 
 
09. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST) Em uma caixa estão 
acondicionados uma dúzia e meia de ovos. Sabe-se, porém, que três deles estão impróprios para o 
consumo. 
Se forem escolhidos dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados? 
(A) 2/153 
(B) 1/9 
(C) 1/51 
(D) 1/3 
(E) 4/3 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Vamos fazer o total de possíveis resultados entre os conjuntos A e B. 
Como em A temos 3 elementos e em B temos 4 elementos, teremos um total de 12 possibilidades de 
fazer A vezes B, 
Vamos ver quais serão pares agora: 
A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7}, 
A . B 
1 . 4 = 4 
1 . 6 = 6 
2 . 4 = 8 
2 . 5 = 10 
2 . 6 = 12 
2 . 7 = 14 
3 . 4 = 12 
3 . 6 = 18 
Assim, teremos 8 possibilidades de um total de 12, logo a probabilidade desse número ser par será de 
8/12 = 2/3 (simplificando a fração) 
 
02. Resposta: D 
A probabilidade de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita pelo entrevistador é 
0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3% 
Portanto, a possibilidade dele ser entendido é de: 100% – 34 ,3% = 65,7% 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
165 
 
03. Resposta: C 
A probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 é 20/100, pois são 20 números entre 
100. 
 
04. Resposta: D 
O espaço amostral é a soma de todos os funcionário: 
2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40 
O número de funcionário que tem mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18 
Logo a probabilidade é: 
𝑃(𝐸) =
18
40
= 0,45 = 45% 
 
05. Resposta: B 
Como terá três filhos a probabilidade de sair menino será 
1
2
 e de sair menina será 
1
2
, assim como terá 
três filhos será: 
1
2
𝑥
1
2
𝑥
1
2
= 
1
8
, mas atente-se pelo fato que ele não pediu em determinada ordem, ou seja, 
podemos ter: 
Menino/Menino/Menina 
Menino/Menina/Menino 
Menina/Menino/Menino 
Três ordens, logo a resposta será: 
1
8
𝑥3 = 
3
8
= 0,375 = 37,5% 
 
06. Resposta: E 
Como são 14 quadrinhos pretos na borda e 64 quadradinhos no total, logo a probabilidade será de: 
𝑃(𝐸) =
14
64
=
7
32
 
 
07. Resposta: C 
A probabilidade é calculada por 𝑃 =
𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
Assim, 𝑃 =
1
10
 
 
08. Resposta: B 
6 / 60 = 0,1 = 10% de ter problema 
Assim, se 10% tem problemas, então 90% não apresentam problemas. 
 
𝑃 = 
90
100
.
90
100
= 
8100
10000
= 81% 
 
09. Resposta: C 
𝑃 = 
3
18
 .
2
17
= 
6
306
= 
1
51
 (: 6 / 6) 
 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
Progressões aritmética e geométrica. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
166 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
Igualdade de Sequências 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos 
Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
167 
 
Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos 
Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
Sequência de Fibonacci 
 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
168 
 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
169 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição 
É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado 
com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
Cálculo da razão 
A razão de uma Progressão Aritmética é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
Classificação 
Uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplos 
01. (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
170 
 
 
 
02. (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
 
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) 
a2 =
a3
a1
. 
Exemplo 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Definição 
É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo anterior 
multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
 
Cálculo da razão 
A razão de uma Progressão Geométrica é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯……… = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
Exemplos 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação 
Uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
171 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo:a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
 
Soma dos n primeiros termos (Soma Finita) 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
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172 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 
01. (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
02. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
Como podemos observar, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um termo no meio 
(8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. Porém, só 
existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
Exemplo 
 
 
Questões 
 
01. (Câm. Municipal de Eldorado do Sul/RS – Técnico Legislativo – FUNDATEC/2018) Para 
organizar a rotina de trabalho, um técnico legislativo protocola os processos diariamente, de acordo com 
as demandas. Supondo que o número de processos aumenta diariamente em progressão aritmética e 
que no primeiro dia foram protocolados cinco processos e 33 no décimo quinto dia, quantos processos 
serão protocolados no trigésimo dia? 
(A) 20. 
(B) 35. 
(C) 48. 
(D) 63. 
(E) 66. 
 
