ELETRICIDADE BÁSICA - TEORIA 3 Semestre

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BÁSICA
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(TEenIA)
Autores 1:..=Arduino Francesco Lauricella
Brasílio Camargo Brita Filho
Francisco Xavier Sevegnani
Pedra Américo Frugoli
Roberto Gomes Pereira Filhor'
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Teoria
Exercícios resolvidos
Exercícios propostos comrespostas
Exercícios para entregar com respostas
ELETRICIDADE BÁSICA
(TEORIA)
=..=
Arduino Francesco Lauricella
Brasílio Camargo de Brita Filho
Francisco Xavier Sevegnani
Pedro Américo Frugoli
Roberto Gomes Pereíra Filho
Teoria
Exercícios resolvidos
Exercícios Propostos com respostas
Exercícios para entregar com respostas
Autores
Arduino Francesco Lauricella é mestre em Engenharia Mecânica pela Escola
Politécnica da Universidade de Sãa Paulo-EPUSP e bacharel em Física pelo Instituto de
Física da Universidade de São Paulo-lFUSP. Professor adjunto da Universidade Paulista-
UBllP e da Centro Univesítário da Fundação Educacional Inaciana-FEI.
BrasÊiio Camarão de Brita Filho é Bacharel em Física pela USP - Universidade de $ãc
Paulo; Mestre em Física do Estado Sólido pela USP; prof. na FEI - Faculdade de
Engenharia Indus&ial (1974/1987); prof. Faculdade de Engenharia Ir.dustrial na Santa
Cecília (i984/1986); prof. na PUCSP - Pontifícia Urtíversídade Católica de São
Paulo(1992/1997); prof. na UNIP - Universidade Paulista (a parar de 1977); Diretor
Regional UNIR- Campinas (a paHr de 1997)
Fmncisco Xavier Sevegnani é físico e concluiu sua graduação, mestrado e doutorado
em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Pauis-PUCSP. Concluiu Melado
em Engenllaíia de Produção peia Univers:dado Paulista-UNIP (2003) e doutorado em
Engenharia de Energia e Automação Elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de
São Paulo-PEA/EPUSP (2009). Anualmente. é professor titular da Pontifícia Universidade
Católica de São Palito, professor adjunto l do Centro Universitário de Educação Inaciana.
professar titular da Universidade Pcaulista, coordenador auxiliar do curso de Engenharia
diurFlo da UNIR e líder de disciplina de Física da UNIP.
Pedra Américo Frugoli é físico, concluiu sua graduação e mestrado pelo Inüituto de
Física da Universidade de São Paulo-USP. Concluiu Doutorado em Engenharia de
Produção pela Universidade PaulisU-UNIP. Atualmente, é professor Ulular da
Universidade Paulista-UNIP.
coberto Games Pereim Filho é físico, é licenciado em Física pelo Instituto de Física
da Unívenidade de São Paulo-!FUSP. Atualmente é professor adjunto da Universidade
Paulista-UNIP e professar assistente do Centro Universitário da Fundação Educacional
Inaciana-FEI.
11
SUMAMO    
     
Eletricidade Básica (teoria)    
   
Introdução  
   
Parte 1. Eletrostática  
   
1. Átomo l
1.1 ParUculas elementares l
1.2 Estrutura do átomo
1.3 Coroa Atómica
1.4 f4úcleo atómico
2
3
3
   
2. Fundamentos da eletrostática
2.1 Primeira lei das ações elétricas
4
4
2.2 Quantidade de eletricidade 4
2.3 Princípio de conservação da eletricidade 5
2.4 Condutores e isolantes
2.5 Eletrização por cantata 5
2.6 Eletroscópios 6
 
3. Lei de Coulomb 8
3.1 Unidades das grandezas elétricas 10
3.2 Dimensão das grandezas 11
3.3 Símbolo das sete unidades de base 12
3.4 Unidade de corrente elétrica (ampare) =
3.5 Exercícios resolvidos 14
3.6 Exercícios propostos 27
3.7 Exercícios para entregar (lei de Coulomb) 33
   
4. Campo elétfico
4.1 Dísü-ibuições de carga
4.2 Exercícios resolvidos
4.3 Exercícios propostos
4 .4 Exercícios para entregar (campo elétríco)
39
42
58
63
5. Potencia! elétrico
5.1 Trabalho no campo de uma carga puntíforme
5.2 Energia potencial elétHca de uma carga puniiforme
5.3 Potencial elétrico de uma carga puntiforme
1 5.4 Potencial elétríco de uma distübuição contínua de a
l 5.5 Exercícios resolvidos
5.6 Exercícios propostos
5.7 Exercícios para entregar (potencial eléüico)
Parte 11. Magnetismo
67
67
68
$9
69
71
80
85
l 6 Campo magnético e força magnética
6.1 Movimento de parlicula eletrizada em campo magnético
6.2 Exercícios resolvidos
6.3 Exercícios propostos
6.4 Exercícios para entregar (força magnética/partícula)
} :: - :--
89
QI
94
!09
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7 Força magnética sobre corrente elétrica
7.1 Conjugado magnético
7.2 Exercícios resolvidos
7.3 Exercícios propostos
7.4 Exercícios para entregar ( força magnética em corrente/conjugado mag.)
119
120
!32
137
111
     
erga
   
     
     
Introdução
Os tópicos datados nessa disciplina de Eletrlcidade Básica, são Eletrostática
(parte 1) e Magnetismo (parte ll).
A Eletrostática inicia com uma abordagem simplificada da estrutura do átomo,
indicando as principais partículas em que ele é constituído, que são os prótons (carga
elétrica positiva), os nêutrons (sem carga elétrica) e os elétrons (carga elétrica negativa).
Os prótons e nêutrons formam o núcleo do átomo e os elétrons orbitam ao redor do
núcleo. E destacado que os corpos na natureza se apresentam com carga elétrica líquida
nula, mas que eles podem ser eletrizados por transferência mútua de elétrons, e também
que esses corpos, quando em repouso, já com carga elétrica líquida não nula interagem
entre si por meio de forças elétricas. Ê apresentado: o conceito de carga elétrica
puntiforme; a lei fundamental da Eletrostática que é conhecida como leí de Coulomb,
que mostra como determinar a força elétrica entre duas cargas elétricas punüformes,
mas cujo princípio é estendido para corpos com cargas elétricas distribuídas; o conceito
de campo elétrico e sua relação com força elétrica (F = qÊ); o conceito de trabalho da
força elétrica, mostrando que ela é uma força conservativa dando margem a definição
de energia potencial eléüica e potencial elétrico.
O Magnetismo inicia com o fato experimenbl que partículas eletrizadas em
movimento quando próximas a correntes elétricas e/ou imãs, que produzem campo
magnético, ficam sob ação de forças denominadas de magnéticas (F = çi)Ag). É
mostrado como determinar a trajetória percorrida pela carga elétrica (circular ou
helicoidal), quando lançada em campo magnético. De forma análoga é mostrado que
uma corrente elétrica em um fio condutor na presença de campo magnético também
sofre a ação de uma força magnética. E apresentado que um fio condutor com as
extremidades unidas (espira) quando percorrido por corrente elétrica, e na presença de
campo magnético fica sujeito a ação de um conjugado magnético, fato esse que originou
a construção dos motores elétricos.
Para que haja um bom entendimento de como trabalhar com todos esses
conceitos, esse texto contém uma grande variedade de exercícios resolvidos e exercícios
propostos com respostas, além de exercícios que o aluno deverá entregar para o
professor.
Bons estudos
lv
Parte 1. Eletrostática
l Átomo
Muitos fenõrnenos físicos encontram explicação na esü'utuía da matéria. A ideia
de "átomo", unidade estrutural indivisível da matéria, se deve a filósü.us gregos
(Demócrito, meio milênio antes de Crista); . porém suas especulações em torno da
assunto não possuía uma objetívidade necessária para lhes conferir valor cientifico.
O átomo tornou-se realidade científica em virtude das lei das Proporções
Múltiplas referente as proporções ponderais ein que se combinam os elementos,
apresentada por Dalton em 1805 e em seguida veriãcada experimentalmente, com
grande precisão, por Berzélius. A exposição pormenorizada deste assunto pertence a
Química.
Desde o início do século 19 o labor perseverante de numerosos pesquisadores
vem aumentando os conhecimentos sobre a estrutura do átomo. No progresso
incessante deste setor de ciência são acontecimentos proeminentes: o estabelecimento
das leis da Eletrólise (Faraday, 1832), o estudc dos fenómenos associados a descarga
elétríca emgases rarefeitos (Gêiser, Puckes, Cremes, Lenard, J. J. Thomson, Perin e
muitos outros até a atualidade. o descobrimento da radiatividade natural e seu estudo
subsequente (Becquerel, 1896), a medição da carga do elétron (Milíca. 1909), a
apresentação do modelo atómico de Ruthedord (1911) e a complementação deste por
Sommeífeld e Bohr (1913). De 1900 para cá surgiram ainda as chamadas teoria
modernas: os quanta de Planck (1900), a relatividade de Einstein (1905), a mecânica
ondulatória de Schrodinger e a mecânica quântica de Heisenberg (1926), repercutindo
profundamente nas concepções sobre a estrutura do átomo.
1.1 Partículas elementares
Em confronto com a extensão de objetos passíveis de obsemação direta, os
átomos são eüremamente pequenos; seus diâmetros variam desde cerca de 80 .
lO ::m para o átomo de hidrogênio (que é o mais simples), até a ordem de 300.
10 'zm para os átomos mais complexos; dez milhões de átomos densamente
enfileirados se entenderiam sobre l a 3 milímebos.
Em Química unl átomo se comporta como unidade estrutural indivisível (a menos
de um ou alguns poucos eléüons periféricos); isto é, um átomo faz parte ora de uma
molécula, ora de outra, ao sabor das reações químicas de que ele participa porém
sempre conservando suas características individuais (Princípio da Conservação dos
Elementos). Entretanto a Física possui recursos para afetar o átomo em sua intimidade
mais profunda, determinando tnodiflcações radicais em sua esüutura e evidenciando que
o átomo não é realmente indivisível, mas se compõe de partículas subatómicas; estas
são denominadas "partículas elementares". Para um primeiro estudo da estatura do
átomo basta conhecer três partículas elementares, a saber: o elétror}, o próton e o
nêutron; admitem-se ainda o pósitron. o neutrino e os mésons.
O elétron é uma partícula de eletricidade negativa; a quantidade desta no sistema
de unidade internacional (SI) é q..ét,.« = --e = --1.6 ' 10':9 C, e sua massa também no
SI vale mel.t,on : 9,11 10'3i kg. Para c} elétron admite-se o diâmeUo da ordem de 1,4
10-ts m. Obtêm-se com facilidade eiétrons no estado livre, por exemplo por emissão por
campo (poder das pontas), efeito termo eletrânico (válvulas eletrõnicas de rádio e
ampolas de raios X), ou efeito eletrõnico (células foto elétricas).
O próton é uma parti'cuja dotada de carga elétrica positiva cuja quantidade é, em
valor absoluto, igual a do elétron, qprótan ' +e = +1.6 10'ie C, e cuja massa vale
aproximadamente mp,óton = 1,67 10 27 kg. Para o próton admite-se um diâmetro um
pouco menor que o do elétron. Obtêm-se prótons livres com certa facilidade. ionizando
átomos de hidrogênio.
O nêutron é partícula eletricamente neutra, e cuja massa é sensivelmente igual
a do próton. mpróton : 1,67' 10'z7 kg. A obtenção de rlêutrons livres se baseia em
reações nucleares (por exemplo, bombardeia de berílio corra héllons; pilha atómica).
