Apostila de Fenômenos de Transportes

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FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ 
 
UNIVERSITAS – CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ 
 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ITAJUBÁ - 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas Notas de Au la 
t ê m p o r f i n a l i d a d e e x c l u s i v a s e r v i r d e m a t e r i a l d e a p o i o 
d a d i s c i p l i n a 
 
Fenômenos de Transporte, 
 
no Curso de Engenhar ia de Produção do 
Inst i tuto de Ciências Exatas do 
Universitas 
Centro Universitár io de Itajubá, 
não tendo va lor comerc ia l e 
não sendo autor i zado seu uso com 
out ras f ina l idades . 
Não se dest ina a subst i tu i r a 
B ib l iogra f ia Bás ica e Complementar 
da d isc ip l ina , serv indo un icamente 
como ro te i ro de es tudos .
UNIVERSITAS – Centro Universitário de Itajubá – Curso de Engenharia de Produção 
Fenômenos de Transporte 
 
 
 - 1 - 
UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
1.1 – FLUIDO 
A matéria pode apresentar-se sob, pelo menos, três formas diferentes. 
Estas formas, também chamadas de estados físicos fundamentais, são os estados sólido, 
líquido e gasoso. 
A matéria no estado líquido ou no estado gasoso é chamada de FLUIDO. 
A definição mais elementar de fluido diz: 
Fluido é uma substância que não tem forma própria, assumindo a forma do recipiente que 
o contém. 
1.2 – TEORIA CINÉTICA MOLECULAR 
Esta teoria define fluido da seguinte maneira: 
Fluidos são corpos onde as moléculas trocam de posição continuamente, ao passo que, 
sólidos são corpos onde as moléculas oscilam em torno de posições fixas. 
Nos líquidos há uma força de atração intermolecular que impede que haja grandes 
variações de volume numa mesma condição ambiental, mas estas forças não são 
suficientes para manter as moléculas em posições fixas. Assim, os líquidos assumem a 
forma dos recipientes que os contêm. 
Nos gases essas forças de atração intramolecular são fracas, permitindo que haja 
variações de forma e volume. Assim, os gases ocupam todo o volume dos recipientes que 
os contêm, assumindo, em conseqüência, suas formas 
 
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Marcos Rocha Vianna 
Figura 1 – Estados Físicos da Matéria 
De acordo com a Teoria Cinética Molecular, qualquer substância pode apresentar-se em 
qualquer dos três estados físicos fundamentais, dependendo das condições ambientais 
em que se encontrem. 
1.3 – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
A Mecânica dos Fluidos é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos, assim 
como as leis que regem esse comportamento. 
As bases lançadas pela Mecânica dos Fluidos são fundamentais para muitos ramos de 
aplicação da engenharia, tais como: encanamentos, reservatórios, lubrificação, máquinas 
hidráulicas, ventilação, etc. 
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Fenômenos de Transporte 
 
 
 - 2 - 
 
1.4 – HIPÓTESE DO CONTÍNUO 
No estudo da Mecânica dos Fluidos, freqüentemente trabalha-se com expressões 
matemáticas que foram deduzidas com o emprego do Cálculo Diferencial e Integral, que 
trabalha com dimensões infinitesimais, tais como a de comprimento (dx), a de área (dA) e 
a de volume (dV). 
Estas dimensões infinitesimais devem traduzir as características básicas do fluido 
estudado, para que possam bem representá-los. 
Desta forma, surge a dificuldade de se aplicar o cálculo diferencial e integral a um fluido, 
tendo em vista que esta matéria tem estrutura descontínua, sendo caracterizada pela 
presença de enormes vazios em seu interior. 
Assim, quando se trabalha com volumes infinitesimais muito pequenos de dada matéria 
fluida, suas propriedades não representarão as propriedades do fluido, como um todo. 
Para vencer este obstáculo, adota-se a HIPÓTESE DO CONTÍNUO, ou seja, adota-se 
que os fluidos são meios contínuos, isto é: 
• a cada ponto do espaço corresponde um ponto do fluido; 
• não existem vazios no interior do fluido; 
• despreza-se a mobilidade das moléculas e os espaços intermoleculares. 
A hipótese do contínuo pode ser aplicada sempre que o volume de fluido, por menor que 
seja, ainda contenha número significativo de moléculas. 
A hipótese do contínuo não se aplica quando o caminho livre molecular for de mesma 
ordem de grandeza da menor dimensão significativa envolvida no problema. 
O caminho livre molecular é a distância percorrida pelas moléculas antes que se choquem 
ou que colidam com a parede do recipiente. 
A hipótese do contínuo também não é aplicada em escoamento de gases rarefeitos 
(escoamento hipersônico e tecnologia de alto vácuo), quando são empregados estudos 
microscópicos utilizando a teoria cinética molecular. 
1.5 – EXERCÍCIOS SOBRE HIPÓTESE DO CONTÍNUO 
Verifique se a hipótese do contínuo pode ser usada nos seguintes casos: 
 
1. Para o estudo de um gás, cujo mol ocupa volume de 22,4 l e possui 6,02 x 1023 
moléculas de gás, nas CNTP, será utilizado um volume elementar de tal gás 
encerrado em um cubo de aresta 10-3 mm; 
 
 
 
 
 
 
2. Um mol de vapor de mercúrio possui 6,02 x 1023 moléculas e tem massa de 200 
g.Pode-se aplicar a hipótese do contínuo para um volume elementar encerrado em 
um cubo de aresta 10-3 mm, no interior de um barômetro (parte superior), sabendo 
que a massa contida neste volume elementar é de 2,14 x 10-25 UTM? 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 2 – PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
 
Através das propriedades dos fluidos, pode-se distinguí-los e caracterizá-los 
individualmente. 
Desta forma, as expressões matemáticas da Mecânica dos Fluidos são aplicáveis para 
qualquer fluido, sendo seu resultado particularizado para cada fluido individualmente, 
dependendo dos valores assumidos por suas propriedades físicas, em função das 
condições ambientais e da posição dentro de um mesmo fluido. 
 
2.1 – MASSA ESPECÍFICA OU DENSIDADE ABSOLUTA (ρ) 
 
É a relação entre a massa do fluido e o volume que contém esta massa. 
V
m=ρ 
Onde: 
ρ = massa específica ou densidade absoluta; 
m = massa do fluido; 
V = volume do fluido. 
 