02. (FUB – Assistente em Administração – CESPE/2018) A tabela seguinte mostra as quantidades 
de livros de uma biblioteca que foram emprestados em cada um dos seis primeiros meses de 2017. 
 
 
A partir dessa tabela, julgue o próximo item. 
 
Situação hipotética: Os livros emprestados no referido semestre foram devolvidos somente a partir de 
julho de 2017 e os números correspondentes às quantidades de livros devolvidos a cada mês formavam 
uma progressão aritmética em que o primeiro termo era 90 e razão, 30. Assertiva: Nessa situação, mais 
de 200 livros foram devolvidos somente a partir de 2018. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
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173 
 
03. (SEFAZ/RS – Assistente Administrativo Fazendário – CESPE/2018) Sobre uma mesa há 9 
caixas vazias. Em uma dessas caixas, será colocado um grão de feijão; depois, em outra caixa, serão 
colocados três grãos de feijão. Prosseguindo-se sucessivamente, será escolhida uma caixa vazia, e nela 
colocada uma quantidade de grãos de feijão igual ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente 
escolhida, até que não reste caixa vazia. 
Nessa situação, nas 9 caixas será colocada uma quantidade de grãos de feijão igual a 
(A)
39−1
2
 
(B) 39 − 1 
(C) 
310−1
2
 
(D) 310 − 1 
(E) 
38−3
2
 
 
04. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
 
05. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o número 
0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. Dessa 
maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
06. (EBSERH/UFSM/RS – Analista Administrativo – AOCP) Observe a sequência: 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B) 184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
Se observar teremos uma PG de razão q = 2 e a1 = 1, portanto vamos encontrar o valor do a6 e do 
a8, podemos fazer por fórmula e sem fórmula, pois os números são pequenos. 
Fórmula do termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Assim: 
 𝑎6 = 1.2
6−1 = 25 = 32 
 𝑎8 = 1. 2
8−1 = 27 = 128 
Se fosse sem fórmula basta ir multiplicando por 2 a soma e encontrar o sexto e oitavo termo: 1, 2, 4, 
8, 16, 32, 64, 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) O primeiro e 
o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do 
segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
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174 
 
08. (TRF/ 3ª Região – Analista Judiciário – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se fosse 
possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na 
quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª 
casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
09. (Polícia Militar/SP – Aluno Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
10. (EBSERH/UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
11. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
12. (MPE/AM – Agente de Apoio – FCC) Considere a sequência numérica formada pelos números 
inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a seguir. (4, 8, 12, 
16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
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175 
 
(D) 6 
(E) 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Sabemos pelo enunciado que se trata de uma PA, ele quer descobrir quantos processos serão 
protocolados no trigésimo dia, então será nosso a30, pela fórmula do termo geral temos que: 
a30 = a1 + (30-1)r 
a30 = a1 + 29r 
Precisamos descobrir a razão, portanto vamos analisar os outros dados. 
a1 = 5 
a15 = 33 
Utilizando o termo geral neste passo. 
a15 = a1 + 14r 
33 = 5 + 14r 
33 – 5 = 14r 
28 = 14r 
r = 
28
14
 
r = 2, agora podemos encontrar o que ele quer no exercício. 
a30 = a1 + 29r 
a30 = 5 + 29.2 
a30 = 5 + 58 = 63 
 
02. Resposta: Certo 
Como serão devolvidos em forma de PA a partir de julho, teremos o seguinte, nem precisamos de 
fórmula para resolver esta questão (Caso queira pode encontrar eles através do termo geral da PA). 
Julho: 90 
Agosto: 90 + 30 = 120 
Setembro: 120 + 30 = 150 
Outubro: 150 + 30 = 180 
Novembro: 180 + 30 = 210 
Dezembro:210 + 30 = 240 
Total devolvido até dezembro: 90 + 120 + 150 + 180 + 210 + 240 = 990 livros devolvidos (Pode utilizar 
a fórmula da soma dos termos da PA se quiser) 
 
Vamos encontrar o total de livros que foram emprestados 
50 + 150 + 250 + 250 + 300 + 200 = 1200 livros emprestados. 
Assim 1200 – 990 = 210 livros ainda faltam para ser entregues no ano de 2018 o que é mais que 200. 
 