Dispensamos a descrição das demais partículas elementares, limitando-nos a
observar que a carga elétrica de qualquer uma é uma "carga elementar" com sinal que
depende da natureza da parti'cuja.
1.2 Estrutura do átomo
Num átomo distinguem-se duas partes perfeitamente diferenciadas: o nllcleo e
a coroa. O núcleo é a parte central, na qual se localiza quase toda a massa dc átomo;
eie se compõe de prótons e nêutrons em números conlparávels, com predominância de
nêutrons (salvo o núcleo do átomo de hidrogêlaio, que contém :im só Fróton). O diâmetro
do núcleo é da ordem de 10'i' m. O arraíljo das paídculas no núclec} é MLi;to denso;
cima cabeça de alfinete constituída $ó de prótons e nêutrons que se aglomerassem tão
densamente como em um núcleo, teria massa da ordem de cem mil toneladas. O número
Z de prótons do núcleo é denominado "numero atõrnico" do elemento ao Qual pertence
ü átomo em questão; ele coincide com o número de clrdem do elemento na tabela
periódica, e varia para os elementos naturais desde l para c. hidrogénio até 92 para o
tirania (atualmentP já se conhecem elernentc-s arüflciais com número atómico superior
a IQa). O número total iq de prótons e nêutrons do núcleo é denominado número de
massa do átomo, e varia para os elementos naturais desde l até 238 para o isótopo
mais pesado (]o urânio (sendo maior ainda para os elementos trens uranianos). Dado
um elemento qualquer de símbolo X, agregam-se a esse símbolo o número atómico Z e
o nomeio de massa M. do seguinte moda: yX, resultando um símbolo que determina
peifeiFnmente o átomo representado por ele. Por exemplo, os átomos de cloro têm
número atómico Z=!7 e números de maça M=35 ou M=37; portanto, os átomos de
cloro são representados pelos símbolos: ;?CZ e {;CI. A CCiFOà é a parte do átomo oue
envolve Q riC=leo, ela é constituída e:Klusivaínente de elétrons e por isso tem massa
muito pedi :na ern confronto com a do núcleo. Num átomo neutro c número de elétrons
é igual ao número de prótons. Quanlc pião existe esta igualdade, o átomo se diz ionizado
e se apresellta eletrizado positivamente quando Ihe faltam elétrons (íon positivo, cátion),
e eletrizado negativamente quando Ihe sobram elétrons (íon negativo, ânion).
1.3 Coroa atómica
Para a compreensão da estrutura do átomo propoem-se dois modelos, a saber:
o modelo planetário (Ruthe#ord. Bohr, Sommerfeld) em primeira abordagem da matéria.
e o modelo quântico (Schrodinger, Heisenberg, Dirac) para estudo avançado. Aqui será
abordado apenas o modelo planetário.
Os elétrons de um átomo se movem em celtas trajetórias denominadas
tíajetórias estáveis, as quais se distribuem em camadas concêntricas com o núcleo e são
designadas, de dentro para fora, pelas letras K. L M. N. O, P e Q. Cada camada pode
conter um número de elétrons variável até um número máximo bem determinado, igual
a 2 para a camada K, 8 para a camada L. 18 para a camada M, etc. A última camada de
elétrons de um átomo não pode conter mais de 8 elétrons, salvo a camada K. que não
pode conter mais de 2 deles
As propriedades químicas de um átomo são determinadas pelas camadas
eletrõnicas exteriores. Mediante agentes H'sacos adequados (campo elétrico, onda
eletromagnética, energia térmica) um elétron qualquer pode ser afastado de sua
trajetória estável, passando temporariamente para uma tJajetória mais distante do
núcleo, fenómeno este ligado a absorção de uma quantidade de energia e ao retornar a
sua trajetória estável, o elétron emite a mesma quantidade de energia sob forma de um
fóton (trem de onda eles'omagnética. infravermelho, raio X, etc.).
Dois átomos com números atómicos iguais apresentam coroas idênticas, mesmo
que os números de massa sejam diferentes; suas propriedades químicas são idênticas e
seus espectros são idênticos. Tais átomos com coroas idênticas e núcleos diferentes
chama-se isótopos, eles diferem exclusivamente pelo número de nêutrons.
1.4 Núcleo atómico
O núcleo atómico é comparativamente minúsculo, o seu diâmetro é cerca de
100000 vezes menor que o átomo qual ele pertence. Quanto as extensões, o núcleo está
para o átomo como uma cabeça de alfinete está para um balão de 10 m de diâmetro. A
densidade absoluta de núcleos atómicos é enorme. e mede 116 10' toneladas por
Centímetro cúbico.
No núcleo se localiza quase toda a massa do álamo. Na maioria dos elementos
o núcleo é está'/el, sendo afetado só por agentes mais ou menos violentos. Alguns
elementos possuem núcleos instáveis, que se desagregam espontaneamente
(radioaüvldade). Núcleos complexos e pouco estáveis, excitados de modo conveniente
(mediante bombardeia com feixe de prótons ou nêutrons que podem desintegrar-se
dando origem a núcleos mais simples e partículas elementares). Este fenómeno dá-se
com perda de massa e desprendimento de uma quantidade de energia equivalente a
massa perdida (vale a relação de Einstein E = m cz).
2 Fundamentos da eletrostática
O modo mais direi para eletrízar dois corpos é atdtando um sobra a oiitro.
Tomemos doisbastões VI e V2 de vidro, e dois bastões EI e E2 de ebor:;tc, üüitemos
aqueles com seda, e esks com lã. Suspendaínos VI e EI, mediante Rcl* finos e bem
nexíveis; nestas condições, mesmo scb a ação de forças débeis, os bastões suspc'risos
se desviam. assim derlunciando a presença das forças. Apruxilnali(io Q balcão V2 ora a
um. ora a outro dos bastões suspensos, observa-se qtle VI é repelido e [! é atraído: a
aproximação de E2 aos bastões suspensos produz afiação de VI e íepulslão de EI
Esbs forças que se exercem entre os bastões de vidro e de ebonite após serem
agitados com seda e lã respectivamente não são de natureza gravitacional nem
magnética; por terem sido observadas primeiras com o âmbar amarelo, em grego
denominado elétron. elas são chamadas ações eiétricas. Os corpos que exercem tais
ações eiéüicas são duos elebizados; no caso descrito eles foram eletrizados por atrito,
mas existem vários outros processos de eletrização. De um modo geral pode-se dizer
que dois corpos constituídos de substancias diferentes, quando atrkados um com o
ouço, se eletrizam. A eletrização por aü'ito não é consequência da fricção propriamente.
mas do cantata íntimo e extenso que se estabelece entre os corpos que se atritam
mutuamente; esse contato faculta a transferência de elétrons de um, que se eletríza
positivamente. para o outro, que se eletriza negativamente. As ações elétricas poderiam
ser atribuídas a algum estado da matéria, ou a alguma coisa na matéria; sabemos ser
verdadeira a segunda hipótese: a eletrização é devida a algum agente físico concreto
que se designa por eletricidade. Um corpo incapaz de exercer ações elétricas diz-se
neutroP
2.1 Primeira lei das ações elétricas
Os experimentas descritos se enunciam sob a forma de uma lei fundamental da
eletrostátíca. a saber:
Cargas de mesma espécie se repelem, e cargas de espécies distintas se atraem
2.2 Quantidade de eletricidade
Denomina-se "carga elétrica puntiforme" uma carga elétrica que se distribui em um
espaço de extensão desprezível em relação às distâncias que a separam de outras
cargas. A medida de uma carga elétrica é denominada "quantidade de eletricidade"; é
uma grandeza que se atribui a carga segundo os critérios de igualdade e multiplicidade.
A menor quantidade de eletricidade que existe na natureza é a carga elétríca de um
próton. ou a de um elétron; em valor absoluto elas são iguais e consbtuem a "carga
elementar":
e = 1.60 . 10'tç C
Toda carga elétrica é múltipla inteira da carga elementar
2.3 Princípio de conservação da eietricidade
Corpos podem seí eletrizados de variados modos, como por exemplo: atrito,
cantata, influencia. diversas modalidades de emissão, indução eletromagnética. Na
quase totalidade desses fenómenos as partículas elementares participantes são
permanentes, isto é, não criadas nem destruídas, não api-ecem nem desaparecem. mas
simplesmente mudam de lugar. são transferidas de um corpo para outro, ou de uma
região para outra dentro de um mesmo corpo.
Por exemplo, consideremos um corpo eletricamente neutro; qualquer parte
macroscópica dele contem cargas elementares positivas e negativas em números iguais
portanto com soma zero; no corpo todo a soma das cargas elementares positivas e
negativas é igual a zero. Suponhamos que de uma região A saiam 5 elétrons que vão
sediar-se em uma região B; A região A fica com carga +.5e e a região B com carga -5e,
mas no corpo todo a soma das cargas positivas e negativas é nula. Um sistema é
eletricamente isolado quando não recebe, nem cede cargas ao ambiente.
2.4 Condutores e isolantes
A movimentação de cargas elétricas em um meio material é sempre possível,
porém com facilidade ou dificuldade que varia com a natureza do meio. Os meios
materiais que oferecem grande liberdade de movimento à eletricidade são ditos bons
condutores ou simplesmente condutores de eletricidade; os que oferecem grande
resistência à movimentação da eletdcidade são ditos maus condutores de eletrícidade
ou simplesmente isolantes, ou ainda dielétricos. Os isolantes retêm as cargas que
possuem. ao contrário dos condutores; uma barra condutora pode manifestar-se
eletrizada por atrito, desde que se a segure mediante um cabo isolante, para impedir o
escoamento de suas cargas. Nos condutaíes de eletricidade algumas partículas elétricas
são moveis; as cargas elétricas podem movimentar-se na forma de elétrans. Os metais
e o grafite são ótimos condutores eletrõnicos. Nos metais, certos elétrons periféricos dos
átomos são fracamente ligados aos mesmos, chamando-se então "elétrans livres" eles
respondem prontamente a forças exercidas sobre eles destacando-se dos átomos aos
quais eles pertencem e movendo-se em nuvens eletrõnicas através da matéria
condutora. Por exemplo/ calcula-se em 10zz o número desses elétrons em um grama de
cobre. Nos isolantes ou dielétricos não existem elétrons livres em número apreciável. O
isolante ideal é o vácuo pois ele não oferece cargas livres para transporte de eletricidade;
são isolantes também o ar e outros gases (quarldo não ionizados), o vidro, a mica.
resinas sintéticas, a ebonite, agua pura. Óleos minerais.
2.5 Eletrização por contato
Pondo um corpo neutro N em cantata com um corpo eletrlzado F, uma parte da carga
elétrica deste pode passar para aquele. Assim o corpo neutro N se eletriza por cantata
com o carpa eletrizado E
Se o corpo eletrizado F possuir carga positiva. ele está com deficiência de elétrons e
atrai os elétrons do corpo neuüo; havendo cantata entre os dois, uma parte dos plétrons
de N passa para E. Assim surge uma deficiência de elétrons também em N, que se
eletríza positivamente; e diminui a deficiência de elétrons de etéüons em F, cuja carga
p'Bitiva diminui. A passagem de elétrons de N para E tende a prolongar-se até que
ambos os corpos manifestem igual "avidez" pelos elétrons que lhes faltam pan a
neutralização. Mutatis mutandis, o mecanismo descrito se aplica ao caso em que o corpo
eletrizado E possui carga negativa; os elétrons excedentes em E se repelem
mutuamente e passam em parte para N, que se eletriza negativamente.