Dimensionalmente: 
[ ] 243
21
3 TLFL
TLF
L
M ⋅⋅=⋅⋅==ρ −
−
 
 
Onde: 
M = massa; 
L = comprimento; 
T = tempo; 
F = força. 
 
Nos sistemas usuais são as seguintes as unidades utilizadas: 
• Sistema SI kg/m3; 
• Sistema CGS g/cm3; 
• Sistema MKS (Técnico) kgf.m-4.s2 
 
 
TABELA 1 – MASSA ESPECÍFICA DE ALGUNS FLUIDOS 
FLUIDO MASSA ESPECÍFICA ρ(kg/m3) 
Água destilada a 4º C 1000 
Água do mar a 15º C 1022 a 1030 
Ar atmosférico à pressão atmosférica e 0º C 1,29 
Ar atmosférico à pressão atmosférica e 15,6º C 1,22 
Mercúrio 13590 a 13650 
Petróleo 880 
 
 
 
 
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2.2 – DENSIDADE RELATIVA OU DENSIDADE (δ) 
 
É a relação entre a massa específica de uma substância com relação a de outra, tomada 
como referência. É adimensional. 
0ρ
ρ=δ 
Onde: 
δ = densidade relativa; 
ρ = massa específica do fluido em estudo; 
ρ0 = massa específica do fluido tomado como referência. 
 
A referência usualmente adotada para os líquidos é a água a 4º C e para os gases é o ar 
atmosférico a 0º C. 
 
2.3 – PESO ESPECÍFICO (γ) 
 
É a relação entre o peso do fluido e o volume que contém este peso. 
V
G=γ 
Onde: 
γ = peso específico do fluido; 
G = peso do fluido; 
V = volume do fluido. 
 
Dimensionalmente: 
[ ] 33 LFL
F −⋅==γ 
 
Onde: 
L = comprimento; 
F = força. 
 
Nos sistemas usuais são as seguintes as unidades utilizadas: 
• Sistema SI N/m3; 
• SistemaCGS dines/cm3; 
• Sistema MKfS (Técnico) kgf/m3 
 
Ou, ainda: 
 
V
gm
V
G ⋅==γ 
 
 
g⋅ρ=γ 
Onde: 
γ = peso específico do fluido; 
g = aceleração da gravidade; 
ρ = massa específica do fluido. 
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2.4 – VOLUME ESPECÍFICO (Vs) 
É a relação inversa do peso específico do fluido. 
G
V1VS =γ= 
Onde: 
VS = volume específico do fluido; 
γ = peso específico do fluido; 
G = peso do fluido; 
V = volume do fluido. 
 
Dimensionalmente: 
[ ] 313S LFFLV ⋅== − 
 
Onde: 
L = comprimento; 
F = força. 
 
Nos sistemas usuais são as seguintes as unidades utilizadas: 
• Sistema SI m3/N; 
• Sistema CGS cm3/dines; 
• Sistema MKfS (Técnico) m3/kgf. 
 
2.5 – CALOR ESPECÍFICO (C) 
É a quantidade de calor necessária, que deverá ser fornecida a um fluido, para que haja 
variação de sua temperatura. 
A água é um dos fluidos que possui calor específico bastante alto. 
A Figura 2 mostra a variação do calor específico da água em função da temperatura. 
Na prática adota-se, para a água: C = 1 cal/g.ºC = 4180 J/kg.ºC (1 cal = 4,18 J) 
 
 
 
 
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Marcos Rocha Vianna 
 
Figura 2 – Variação do calor específico da água com a temperatura, sob pressão de 1 
atmosfera 
 
 
 
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TABELA 2 – CALOR ESPECÍFICO DE ALGUMAS SUBSTÂNCIAS 
SUBSTÂNCIA CALOR 
ESPECÍFICO 
(cal/g.ºC) 
TEMPERATURA 
(ºC) 
Alumínio 0,219 15 a 185 
Alumínio 0,0093 -240 
Cobre 0,093 10 a 100 
Cobre 0,0035 -250 
Chumbo 0,0310 20 a 100 
Chumbo 0,0150 -250 
Ferro 0,119 20 a 100 
Gelo 0,55 -10 a 0 
Gelo 0,45 -30 
Latão 0,094 15 a 100 
Madeira 0,42 0 
Mercúrio 0,03 0 a 100 
Prata 0,056 0 a 100 
Vidro 0,118 10 a 100 
 
2.6 – TENSÃO DE CISALHAMENTO – LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE 
Antes de se falar desta nova propriedade, introduz-se uma nova definição de fluido. 
Supondo que se possa visualizar um certo volume ABCD de fluido, conforme Figura 3, 
inserido entre duas placas planas, sendo a placa inferior fixa e a superior móvel. Ao se 
aplicar uma força tangencial constante à placa superior ela irá se deslocar e o volume de 
fluido ABCD se deformará continuamente, não alcançando uma nova posição de 
equilíbrio estático, supondo-se as placas de comprimento infinito. 
Outra observação que se pode fazer desta experiência é que os pontos do fluido em 
contato com a placa móvel têm a mesma velocidade da placa e os pontos do fluido em 
contato com a placa fixa ficarão parados junto desta. 
Desta forma, pode-se definir fluido da seguinte maneira: 
Fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a ação de uma força 
tangencial constante, não atingindo nova configuração de equilíbrio estático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Fluido entre duas placas planas paralelas, uma inferior fixa e a superior móvel. 
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Considere-se, agora, a Figura 4, onde uma força F é aplicada sobre uma superfície de 
área A. 
 
 
 
 
Figura 4 – Força aplicada sobre superfície plana . 
 
 
Define-se tensão de cisalhamento como a relação entre a componente tangencial da força 
F e a área da superfície onde ela está aplicada. 
A
Ft=τ 
Onde: 
τ = tensão de cisalhamento; 
Ft = componente tangencial da força F; 
A = área da superfície que sofre a força F. 
 
As unidades usuais são: 
• Sistema SI N/m2; 
• Sistema CGS dina/cm2; 
• Sistema MKfS kgf/m2. 
 