03. Resposta: A 
Para resolver esta questão devemos descobrir que se trata de um PG pela dica deixada “feijão igual 
ao triplo da quantidade colocada na caixa anteriormente escolhida” quando multiplica a razão será PG, 
se fosse somada a razão seria uma PA. 
Enfim, temos 9 caixas vazias e essa PG será assim, 1, 3, 9, 27, 81, ... até chegar na nova caixa, então 
é finita essa PG, como ele que saber a quantidade de grãos colocadas no total de caixas, teremos a soma 
desta PG Finita. 
𝑆𝑛 = 𝑎1.
𝑞𝑛−1
𝑞−1
, onde n = 9, q = 3 e 𝑎1 = 1 
𝑆9 = 1.
39 − 1
3 − 1
= 
39 − 1
2
 
 
04. Resposta: A 
O próprio enunciado já diz que é uma PA, então vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA, mas 
primeiro vamos descobrir a razão. 
r = 48 – 45 = 3 
𝑎1 = 45 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
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176 
 
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
05. Resposta: D 
Como temos uma subtração será uma PA decrescente, 𝑎1 = 0,3; 𝑟 = −0,07 
Termo Geral da PA:𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
Vamos calcular o valor do a4 e do a7 e depois soma-los. 
𝑎4 = 0,3 + 3. (−0,07) 
𝑎4 = 0,3 − 0,21 = 0,09 
𝑎7 = 0,3 + 6. (−0,07) 
𝑎7 = 0,3 − 0,42 = −0,12 
 
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 + (−0,12) = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
06. Resposta: C 
Se observar teremos uma PG de razão q = 2 e a1 = 1, portanto vamos encontrar o valor do a6 e do 
a8, podemos fazer por fórmula e sem fórmula, pois os números são pequenos. 
Fórmula do termo geral 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Assim: 
𝑎6 = 1.2
6−1 = 25 = 32 
𝑎8 = 1. 2
8−1 = 27 = 128 
Se fosse sem fórmula basta ir multiplicando por 2 a soma e encontrar o sexto e oitavo termo: 1, 2, 4, 
8, 16, 32, 64, 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
07. Resposta: E 
Vamos utilizar o primeiro e terceiro temos para descobrir a razão desta PG. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
100 = 4 ∙ 𝑞2 
𝑞2 = 25 
𝑞 = 5 
Agora vamos calcular o valor do segundo e do quarto termos e depois soma-los. 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞
1 = 4 ∙ 5 = 20 
𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞
3 = 4 ∙ 53 = 4.125 = 500 
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
08. Resposta: B 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
a64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
09. Resposta: D 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
10. Resposta: C 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
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177 
 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
11. Resposta: A 
Vamos resolver este exercício sem fórmula, utilizando apenas o raciocínio lógico, mas também é 
possível resolver com fórmula. 
Número que tem 9 de 1 até 100 são: 
09, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 e 99, assim em 20 vezes aparece 
o algarismo 9. 
Por fórmula ficará assim: 
Pois começa no 9 e vai de 10 em 10 até chegar no 99. 
99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
10𝑛 − 10 + 9 = 99 
𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 para ser contado a parte: 10-1=9 
Agora vamos encontrar do 90 até 99. 
99 = 90 + (𝑛 − 1). 1 
𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
12. Resposta: D 
Sabemos que a razão é 4 e que pela sequência teremos uma PA, assim: 
r = 4 
𝑎1 = 4 
E como ele que saber o último algarismo do 234° termo, devemos encontrar o 𝑎234 
Pela fórmula do termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
 
TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
- Teorema de Tales18: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão 
entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes da outra. 
 