Quando um dos corpos em questão é isolante, au quando ambos os são, a troca de
cargas se limita sobre o corpo isolante a uma zona elementar em torno do ponto de
cantata. Nos condutores a troca de cargas interessa a toda a extensão dos mesmos.
Quando os corpos postos em cantata são condutores e iguais, a distribuição de cargas
elétricas entre eles se faz em partes iguais; todavia há uma condição restritiva; os corpos
considerados dexrem estar longe de outros corpos condutores, eletrizados ou não, pois
em caso contrário manifesta-se o fenómeno da influência eletrostática. o que modifica
a repartição das cargas.
Em certas condições a carga do corpo eletrizado passa totalmente para o corpo
inicialmente neutro, com o qual ele é posto em cantata.
2.6 Eletroscópios
Não dispomos de órgãos sensoriais capazes de denunciar-nos a eletrização de um carpa;
para isso precisamos de dispositivos que de algum modo revelem se um corpo está ou
não eletdzado. Tais dispositivos são denominados eletroscópios. Eles pemlitem também
determinar o sinal da carga elétrica sediada em um corpo. Apresentamos, o pêndulo
elétrico, o ele&oscópio de folhas, o eletroscópio de pilha, e os pós eletroscópios.
EêndiilQ..eléUçg - Compõe-se de uma pequena esfera de material leve (medula de
sabugueiro, ou corça), suspensa a um fio leve, flexível e isolante (seda não tingida).
Aproximando ao pêndulo elétrico um corpo eletrizado .4, a atração que este exerce
naquele desvia o pêndulo do prumo; assim o pêndulo denuncia a presença de carga
elétrica no corpo aproximada. Permitindo que o corpo .4 toque a esfera do pendulo, esta
se eleüiza por contato com o corpo .4, sendo imediatamente repelida por este. Em
seguida aproximemos o pêndulo um corpo eletrizado B; se o pendulo for repelido por B,
as cargas de 4 e B são homónimas;se o pêndulo for atraído por B, as cargas de .4 e B
são heterõnimas.
Eletroscóoia de folhas - E um disposhvo mais sensível do que o pêndulo elétrico,
permiünda. permibndo detectar a presença de cargas menores. Em princípio consta de
um bastão condutor vertical em cuja extremidade inferior estão suspensas lado a lado
duas folhas metálicas extremamente finas; de preferência estas lâminas são de ouro,
que se consegue laminar até 1/1000 mm de espessura (folhas de alumínio também se
prestam bem). A exüemidade superior do bastão prende-se uma esfera metálica ou, em
outros casos. uma prato metálico circular e horizontal. Se as folhas do eletroscópio forem
[7]
eletrizadas elas se repelem mutuamente e se inclinam, formando entre $i em ângulo
tanto maior quanto maiores forem as cargas elétricas das lâminas. Para o funcionamento
do eletroscópio de folhas cona'ibui o fenómeno da influência eletrostátíca. O eletrâmetro
de Braun também ftincíona com o mesmo princípio.
Eles!:gsçóelade.e!!ha - E um aparelho mais sensível que os anteriores. Ele possui uma
única lâmina indicadora, suspensa no espaço entre duas placas condutoras verticais e
fixas. suficientemente afastadas para que a lâmina indicadora não possa toca-las. As
placas são ligadas aos terminais de uma pilha; esta é um dispositivo que tem a
propriedade de eletrizar os condutores ligados aos seus terminais com cargas de sinais
contrários. Se a lâmina indicadora for eletrizada, ela é atraída por uma das placas e
repelida pela outra. desviando-se da vertical. O sentido do desvio indica o sinal da carga
que o motivou.
Eég.elelEg$çéeleg -- São pós que permitem determinar a existência e o sinal das cargas
dos corpos elebizados. Adotam-se geralmente o mínio (Pb3 04) e o enxofre. finamente
pulverizadas e misturados um com o outro. Passando a mistura por uma peneira fina,
os grãos se atritam entre si e com a tela de peneira; consequentemente o minto se
eletriza positivamente, e o enxofre negativamente. Caindo sobre o corpo eletrizado, esta
mistura de pós eletrizados é decomposta em seus componentes, pois o corpo eletrizado
atrai os grãos de carga oposta e repele os de carga igual à dele. Um corpo com carga
positiva atrai o enxofre (amarelo); com carga negativa atrai o minto (vermelho).
[8]
3 Lei de Coulomb
Essa lei expressa a fbrg eléhca enfie dois corpos eletNzados, estando esses
corpos em uma distância relativa muito maior que a dimensão dos corpos, de forma que
as cargas elétricas são consideradas puntiformes. Admitindo que as cargas eléb'icas
desses corpos ajam Q e q, e que estejam fixas respectivamente nos pontos 0 e P, a
força elétrica que essas cargas exercem mutuamente é expressa pela equação:
F=i' .';7'f (Q sobre q) ou .F .i==''F' f (q sobre Q) [1]
;-
Figura 1. A força é de repulsão entre duas cargas elétricas puntiformes quando Qç > 0,
isso vale quando as cargas que estão Interagindo são de mesmo sinal, caso contrário,
a força será de atração.
Sendo r = ÕF, e f = (r'uJ portanto f' é um vetar unitário. A constante co é denominada
constante de permissividade elétrica no vácuo, seu valor numérico depende
exclusivamente da escolha do sistema de unidade aditado. Sendo c = 3 io'= a
velocidade de propagação da luz no vácuo, a definição do Coulomb conduz a:
S
l
'llreo lo-z . c: = 9 ' 10s !:F [2]
Na presença de um sistema discreto de N cargas Qt (í = 1,2.
resultante sobre a carga elétrica q é expressa por:
/v), a força elétrica
XE:.gf:
[9]
Figura 2. Cada uma das cargas elétricas a:, Qz e Q3, exercem força elétrica sobre a
carga eléüíca q, resultando que é necessário somar vetorialmente essas forças para
obter a força resultante em q.
Em uma distribuição contínua de carga Q, a força elétrica resultante que essa distribuição
aplica sobre a carga q é expressa por:
'f : ià$ . ' F - J aF : liâ ' [4]
Figura 3. Quando uma carga elétrica e é distribuída sobre o corpo, é necessário dividi-
do em partes infinitesimaís ÓQ, para equacionar o elemento de força aF e em seguida
aplicar o princípio da superposição e obter. por integração, a força resultante F;
[10]
3.1 Unidades das grandezas elétHcas
O valor de uma grandeza é geralmente expresso sob a forma do produto de um
número por uma unidade. A unidade é apenas um exemplo específico da grandeza em
questão, usada como referênda. O número é a razão enfie o valor da grandeza
considerada e a unidade. Para uma grandeza específica. podemos utilizar inúmeras
unidades diferentes. Por exemplo, a altura de um tijolo pode ser expresso como A =
0,4Sm = 45 cm. Para se estabelecer um sistema de unidades. como a Sistema
Internadonal de Unidades, o SI, é necessário primeiro estabelecer um sistema de
grandezas e uma série de equações que definam as relações entre essas grandezas. Isto
é necessário porque as equações ente as grandezas determinam as equações que
relacionam õs unidades, como descrito a seguir. É conveniente. também. escolher
definições para um número resbito de unidades, que são denominadas unidades de base
e. em seguida, definir unidades para todas as outras como produto de potências de
unidades de base. que são denominadas unidades derivadas. Da mesma maneira, as
grandezas correspondentes são descritas como grandezas de base e grandezas
derivadas. Sob o ponto de visto científico, a divisão das grandezas de base e grandezas
derivadas é questão de convenção; isso não é fundamental para a compreensão da
H'saca. Todavia, no que se refere às unidades, é ímpoRante que a definição de cada
unidade de base seja efetuada com cuidado parUcular. As definições das unidades
derivadas em função das unidades das unidades de base decorre das equações que
definem as grandezas derivadas em função das grandezas de base. O número de
grandezas derivadas importantes para a ciência e a tecnologia é seguramente ilimitado.
Quando novas áreas cientificas se desenvolvem, novas grandezas são introduzidas pelos
pesquisadores, a fim de representarem as propriedades da área, e com essas novas
grandezas vêm novas equações que se relacionam com grandezas familiares, e depois
com as grandezas de base. Dessa forma. as unidades derivadas a serem utilizadas com
essas novas grandezas podem ser definidas como sendo o produto de potencias das
unidades de base escolhidas previamente.
As grandezas de base utilizadas no Sistema Internacional de Unidades SI são:
comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica. quantidade
de subsúncla e intensidade luminosa. As grandezas de base são, por convenção,
consideradas como independentes. As unidades de base correspondentes do S! são:
metro, quilograma. segundo, ampare. kelvin. mol e candeia. As unidades derivadas do
SI são, então, formadas por produtos de potências das unidades de base. segundo
relações algébricas que definem as grandezas derivadas correspondentes, em função
das grandezas de base. Em raras ocasiões pode-se escolher entre várias formas de
relações entre grandezas. Um exemplo particularmente Importante se refere à definição
das grandezas eletromagnéticas. As equações elebomagnéticas racionalizadas se
baseiam em quaüo grandezas, utilizadas com o Sl: comprimento, massa. tempo e
corrente elétrica. Nessas equações, a constante elétrica c. (permissividade do vácuo) e
a consente magnética /ío (permeabilidade do vácuo), possuem dimensões e valores tais
que verificam a equação co -po = Ê , onde c é a velocidade da luz no vácuo. A lei de
Coulomb que descreve a força eletrostática entre duas partículas com cargas q e e ,
separadas por uma distância r, é expressa pela equação:
[5]
E a equação correspondente da força magnética enfie elas quando ambas estão
em movimento, e expressa por:
QDoxf)
r2 [6]
3.2 Dimensão das grandezas
Por convenção as grandezas físicas são organizadas segundo um sistema de
dimensões. Cada uma das sete grandezas de base do SI é considerada comotendo a
sua própria dimensão, que é simbolicamente representada por uma única letra maiúscula
em tipo romano sem serífa. Os símbolos utilizados para as grandezas de base e os
símbolos utilizados para indicar sua dimensão são dados a seguir, na tabela l:
Todas as outras grandezas são grandezas derivadas, que podem ser expressas
em função das grandezas de base por meio de equações da física. As dimensões das
grandezas derivadas são escritas sob a forma de produtos de potência das dimensões
das grandezas de base por meio de equações que relacionam as grandezas derivadas as
grandezas de base. Em geral a dimensão de uma grandeza Q é escrita sob a forma de
um produto dimensionar
dim Q = LaMF7'y/ÓO'N{/q [7]
Onde os expoentes a,P,r,ó,f,{,e l7 , que são em geral números inteiros pequenos,
positivos, negativos ou zero, são chamados de expoentes dimensionais. A informação
fornecida pela dimensão de uma grandeza derivada sobre a relação enfie essa grandeza
e as grandezas de base é a mesma informação contida nas unidades SI para a grandeza
derivada. ela mesma sendo obtida como o produto de potencias das unidades de base
do SI
Existem algumas grandezas derivadas Q para as quais a equação de deRnição é
tal que todos os expoentes dimensionais na expressão da dimensão de Q são iguais a
zero. Isto se aplica. em particular, para uma grandeza definida como a razão entre duas
 
Grandezasdebase Símbolodegrandeza Símbolodedimensão
 
Comprimento 1, x, r, etc. L
passam/V
TempotT
Corrente elétrica 1. i /
Temperatura termodinâmica T O
Quantidade de substancia n N
Intensidade luminosa /. J
2!
grandezas do mesmo tiÊn. Essas grandezas são descritas como sendo adirner.sionais, o!
de dimensão um. A unidade derivada coererlte dessas grandezas adlmenslo ei
sempre o número um. 1, isto é, a razão entre duas unidades Idênticas paro d
çrõ ldezas de mesmo tipo.