 
Figura 5 – Diagrama de Velocidades do fluido entre as duas placas 
 
Analisando novamente as duas placas, o fluido junto à placa superior possui velocidade 
V0 e o fluido junto à placa inferior possui velocidade nula, pois a mesma é fixa. Os pontos 
de um fluido em contato com uma superfície sólida, aderem à superfície. 
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Em uma seção genérica AB, conforme Figura 5, forma-se um diagrama de velocidades, 
onde cada camada de fluido desliza sobre outra camada adjacente com uma velocidade 
relativa. Em outras palavras, há atrito entre as diversas camadas de fluido. 
O deslizamento entre camadas origina tensões de cisalhamento, que se multiplicadas 
pela área da placa dão origem a forças internas no fluido. 
Newton descobriu que em muitos fluidos a tensão de cisalhamento é proporcional à 
variação da velocidade com y. 
 
dy
dV∝τ ou =
dy
dV
τ constante 
 
Os fluidos que obedecem a esta proporcionalidade são chamados FLUIDOS 
NEWTONIANOS. São eles o ar, a água, os óleos, etc. 
Para espessuras de fluido, entre as placas, muito pequena, pode-se adotar a 
simplificação indicada na Figura 6. 
 
 
Figura 6 – Diagrama de Velocidades em fluido de pequena espessura 
 
2.6.1 – VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINÂMICA (µ) 
A constante de proporcionalidade referida na lei de Newton da viscosidade foi chamada 
de Viscosidade dinâmica ou absoluta. 
Desta forma a lei de Newton fica: 
dy
dV×= µτ 
A viscosidade dinâmica do fluido é a propriedade que permite equilibrar as forças 
externas com as forças internas, mantendo a velocidade V0 constante. 
Em outras palavras a viscosidade é a propriedade que indica a maior ou menor 
dificuldade do fluido escoar. 
 
Dimensionalmente: 
[ ] 22 −⋅== LFL
Fτ 
 
1−=×=

 T
LT
L
dy
dV 
 
[ ] TLF
T
LF ××=×= −−
−
2
1
2
µ 
 
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Nos sistemas usuais, tem-se: 
• Sistema SI ou MKS ou Giorgi N.s/m2 
• Sistema CGS dina.s/cm2 = poise 
• Sistema MKfS kgf.s/m2 
 
A viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido e, num mesmo fluido, varia 
principalmente com a temperatura. 
Nos líquidos a viscosidade diminui com o aumento da temperatura, enquanto nos gases a 
viscosidade aumenta com o aumento da temperatura. 
 
2.6.2 – VISCOSIDADE CINEMÁTICA (ν) 
É o quociente entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido. 
 
ρ
µν = 
 
Dimensionalmente: 
 
[ ] 1224
2
3
2
−
−
−
−
−
×=××
××=×
××= TL
TLF
TLF
LM
TLFν 
 
 
Nos sistemas usuais, tem-se: 
• Sistema SI m2/s 
• Sistema CGS cm2/s = stoke 
• Sistema MKfS m2/s 
 
2.7 – TENSÃO NORMAL OU PRESSÃO (p) 
Define-se tensão normal ou pressão como a relação entre a componente normal da força 
F, na Figura 4, e a área da superfície. 
A
F
p n= 
 
Dimensionalmente: 
 
[ ] 212
2
2
−−
−
××=××== TLM
L
TLM
L
Fp 
 
Nos sistemas usuais, tem-se: 
• Sistema SI N/m2 ou kg.m/s2x1/m2 = kg/m.s2 
• Sistema MKfS kgf/m2 
• Sistema CGS dina/cm2 ou g/cm.s2 
 
Sabe-se que: 
N/m2 = Pascal = Pa 
dina/cm2 = bária 
 
Ou ainda: 
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1 bar = 106 dina/cm2 = 10-1 MPa = 100 kPa = 100.000 Pa 
 
1 milibar = 103 dina/cm2 = 10-4 MPa = 0,1 kPa = 100 Pa 
 
2.8 – PRESSÃO ABSOLUTA E PRESSÃO EFETIVA 
A pressão efetiva ou relativa é a parcela de pressão acima da pressão atmosférica. 
A pressão absoluta é a soma da pressão efetiva mais a pressão atmosférica. 
A Figura 7 esquematiza estas pressões. 
 
 
 
 
Figura 7 – Esquema de Pressão Absoluta e Pressão Efetiva 
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UNIDADE 3 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
3.1 – TEOREMA DE STEVIN 
“A diferença de pressão entre dois pontosde um fluido em repouso é igual ao produto do 
peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois pontos.” 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Pressão em fluido em repouso 
 
As forças que agem são: 
dFN = pN.dA no ponto N 
 
dFM = pM.dA no ponto M 
 
F = ∫ p.dAl na superfície lateral 
 
dG = peso do fluido contido no cilindro = volume de fluido x peso específico = l.dA.γ 
 
No eixo do cilindro tem-se, no repouso: 
 
pN.dA - pM.dA – dG.senα = 0 
pN.dA - pM.dA – l.dA.γ.senα = 0 
pN - pM – l.γ.senα = 0 
 
Da figura: l.senα = h 
 
Então: 
pN - pM – γ.h = 0 
 
pN - pM = γ.h = γ (ZM - ZN) 
OBSERVAÇÕES: 
1. Na diferença de pressões entre dois pontos não interessa a distância entre eles, 
mas a diferença de cotas; 
2. A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma; 
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3. O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em um ponto; 
Na Figura 7 qualquer ponto do nível A tem a mesma pressão pA e qualquer ponto 
do nível B tem a mesma pressão pB, desde que o fluido seja o mesmo em todos os 
ramos. 
 
 
Figura 9 – Pressão num mesmo plano em formas diferentes de reservatório 
 
4. Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a 
pressão num ponto qualquer à profundidade h dentro do líquido será dada por: 
 p = γ.h; 
 
 
Figura 10 – Pressão à profundidade h 
 
5. Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cotas não for 
muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles. 
 
Figura 11 – Pressão num gás 
A pressão em torno de um ponto em um fluido em repouso é a mesma em todas as 
direções. 
 
Figura 12 – Pressão em torno de um ponto 
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3.2 – LEI DE PASCAL 
“A pressão aplicada em um ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a 
todos os pontos do fluido.” 
 
3.3 – CARGA DE PRESSÃO 
É chamada carga de pressão a relação entre a pressão num ponto do fluido e o peso 
específico do mesmo fluido. 
Ou seja: 
γ
ph = 
 
Na Figura 13, a pressão no ponto A será γ.hA e a carga de pressão será hA e a pressão no 
ponto B será γ.hB e a carga de pressão será hB. 
 