 
 
18
SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 
www.jcpaiva.net/ 
conteudoonline.objetivo.br 
Geometria Plana: elementos primitivos. Teorema de Tales. Teorema de 
Pitágoras. Áreas de triângulos, paralelogramos, trapézios e círculos. Áreas e 
volumes de prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas. 
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178 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
Teorema da bissetriz interna 
 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
 
Se a bissetriz BE de um ângulo externo de um triângulo ABC, não isósceles, intercepta a reta suporte 
do lado oposto, então a bissetriz determina nessa reta dois segmentos proporcionais (AE̅̅̅̅ e CE̅̅̅̅ ) aos lados 
adjacentes (AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ) ao ângulo interno. 
 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Fortaleza – Matemática – Pref. de Fortaleza) Na figura abaixo, as retas são 
paralelas. Sabendo que o valor de x é: 
 
(A) 3 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
179 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
 
04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
(A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
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180 
 
(D) 6 
(E) 7 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
5/10 = (5-x)/3x 
15x = 50 - 10x 
25x = 50 
x = 2 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: A. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.2 
3x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x – 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
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181 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Exemplos 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quemés tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: D. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
Resposta: 
 
 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
182 
 
Resposta: 
 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
(B) 𝑙√3 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: 
 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
 
Resposta: 
 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
183 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Jacundá/PA – Psicólogo – INAZ) Em fase treino, um maratonista parte de um ponto 
inicial A percorrendo 2 km em linha reta até o ponto B, girando 90° para a esquerda e percorre mais 1,5 
km parando no ponto C. Se o maratonista percorresse em linha reta do ponto A até o ponto C, 
percorreria: 
(A) 3500 m 
(B) 500 m 
(C) 2500 m 
(D) 3000 m 
(E) 1800 m 
 
02. (IBGE – Agente de Pesquisas e Mapeamento – CESGRANRIO) Na Figura a seguir, PQ mede 6 
cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. 
 
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 19 
 
03. (UNIFESP – Técnico de Segurança do Trabalho – VUNESP) Um muro com 3,2 m de altura está 
sendo escorado por uma barra de ferro, de comprimento AB, conforme mostra a figura. 
 
O comprimento, em metros, da barra de ferro 
(A) 3,2. 
(B) 3,0. 
(C) 2,8. 
(D) 2,6. 
(E) 2,4. 
 
04. (Pref. de Marilândia/ES – Auxiliar Administrativo – IDECAN) Tales desenhou um triângulo 
retângulo com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
184 
 
(A) 6 cm 
(B) 9 cm 
(C) 12 cm 
(D) 15 cm 
(E) 18 cm 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
AC representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 2Km = 2000 m e 1,5Km = 1500m. 
AC² = 2² + 1,5² 
AC² = 4 + 2,25 
AC = 2,5Km = 2500 m. 
 
02. Resposta: A. 
Observe que PQ = 6 e RS= 9 e também são retas paralelas então podemos somar elas como se 
puxasse a reta RS pra cima formando uma reta só. Total 15cm. Ortogonalmente a reta QR fecha um 
triângulo retângulo com essa reta que fechamos juntando PQ e RS. Assim, ficamos com um triângulo 
retângulo com catetos 15 e 8. Aplicando Pitágoras, teremos a medida da hipotenusa que é a reta PT = 
17cm, que representa a distância ente P e T. 
 
03. Resposta: B. 
Observe que a altura do solo até o ponto B é dada por 3,2 -0,80 = 2,4m, agora basta utilizar o Teorema 
de Pitágoras para resolvermos esta questão: 
AB² = 1,8² + 2,4² 
AB² = 3,24 + 5,76 = 9 
AB = 3m. 
 
04. Resposta: C. 
Basta resolver pelo teorema de Pitágoras e depois resolver a equação que será formada. 
(x+1)² = (x-1)² + x² 
x² + 2x + 1 = x² - 2x +1 + x² 
x²-4x = 0 
x(x-4) = 0 
x = 0 (não convém utilizarmos pois o lado de um triângulo não pode ser nulo) 
ou x – 4 = 0 
x = 4. 
Assim os lados são: 
3, 4, 5, logo o perímetro será a soma de todos os lados: 3+ 4 + 5 = 12. 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
185 
 
 
 
 
 
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
186 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
187 
 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico dotrabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
188 
 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
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189 
 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
190 
 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
191 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
192 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada um 
com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
193 
 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A)Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
194 
 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
195 
 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
Sólidos Geométricos19 são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por 
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera, dessas figuras 
podemos encontrar o seu volume, pois são figuras geométricas espaciais. 
 