Existem também grei delas que Fõü podem ser i]escFitas poí meio das sete
grandezas de base do S!, lhas cujo valor é determinado poí contagem. })oí exemplo, o
número de moléculas, a d generescência enl mecânica quântica e a função de partição
na termodinâmica estadHica. Esns grandezas de contagem são também, geralmente,
consideradas como grandezas adimensionais.
3.3 Símbolo das seres unidades de base
As ufild8des do sistema internacional de base estão reunidas na übela 2, que
relaciona as grandezas de base aos nomes e símbolos das sete unidades de base.
Tabela 2. Unidades de base do Sistema !nternacíonal SI
Grandezas de base Símbolo
grandeza
de Nome Símbolo
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Quantidade de substancia
Intensidade luminosa
Z, x. r. etc.
t
/, Í
T
n
/.J
metro
quilograma
segundo
ampere
kelvín
mol
candeia
S
Á
K
moZ
cd
3.4 Unidade de corrente eléUca (ampare)
O ampare é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, se mantida
em dais condutores paralelos, reülíneos, de comprimento infinito, de seção circular
desprezível, e situados a distância de l metro entre si, no vácuo, produz er.tre esses
condutores uma força igual a 2 ' 10'7 N por metro de comprimento.
Disto resulta que a constante magnética po , também conhecida como a
permeabilidade no vácuo, é exatamente
/io = 4a ' 10'' != [8]
3.5 Unidade de carga eléUca (coulomb)
Um coulomb é a carga elétrica positiva puntiforme que repele outra igual, no
vácuo a um metro de distância. com força 9- 109 /V. A carga elementar pode ser
determinada mediante experiências dentre as quais se destaca a de Milllkan; resulta em
e= 1,60.10't9C .'. IC=6.25 10:o e.
A menos do sinal, um coulomb equivale a carga de 6,25 . 10iÜ eleCrons. Disto
resulta que a permissividade elétrica no vácuo co, calculada utilizando a lei de Coulomb,
-.L- = -!-rz, e considerando F = 9 - 10ç N, Q = q = 1 C. r = 1 m, resulta em:4nco Q'q ' ' ' '
.iJ-- = 9 ' 109 c:
co = 8,8S ' 10'aZ ;lÍ [9]
3.5 Exercícios resolvidos
1. Certo isótopo de urânio é representado pelo símbolo 2B;U. Quantos rlêutrons, prótons
e elétrons compõem um átomo desse isótopo?
Solução
Sejam n. p e e respectivamente os números de nêutrons, prótons e eiétrons do átomo
em questão. Temos:
n + p : 238 e = p = 92 n = 146
2. Duas cargas pontuais, com quantidades de eletrícidades q: = 20 ' 10'' C e qz = --10
lo'ó C, sibuain-se na ar em pontos separados pela distância r = 0,30 m. Calcular a
Intensidade das forças que essas cargas exercem mutuamente.
Dado: -.L- 9 - 109
qt>0 .
a. --F r P
qz < 0
Solução:
lç,l - lç:
r2 IPI io'' o'io" io lo-'
IFI = 20 N (força atração)
3. E dado um triangulo equilátero ABC com lado 1, = 2,0 m. Nos pontos A e B localizam-
se as cargas q4 = 20 ' 10'ó C e qB = --10 . 10-ó C respectivamente. Determinar a força
elétrica resulünte F que atum sobre uma terceira carga qc = 2,0 10'ó C localizada em
C
Dado: --l-- 9 ' 10' !#
L ,,' ''. L
qA (:j---------- --------------------à qa
Solução:
IPacl==i;L'!"''çcl le.cl=9'109.l20'10''l.l2'10''1 lãcl: 0,091V
lãci=:i;h'!"'@ iP«l =9'i0''l-to.i0''1-1Z t0''1 IP,.l : 0,045À'
0 = 60o
FAC = IFÁCI(COS(O)I+Sen(O)j) FAC = O,09'(0,5i+0,87j)
F4c = (0,04S i + 0,0783 j )N
f.. = IFBcl(cos(0) í -- sen(0) j) FPC - 0,045 ' (0,5 f -- 0,87 j)
FBC = (O.0225 1 -- O,0392j )N É = FHC + ÉBC
F = ( o.oó75 i + o,039i .f ) N
L L
0'
© qo
BL
4. Duas cargas elétricas punüformes Q: e Qz são mantidas fixas em uma distancia E.
Uma terceira carga elétrica q também puntiforme está em equilíbrio em um ponto P que
pertence a uma rega que passa pelas três cargas. Pede-se. a posição do ponto P
Z, = 6 m
Solução
p- - ià$' ' B - -Üd% : F' = Ê* + p,
F 0 9:-#: ,:' $ -a\- .
x: (L -- x): Qz (L -- x)z
x = 21, -- 2x 3x = 2Z, l = !1, x = 4m
[n]
F
}-
5. Em uma vertical situam-se uma carga elétrica fixa Q e uma paü'cuja de massa m e
carga elétrica q. O campo gravitacional local vale g. Determinar a distância r entre as
cargas na situação de equilíbrio da partícula.
Dados: m = 1 kg l
4nCo
9 10' !=-
cz
q@ .
r
Solução
4«. - mg 'i-'«:« : i;h ,: Epeso ' Feiétríca
r
4n.eo mg
r = 30000 m r = 30 km
6. Em pontos fixos .4 e B separados por distância 2d, no vácuo, situam-se cargas Q
punHformes, positivas e iguais. Ao longo de uma mediatriz de .4B desloca-se uma carga
de prova q. Determinar o ponto P onde a carga q fica sujeita a força máxima.
Dados: i;l:-= 9' 1091!:F q = 1 1Ü-3C ICl-é C d = 2J7m
l
l
}
p..'b
l
!
J.
q
d
Solução
G
4xco d2 + y2
F = 2qse7z(g) ' - :àS%z%
F 7 ....:.=. ......=
' 4nco dz + y2 l/'( -F y2
F
(d
y
3 ' :: :Ê-l,. ': --,:,-;)
: zi% lt-u' +yD':+r'-:
l . (d: + y:)'i+ y ' - { 2y : 0
l . (d: + }':)'7 : y '; ' 2y - 0
.3 3 . . 3
1.(d: +yz)$ =y-5'(d: +y:)'ã '(d: + y2)'1 . 27 = 0
(d: + y:)'' 2y = 0 dz + yz = 3yz dz = 2yz
7. Uma p:râmide rega tem vértice P. base quadrada ABCD de lado 1,, centro C e altura
h. Nos pontos A, B, C, D e G situam-se cargas puntiformes, que representaremos por
essas nnesmas letras: qA, qe. qc, qo, e qç. Em uma carga q colocada em P, as demais
exercem força resultante na direção C;P, e com intensidade F. Determinar as cargas qB
e qõ
Dados; -.Z--
4nEo
9 . 109 Nmz q.,q .3 ' 10'ó C qc = --3 ' 10'ó C qc = 1 ' 10-ó C
q = 2 ' ].0'e rr{ 1; = SO . 10-ó N 1, = 3V7m
Solução:
AB : BC : CD : DA - L
AC - BD - 3©2Ü2 4C = B1) = 6 m C;P = A = 4 nt
AP - BP - CP - DP AP - BP - CP - DP
l
4n'co
BP=CP=DP=5m cos(0) :cp
FD = FB F = FG + 2FÁ ' COS(O) + 2FB
çÉS ra:9.ío''z.lo-z.io-'l:=1!-- Fc
FJ =9'10ç.2 10'z' 10-ó=!ilg-- FÁ H
Fa = 9'10S.2.10'Z'10-'t{ FB
&
4
cos(0)
: 11,25 . 10'ó N
-21,60 10'ó N
7,2 . 10'õ . qa
50.10-ó= 11,25'10'ó+2 --21,60'10''-0,8+2'7,2'10'ó'qp'0,8
50. 10-ó = 11,25 ' 10'' -- 34,S6' 10'ó + 11,52' qn
6,36
-, : l"' :l'Íl:;;'"J . :.-. -. :«, : '," . :''' '
l
l
8. Três pequenas esferas são dotadas de cargas elétricas qi, qz e qa. Sabe-se q:ie as
esferas se situam no vácuo, sobre uíD plane hnrizor:tal sem atrito; os centros das esferas
estão alinhados; as esferas se encontram em equilíbrio r'as posições representadas no
esquema anexo. Pede-se. as cargas elétricas qi e qa.
[)idas: -l- = 9 ]o9!=:+rrro CZ qi = 270 ' 10'ó C d = 0,12 ]n
q3
u&Êt9 =++«t+w =»nw nwwn
'B
Solução
[üw] * i-ÜW]
/;.resultante :; 0
q3 = 270 ' 10''ó C
F3':'"l:-'' [àWJ*]ÜWJ
q: = -67,5 ' 1a'' L'
9. Um dipolo elétrico é constituído pelas cargas elétricas +q e --q. separadas pela
distancia d. Determinar a intensidade da força elétrica que esse dipolo exerce sobre uma
carga q', situada no ponto P (ver figura).
Dados: -. !- ' '" c2 q = 5. 10'' C q' 1 10-: C d = 0,02 m k ; 20
d»
L
d
2
Solução
'-ú;H#'üH? ,:-'ãl #* UI
("' - {): , (*' * {):l
(*'*{): (*'-{): ]
F
-:..:â-l«:*©' : 1 1 i*k««.ü'-: "« üil
F
dF
q
("p -- (gy - : . («):
' - -' ü [g] ' : -' ê [g] - - -' Ê [à]
F=1 10':'18'109.5 10'ó.0.02'( ' ) F : 281.25 N
d
F '1
L
d
2
[23]
10. Dois pêndulos elétricos de mesmo comprimento 1,, suspensos pela mesmo ponto, no
ar, são dotados de mesmas cargas elétricas q e mesma massa m. O campo de gravidade
local é dc intensidade g. Os pêndulos permanecem em equilíbrio na posição ilustrada.
pedem-se:
a) a distância x
b) o ângulo 0 que cada pêndulo forma com a vertical;
Dados: z, = 1 m m = 0,005 kg q = 1 - 10'ó C
X
Solução
a) F = mg tan(0) :;«.., : i:Í
l q:
2nco x3
l
"g ' Z, . c.S(0) «s(o) =Vi':;'n(o)
l q2
2aco x3cos(0)
mg '
L
l 2Z, qz
4nco mg
X3
47rco mg « ? « ' «'., J: - (â)' : :, ,«-'';-.' .«
1 = f9 109. 2.1
0.005'10
x = 0,711 m
b) sen(0) = !a sen(0) = !:Z!!a - 0.3555 0 = 20,8o
[24)
9.10ç.2.1 (!:!!-::E- 0.36
X3
: 0.36 x = 0.696 m
««m :g sen(0) : !=!1;ÉZ- :: 0.348 8 = 20.4'
11. No modelo planetário mais simples do átomo de hidrogénio em estado fundanlerltal
um elétíon executa movimento circular em torno de um próton línÓvel nc censo da
trajetória eletrõrlica cujo rale é r. Qual é 3 velocidade linear e angular do elétron?