 
Figura 13 – Carga de pressão em pontos de um reservatório 
 
Numa tubulação, apesar de não se poder falar em profundidade, também se aplica o 
conceito de carga de pressão. Isto significa que se for aberto um orifício na tubulação, o 
fluido será lançado num jato que atingirá a altura h. Se este jato for canalizado por meio 
de um tubo de vidro, verifica-se que o fluido subirá até esta altura h, como mostra a Figura 
14. 
 
 
 
 
Figura 14 – Carga de pressão em ponto de uma tubulação 
 
3.4 – MEDIDORES DE PRESSÃO 
 
3.4.1 – BARÔMETRO 
A pressão atmosférica é medida pelo barômetro. A Figura 15 esquematiza um barômetro. 
Que consiste de um tubo de vidro graduado cheio de líquido e virado de cabeça para 
baixo dentro de um recipiente, aberto para a atmosfera, e cheio do mesmo líquido. O 
líquido dentro do tubo de vidro descerá até uma certa posição, a ser posteriormente lida 
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na graduação do tubo, quando se equilibrará com a pressão atuante na superfície livre do 
líquido no recipiente. 
Na parte superior do tubo de vidro ocorre o vácuo, praticamente, ou pressão zero 
absoluto, pois despreza-se a pressão de vapor do líquido. 
O líquido utilizado geralmente é o mercúrio, pois possui alta densidade possibilitando 
trabalhar-se com tubo de pequeno comprimento. 
A pressão atmosférica padrão é: 
patm = 760 mmHg = 10.330 kgf/m2 = 101,3 kPa 
 
 
Figura 15 – Barômetro 
 
3.4.2 – MANÔMETRO METÁLICO OU DE BOURDON 
Pressões ou depressões são medidas normalmente por manômetros metálicos, que 
consistem de um tubo metálico, que quando submetido à pressão se deforma, causando 
o deslocamento de sua extremidade que está ligada a um ponteiro por um sistema de 
alavancas. A Figura 14 mostra um esquema deste medidor. 
 
 
 
Figura 16 – Esquema do manômetro de Bourdon 
 
3.4.3 – PIEZÔMETRO 
Consiste de um tubo de vidro graduado ligado diretamente à tomada de pressão. 
Sabendo-se o peso específico do fluido, calcula-se a pressão. Somente usado para 
pequenas pressões e para pressões efetivas positivas de líquidos. 
 
 
Figura 17 – Piezômetro 
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3.4.4 – MANÔMETRO DE TUBO EM U 
A Figura 18 mostra um manômetro de tubo em U, que é adequado para medir pressões 
negativas, quando o nível do fluido estiver abaixo do nível AA, no ramo direito do tubo. 
Pode ser usado para medir pressão de gases quando é usado um fluido manométrico 
que, em geral, é o mercúrio. 
 
Figura 18 – Manômetro de tubo em U 
 
A Figura 19 mostra manômetros diferenciais, pois possuem os dois ramos fechados, 
ligados a duas tomadas de pressão. 
 
Figura 19 – Manômetros diferenciais 
 
3.5 – EQUAÇÃO MANOMÉTRICA 
É a expressão que permite calcular, por meio de manômetros, a pressão de um 
reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. 
A Figura 20 esquematiza o cálculo desta pressão ou diferença de pressão. Pelo Teorema 
de Stevin e pela Lei de Pascal, podemos calcular a pressão na base dos dois ramos do 
manômetro da seguinte forma: 
 
 
 
Figura 20 – Esquema para a manometria 
 
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No ramo esquerdo: 
PA + γA (h1-h2) + γMh2 
No ramo direito: 
 
PB + γB (h4-h3) + γMh3 
 
Como o fluido está em repouso, a pressão na base dos dois ramos é igual, assim: 
 
PA + γA (h1-h2) + γMh2 = PB + γB (h4-h3) + γMh3 
Ou: 
 
PA + γA (h1-h2) + γMh2 - γB (h4-h3) - γMh3 = PB 
Ou, ainda: 
 
PA + γA (h1-h2) - γM (h3 - h2) - γB (h4-h3) = PB 
 
Desta forma, pode-se estabelecer uma regra prática para cálculo de pressões utilizando a 
manometria, qual seja: 
“Começando-se pelo ramo esquerdo do manômetro, soma-se à pressão pA a pressão das 
colunas descendentes e subtrai-se a pressão das colunas ascendentes.” 
3.6 – FORÇA EM SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA 
Um fluido em repouso não está sujeito a forças tangenciais, mas somente a forças 
normais. 
Considerando-se os líquidos, se a superfície submersa for horizontal, a força normal a 
esta superfície será o produto da pressão pela área da superfície e terá seu ponto de 
aplicação no centro de gravidade da superfície. 
Neste caso a pressão terá uma distribuição uniforme. 
Se a superfície submersa for vertical, como mostra a Figura 21, a pressão efetiva será 
zero na superfície livre e atinge seu valor máximo no fundo da superfície. 
Neste caso a pressão terá uma distribuição variável linearmente, como comprova o 
Teorema de Stevin, e não será possível obter-se a força normal pela multiplicação da 
pressão pela área da superfície. 
A força resultante será, portanto, o somatório dos produtos das áreas elementares pela 
pressão nelas atuantes. O ponto de aplicação desta força resultante será o CP (centro de 
pressão), que se localiza abaixo do centro de gravidade da superfície submersa. 
Considerando-se os gases, mesmo quando a superfície é vertical, a variação de pressão 
nesta direção é muito pequena, pois o peso específico dos gases também é muito 
pequeno. Desta forma, a força normal será sempre o produto da pressão pela área da 
superfície. 
 
Figura 21 – Superfície vertical plana submersa 
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Figura 22 – Superfície inclinada plana submersa 
 
Considerando a Figura 22, tem-se: 
dA = x.dy; p = γ.h e h = y.senθ 
 
No elemento dA a força será: 
dF = p.dA = γ.h.dA = γ.y.senθ.dA 
 
Integrando-se, vem: 
F = γ.senθ.∫y.dA 
 
Por definição do centro de gravidade, tem-se: 
∫ ⋅= dAyAy 1 
 
Logo: 
F = γ.senθ. y .A 
 
Substituindo: 
F = γ.h . A = p .A 
 
Desta forma, pode-se dizer que a força resultante é obtida pelo produto da área da 
superfície que sofre a força pela pressão no centro de gravidade da superfície. 
3.7 – CENTRO DAS PRESSÕES 
Centro das pressões é o ponto de aplicação da força resultante das pressões sobre uma 
certa área. 
 