- Principio de Cavalieri 
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de 
determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este 
princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções 
planas de iguais altura possuírem a mesma área. 
Vejamos: 
Suponhamos a existência de uma coleção de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de 
mesmas dimensões, e consequentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois 
sólidos com essa coleção de chapas. 
 
 
Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja, o volume ocupado, pela coleção de 
chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B tem o mesmo volume. 
Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo plano α e situados num mesmo semiespaço 
dos determinados por α. 
 
19
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual 
Editora 
www.brasilescola.com.br 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
196 
 
 
 
Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina em A e em B superfícies de áreas 
iguais (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com igual número 
de moedas congruentes. 
 
 
Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado 
plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies 
equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos 
equivalentes). 
 
 
 
A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na colocação dos sólidos com base num mesmo 
plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência). 
 
Sólidos geométricos 
 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 
 
 
Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
197 
 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo 
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim 
por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, 
que são: 
 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo: comprimento, largura e altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
 
- Diagonal: D = a√3 
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198 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas 
laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um 
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágorastemos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. 
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma 
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado 
calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. 
- Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
 
- Área Total: At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- TRONCO DE PIRÂMIDE 
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a 
figura: 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
199 
 
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. 
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as 
bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre 
si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. 
 
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. 
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. 
De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície 
lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, 
se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. 
A área total do tronco de pirâmide é dada por: 
St = Sl + SB + Sb 
Onde: 
St → é a área total 
Sl → é a área da superfície lateral 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
Cálculo do volume do tronco de pirâmide. 
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume 
de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. 
Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do 
tronco é: 
 
Onde, 
V → é o volume do tronco 
h → é a altura do tronco 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. 
 
Elementos de um cilindro: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre as duas bases. 
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com 
a inclinação: 
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). 
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
200 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h 
 
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab 
 
- Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h 
 
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através 
desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana 
é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. 
 
 
 
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um 
quadrado, para isto temos que: h = 2r. 
 
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. 
 
Elementos de um cone: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. 
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. 
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. 
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = π.r.g 
 
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201 
 
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. 
 
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é 
chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é 
dada pela fórmula: ASM = r.h. 
 
 
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo 
equilátero, para isto temos que: g = 2r. 
 
TRONCO DE CONE 
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, 
teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. 
 
Elementos 
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; 
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. 
 
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior 
que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a 
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na 
composição do tronco de cone. 
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral 
(geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso 
da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. 
 
 
Onde: 
h = altura 
Área da Superfície e Volume 
 
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202 
 
g = geratriz 
 
 
 
Exemplo: 
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. 
Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14. 
 
 
V) ESFERA 
 
 
 Elementos da esfera 
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera. 
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. 
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. 
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. 
 
 Fórmulas 
 
 
 
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro 
da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema 
de Pitágoras: R2 = r2 + d2. 
- Área: A = 4.π.R2 
 
- Volume: V = 
4
3
. π. R3 
 
Fuso Esférico: 
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203 
 
 
Fórmula da área do fuso: 
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋. 𝑅2
90°
 
 
Cunha Esférica: 
 
 
Fórmula do volume da cunha: 
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
 
 
Questões 
 
01. (IPSM – Analista de gestão Municipal – VUNESP/2018) Um tanque em formato de prisma reto 
retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está completamente cheio de água. Durante 3 
horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 
m3 é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no 
tanque é igual a(A) 980. 
(B) 1020. 
(C) 1460. 
(D) 1580. 
(E) 1610. 
 
02. (UFSM – Auxiliar em Administração – UFSM/2017) O número de furtos a bancos tem crescido 
muito nos últimos anos. Em um desses furtos, criminosos levaram 20 barras de ouro com dimensões 
dadas, em centímetros, pela figura a seguir. 
 
