_acad_7_Transformacao_em_Matriz_Inversa__2010

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Linguagem Técnica de Programação-Pascal	
G.A. – Matriz Inversa��
Transformação de uma matriz em Identidade e Inversa
	
	
	A
	
	
	I
	
	L1 (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	L2 (
	a21
	a22
	a23
	0
	1
	0
	L3 (
	a31
	a32
	a33
	0
	0
	1
Triangulariazação superior passo_1
	L1 (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	L2 (
 L1 (
	0
	b22
	b23
	b24
	b25
	b26
	L3 (
 L1 (
	0
	b32
	b33
	b34
	b35
	b36
L2 (
 L1		0 = b21 = a21–
 a11		b22 = a22–
 a12		b23 = a23–
 a13	
			b24 = a24–
 a14		b25 = a25–
 a15		b26 = a26–
 a16
L3 (
 L1		0 = b31 = a31–
 a11		b32 = a32–
 a12		b33 = a33–
 a13	
			b34 = a34–
 a14		b35 = a35–
 a15		b36 = a36–
 a16
Triangulariazação superior passo_2
	L1 (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	L2 (
	0
	b22
	b23
	b24
	b25
	b26
	L3 (
 L2 (
	0
	0
	c33
	c34
	c35
	c36
L3 (
 L2		0 = c32 = b32–
 b22		c33 = b33–
 b23		c34 = b34–
 b24
			c35 = b35–
 b25		c36 = b36–
 b26	
Transformando os elementos da diagonal principal em 
	L1((a11) (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	que
	1
	d12
	d13
	d14
	d15
	d16
	L2((b22) (
	0
	b22
	b23
	b24
	b25
	b26
	resulta 
	0
	1
	d23
	d24
	d25
	d26
	L3 ((c33) (
	0
	0
	c33
	c34
	c35
	c36
	em
	0
	0
	1
	d34
	d35
	d36
�
L1((a11) (	d11 = 1 = a11((a11)		d12 = a12((a11)	 	d13 = a13((a11)		d14 = a14((a11)	 		d15 = a15((a11)	 		d16 = a16((a11)
L2((b22) (	d22 = 1 = b22((b22)		d23 = b23((b22)	 	d24 = b24((b22)		d25 = b25((b22)	 		d25 = b26((b22)	 
L3((b33) (	d33 = 1 = c33((c33)		d34 = c34((c33)	 	d35 = c35((c33)	 	d36 = c36((c33)	 
Triangulariazação inferior passo_1
	L1 ( d13 L3 (
	1
	d12
	0
	e14
	e15
	e16
	L2 ( d23 L3 (
	0
	1
	0
	e24
	e25
	e26
	L3 (
	0
	0
	1
	d34
	d35
	d36
L1 ( d13 L3		0 = e13 = d13– (d13)1		e14 = d14–(d13)d34	e15 = d15–(d13)d35
			e16 = d16–(d13)d36
L2 ( d23 L3		0 = e23 = d23– (d23)1		e24 = d24–(d23)d24	e25 = d25–(d23)d25
			e26 = d26–(d23)d26
Triangulariazação inferior passo_2
	L1 ( d12 L2 (
	1
	0
	0
	f14
	f15
	f16
	L2 (
	0
	1
	0
	e24
	e25
	e26
	L3 (
	0
	0
	1
	d34
	d35
	d36
	
	
	I
	
	
	A–1
	
L1 ( d12 L2		0 = e12 = d12– (d12)1		f14 = e14–(e12)d24	f15 = e15–(e13)e25
			f16 = e16–(d12)d26
Propriedades
	Seja A uma matriz de ordem n.
	P1 :	(A–1) –1 = A
	P2 :	(I–1) = I
	P3 :	(kA) –1 = (1/k) A–1
	P4 :	(A+B)–1 = A–1+ B–1
	P5 :	(A.B)–1 = B–1. A–1
�
Resumo:
	
