Derivadas das Funções Mais Utilizadas

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Derivadas das funções mais utilizadasDerivadas das funções mais utilizadas
na prática
Elaborado pela professora Rosana Muñozp p
a) Derivada da função potência do tipo f(x) = xn (n ∈ R)
S f( ) n RSe f(x) = xn , n ∈ R,
tã f ’( ) n 1então f ’(x) = n. xn-1
Exemplos:
) f( )
1
1) f(x) = x4 ⇒ f ’(x) = 4.x3
1
4) f(x) = x ⇒ f ’(x) = 1
3
5) f(x) = ⇒
1
3
1
x
1
2) f(x) = ⇒x f ’(x) =
x2
1
f ’(x) = 4
3
x
−
1 1
f ’(x) =3) f(x) = ⇒ 2
1
x
−
x
1 6) f(x) = ⇒
5
1
x f ’(x) = 55
1
xx
−
b) Derivada da função soma
S f( ) ( ) + ( )Se f(x) = u(x) + v(x)
tã f ’( ) ’( ) + ’( )então f ’(x) = u’(x) + v’(x)
Extensiva a n parcelas
Exemplos:
1) f(x) = x3 + x ⇒ f ’(x) = 3x2 + 1
2) f(x) = x5 + 2 ⇒ f ’(x) = 5x4
3) f(x) = x4 – x3 + x2 + 7 ⇒
2) f(x) x 2 ⇒ f (x) 5x
f ’(x) = 4x3 – 3x2 + 2x
A DERIVADA DE UMA CONSTANTE É ZERO!
c) Derivada da função produto
Se f(x) = u(x) v(x)Se f(x) u(x).v(x)
então f ’(x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x)então f (x) u (x).v(x) + u(x).v (x)
Extensiva a n fatores
Exemplos:
3
1) f(x) = ⇒xx. f ’(x) = 2
3 x
2) f(x) = 3x2 ⇒ f ’(x) = 6x
Obs : Como a derivada de uma constante é zero se K é constanteObs.: Como a derivada de uma constante é zero, se K é constante,
então f(x) = K. u(x)⇒ f ’(x) = K. u’(x)
d) Derivada da função quociente
Se f(x) = u(x) v(x)Se f(x) u(x).v(x)
então f ’(x) = 
'.'. vuvu −
então f (x) 
2v
Considere para este e para os próximos ítens u = f(x)
Exemplo:
f(x) = ⇒
12
34
+
−
x
x
f ’(x) = ( )212
10
+x12 +x ( )12 +x
e) Derivada da função exponencial
Se f(x) = au a > 0 a ≠ 1Se f(x) a , a > 0, a ≠ 1,
então f ’(x) = au u’ ln aentão f (x) a .u .ln a
Exemplos:
1) f(x) = 23x ⇒ f ’(x) = 3.23x.ln 2
2) f(x) = ex ⇒ f ’(x) = ex
f) Derivada da função logarítmica
Se f(x) = log u , a > 0, a ≠ 1,
a
então f ’(x) =
u'
então f (x) =
au ln.
Exemplos:
f ’(x) = ( ) 3ln.122 xx x+ +1) f(x) = log (x
2 + x) ⇒
3 ( )
2) f(x) = ln x ⇒ f ’(x) = 1/x
g) Derivada da função potência com expoente real
Se f(x) = un , com u = f(x) , u > 0 , n ∈ R,
então f ’(x) = n.un-1.u’( )
Exemplo:
f ’(x) = 12.3 +xf(x) = (2x + 1)3/2 ⇒
h) Derivadas das funções trigonométricas
f(x) = sen u ⇒ f ’(x) = u’. cos u
f(x) = cos u ⇒ f ’(x) = - u’. sen u
f(x) = tg u ⇒ f ’(x) = u’. sec2 u
Exemplos:
1) f(x) = sen (x2 – 1) ⇒ f ’(x) = 2x. cos (x2 – 1)
2) f(x) = cos x ⇒ f ’(x) = - sen x
3) f( ) t 2 f ’( ) 2 2 23) f(x) = tg 2x ⇒ f ’(x) = 2 . sec2 2x
i) Derivada da função composta
Dadas as funções y = f(x), z = g(y) = g(f(x)), tem-se que:
dydzdz =
dxdydx
.=
REGRA DA CADEIAREGRA DA CADEIA
⎟⎞⎜⎛ dz
São dados: y = x3 e z = sen y. Pede-se a derivada de z
em relação a x . Resposta: 3x2.cos x3⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dx
em relação a x . Resposta: 3x .cos x