Considerando o eixo Ox da Figura 22 para o cálculo do momento das forças, tem-se para 
a força elementar dF, a seguinte expressão: 
 
y.dF = γ.y2.senθ. dA 
 
Integrando e chamando y de yCP e a resultante das forças de F, tem-se: 
 
yCP.F = γ. senθ. ∫y2.dA = γ.senθ.I0 
 
Sendo I0 = ∫y2.dA o chamado momento estático da área A em relação ao eixo Ox. 
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Fenômenos de Transporte 
 
 
 - 18 - 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
Esta é a distância entre o ponto de aplicação da força resultante, ou centro das pressões, 
ao eixo de intersecção da superfície imersa com a superfície livre do líquido, sendo: 
A = área imersa da superfície que sofre a força 
y = distância da superfície livre do líquido, no eixo Ox, ao centro de gravidade da 
área imersa. 
 
O momento de inércia da área A, I0, pode ser tomado em relação ao eixo que passa pelo 
centro de gravidade da área, em vez do eixo Ox, utilizando a seguinte expressão: 
AyII CG ⋅+= 20 
Assim, pode-se escrever: 
Ay
I
yy CGCP ⋅+= 
Desta expressão conclui-se que o centro das pressões se localiza abaixo do centro de 
gravidade e que, ao aumentar a profundidade, os dois pontos (CP e CG) se aproximam. 
 
Resumindo, pode-se escrever que o Centro das Pressões se localiza abaixo do Centro de 
Gravidade, em superfícies imersas verticais ou inclinadas, e coincide com o Centro de 
Gravidade, em superfícies imersas horizontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ay
I
Ay
IyCP ⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅= 00
sen
sen
θγ
θγ
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 - 19 - 
UNIDADE 4 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
4.1 – TIPOS DE REGIME DE ESCOAMENTO 
4.1.1 – REGIME PERMANENTE 
Neste regime as propriedades do fluido não variam com o tempo, num mesmo ponto. 
Podendo variar de ponto para ponto. 
Através da Figura 23 podemos exemplificar este tipo de regime: 
A quantidade de água que entra em 1 é idêntica à quantidade de água que sai por 2, 
desta forma as propriedades do fluido, como velocidade, massa específica, pressão, etc., 
em cada ponto, são as mesmas em qualquer instante. Mas de um ponto para outro ponto 
variam a pressão, pela Lei de Stevin, e varia a velocidade. 
 4.1.2 – REGIME VARIADO 
Neste regime as propriedades do fluido variam com o tempo, num mesmo ponto. 
Para exemplificar este tipo de regime, através da Figura 23: 
Se não houver fornecimento de água em (1), as propriedades do fluido variarão 
continuamente em cada ponto com o tempo. 
 
Figura 23 – Regime de escoamento 
4.2 – TIPOS DE ESCOAMENTO 
A definição dos tipos de escoamento foi baseada na experiência de Reynolds (1883). 
Esta experiência consistiu de um reservatório contendo água, com um tubo transparente, 
ligado a este reservatório, possuindo uma válvula de regulagem de velocidade no final 
deste tubo. Dentro do reservatório de água foi colocado outro pequeno reservatório 
contendo corante, que permitia a introdução de um filete de corante no eixo do tubo 
transparente, conforme Figura 24. 
 
Figura 24 – Experiência de Reynolds 
 
Desta experiência concluiu-se que: 
1º - ao abrir pouco a válvula (5), forma-se um filete reto e contínuo de fluido colorido no 
eixo do tubo; 
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 - 20 - 
2º - ao abrir um pouco mais a válvula (5), o filete começa a apresentar ondulações e 
desaparece depois de certa distância do ponto de injeção. 
 4.2.1 – ESCOAMENTO LAMINAR 
É aquele em que as partículas do escoamento possuem trajetória reta, sem agitações 
transversais, mantendo-se em lâminas, conforme descrito na 1ª Conclusão da experiência 
de Reynolds. 
 4.2.3 – ESCOAMENTO TURBULENTO 
É aquele em que as partículas do escoamento possuem velocidades transversais, 
conforme descrito na 2ª Conclusão da experiência de Reynolds. 
 
Reynolds verificou que o tipo de escoamento depende de um número adimensional dada 
por: 
υµ
ρ DVDV ⋅=⋅⋅=Re 
Onde: 
Re = número de Reynolds 
ρ = massa específica do fluido 
V = velocidade do fluido 
D = diâmetro do tubo 
ν = viscosidade cinemática do fluido 
µ = viscosidade dinâmica do fluido 
E que: 
Re < 2000 Escoamento Laminar 
2000 < Re < 2400 Escoamento de Transição 
Re > 2400 Escoamento Turbulento 
4.3 – VAZÃO – VELOCIDADE MÉDIA NA SEÇÃO 
Define-se vazão em volume com sendo o volume de fluido que atravessa uma certa 
seção do escoamento por unidade de tempo, conforme a seguinte relação: 
t
VolQ = 
Existe uma relação importante entre a vazão e a velocidade do fluido. Considerando a 
Figura 25: 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 – Escoamento em tubulação 
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Fenômenos de Transporte 
 
 
 - 21 - 
 
VA
t
sA
t
VolQ ⋅=⋅== 
Onde: 
Q = vazão em volume do fluido 
Vol = volume do fluido 
t = tempo 
s = deslocamento do fluido 
A = área da seção transversal do tubo 
V = velocidade do fluido 
 
Mas a distribuição de velocidades na seção A não é uniforme, na maioria dos casos 
práticos, assim, conforme Figura 26: 
 
 
Figura 26 – Distribuição de velocidades numa seção do escoamento 
 
AVQ m ⋅= 
Onde: 
Vm = velocidade média na seção de escoamento do fluido 
 
4.4 – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
Seja o escoamento de um fluido por um tubo. 
Seja a vazão em massa 
t
mQQm =⋅= ρ 
Onde: 
Qm = vazão em massa do fluido 
ρ = massa específica do fluido 
Q = vazão em volume do fluido 
m = massa do fluido 
t = tempo 
 
