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Apostila de Otimização

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Otimização e Comportamento de Funções
c©2010 Vinicius Cifú Lopes
UFABC, 3o quad. 2010
Máximos e mínimos
Para f : D → lR e a ∈ D.
Máximo global/absoluto: (∀x ∈ D) f(x) 6 f(a); diz-se: a é ponto de máximo e f(a) é
valor máximo.
Mínimo global/absoluto: (∀x ∈ D) f(x) > f(a); mutatis mutandis.
(Domínio importante! Fora dele, f não está definida ou valores maiores/menores não
interessam.)
Máximo local/relativo: (∃V vizinh. de a)(∀x ∈ V ∩D) f(x) 6 f(a).
Mínimo local/relativo: (∃V vizinh. de a)(∀x ∈ V ∩D) f(x) > f(a).
Calcular os pontos de máximo ou mínimo e os valores máximos ou mínimos de uma função
são uma das preocupações fundamentais do Cálculo, porque (como veremos em exemplos) eles
servem para otimizar um produto (seja lucro, produção industrial, sustentabilidade de uma asa
de avião) ou minimizar um fator (seja custo, desperdício, resistência aerodinâmica, etc.)
Atente para a distinção vocabular: um ponto do domínio poderá ser “ponto de máximo ou
mínimo”, já sua imagem poderá ser “valor máximo ou mínimo”.
Roteiro
(1) Determinar pontos críticos de f :
• onde f ′ se anula;
• onde f ′ não existe.
Calcular f neles.
(2) Calcular f nas extremidades do domínio.
(3) Comparar esses valores.
Isso determina extremos globais (se f for contínua).
O primeiro passo consitui um teorema de Fermat: extremos interiores ocorrem em pontos
críticos da função. Isso significa que podemos restringir nossa atenção a esses pontos (ou seja,
não escapará nenhum, exceto os do segundo passo), mas nem todos os pontos críticos serão
pontos de extremo! Como já discutimos com o Teorema de Rolle, espera-se que os extremos
ocorram onde as tangentes ao gráfico são horizontais ou (quando se violam as hipóteses do
teorema) onde elas não existem, como para as funções 5− x2 e |x− 3|.
Porém, alguns pontos críticos são, digamos, “críticos demais”, caso do 0 para as funções
x5 (derivada 5x4, tangente horizontal, um ramo desce, outro sobe) e 3
√
x (derivada 1/3 3
√
x2,
tangente vertical, um ramo desce, outro sobe).
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Uma prova formal do Teorema de Fermat é feita assim: Tomamos um máximo ou mínimo
interior e assumimos que existe a derivada nesse ponto; devemos mostrar que, então, ela vale
zero. Mas, nessas condições, podemos usar o mesmo argumento final da prova do Teorema de
Rolle, comparando sinais de limites laterais, como você deve verificar relendo-a!
O segundo passo alerta que as extremidades (a fronteira) do domínio também são importan-
tes. No caso de um intervalo fechado [a, b], essas extremidades são os pontos a e b. Em outros
casos de domínio, como veremos ao estudar todo o gráfico de uma função, deveremos tomar
os limites laterais (onde a extremidade for aberta) ou nos pontos infinitos (caso o domínio seja
ilimitado). Atentar para a fronteira do domínio reflete apenas o fato de que alguns domínios
são “caprichosos” ou mascaram alguma descontinuidade. (Portanto, é preciso cuidado quando
somente alguns pontos entram na lista para terem seus valores comparados: se há um único
ponto a considerar, uma comparação cega diria que ele é ponto tanto de máximo como de
mínimo. . . )
Por exemplo, x2 − 1 sobre lR não tem máximo, mas tem mínimo no zero; a mesma função
sobre [−1, 1] tem máximo em ±1 e ainda mínimo no zero; sobre ]2, 3[, não tem nem máximo
nem mínimo! Já a função 1/x em [−1, 0[ ∪ ]0, 1] tem máximo local em −1 e mínimo local
em 1, mas esses extremos não são globais; seu comportamento é mais complexo em vista da
descontinuidade essencial no zero.
O terceiro passo pede simplesmente que se comparem os valores candidatos para sabermos
quem (e onde) é o maior e o menor.
(4a) Verificar sinal de f ′ ao redor dos pontos críticos (vide lousa):
à esquerda à direita então
f ′ > 0 f ′ < 0 máximo local
f ′ < 0 f ′ > 0 mínimo local
outras combinações não é extremo
Isso determina extremos locais interiores (se f for derivável).
(Complicado, talvez desnecessário.)