Dados:
Solução
1,6 . 10-t9 C lrl = 9,1 1 ' 10'3i kg r = 5,3 . !0'il m
À unia força que age o elétrori é a atração eletrostática que o prÓton exerce nele. Essca
força é perpendicular a velocidade, ioga o movimento é uniforme. A força de atraçãa
eletrostática F' é a força ccntrípeta que comi'/ém ao movimento circular uniforme do
eiétron
F l jq;iót,,nl' jqpr6ronl
4aco r2 qe:écran = ''e qpr6to ! = +e
r 4.né:o rz
p :: 2.18
2.18 . 10ó
5.3 . 10-tí
o = +,ll
12. No tampo horizontal de uma mesa, fixa-se um aro circular; ambos são isolantes e
perfeitamente lisos. Nas extremidades A e B de um diâmetro fixam-se as cargas elétricas
qi e qz. Sobre a placa, dentro do aro, abandona-se uma pequena esfera eletrizada com
carga q. As cargas elétricas são todas de mesmo sinal. A pequena esfera estaciona junto
ao aro em um ponto C. Seja BiC = 0. Mostrar vale a relação: !z = tan3(0).
l
4ro
Solução
. l qqt . l qqz
'; :m'F
FÍsen(O) = F2cos(0) â?..«''; iM-7«;m
)«« $c«m
4 seR(g)
# cos(0)
-«:«;ÍÜ
gz = tan: (0) tan(0)ql ' ' ' '
3.6 Exercícios propostos
1. Três pequenas esferas estão eletrizadas com a mesma carga elétrica q e definem um
triangulo equilátero de lado 1,. Calcular a intensidade da força elétrica resultante F sobre
cada uma das esferas.
Dados: i;l;. = 9 . 109 1l?f q = 2' 10'zC 1, = 10m
Resp. F = 3ó000J3 N
2. Três pequenas esferas estão eletrizadas com a mesma carga elétrica q e deãnem um
triangulo equilátero de lado Z,- Uma quarta esfera também eletrizada com carga elétrica
q está no ponto médio de um dos lados do triangulo, calcular a intensidade da força
elétrica resultante F sobre essa quarta esfera.
Dados: i-l- = 9 109 1l;;- q = 2 10'z C 1, = 10 m
Resp. F = 48000 N
3. tios vértices de um quadrado, de lado L, estão fixas quõb'o pequenas esferas
eietíizadas com a mesma cargo q. Qual é a ilntensidade da força elétrica que atua sobre
cada uma das esbras?
Dados: --!- 9 . 109 q = 2' ]0'z C 1, = 10m
Resp. F ; 36000 . (V2 + ') N
4. Duas esferas eletrizadas com cargas elétHcas de mesma intensidade q porém de sinais
contrários. estão sobre dais planos inclinados com um mesmo ângulo 0. As esferas se
posicionam em equilíbrio na posição Ilustrada. O campo de gravidade local é g e a massa
de cada esfera é m. Determine a distancia l entre as esferas
Dadas: --!- 9 . 10s q = 2 ' 10': C 0 = 45o m = 0,005 kg
Resp: x = 8485,3 m
5. Nos vértices de um triangulo ABC são Rxas as cargas elétricas q.,q:eqs
respectivamente. Determine a intensidade da força elétrica resultante F sobre a carga
q3
Dados: ,4B = 10 m BC = 8 m C.4 = 4 m
q3---3'10''C lii :9'10s iv"
q: = 1 . 10-z C q: = 2 ' 10': C
Resp. F = 176483 N, inclinada de 42.9So em relação ao lado C.4 e de 67,98o em relação
ao lado CB.
6. Duas cargas elétricas q.e qz estão Rixas numa distância relativa d. Determine a posição
l em que uma terceira carga q deve estar situada de maneira que a força resultante
sobre ela seja nula.
Dados: d = 8,45 m qi = 1 10-: C qz = 2 ' 10'z C
t--
b--
lx
q
l
qz
l
J
d
Resp. x = 3,5 m
7. Duas cargas puntiiom)es q: e q: são mantidas fixas numa distancia d. {)urra carga
puntifomie q de massa m está localizada numa distancia 1, de cada uma dessas cargas.
Quando a carga e é liberada do repouso ela adquire uma aceleração de inl:enstdade a
(\ er figura). !)etermlne q, e q:.
Dados: d = 0,045 m q
--L- = 9 . ]0s !=:
+lrro ' '' C:
1,7S ' 10'Ó C 1, = 0.030 m m = 0,00S Àun
'i
l
l
ld
+ «:
L
\
\
z. \'\
a
q
/
\
Resp. qi = -qz = 6,17 . 10'e c
8. Três cargas puntifomles idênbcas q são colocadas nos vértices de um quadrado de
lado 1,. Calcular o módulo, a direção e o sentido da força elétrica resultante F sobre uma
carga puntiforme --3q colocada no censo do quadrado.
Dados: i;l;- = 9 . 109 !gf q = 4 10's C 1. = 2m
Resp. O módulo da força resultante é F = 21,6 N, a direção é paralela a diagonal do
quadrado que contém o véüce vazio e a força aponta para o vértice dessa diagonal que
possui carga.
9. Uma esfera condutora. eletdzada com uma carga elétrica Q, repele uma pequena
esfera de massa m. presa a uma fio, e que também es:á eieü'izada com uma carga q. A
força de repulsão faz com que a pequena esfera esi:acione numa posição de equilíbrio
em que o fio permanece inclinado de um ângulo o em relação a vertical. O campo de
gravidade local é de intensidade g. Determinar a carga Q.
Dados: -l.- = 9 10g !=:+nco ' '' Cz q = 0,0006 C d = 50 m 0 = 30o
m = 0,00020 kg
d
Resp. Q = 5,34 10'7 C
10. Um dipolo elétrico é constituído pelas cargas eléüicas +q e --q, separadas pela
distância d. Determinar a intensidade da força elétríca que esse dipolo exerce sobre uma
carga q', situada no ponto P (ver figura).
Dados;i;l--=9.1091Pma q=5.10'ÚC q'=600 10'2C d=0,02m r=20m
Resp. f = 1,4 N
''1
é
b W
R».
a
0
?
l1'
L. T,"ês cargas elétri
r:!spectii'.3nlente. Ca
lue agua sobre a carga eietrica q
ti formes a d
ctilaí ã il Lcnsidade. dlreç,
}stãa ãxas nas posições Á, B e C
tido da força e'métrica resultante
Dados -l.-- = 9 ' 10'
q]. = 1 - 10-'íi C'
É11? = 8 m
qz = --2 ' 10'ó C'
BC = 10 m C,4 = 6 in
q3 : 4 ' it)': C
Resp. F = s760 í + S6üoj N
E
i' .B
03n'
dX
0 Ü,{]04 ;=É
É' = 6Co
E
Resp. x = 312.1 m
4 Campo elétHco
Quando se constata uma força elétrica F que atum sobre uma carga de prova q
estacionária em um ponto P. diz-se que no ponto P existe um campo elétrico i que
satisfaz a condição:
F = çf [io]
Fica claro que na vizinhança do ponto P existem corpos eletrizadosque exercem sobre
a carga de prova a força elétrica F, sendo que o campo elétrico depende apenas do
formato, da disposição e da quantidade de carga elétrica desses corpos. O campo elétrico
de uma carga elétrica puntiforme pode ser obtido pela aplicação direta da lei de
Coulomb.
F : ..Lsg ,
' 4rrc0 rz
[11]
situação l
n
$
g
â
B
ê
i
3
:
S
Q
ã
situação 2
0
ê
Figura 4. Na situação l no ponto P, sem a presença da carga de prova q, temos somente
o campo elétrico Ê devido a presença da carga Q. Na situação 2, com a presença da
carga de prova q, além do campo elétrico Ê temos também a força F aplicada pela carga
Q sobre a carga q.
Q campo elétriüo de um coíijuntQ discreto de cargas elétricas puntiformes é obtido pela
aplicação do .BNiicipio de supefpasição.
flgum 4- Cada uma das algas eléüicas Qi. Qz e Q3, produz campo elétrico no ponto P,
resultando que é necessário somar vetorialmente esses campos para obter o campo
resultante nesse ponb.
Pam oUu' o campo dáxico de um corpo elebizado em que é necessário considerar
como a carga elüica é di«ríbuída nesse corpo, novamente aplica-se o princípio de
superpospo-
Ê : .I'i
Ê-ül#' [13]
O elanento de caída elé&ica dQ é representado de acordo com a maneira como a carga
el&ica é dMibuHa no corpo.
r
+ l +':' +
+++
+++
Figura 5. Quando uma carga elétrica (2 é distribuída sobre o corpo, é necessário dividi-
lo em partes inflnitesimais ÓQ, e equacionar o elemento de campo elétrico dE no ponto
P, e em seguida aplicar o princípio da superposição e obter, por integração, o campo
elétrico resultante Ê
4.1 Distribuições de cargas
A matéria compõe-se em partículas das quais muitas possuem carga elétrica. A
carga do elétron. em valor absoluto, chama-se "carga elementar" é ela; e = 1,6 10'z9 C.
Corpo material macroscópica contém partículas em número elevado. Carga elétrica do
corpo é a soma algébrica das cargas elementares positivas e negativas que ele contém.
Elemento de volume macroscópica de ser suficientemente grande para conter
numerosas moléculas, e suficientemente pequeno para que possa scr identificado com
um diferencial matemático. Se aQ = o em cada elemento de volume macroscópico do
coroa, este é dito eletricamente neutro. Se for ÓQ + 0 em elementos de um corpo, este
é dito eletrizado, com a carga Q equivalente a integral dos elementos aQ.
Princípio de Conservação da Eletricidade: Eletricidade não se cria nem se destrói.
Parüculas eiétricas positivas e negativas podem reunir-se ou separar-se, mas a soma de
suas cargas é Invariável. Um sistema é dito eletricamente isolado quando não recebe
cargas do ambiente, nem cede cargas ao ambiente. Vale a seguinte lei de conter/ação:
"Em sistema eletricamente isolado, a soma algébrica das cargas positivas e
negativas é constante'
Em particular: A soma algébrica das cargas positivas e negativas do universo é
invariável.
Carga elétrica localiza-se em partículas elementares ou em corpos
macroscópicos, portanto ocupa espaço. Sendo dtf um elemento de volume que contém
um ponto p. aQ a carga no elemento, é densidade volumétrica de carga em P a
grandeza:
[14]
Apresenb-se o caso em que uma carga se distribui em película fina denominada
distribuição supeí6ma!; sendo dA a ána de um elemento de película qlie mntém um
ponto P, ÚQ a alga no elemento, é densidade superficial de carga em P a grandeza:
[15]
Eventualmente uma cana se disüibui al longo de um fto fino, denominado
distribuição linear sendo dt o comprimenb de um elemento de ãlo que contém um ponto
p. aQ a carga no elemento, é densidade linear de carga em P a grandeza:
À=$ [16]
Exemplos para cada uma dessas digribuigões de carga
a) Um bastão .AB. de comprimento 1, = 1.0 m, está eletrizado com uma carga elétrica Q.