Considerando Qm1 a vazão em massa na entrada do tubo e Qm2 a vazão em massa na 
saída do tubo; considerando, ainda, regime permanente, pode-se dizer que a vazão Qm1 é 
igual a Qm2, pois não há perda de massa no interior do tubo, assim: 
 
Qm1 = Qm2 ou ρ1 . Q1 = ρ2 . Q2 ou ρ1.V1. A1= ρ2.V2.A2 
 
Que é a Equação da Continuidade para um fluido qualquer em regime permanente, onde: 
V1 e V2 = velocidades médias nas seções 1 e 2 do escoamento 
A1 e A2 = áreas das seções 1 e 2 do escoamento 
 
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 - 22 - 
Se o fluido for incompressível, ρ1 = ρ2 e: 
Q1 = Q2 ou V1. A1= V2.A2 
4.5 – EQUAÇÃO DA ENERGIA 
 4.5.1 – TIPOS DE ENERGIAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO 
a) Energia potencial (Ep) 
É a energia do sistema devido à sua posição no campo da gravidade em relação a um 
plano horizontal de referência (PHR). 
É medida pelo potencial de realização de trabalho no sistema. 
Seja na Figura 27, um sistema de peso G = m.g, cujo centro de gravidade esteja a uma 
cota z em relação ao PHR. 
 
 
 
Figura 27 – Esquema para energia potencial 
Como: 
Trabalho = Força x deslocamento 
Então: 
W = G x z = m x g x z 
E: 
Ep = W 
Ou: 
zgmEp ××= 
b) Energia cinética (Ec) 
É a energia do sistema determinada pelo movimento do fluido. Seja na Figura 28, um 
sistema de massa m e velocidade V, a energiacinética é dada por: 
 
Figura 28 – Esquema para energia cinética 
 
2
2VmEc
×= 
c) Energia de pressão (Epr) 
É a energia correspondente ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no 
escoamento do fluido. 
Seja a Figura 29, a seguir. 
Admitindo-se que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido 
externo, na área A, será F = p x A. 
No intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar ds, sob a ação da força F, produzindo 
um trabalho: 
dW = F x ds = p x A x ds = p x dv 
Ou: ∫ ×= dvpEpr 
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 - 23 - 
 
Figura 29 – Esquema para energia de pressão 
d) Energia mecânica total do fluido (E) 
Excluindo-se energias térmicas e levando em conta apenas efeitos mecânicos, a energia 
total de um sistema de fluido será: 
E = Ep + Ec + Epr 
 
zgmE ××= + 
2
2Vm× + ∫ × dvp 
 
 
 4.5.2 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A Equação de Bernoulli é válida para um sistema de fluido em movimento, com as 
seguintes considerações: 
a) regime permanente; 
b) sem máquina no trecho de escoamento em estudo; 
c) sem perdas por atrito no escoamento ou fluido ideal; 
d) propriedades uniformes nas seções; 
e) fluido incompressível; 
f) sem trocas de calor. 
 
Considerando a Figura 30: 
 
Figura 30 – Esquema para equação de Bernoulli 
 
 
Na seção 1: 
111 zgdmdE ××= + 2
2
11 Vdm × + 11 dvp × 
Na seção 2: 
222 zgdmdE ××= + 2
2
22 Vdm × + 22 dvp × 
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 - 24 - 
Pelas considerações feitas acima: 
 
21 dEdE = 
Então: 
11 zgdm ×× + 2
2
11 Vdm × + 11 dvp × 22 zgdm ××= + 2
2
22 Vdm × + 22 dvp × 
 
Como: 
dv
dm=ρ e ρ
dmdv = 
Tem-se: 
11 zgdm ×× + 2
2
11 Vdm × +
1
1
1 ρ
dmp × 22 zgdm ××= + 2
2
22 Vdm × +
2
2
2 ρ
dmp × 
Como na Equação de Bernoulli considera-se o fluido incompressível: 
21 ρρ = 
e considera-se também regime permanente: 
21 dmdm = 
Então: 
1zg × + 2
2
1V + ρ
1p
2zg ×= + 2
2
2V + ρ
2p 
Dividindo a equação por g e lembrando que: 
g×= ργ 
tem-se: 
1z + g
V
2
2
1 + γ
1p
2z= + g
V
2
2
2 + γ
2p 
 
Que é a Equação de Bernoulli, que permite relacionar cotas, velocidades e pressões entre 
duas seções do escoamento do fluido. E o significado de seus termos é: 
G
E
gm
zgmz p=⋅
⋅⋅= energia potencial por unidade de peso ou energia potencial de uma 
partícula de peso unitário; 
 
G
E
G
mV
gm
mV
g
V c===
222
222
 energia cinética por unidade de peso ou energia cinética de 
uma partícula de peso unitário; 
 
G
E
G
pV
V
pVp pr=== γγ energia de pressão por unidade de peso ou energia de pressão 
de uma partícula de peso unitário. 
 
Nota-se, também que a Equação de Bernoulli expressa que a soma das energias na 
seção (1) é igual à soma das energias na seção (2), sendo mantida constante a energia 
total do sistema no percurso de (1) para (2). 
Outra observação é que as energias z, V2/2g e p/γ, são expressas em unidades de 
comprimento, mas não deixam de ser energia por unidade de peso. 
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 - 25 - 
Anteriormente, havíamos visto que p/γ = h é a chamada “carga de pressão”, desta forma, 
podemos denominar as energias da seguinte forma: 
Z carga potencial ou carga geométrica; 
 
V2/2g carga cinética ou carga de velocidade; 
 
P/γ carga piezométrica ou carga de pressão. 
 
Pode-se ainda dizer que: 
 
z
g
VpH ++=
2
2
γ 
Onde: 
H energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção = constante 
de Bernoulli 
 
A Equação de Bernoulli poderá ser enunciada: 
“Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem atritos e o regime 
permanente, se não houver máquina nem trocas de calor, então as cargas totais se 
mantêm constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga.” 
 
 4.5.3 – EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUIDO REAL 
As considerações feitas para a Equação de Bernoulli são mantidas, com exceção para as 
trocas de calor, pois no escoamento de fluido real, parte da energia se transforma em 
calor, devido ao atrito das partículas fluidas entre si e com as paredes do conduto. 
Desta forma, a Equação de Bernoulli será modificada para: 
 
2121 →+= pHHH 
Onde: 
H1 e H2 energia por unidade de peso ou carga total nas seções 1 e 2; 
Hp1→2 perda de energia por unidade de peso ou perda de carga no escoamento da 
seção (1) para a seção (2). 
 