(Somente é preciso determinar os sinais de f ′ à esquerda e à direita localmente, isto é, ao
redor do ponto crítico, em um pequeno intervalo para cada lado; não no domínio todo!)
Demonstrar essa regra requer apenas aquele exercício sobre crescimento invocando o TVM.
Se a função cresce antes do ponto crítico e decresce depois, então ela assume valor máximo nesse
ponto, sendo análogo o caso para valor mínimo.
Porém, em algumas situações, determinar o sinal da derivada em intervalos pode ser com-
plicado! Nesse caso, experimente o próximo slide:
(4b) Verificar sinal de f ′′ nos pontos críticos:
no ponto então
f ′′ > 0 mínimo local (boca acima)
f ′′ < 0 máximo local (boca abaixo)
f ′′ = 0 ou não existe possível inflexão: volte para (4a)
Isso determina extremos locais interiores (se f for C2).
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Discutiremos em breve o que significa o gráfico de uma função ter “concavidade para cima
ou para baixo”, mas não há surpresas aqui: trata-se da mesma classificação que você já conhece
para parábolas. De fato, vejamos como ambas as situações relacionam-se: No ponto a, vamos
substituir f(x) pela melhor aproximação de segundo grau f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)(x−a)2/2,
cujo gráfico é uma parábola. Expandindo-se o polinômio, vemos que o coeficiente de x2 é
f ′′(a)/2 e, então, a concavidade da parábola depende de seu sinal; o gráfico de f deverá ter
aproximadamente a mesma aparência ao redor de a. Note que não assumimos que a fosse
crítico e, então, poderemos fazer a mesma classificação em qualquer ponto onde haja f ′′(a);
aqui, calculamos f ′′ nos pontos críticos somente porque é neles que estamos interessados para
máximos e mínimos.
Também veremos o que é um “ponto de inflexão”, onde a concavidade do gráfico muda de
orientação. Porém, nem todo ponto crítico com f ′′ = 0 é ponto de inflexão: a função x4 tem
concavidade para cima, mas todas as derivadas são zero em 0. Como não é possível tirar alguma
conclusão nessa situação, analisar o entorno do ponto crítico será essencial e o estudo em (4a)
deverá ser feito.
Quanto a demonstrações, repare apenas que o sinal de f ′′ no ponto valerá também em
um entorno dele (assumindo f ′′ contínua) e, portanto, indica crescimento ou decrescimento da
própria função f ′ ali, assim como usamos f ′ para estudar o crescimento de f . Desse modo, no
ponto crítico, f ′ deverá trocar de sinal e então a tabela em (4a) poderá ser usada. Por exemplo,
suponha que f ′(a) = 0 e f ′′(a) > 0; suponha ainda f ′′ contínua. Então, ao redor de a, ainda
temos f ′′ > 0, de modo que f ′ é crescente ao redor de a (já que f ′′ é a primeira derivada de f ′).
Como f ′(a) = 0 e f ′ é crescente, é preciso que f ′ < 0 à esquerda de a e f ′ > 0 à direita de a.
De acordo com (4a), vemos que a é um ponto de mínimo local.
Frequentemente, (4b) é mais fácil de usar que (4a) porque requer determinar o sinal de uma
função em um único ponto por vez, não em todo um entorno. Porém, exigiu-se continuidade
de f ′′: na falta disso, é preciso novamente checar o comportamento de seu sinal em toda uma
vizinhança.
Exercício: Determine e classifique os pontos de extremo globais e locais de 3x4+4x3−12x2−7
em [−10, 10], com todo o roteiro proposto.
(Para fazer (4a), lembre-se de como determinar o sinal de um polinômio: escreva-o como
produto de monômios e multiplique, em cada intervalo, −1 para cada raíz à esquerda e 1 para
cada raíz à direita.)
Otimização
Receita básica:
• Leia cuidadosamente e faça diagrama;
• Introduza notação (dê nome aos bois);
• Relacione as quantidades envolvidas;
• Traduza a quantidade pedida em termos de apenas uma outra, por substituição;
• Ache os extremos e classifique-os;
• Formule a conclusão com clareza.
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Exemplo clássico:
Um rancheiro dispõe de material para 500m de cerca e deseja cercar um pasto retangular
adjacente a um rio reto. Não é preciso fechar ao longo da margem. Quais as dimensões do
pasto com maior área que ele pode cercar?
(Diagrama na lousa.) Frente x e laterais y: temos x + 2y = 500. Área A = xy =
(500 − 2y)y = 500y − 2y2; derivada 500 − 4y, ponto crítico y0 = 125; 2a derivada −4 < 0
indica máximo.
Dimensões: frente 250m paralela