A densidade linear da digribuição é À = (2x + 5) ' 10'ó i , sendo 0 g l É 1,. Determinar
a
Q - j:Àdx Q = 10'' ' Jai(2 ' 1 + S)dx
Q = io'' - (z ';+ 5 ' i) Q = 6 ' 10'ó C
b) Em um disco circular de raio R = 1 m, a densidade superficial a a distância r do c©ntra
do disco vale: a = G;!i) io-' c sen(i0 0 g r É P. Qual é a carga Q do disco?
d4 = a2a 'rdT' Q = J aQ Q = J a2n ' rdr
Q:2'-(-d' e:z''io''..((;h),a, e:«.lo-''.((;h)a,
a:« :o-'-.G(;h)a, e:« :o''-i«k:--Dlã
Q = 7r . 10'' ' (in(2) -- in(l» Q = n . In(2) ' 10'' C Q = 2,2 ' 10'õ C
c) Uma casca esférica de raios internos r: = 0,5 m e externo r2 = 0,6 m é eletrizada com
densidade volumétrica p = :i;F 10'ó S, sendo ri $ r $ rz.
dQ = pdr dy = 4nrZdr dQ = i;fila'õ4frrzdr
10-Õ ! dr
r Q Q = 10'Ó - in(2)' 'rl'
Q = lo'' ' in(gi:) Q = 0,18 ' 10'ó C
4.2 Exerdcios resolvidos
1. Determinar a intensidade do campo elétdco no vácuo devido a uma carga eiéblca
puntiforme Q em um ponto P cuja distância à carga é r.
Dados: lii :9'10ç !gF Q = lO . IO-Ó C r = 0,1 m
Solução
[O . ] 0-ó
F = 9 ' 10s . =Õ:i!--
N
E : 9000000 7
2. Nos vértices .4, B e C de um triangulo equilátero de lado Z. situam-se cargas elétricas
puntiformes qi, qz e q: respectivamente. Determinar o campo elétrico Ê no censo de
gravidade 6 do triângulo.
Dados: - L- 9 ]0s !=:' '' cz qi = 1 . 10-õ C qz = 2 10'ó C q3 = 3 ' 10'ó C
Z. = 2 m
qi qs
Solução.
2
r = ,46 = BG = CG = --.4M t../3
'''' 2 32 3
r. 'io''jli3T
Ê:
Ê,
Ê
l qz
r: ío''jill)'
N
E: = 13500 ?
l qz
4xco rz
Q . i n-6
E; = 9 ' 10ç .=:;-;-:T
(â):
N
r: = 20250 'F
.../ã l
r: (-Í i + 7JD Ê: = --Ezj E3 : Fa(---TÍ +;i)
«50 ($' * !j) } Ez = --13500.Í =C
N
:, : :.:;. (-e' .;,) ;
Ê: + Ê: + .Ê; : -«($:.!j)+ -""o;*«o(-Ç'+ {j)
1 1691.3
a .'l;«.;- -:. * «.{l ,F : (6750
44
3. Em ponbs .4 e 3 separados pela distância .4B localizam-se cargas puntiforrnes com
quanüdadu de eletHdlade q: e q: respectivamente. Determinar:
a} o campo elétrfco ícs-ulUMe no ponto C;
b} sobre a eta .4B o ponto D no quõ! o campo elétrico resultante é riilo
Dados:ÁB=Q.30m q:=4'10'õC q:=1.]0-óc ,4C=0,25rn
-l-- = 9 . 109 !=-
+HCa ' '' Cz
d
Solução:
E, = 9 ' 109 .
+.10-ó N
r, = 900000 t
r . ..!. q
't ' i;ê {ie-.ACF c: = 9 ' io' ' tÕ:ii:'Õ.}EF
N
E, - 3600000 -'c
Ê - -3600000 Í ; F = Ê, + i:
E - 900000 i - 3600000 i
.N
E = --2700000 f :
L
b) Ê = ii + É: = 0 Ê. - i;LB : E:
l qz .
4nro (.4B - AOy t
; : áâ : - àa,Ew : - . qiqz.-.:=- - -----== - o,40: (AB - AO): '
+10-Ó 1.10'ó .===. . ...:-==-- = n
AD: (030-4D)z '
4
= 0 ,4D = 0.2 m
40: (0.30 - ÁO)z
4. Uma partícula de massa m e carga elétrica q, inicialmente estacionária. é submetida
a um campo eletrostático uniforme E. Após o tempo í o campo é inveüdc, porém
conservando a intensidade. Determinar a distância d do ponto de partida ao ponto de
chegada
Dados: m = 0,004 kg q = 2 10'' C E : 500000 !
C
Í = 0,8 s
Solução
F = ma F= qE ma = qE
d : 2 . :! . 2 ' 10'' . 500000 . ..5: d = 625 m
5. Sobre o eixo 0x, um bastão isolante, compreendido entre os pontos de abscissas -a
e +a está eletrizado uniformemente com carga positiva Q. Determinar o campo elétrico
Ê produzido pelo bastão nos pontos do eixo. Esboçar também gráfico cartesiano (x. E).
Solução
Ponto P situada a direita do bastão
4nc. (x -- x'):
' :J';
À l l
i;= (;:= ' ;:t:a)
; : á (â - â) ' ;â(! :glP) E á(a
E . ..!.---.2--' caco (x-a)(x+a)
Q;lotelbcdQ ;bpstãe
'-áÍl"'-:n
;-Úbr;=1:"
;:ât.-:kn-á
' :á [.i-à - .à -À,]
'-Ê]?:g:H '-â]G:ãh]
Ponto P n
í'''-gb]
;:J-Íl"l
.i.&i=-Â,]
':Ü]Á-A]
'-Üá]a:jtn]
-a < x < +a
/
[471
6. Em um referendar cartesiano Oxyz o eixo 0y coincide com um fio írrestrito, eleUzado
uniformemente com densidade linear positiva À. O meio ambiente é o vácuo. Com base
na lei de Coulomb. estudar o campo eletrostático É.
Solução
Por motivo de simeü'ia, o campo é nula nos pontos do fio, é normal ao fio nos ponbs
fora dele.
y
dq dy
\
\
\
\
\
\
\\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
0.
0
r
''Vo
úf'
fio eles'içado
''':üâ 4xco (r/cos(O»:
y = r ' tan(0) " = ráün(o)
ar' : il- é «;:m':i;:mao dr, : -.l- ! ap'tR'co r
dF = dE'cos(0)
11
dE = i-- - dO ' cos(0)
E
a
iM; .[. "s@d0 cos(0) dO2/ ..« (';) - ''« (- ;)
2
7. Um anel circular fino e de raio R é eletrízado uniformemente com carga elétrica Q.
Adotar referencial cartesiano com origem no centro do anel, eixo 0y perpendicular ao
plano do anel. O meio ambiente é o vácuo.
a) Determinar o campo elebostática Ê nos pontos do eixo 0y
b) Pesquisar o ponto onde a intensidade do campo é máxima
c) Mostrar que para. y >ü R. o resultado tende aquele que seria obtido se a carga Q fosse
localizada no centro do anel.
Solução
a) Devido à simeüia. o campo é dirigido segundo 0y, (a favor ou contra conforme o sinal
de Q). Consideremos y > 0. Elemento de anel possui carga aQ e sua distância ao ponto
Pé
r = JR2 + y2. em P ele contribui com o componente dE', de grandeza dE
Do veu)r dE' somente interessa o componente dE segundo 0y, sua grandeza é dt
dE'cos(O). Sendo cos(0) = :1 Resultando em
'; -â-; .L ..!L." 4xco RZ + yz
ly
;;;
ly
m
= 1 y
-;
b) O máximo de F ocorre quando o termo ---Z
(R:+yZ)7
for máximo, logo é necessário que
d y
&
d
dy (R: + r:)Í
y
:á '',''-: *,:,-":: :''*: ...,:,4',(-;l' '-: *,:,:.: :.
:.'-:*,:,-;*, (-;)- 2y ' (R: + y2)': :0
1 -- 3y: ' (R: + y:)'l = 0 R: + yz = 3yz DZ 2yz
Q Q
E- é (à+)
c) Podemos exprimir a intensidade do campo na forma:
' -Üiüa ' ,: (ç *' :l;
Q
Se y >ü R significa que $ << 1, logo (;i+ l)i = 1 e portanto:
=
.anel eletrízado
lso]
B. Uma película circular de centro o e raio R é eletrizada uniformemente com densidade
superficial de carga elétrica a. O eixo de cotas 0z coincide com o eixo de revolução da
película; nesse eixo. considerar um ponto P de cota z. Determinar o campo eletrostáHco
em P
Solução
Por motivo de simetria, o campo P tem a direção do eixo de revolução Oz; somente
interessam componentes segundo 0z. Imaginemos o disco dividido em coroas
concêntricas; na coroa genérica, consideremos o elemento de área d.4 = RdRd©, esse
elemento de área contém uma quantidade de carga elétrica aQ = ad.4 .. aQ = ardida,
sua distância até o ponto P é
Em P, a carga aQ produz campo elétrico de grandeza
l dQ
''' - z=+
A projeção sobre o eixo 0z é: dE = df'cos(o)
Sendo, cos(o) ={ cosa
l aRdRdg
4aco R2 + z2
\
+n-co R2+zz y'R2+z2
az RdR
m----';"
Ro
E ; : i-- :" '
l IRo
la
(7ii=:? - 9
E--
11
, ' (; -'7ii?7)
a.z
!a' o ' 17i?T3)
9. Considerar um referencial artesiano trí ortogonal oxyz. O plano xOy está
unífomlemente eletrizado com densidade supeMcial de cargas a. Determinar o campo
eletrostático É em um ponto genéHco P
Solução
Por simetria. para palitos sobre a película o campo elétrico é nulo. Para pontos situados
fora da película o campo elétríco pode ser calculado utilizando o resultado do disco
eletrizado, basta manter a altura z constante e aumentar o raio do disco R. até o infinito.
F
ú' ': - $h' Ro = oo
ZaE: (1
2co
íO. Uma película esférica e homogênea de centro 0 e raio R tem carga Q. Determinar
o campo elétrico Ê produzido pela película em um ponto P (OP = r), nos casos:
a) P fora da película (r > R);
b) P dentro da película (r < R)
c) P na própria película (r = R)
Solução
Z
.;\ «l ';
r
r
~ L/««©;:: :B."
{/@''Í
equador
0
Película es/ética
A densidade superficial de carga elétrica da película é a = Q . Sobre a película a área
elementar é d.4 = RdORsen(0)da .'. d.4 = RZsen(0)dOd©, onde 0 É 0 É Tr e 0 $ ü $ 2a.
A carga elementar vale aQ = ad.4 .'. dQ = aRZsen(0)dOd@. No ponto P esse elemento
de carga ÓQ produz um correspondente elemento de campo dado por
O sistema é simétrico em relação ao eixo OP. por isso, do campo dE
componente segundo OP, logo
dE = dE'cos(a)
dE aR:««(0)dO"s(a)d©
independente portanto já pode ser efetuada, logo
2n
'zr = ãjB@b'P:se«(o)doa©cos(a) .[ aa
dE=! (;;STAR:sen(o)docas(a)
Pelafiguravem: cos(a)= : PN=OP--0JV Opôr 0
PM = r' cos(a) = '''"' o}
No ÀOPM, a lei da cosseno dá
(r'): = rz + R: -- 2rRcos(0)
Disso tudo resultam dois resultados
r - Rios(0) : ' - =:=!!:=g
r-R«;(0):!:=!;!(=1 .'. cos(a) .-. 2,'d,,
««@«:+ «:e#4e:l;ya
'; : 8 (:#',' . ',')
a) O ponto P é externo a película; nele o campo resultante é a integral de dE em relação
r'. desde r -- R até r + R
só interessa o
A intearal em da énteg
N Rios(8)S
2rRsen(0)dOrRsen.{ 8
Ecos(0) =
cos(a) =
aR
(r')24Cor
(r2
F : i$"
Lembrando que a = i;:F, vem
Em ponto extemo, película esférica e homogênea produz campo como se sua carga
estivesse. toda no centro
b) O ponto P é interno à película, nele, o campo resultante é a integral de dE em relação
a r', desde R -- r até R + r.