Se for introduzida uma máquina entre a seção 1 e a seção 2, a Equação da Energia fica: 
 
2121 →+=+ pM HHHH 
Ou, ainda: 
1z + g
V
2
2
1 + γ
1p + MH 2z= + g
V
2
2
2 + γ
2p + 21→pH 
4.6 – PERDA DE CARGA 
Perda de carga é a energia perdida pela unidade de peso do fluido quando este escoa. 
 
4.6.1 – PERDA DE CARGA DISTRIBUÍDA (hpd) 
Acontece ao longo de tubos retos, de seção constante, devido ao atrito das partículas 
entre si e nas paredes do tubo. 
Para o cálculo desta perda pode-se utilizar inúmeras expressões que foram determinadas 
experimentalmente, mas em nosso estudo utilizaremos somente as que se seguem. 
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 - 26 - 
 Fórmula Universal ou de Darcy-Weisbach 
g
V
D
Lfh pd 2
2
⋅⋅= 
Onde: 
L comprimento do tubo 
D diâmetro do tubo 
V velocidade média do escoamento do fluido 
g aceleração da gravidade 
f fator de resistência ao escoamento ou fator de atrito, que pode ser obtido da 
seguinte forma: 
• REGIME LAMINAR 
Re
64=f 
• REGIME TURBULENTO 
f é obtido no Diagrama de Moody com ε/D e Re 
A Figura 31 apresenta o Diagrama de Moody e a Figura 32 apresenta valores de 
rugosidade ε, para diversos materiais. 
 
Fórmula de Hazen-Williams 
87,4
85,1
643,10
D
L
C
Qhpd ⋅

⋅= 
Onde: 
L comprimento do tubo 
D diâmetro do tubo 
Q vazão de escoamento do fluido 
C coeficiente que depende da natureza da superfície interna da canalização e seus 
valores mais comuns são apresentados na Figura 33. 
 
 Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao 
• PARA TUBOS DE AÇO GALVANIZADO 
Água fria L
D
Qhpd ⋅⋅= 88,4
88,1
002021,0 
 
• PARA TUBOS DE COBRE 
Água fria L
D
Qhpd ⋅⋅= 75,4
75,1
000859,0 
 
Água quente L
D
Qhpd ⋅⋅= 75,4
75,1
000692,0 
 
 Fórmula de Flammant 
É a expressão recomendada pelos fabricantes de tubos de PVC. 
L
D
Qhpd ⋅⋅= 75,4
75,1
000824,0 
 
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 - 27 - 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 – Diagrama de Moody para obtenção de f 
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 - 28 - 
 
Figura 32 – Valores da rugosidade absoluta ε em mm para diversos materiais 
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 - 29 - 
 
Figura 33 – Valores do coeficiente C da expressão de Hazen-Williams para vários 
materiais em várias situações de uso 
 
4.6.2 – PERDA LOCALIZADA (hpl) 
Este tipo de perda de carga ocorre sempre que o escoamento do fluido sofre algum tipo 
de perturbação, causada, por exemplo, por modificações na seção do conduto ou em sua 
direção. 
Tais perturbações causam o aparecimento ou o aumento de turbulências, responsáveis 
pela dissipação adicional de energia. 
As perdas de carga nesses locais são chamadas de perdas de carga localizadas, ou 
perdas de carga acidentais,ou perdas de carga locais, ou ainda, perdas de carga 
singulares. 
Alguns autores denominam as mudanças de direção ou de seção de singularidades. 
A Figura 34 representa uma instalação de bombeamento, com algumas singularidades 
responsáveis por perdas localizadas. 
Para o cálculo das perdas de carga localizadas podemos utilizar as seguintes expressões: 
 
Expressão geral para o cálculo das perdas de carga localizadas 
 
g
Vkhpl 2
2
⋅= 
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 - 30 - 
Onde: 
V velocidade média no conduto onde está inserida a singularidade 
k coeficiente determinado experimentalmente, dado na Figura 35. 
 
 
Figura 34 – Representação da turbulência (responsável pela perda de carga localizada) 
em singularidades inseridas numa instalação de recalque 
 
 Método dos comprimentos equivalentes ou virtuais 
O comprimento equivalente da tubulação é aquele que causa a mesma perda de carga 
devida a uma dada singularidade. É também chamado de comprimento fictício ou 
comprimento virtual. 
 
Se compararmos a expressão de Darcy-Weisbach: 
g
V
D
Lfh pd 2
2
⋅⋅= 
com a expressão das perdas de carga localizadas: 
g
Vkhpl 2
2
⋅= 
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 - 31 - 
verificamos que, para um mesmo valor de hp, é possível comparar o valor de k com o 
produto f(L/D): 
g
Vkhp 2
2
⋅=
g
V
D
Lf
2
2
⋅⋅= 
 
D
Lfk ⋅= 
Assim, é possível organizar uma tabela em que, uma vez fixado o material da canalização 
e seu diâmetro, estabelece-se o comprimento equivalente desta canalização à 
singularidade introduzida. 
f
DkLeq ⋅= 
A Figura 36 e a Figura 37 apresentam valores de comprimentos equivalentes para 
tubulação de materiais diferentes. 
 
4.7 – MEDIÇÃO DE VAZÃO 
Existem muitos dispositivos utilizados para medição de vazão, mas neste item 
estudaremos apenas alguns deles, que são: 
 4.7.1 – ORIFÍCIO DE BORDO DELGADO OU DIAFRAGMA 
Considerando a Figura 38, onde, na parede lateral de um reservatório de grandes 
dimensões, está instalado um orifício de bordo delgado e estabelecendo dois pontos, 1 e 
2, sendo o ponto 1 na superfície do líquido no reservatório e o ponto 2 na saída do jato, 
podemos equacionar como se segue. 
 