 
 
Se a densidade do ouro é de aproximadamente 19g/cm³, aproximadamente quantos quilogramas de 
ouro foram furtados? 
(A) 0,456 
(B) 9,120 
(C) 24,000 
(D) 45,600 
(E) 91,200 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
204 
 
03. (DEMAE – Técnico em Informática – CS-UFG/2017) Em um canteiro de obra, para calcular o 
volume de areia contida na caçamba de um caminhão, mede-se a altura da areia em cinco pontos 
estratégicos (indicados por M), a largura (L) e o comprimento (C) da base da caçamba, conforme ilustra 
a figura a seguir. 
 
O volume de areia na caçamba do caminhão é dado pelo produto da área da base da caçamba pela 
média aritmética das alturas da areia. Considere um caminhão carregado com 13,25 m³ de areia. A largura 
de sua caçamba é 2,4 m e o comprimento, 5,8 m. Assim, a média aritmética das alturas da areia na 
caçamba, em metros, é, aproximadamente, de: 
 
(A) 9,5 
(B) 2,3 
(C) 0,95 
(D) 0,23 
 
04. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em 
cm2, é: 
(A) 90π 
(B) 100π 
(C) 80π 
(D) 110π 
(E) 120π 
 
05. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse 
prisma é: 
(A) 288√3 cm3 
(B) 144√3 cm3 
(C) 200√3 cm3 
(D) 100√3 cm3 
(E) 300√3 cm3 
 
06. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais 
a: 
(A) 27 m2 e 54 m3 
(B) 9 m2 e 18 m3 
(C) 54 m2 e 27 m3 
(D) 10 m2 e 20 m3 
 
07. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa 
pirâmide, em cm3, é igual a: 
(A) 60 
(B) 60√3 
(C) 80 
(D) 80√3 
(E) 90√3 
 
08. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN) Um reservatório vertical de água com a 
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a 
capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14: 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
205 
 
(A) 282,60 litros. 
(B) 28.260 litros. 
(C) 282.600,00 litros. 
(D) 28.600,00 litros. 
 
09. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é: 
(A) 6√3 
(B) 6√2 
(C) 8√2 
(D) 8√3 
(E) 8 
 
10. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases 
são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale: 
(A) 330 cm³ 
(B) 720 dm³ 
(C) 330 m³ 
(D) 360 dm³ 
(E) 336 dm³ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume do paralelepípedo, depois a quantidade de água que vaza para 
poder descobrir quanto de agua ainda resta, basta subtrair o volume pela quantidade de água que vazou. 
V= a . b . c 
V= 3,5 . 1,2 . 0,8 
V= 3,36 m³ 
1 m³__________ 1000 LITROS 
3,36__________ x 
x= 3.360 L 
 
Aqui precisamos descobrir quanto vazou de água 
3 H 15 MIN = 3*60 +15 = 180 +15= 195 MIN 
12L ----------- 1 MIN 
y ----------- 195 MIN 
y= 195 . 12 
y= 2.340 L 
x-y = 3.360 - 2.340= 1020 LITROS 
 
02. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume de 1 das barras e depois basta multiplicar por 20, logo: 
V = 8x3x1 = 24cm³ 
24x19 = 456 g (pois ele possui 19g por cada cm³) 
456 x 20 (foram furtadas) = 9120g, devemos lembrar que 1 kg equivale à 1000g. 
9120/1000 = 9,120kg. 
 
03. Resposta: C. 
Como ele quer saber a média aritmética das alturas basta substituirmos na fórmula: 
V = M . L . C 
13,25 = M . 2,4 . 5,8 = 
13,92M = 13,25 
M = 13,25/13,92 
M = 0,95m 
 
04. Resposta: B. 
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
206 
 
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm 
Al = 2.π.r.h 
Al = 2.π.5.10 → Al = 100π 
 
05. Resposta: A. 
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a 
= 4 cm e a altura h = 12 cm. 
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
  𝐴𝑏 =
6.16√3
4
  𝐴𝑏 = 6.4√3  𝐴𝑏 = 24√3 cm
2 
 
V = 24√3.12 
V = 288√3 cm3 
 
06. Resposta: C. 
Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m. 
At = 6.a2 V = a3 
At = 6.32 V = 33 
At = 6.9 V = 27 m3 
At = 54 m2 
 
07. Resposta: D. 
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 =
𝑙2√3
4
. 
A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm. 
 