-2r 2r \
(r2
E:0
Em ponto Intemo a película esférica homogênea produz campo nulo
c) O ponto P está engastado nB película: r = R; nele, o campo resultante é a integral de
dE em relação a r', desde 0 até 2R.
E
F =-- --
' 247tco RZ
Esse campo é metade do campo em ponto externo infinitamente próximo a superfície
esférica. Na película o campo experimenta dupla descontinuidade: a medida que o ponta
externo se avizinha da película, o campo tende ao limite !-; quando o ponto se incorpora
a película, o campo nela cai bruscamente a metade daquele limite. ou seja -!:, ; quando
o ponto passa para o lado de dentro da película. o campo caí a zero.
a
a
11. Uma esfera maciça de cena'0 0 e raio R eletrizada com carga positiva de densidade
voluméHca constante p. Dentro da esf:ra considerar um ponto genérico P a distância
r do censo. Determinar o campo eletrostático em P
Solução
Imaginemos a esfera dividida em cascas concêntricas; seja r' o raio, dr' a espessura da
casca genérica. Cada casca equivale a uma película esférica homogênea. e atum em P
como se sua carga estivesse no cena'o. Para o campo elétrico em P(r) só contribuem as
cascas com r' < r. A casca genérica tem área 4n(r')2,volume 4n(r'ydr', para o campo
em P(r) ela contribui com o componente
simplificando vem dF = =tÍ(r'):dr', portanto o campo eléü'ica
resultante em P(r) é F = ' Jar(r'):dr'. o que resulta em
3
O campo elétrico é central; sua intensidade aumenta linearmente desde zero no censo
até -Z-R na superfície da esfera.
0
Esfera maciça
12. Considerar um referencial cartesiano tri-ortogonal oxyz. O plano zox está
uniformemente eles'azado com densidade superficial de cargas a > 0. Determinar o
campo eletrostático F em um ponta genérico P de ordenada y.
Solução
a
adz
Dividindo-se o plano em faixas de largura dz, conforme indicado no desenho abaixo,
poderemos considenr o resultado já conhecido do campo eléUico produzido por uma
relê eleUizada, portado
l adz
dE' = ==-
" 2xco r
Nessa expressão, adz representa a carga por unidade de comprimento da faixa, e
equivale a densidade linear À. O campo elétrico resultante deve ser perpendicular ao
plano. logo só interessa o componente de dE' segundo o eixo 0y.
dE = dE'cos(a)
l adz
!;;-;-"s(a)
Exprimindo z e r em função de a, vem
cos(a)
y
r z = y tan(a)
l
á tan(a)y 'íz = y - ;;;;i8'ia
cos(a)
(1;) ==h'« «;(«) dE = -.g-- da21rEo
Logo, F = ;E-.i.! /: da
4.3 Exercidos propostos.
!. Uma pequena esfera meblizada de corça. de massa m pende de um fio ie' 'e, Hexívei
e isolante, de comprimento 1.. 0 pêndulo elétrico assim constituído é el -iri7ãdci e
submebii0 3 um campo elétrico uniformie. de direção horizontal e intcasê(;üdc F. O
pêndulo assume assim uma posição de equilíbrio na qual ele fora-!3 0rii a veMcal uql
engula g. O campo de gEõvidade vale g. Qual é a quantidade de eieiíicidade q que $e
localiza na esfera do pêndulo?
Dados: --L-9' "' !# m = 0,10 10'3 kg Z, = 0,10 m E = 1.50 10' -}
P = 30o
Reg. q = 3.85 10'o C
2. Em pontos 4 e B separados pela distância .4B localizam-se cargas puntiformes com
quantidades de eletricidade q. e q: respectivamente. Determine a posição do ponto P
no qual o campo elétrico resultante é nulo.
Dados --l- = 9 . 10s !=:
41rco ' '' Ca AB = 10 m qí 4 ' 10'ó C q2 = 0,8 10'ó C
Resp. AP = 6,91 m
3. Duas cargas eléEricas puntiformes Qi e Q2, separadas pela distância d são mantidas
Rixas, respectivamente, nos pontos 4 e B. Determinar a intensidade, díreção e sentida
do campo elétrico resultante no ponto P.
Dados: d = 10 m Q,
a = 30' /? = 50'
-2. 10'ó C Qz = 1. 10'6 C
lpl
(A) 0:
Q:
.e.Õ'ó'',
d
Resp. E : 496,1 ; 0 = 13,82o
4. O dipolo elétrico, mostrado abaixo é constituído pelas cargas elétricas +q e -q, que
estão separadas pela distância d. Calcular a intensidade, direção e sentido do campo
elétrico resultante no ponto P
Dados: d = 0,04 m q = 5 . 10-9 C â : ,. :.' ç
y+
l
>
X
d .d
+q d 'q
Resp. E = 28125 í ;
5. Um anel de raio R está eletrizado uniformemente com carga eléüica Q. Determinar a
força elétrica que o anel exerce sobre uma carga elétrica puntiforme q situada numa
altura A do censo do anel
Dados: R = 3 m h = 4m Q = 6 ' 10'9 C q : 0,02 C
RüsP. f = 34.Sój N
6. Um bastão de comprimento L está eletrlzado uniformemente com uma carga eléüica
Q. Uma carga puntiforme q está situada numa distância a da extremidade direita do
bastão (ver figura). Calcular a Intensidade, direção e sentido da força eléü-ica F que o
bastão exerce na carga puntiforme.
Dados: 1, = 10 m a = 4 m Q = 5 - 10-ó C q : 0,06 C
bastão
Resp. F = 48,2 N
7. Uma reta está eletrizada com uma densidade linear de carga À. Qual é ã intensidade,
díreção e sentido do campo elétrico produzido por essa distribuição de carga em um
ponto P situado numa distância r da reta.
Dados: r = 4 m 10-ó -l --l- = ]8 ]0o !=:
2lrEn '' '' C2
l
l
;'
neta eletrizada ,i
Resp. f = 9000 ; (o campo é perpendicular à reta e aponta para fora)
8. Dois bastões longos de mesmo comprimento 1., estão eletrizadas uniformemente com
densidades lineares de carga À, e À2. A distância entre os bastões é d << 1, . Qual é a
intensidade da força eléü'ica mútua por unidade de comprimenb que aula em cada
bastão?
Dados:d= o,02m Ài = 4-ío'':l
Resp
9. Um plano está eletrízado uniformemcnte com uma densidade supeMcial de carga a.
Determinar a intensidade direção e sentido da força elétrica que o plano exerce sobre
uma carga puntifarme q localizada numa distância d do plano.
Dados: cr = 4 . 10'ó -C
m. ' q = 3,0 ' 10'+ C co = 8.85 ' 10'iz
Resp. F = 67,8 N
q
10. Uma película esférica de centro D e raio R = 5 m. está eletrizada uniformemenH com
uma carga eléb'íca e = í . 10-õ C. Determinar a intensidade, dlreção e sentido campo
elétrico E produzido pela película em um ponto P situado numa distância r do cenas
da película.
Considerar os casos
a) r = 4 n (ponto P no interior da película)
b) r = S m (ponto /' engastado na película)
c) r = 6 m (ponto P fora da película)
Dador --!--= 9 10s !=:
peliwlct esférica
OP = r
Resp. a) E = 0 b) E = 180 ;
apontando para fom da película)
(O campo elétrico é radial
4.4 Exercícios para entregar (campo elétrico)
Nome
Data :
Campus:
Turma:
Professor
Horário:
1. Um dipolo elétrico é constituído pelas cargas puntiformes -q e +q separadas pela
distância d (ver figura). Determine o campo elétrico E produzido pelo dipolo no ponto
P
Dados: -l4nE 9 . 109 q = 1,8 ' 10'ó C d = 0.20 ?n
y l.
a
b
= 30"e
d +qq
Resp. [ i98s.9 i + 2385,8 .f ;
 
 
2. Um bastão, de comprimento z, está eletrizado uniformemente com uma carga elétrica
Q. O bastão é mantida Hxo na posição veücal. Próximo ao bastão, numa distância a de
sua extremidade superior, está uma esfera condutora eletrizada uniformemente com
uma carga elétrica q. A mass da esfera é m e o campo de gravidade local é g. VeHflca-
se que a esfera permanece em equilíbrio quando abandonada em repousa no ponto P
(ver figura). Determine a distância a.
Dados: :i;zo : 9 ' 10s !:if Q = q = 1 - 10'' c m = 1 . 10'z kg 1, = 0.40 m
Formulário: E'ó.;tj +nco a'(L+a)
1'
l
l
l
l
l
l
l
1.
q
®"
l
l
l
t
l
l
l
l
l
}
l
l
l
l
t
l
l
l
L
Á
Resp. a = 0.77 m
5 Potencial elétrico
Quando uma parti'cula eletrizada se move em uma região do espaço onde existe
um campo elétrico sobre ela atuará uma força elétrica, que pode conferir à partícula
uma aceleração e consequentemente uma variação de sua velocidade. realizando
portanto um trabalho. A variação de energia cinética da parti'cuja é calculada pelo
trabalho da força resultante sobre ela. Há forças que possuem a propriedade e n que o
seu trabalho não depende da trajetória percorrida pela parti'cuja entre dois pontos fixos.
Esse tipo de força é chamada de conservativa. Para esse grupo de forças pode-se definir
os conceitos de energia potencial e potencial. A força elétrica está dentro desse grupo,
sendo portanto uma força conservativa. o que pemlite a definição de "energia potencial
elétrica" e também de "potencial elétrlco
5.1 Trabalho no campo de uma carga puntiforme
Em um ponto fixo 0 situa-se uma carga elétrica Q. No campo elétrico dessa carga.
transporta-se uma carga de prova q desde um ponto qualquer .4 até um ponto qualquer
B. Na posição genérica P a carga q sofre por parte da carga Q a ação da força F. A lei
de Coulomb dá
F i;; ;i f' sendo ?
(P-o)
OP
Em deslocamento elementar dt, Q trabalho de F é
w = f- dÍ [17]
E o trabalho de F entre os pontos .4 e B é dado por
WJ, =JABF.dÍ [18]
F . óí : -.L f . aí
- --' 4NE0 rZ ' f.dÍ= lflldÍlcos(0) lfl = l
laia cos(0) = dr
"ü. : iâC' $ ',
ã(-o 1:1 '
i= (-n ' (: - â) [19]
E importante observar que o resultado obtido para o trabalho da força elétrica mostra
claramente que ele não depende da particular üajetória entre os pontos 4 e B,
mostrando de fato que a força elébica é conservativa, e por Isso admite energia
potendal.
/
/
trajetóría l
tra/etóría 2
l
l
l
'h :
l
l
l
l
l
/
/ r
/
/
/
r
r
Z
f .+ ,,,'
q
Figura 6. A tmjetória percorrida pela carga de prova q, entre os pontos A e B, não
modifica o üabalho da força elétrica que agua sobre ela.