	
	A
	
	
	I
	
	L1 (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	L2 (
	a21
	a22
	a23
	0
	1
	0
	L3 (
	a31
	a32
	a33
	0
	0
	1
Triangulariazação superior passo_1
	L1 (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	L2 (
 L1 (
	0
	b22
	b23
	b24
	b25
	b26
	L3 (
 L1 (
	0
	b32
	b33
	b34
	b35
	b36
Triangulariazação superior passo_2
	L1 (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	L2 (
	0
	b22
	b23
	b24
	b25
	b26
	L3 (
 L2 (
	0
	0
	c33
	c34
	c35
	c36
Transformando os elementos da diagonal principal em 
	L1((a11) (
	a11
	a12
	a13
	1
	0
	0
	que
	1
	d12
	d13
	d14
	d15
	d16
	L2((b22) (
	0
	b22
	b23
	b24
	b25
	b26
	resulta 
	0
	1
	d23
	d24
	d25
	d26
	L3((c33) (
	0
	0
	c33
	c34
	c35
	c36
	em
	0
	0
	1
	d34
	d35
	d36
Triangulariazação inferior passo_1
	L1 ( d13 L3 (
	1
	d12
	0
	e14
	e15
	e16
	L2 ( d23 L3 (
	0
	1
	0
	e24
	e25
	e26
	L3 (
	0
	0
	1
	d34
	d35
	d36
 
Triangulariazação inferior passo_2
	L1 ( d12 L2 (
	1
	0
	0
	f14
	f15
	f16
	L2 (
	0
	1
	0
	e24
	e25
	e26
	L3 (
	0
	0
	1
	d34
	d35
	d36
	
	
	I
	
	
	A–1
	
�
Exemplos:
	Determine a matriz inversa para as seguintes matrizes.
1)	
	
	
	A
	
	
	I
	
	L1 (
	1
	2
	1
	1
	0
	0
	L2 (
	1
	1
	1
	0
	1
	0
	L3 (
	4
	2
	3
	0
	0
	1
Triangulariazação superior passo_1
	L1 (
	1
	2
	1
	1
	0
	0
	L2 (1.L1 (
	0
	–1
	0
	–1
	1
	0
	L3 (4.L1 (
	0
	–6
	–1
	–4
	0
	1
Triangulariazação superior passo_2
	L1 (
	1
	2
	1
	1
	0
	0
	L2 (
	0
	–1
	0
	–1
	1
	0
	L3 (6.L2 (
	0
	0
	–1
	2
	–6
	1
Transformando os elementos da diagonal principal em 
	L1((1) (
	1
	2
	1
	1
	0
	0
	que
	1
	2
	1
	1
	0
	0
	L2((–1) (
	0
	–1
	0
	–1
	1
	0
	resulta 
	0
	1
	0
	1
	–1
	0
	L3 ((–1) (
	0
	0
	–1
	2
	–6
	1
	em
	0
	0
	1
	–2
	6
	–1
Triangulariazação inferior passo_1
	L1 ( 1.L3 (
	1
	2
	0
	3
	–6
	1
	L2 ( 0.L3 (
	0
	1
	0
	1
	–1
	0
	L3 (
	0
	0
	1
	–2
	6
	–1
Triangulariazação inferior passo_2
	L1 ( 2.L2 (
	1
	0
	0
	1
	–4
	1
	L2 (
	0
	1
	0
	1
	–1
	0
	L3 (
	0
	0
	1
	–2
	6
	–1
	
	
	I
	
	
	A–1
	
Logo, a matriz inversa é dada por 
2)	A=
Solução:
	[A | I ] = 
1ª Etapa
�� EMBED Equation.2 
		Onde 		
= 
, 
=
2ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 		Onde 
=
3ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 	
4ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 	
5ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 	
Portanto, a matriz inversa é A-1 = 
.
�
3)	A=
Solução:
	[A | I ] = 
1ª Etapa
�� EMBED Equation.2 
	Onde 	
= 
, 
=
2ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 		Onde 
=
3ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 	
4ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 	
5ª Etapa
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.3 	
Portanto, a matriz inversa é A-1 = 
.
4)	
	5)	
6)	
		7)	
 	8)	
_________________________________________________________________
José Fernando S. Prates
�PAGE �2�
José Fernando Santiago Prates�� PAGE �6���
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