Cálculo da área da base: 
𝐴𝑏 =
𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
82√3
4
=
64√3
4
 
 
𝐴𝑏 = 16√3 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
. 16√3. 15 
 
𝑉 = 16√3. 5 
 
𝑉 = 80√3 
 
08. Resposta: C. 
Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m. 
O volume é Ab.h , onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26 
V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³ 
Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros 
282,26. 1000 = 282 600 litros 
 
09. Resposta: D. 
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 
cm. 
g2 = h2 + r2 
162 = h2 + 82 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
207 
 
256 = h2 + 64 
256 – 64 = h2 
h2 = 192 
h = √192 
h = √26. 3 
h = 23√3 
h = 8√3 cm 
 
10. Resposta: E. 
𝑉 =
ℎ𝑡
3
(𝐴𝐵 +√𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏) 
AB=144 dm² 
Ab=36 dm² 
𝑉 =
4
3
(144 + √144 ∙ 36 + 36) =
4
3
(144 + 72 + 36) =
4
3
252 = 336 𝑑𝑚3 
 
 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas; e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um espaço. Além do mais, o plano 
cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação ao 
par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
 
Par Ordenado 
 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
Operações com funções de 1º e 2º graus. Gráficos de funções de 1º e 2º graus. 
Máximo e mínimo da função de 2º grau. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
208 
 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico Cartesiano do Par Ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
Listagemdos Elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
209 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) . n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) . n (B) = 3 . 2 = 6 
 
Diagrama de Flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
 
 
Plano Cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
 
Noção de Relação 
 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
210 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
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211 
 
 
 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas 
paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma 
correspondência, aí podemos dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
Elementos da Função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que, dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
212 
 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto 
imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma Função Real de Variável Real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real e obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
Questão 
 
01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto 
imagem desta função será? 
(A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
(B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} 
(C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} 
(D) Im = {5, 7, 9,11} 
(E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
213 
 
Comentário 
 
01. Resposta: A 
Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. 
Então: 
f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 
f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 
f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 
Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses 
nomes, sendo por definição20: Toda função f: R → R, definida por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma Função 
 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
 Construção do gráfico no plano cartesiano: 
 
 
Observe que a reta de uma função afim é 
sempre uma reta. 
E como a > 0 ela é função crescente, que 
veremos mais à frente 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
 
20
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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214 
 
 
Observe que a < 0, logo é uma função decrescente 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo dasabscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo das abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
Função Injetora 
Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no 
contradomínio. 
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215 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao 
eixo x, notaremos que o mesmo cortará a reta 
formada pela função em um único ponto (o que 
representa uma imagem distinta), logo 
concluímos que se trata de uma função injetora. 
 
Função Sobrejetora 
Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
Observe que todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. 
Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
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216 
 
 
 
Observe que nem todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. 
Logo não é sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
 
Função Bijetora 
uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
217 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observe que medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y ou f(x) também 
aumentam. 
 
 
Observe que medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem. 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
- Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo 
(< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
218 
 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
Estudo do sinal da Função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
219 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP - Geógrafo - VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
220 
 
02. (Pref. Jundiaí/SP - Eletricista - MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 
por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa 
final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir 
a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP - Sargento CFS - CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES - Técnico Administrativo - CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio 
de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS - Técnico Ambiental Júnior - CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º 
grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
221 
 
07. (BRDE/RS - Técnico Administrativo) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto 
é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para 
que a firma não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 33.000,00 
(C) R$ 35.000,00 
(D) R$ 38.000,00 
(E) R$ 40.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir 
pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + 
b intercepta o eixoy no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT - Oficial Bombeiro Militar - UNEMAT) O planeta Terra já foi 
um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo 
ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
222 
 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
223 
 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
F(x) ≥ C(x) 
 
2
3
 𝑥 ≥ 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000 x = 
10000
1
6
  x ≥ 60000, como ele quer o menor 
valor. 
 
Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 
 
08. Resposta: C 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau21, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
 
21
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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224 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2; 
b é o coeficiente de x; 
c é o termo independente. 
 
Exemplos 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação Gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y, neste caso no 0 (zero); 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -1/4. 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(maior que zero ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função definida por um 
polinômio do 2º grau. 
 
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225 
 
 
 
Vértice da Parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
Eixo de Simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a< 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
 
Coordenadas do Vértice da Parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
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226 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor Máximo e Valor Mínimo 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = - 4. Logo o valor de mínimo é - 4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ - 4}. 
 
Raízes ou Zeros da Função 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
227 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2

 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da Variação do Sinal da Função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes 
reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em um ponto e temos duas raízes iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo x em nenhum ponto e não temos raízes 
reais. 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= - 4 e x2 = 0), podemos utilizar a forma fatorada: 
f (x) = a.[ x – (- 4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (- 2,4), temos: 
4 = a.(- 2 + 4).(- 2) → a = - 1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (- x - 4x).x → - x2 - 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
228 
 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = - (2)2 + (k + 4).2 - 5 → 3 = - 4 + 2k + 8 - 5 → 2k + 8 - 9 = 3 → 2 k - 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 → 
k = 2. 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – Cadetes do Exército – Exército Brasileiro) Uma indústria produz mensalmente x 
lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal 
da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – Técnico em Metrologia e Qualidade – VUNESP) A figura ilustra um arco decorativo de 
parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (Polícia Militar/MG – Soldado – Polícia Militar) A interseção entre os gráficos das funções y = - 
2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
229 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D 
L(x) = 3x² - 12x-5x² + 40x + 40 
L(x) = - 2x² + 28x + 40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B 
C = 0,81, pois é exatamente a distância de V 
f(x) = - x² + 0,81 
0 = - x² + 0,81 
x² = 0,81 
x =  0,9 
A distância AB é 0,9 + 0,9 = 1,8 
 
04. Resposta: A 
- 2x + 3 = x² + 5x - 6 
x² + 7x - 9 = 0 
 = 49 + 36 = 85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
y = - 2 . 1,105 + 3 = 0,79 
Para x = - 8,105 
y = 19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
Caros alunos, Raciocínio Lógico, é um conceito amplo abordado, assim sendo, nosso conteúdo 
abordará tudo o que você irá precisar, estude: 
- Raciocínio Lógico (Tipos de Raciocínio); 
- Conceitos Básicos; 
- Raciocínio Analítico. 
 
Raciocínio lógico e sequencial. 
 
Apostila gerada especialmente para: Danyelle Gomes 403.518.738-05
 
230 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
Raciocínio lógico22 é um processo de estruturação do pensamento de acordo com as normas da 
lógica que permite chegar a uma determinada conclusão ou resolver um problema. É aquele que se 
desvincula das relações entre os objetos e procede da própria elaboração do indivíduo. Surge através da 
coordenação das relações previamente criadas entre os objetos. 
 
Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de organização do pensamento. É possível 
resolver problemas usando o raciocínio lógico. No entanto, ele não pode ser ensinado diretamente, mas 
pode ser desenvolvido através da resolução de exercícios lógicos que contribuem para a evolução de 
algumas habilidades mentais. 
 
Raciocínio lógico matemático ou quantitativo 
É o raciocínio usado para a resolução de alguns problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios 
são frequentemente usados no âmbito escolar, através de problemas matriciais, geométricos e 
aritméticos, para que os alunos desenvolvam determinadas aptidões. Este tipo de raciocínio é bastante 
usado em áreas como a análise combinatória. 
 
Raciocínio analítico (crítico) ou Lógica informal 
É a capacidade de raciocinar rapidamente através da percepção. Em concursos exigem bastante 
senso crítico do candidato e capacidade de interpretação, portanto exigem mecanismos próprios para a 
resolução das questões. O raciocínio analítico nada mais é que a avaliação