5.2. Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme
Pode-se atribuir para um ponto de referência Po, escolhido de forma arbitrária,
uma energia potencial igual a zero. A posição desse ponto de referência vai depender
da geometria da distribuição de carga eléü-ica que produz o campo elétrico a que é
slibmetido a carga de prova. No caso mais simples de considerar o campo elétrico como
sendo produzido por uma carga elétrica puntiforme Q é mais conveniente considerar que
o ponto de nlêrência esteja no infinito. Considera-se, portanto, que a energia potencial
u da carga de prova em ponto P qualquer como sendo o trabalho produzido pela força
e!trica quando essa carga é transportada do ponto P até o infinito, logo vem
U
i% (-D ' (Ü - ;{) rP0 : rn : 00
u - %- ,. - i::(-n . (i- â)
U : -.Lg! ou
4aco rp
U : Wp+ p. ;:t (-u ' ( i
[20]
[69]
5.3. Potencial eléü'ico de uma carga puntiforme
Em analogia ao conceito de campo elétrico, quando falamos que uma carga
elétrica produz campo elétrico na sua vizinhança. também podemos dizer que uma carga
elétrica produz potencial elétrico ao seu redor. O potencial elétríco v em um ponto
qualquer é a energia potencial elétrica U por unidade de carga elétrica nesse ponto, ou
seja
Um volt (símbolo V) é o potencial do campo em um ponto onde a carga de um coulomb
p-ossui energia potencial de um joule: l y = it
No caso de considerar o potencial elétrico de uma carga puntiforme Q vemv : !.].g!
q 4nCo r
[22]
5.4. Potencial elétrico para uma distribuição contínua de carga
Para uma disüibuição contínua de carga, faz-se um procedimento semelhante ao
da distribuição discreta. Considera-se a força elétrica F sob.e uma carga de prova q
expressa em função do campo elétríco Ê da distribuição contínua de carga, ou seja:
O trabalho elementar da força fica
aw : F. dí dw = qi' aí
E a variação elementar dU de energia potencial é
dU - -dW dU - -qE ' di
Depreende-se que a variação elementar dV do potencial elétrico é
dv - .!du
q dr -}(-q .dÕ
dy - -Ê dí [23]
Conclui-se disso que o potencial elétrico produzido por uma distribuição contínua
de carga é:
!:' dv rp.-rp .('Ê.dÍ
[70]
Como no ponto de referência Po o potencial elétrico é nulo, vem
Vp. : 0 -Vp : - J;' : . dÍ " r.- .('ê.dÍ
Uma equação de muita importância na solução de problemas é a que permite
expressar o trabalho da força elétríca em função da variação do potencial elétrico,
vejamos:
w , - .Ç F . úí F - qE w , = q.Ç F . aí
w. -dy w, -q .Ç dr
W4B = -q ' (rB VA) [24]
r(r)
tra/etária l
trajetória 2
q.
r
Figura 7. O trabalho da força elétrica. que atua sobre a carga q, pode ser determinado
pelo produto entre --q e a diferença de potencial elétrico entre os pontos B (final) e .4
(inicial). Esse trabalho não depende da trajetória percorrida.
5.S. Exercícios resolvidos
1. Em um referencial cartesiano Oxyz, duas cargas puntiformes e iguais a q estão Rixas
e separadas pela distância 2a sobre o eixo 0x. Pedem-se, para um ponto P situado sobre
o eixo Oy:
a) o potencial elétrico (adotar tr = 0 no infinito);
b) o campo elétrico. determinado através do potencial.
'i ,
/l\
#'l .\
/ l \
,,,' :' ~~~~
/ l \
/ l \
'? - - -.; - - à ' - ; - - -?'-'T
Solução:
a) o potencial elétrico total no ponto P vale:
":áÍ:*f] .:©';?4nco Ir rJ v ''
b) G campo elétrico total no ponto P vale:
'--ÉÍâzh} ;:-üíÍÜ7}
' l(a:+vD'!} E -i%l-{(a:+yD':.2yl
F = -----!g!--3 (esse resultado confere com aquele que seria obtido pela aplicação
4 aEo ,a2+y2):
da lei de Coulomb)
[72]
2. Um bastão de comprimento 1, está eletrizado uniformemente com uma carga elétríca
Q. Adorar y = 0 no infinito. Determinar o potencial elétrico produzido pelo bastão no
ponto P. que dista a de sua extremidade (ver figura).
Solução
"-iàa::k 'e-"' ":iâa;l:b .r":iâ#a::b
r V DlnG+a-4jÜ
r
-iâ= []n(a) -- in(L + a)] À:g
ou
['' = --i;:;{ [[n(a) -- in(L + a)]
i'' : iâÍi«é:)r Inq=)
Pode-se verificar se esse resultado confere com potencial da carga puntiforme fazendo
o limite de y para a >> 1,, vejamos;
t'm.». {i«é:b} !:m«» {i"(n)l 3 ! y : ..!..g.L+xco 1, a
Podemos também calcular o campo elétrico aplicando a equação
E da E -áÍ-i;t?ti«(o-i«a+ ]}
E i;hÍá([[n(a)-]nG+«)]} E
r:iâ{(:lfB) r:iâ eah)
[73]
3. O eixo 0y está eletrizado uniformemente com uma densidade linear de carga ,l (rega
eletrlzada). Determinar o potencial elétríco de um ponto P, situado no plano xoy, de
coordenadas z = y = 0 e x > 0.
Teta ele trizada
y
B
X0
Solução
O potencial elétrico pode ser obtido partindo da equação
'" -Ê]i- :]
O ponto de referência nesse caso é o ponto pü, de coordenadas X xo.y = 0 e z = 0
- - N';?
;Í* }' = 2 Jam dt''
« : :â/ [=Ü-zh]',
.f l==F-=í=1 ', : '« l;Ü:f:p.;al . : :-':, - :«'i, : -'-':)
r : ik2À(-ot«(D y . -.à-ln2nCo (?)
O campo eletrostático pode ser também obtido utilizando a equação
E 'à:' â'« [T] F 2À(-0:
O potencial eléb'ico também pode ser obtido utilizando a equação do campo elétrico,
através da equação:
dr : -F . ai
- ;;hi t ' (d'í + ú» + dzÊ) dP' = ---.!-a dx
Jil=) úv - - ;à J= : '* r(x) rG3 - -;âi (ã)
r(-) i«(à) r(ir) - :i;l;ln(*')
4. Um anel circular fino de raio R é eletrizado uniformemente com carga elétrica Q.
Adotar referencial cartesiano com origem no centro do anel, eixo 0y perpendicular ao
plano do anel. O meio ambiente é o vácuo. Adorar V = 0 no infinito. Pedem-se:
a) o potencial elétrico nos pontos do eixo 0y
b) o campo elétríco produzido pelo anel, utilizando a equação: E
[75]
Solução
a) Seja P um ponto genético do eixo 0y, y sua ordenada. Um elemento qualquer do anel
possui carga dQ; sua distância ao ponto P é r = JRZ + y2. Para o potencial elétrico em
P ele contribui com a parcela;
Ül$
Com V = 0 no infinito, faz-se ro = oa. resultando em
.LW
4n'co r
totalizando as parcelas dQ, vem
b) F -tt'oo F -áÍÜzb} E -ÊfÍz#}
E
. iàflW' + VD'':l f -ij; (-!) ' (p: + v:)'; ' 2r
Q
(R: +p:y'; yE-
'l'fico ;:â;ü'
Pode-se também verificar que na condição de y » R o campa elétrica tende ao resultado
previsto do campo da carga elétrica puntiforme. vejamos:
y»R
33
(R: + y:)i = (y:)i = y:
5. Um disco circular de raio Ro é eletrizado uniformemente com densidade superficial de
carga elétrlca a. Adorar V = 0 no censo do disco. Determinar o potencial elétrico lr nos
pontos do eixo de revolução, em função da distância y ao centro do disco. Em particular
estudar o caso em que o raio do disco cresce irrestrítamente.
y - OP
Solução
C) potencial elétrico produzido no ponto P por coroas concêntricas de carga elétrica aQ
a2nrdr é expresso por:
'Í"= ÓQ {!.!} ,=Jl7:Í? Ú"=i--Í!-i}.2"PaP
a" }PaR ól' -ilPaP a":=117iéF-ilPaP
'«:ãÍ$; -'-]
« : âl«i;'ml:' - ,t:'l
r #''-}
"m : É (Ji;'i© - , - -.)
Caso o raio do disco crescer até que Ro >ü y, então
Fa-,-,.: .l:*; i{);l-,--. lyz . .ly:Ro + Ro 'Í'ig ' y ' Ro ' 'v + 'ÍJC
Supondo que Ro --- ao vem ;t- -+ zero, portanto,
2
/y .t Rz -- y -- Ro = --y, Ioga
6. Uma película esférica de raio R está uniformemente eletrizada com uma carga elétrica
Q. Adorar V = 0 no inülnito. Determinar o potencial elétrico y(r) produzido pela película
a partir do campo elétrico.
Soluça o :
Ê . dÍ Ê . ói = Edr dl/ = --Edr a!'« .( E',
zero
b'(r) - b'(m) .( E', V(r)
R < r $ " t'(r) J=Edr r(r) 'É.ÜL ', L'(r) 'Ü (-n (iil,,)
"',,:âli- :l «',,:ü:
P(r) = - J= E d, r(r)
zero
.Cra--.( F ',
L' (r) -lnR dr V(r) -üas'- P'(r) -á (-nil:,
Campo Elétrico(película esférica)
. Q ]
O$r<R E-0
I'' (r)
Q
(: L'(r) = -1-1+irEo R
7. O plano zOx está eletrizado uniformemente com densidade supeMcial de carga a.
Adotar lr = 0 no plano y = 0. Determinar. através do campo elétrico, o potencial elétrico
em um ponto P de ordenada y > 0.
Solução
E' = E' .f av' Ej dl j a{ - ay
dy - -E dy í31:1dv r(y) - y(o) rO - o)
a
' ;; ' yr(o) = o r(y) = -E y }'(y)
8. Um plano está eletrizado com densidade superficial de carga elébica a, no vácuo
Qual é a distância entre superfídes equipotenciais de tensão A}'?
Âtr = 1000 t' [o = 8.85
Solução
2 8.85 . 10'tZ d = 0,10 m
9. Em uma ampola esvaziada há dois eletrodos entre os quais se mantém a diferença de
potencial elétrico ÂV. Do catado, que é negativo, parte um elétron, do ânodo, que é
positivo, parte um íon positivo, ambos inicialmente em repouso. Determinar a velocidade
que cada partícula atinge no eletrodo oposto.
Dados: q.lé.,.n
10-i9 C
1,6 . 10'ts C' melétron = 9,11 10'3i kg qíon = +1.6
mfon = 16762,4 ' 10'3t kg av : 10000 r
Solução
lçlaV =!mu: "
lzlçl.a t'
l;etétron
j2jqctérronj'Ây p2.1.6.10'tS.10000
9. 11'10 -s l Uclétron ' 5.93 ' 107 !:
2 .1.6.10 ' i'9 .10000
Pior = J 16762.4:10:3i pí.. = 1,38 10ó =
10. Qual é energia que é necessária para constituir um sistema formado por três cargas
eiétricas puntífoímes Idênticas, com cada uma de magnitude q, sendo que as cargas são
mantidas fixas em distâncias iguais entre si de magnitude l,.
Dados: --L- = 9 . 10o Nm2 q = 1 . 10'ÓC Z, = 10m
Solução
U ..L- e + 2 --!- e
4KCo 1 4nro L L/ = 3 . 9 . 109 . !1!:!!=210
U : 0,0027/
5.6. Exercícios propostos
1. No retângulo ABCD estão fixas nos véüces ,4 e C as cargas elétricas puntiformes q.4
e qc respectivamente.