Figura 38 – Orifício de bordo delgado em reservatório 
 
Diz-se que o orifício tem bordo delgado, ou aresta viva, quando o fluido toca apenas na 
aresta do orifício, reduzindo, assim, o atrito. 
Supondo-se, inicialmente, que o fluido seja ideal, ou seja, sem perdas, utilizando-se a 
Equação de Bernoulli, tem-se: 
21 HH = 
 2
2
2
2
1
1
2
1
22
z
p
g
V
zp
g
V ++=++ γγ 
Como a velocidade de abaixamento do nível do reservatório é muito inferior a velocidade 
do jato na saída do reservatório e admitindo-se que a velocidade no orifício seja a 
velocidade teórica, pois adotou-se o fluido como ideal, tem-se: 



 −+= γ
21
2 2
pp
hgV T 
Se, em particular, p1 = p2, teremos: 
ghV T 22 = 
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 - 32 - 
que é a Equação de Torricelli. 
Como o fluido é real e não ideal, ocorrerão perdas, desta forma: 
22 VV T > 
Onde: 
V2 = velocidade real de escoamento através do orifício. 
Assim, define-se coeficiente de velocidade como sendo: 
T
v V
V
C
2
2= 
Desta forma, a velocidade real poderá ser calculada pela expressão: 



 −+⋅= γ
21
2 2
pphgCV v 
E a vazão teórica será: 
02 AVQ TT ⋅= 
Onde: 
Ao = área do orifício 
A vazão que realmente escoa pelo orifício depende da velocidade real e também do efeito 
de contração do jato, que faz com que a seção de escoamento no jato que sai do orifício 
seja menor que a do orifício, como pode ser visto na Figura 39, a seguir. 
 
Figura 39 – Efeito da contração do jato na saída do orifício 
 
Define-se coeficiente de contração como sendo a relação entre a área do jato na veia 
contraída e a área do orifício. 
o
c
c A
A
C = 
Desta forma, a vazão real no orifício será: 
02 ACVCQ cTv ⋅⋅⋅= 
ou: 



 −+⋅⋅⋅= γ
212
pphgACCQ ocv 
Considerando que o produto do coeficiente de velocidade pelo coeficiente de contração 
dá origem a outro coeficiente, chamado coeficiente de descarga e representado por Cd, 
tem-se, para o cálculo da vazão que sai por orifício a seguinte expressão: 



 −+⋅⋅= γ
212 pphgACdQ o 
Onde: 
Q = vazão que sai no orifício 
Cd = coeficiente de descarga que varia com a forma do orifício, tendo valor médio de 
0,61 
Ao = área do orifício 
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 - 33 - 
 
 
 
 
Figura 35 – Valores de k para cálculo de perdas de carga localizadas 
 
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 - 34 - 
 
Figura 36 – Comprimentos equivalentes para tubulação de 
ferro fundido ou aço galvanizado 
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 - 35 - 
 
Figura 37 – Comprimentos Equivalentes para tubulação de PVC ou de cobre 
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 - 36 - 
Para o caso de orifícios instalados em tubulações, onde são chamados de DIAFRAGMAS, 
pode-se estabelecer a seguinte expressão, baseada na Figura 40. 



 −⋅⋅= γ
212
ppgAkQ o 
Onde: 
4
1
21 


⋅−
=
D
DC
Ck
o
d
d 
A Figura 41 mostra valores de k em função da relação Do/D1 e do número de Reynolds. 
 
Figura 40 – Medidor Diafragma 
 
Figura 41 – Coeficiente k para medidor Diafragma 
 
4.7.2 – MEDIDOR VENTURI OU VENTURÍMETRO 
O princípio de funcionamento do tubo Venturi é o mesmo do diafragma, com a diferença 
de ser constituído por um tubo convergente, que atinge uma seção menor chamada de 
garganta, aumentando gradativamente num tubo divergente, conforme mostrado na 
Figura 42, a seguir. 
Para o cálculo da vazão pode-se utilizar a seguinte expressão: 



 −⋅⋅



−
⋅=⋅= γ
21
4
1
2
2
22 2
1
ppg
D
D
ACVAQ 
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 - 37 - 
Onde: 
C = coeficiente que depende do número de Reynolds e da relação D2/D1, no entanto, 
seu valor varia de 0,95 a 0,99, sendo adotado o maior valor para diâmetros maiores. 
 
Figura 42 – Medidor Venturi ou Venturímetro 
 
4.7.3 – ROTÂMETRO 
Consiste de um elemento flutuante com ranhuras helicoidais, inserido dentro de um tubo, 
de tal forma que, dependendo da vazão, o flutuante se desloca ao longo de uma escala 
cuja vazão correspondente foi predeterminada . A Figura 43 apresenta um esquema deste 
dispositivo. 
 
Figura 43 – Medidor de vazão tipo Rotâmetro 
 
 4.7.4 – MEDIÇÃO DE VAZÃO EM CANAIS ABERTOS 
Para medição de vazão em canais podem ser utilizados vários tipos de dispositivos, mas 
neste estudo destacamos os medidores de vazão do tipo Vertedor. 
A Figura 44 mostra um esquema de um vertedor, que são obstruções inseridas dentro dos 
canais de forma que a massa líquida deva se elevar para transpor a obstrução. 
Desta forma, a vazão é calculada em função da altura da lâmina líquida que transpõe o 
vertedor, conforme a seguinte expressão: 
2
3
84,1 HLQ ⋅⋅= 
Onde: 
L, H = em m 
Q = em m3/s 
 
Figura 44 – Medição de vazão com vertedor 
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 - 38 - 
UNIDADE 5 – FUNDAMENTOS DA TRANSMISSÃO DE CALOR 
5.1 MODOS DO FLUXO DE CALOR 
O estudo da transmissão de calor, no nosso curso, tem por objeto os mecanismos pelos 
quais a energia é transmitida, sob forma de calor, de um sistema a outro ou entre partes 
de um mesmo sistema, onde não há equilíbrio térmico. 
Os mecanismos pelos quais ocorre a transmissão de calor podem ser, de forma geral, os 
seguintes: CONDUÇÃO, CONVECÇÃO e RADIAÇÃO. 
Pode ocorrer a operação de mais de um mecanismo ao mesmo tempo, mas de modo 
geral um único mecanismo é predominante. 
5.2 TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONDUÇÃO 
É a transferência de energia sem grande movimento de massa, devida a uma diferença 
de temperatura entre partes de um sistema, ou entre dois sistemas em contato direto. A 
direção da transmissão de calor é da região de alta temperatura, dita FONTE, para a 
região de baixa temperatura, dita SUMIDOURO. É o modo da transmissão de calor em 
sólidos. 
A relação básica para a transmissão de calor por condução foi proposta pelo cientista 
francês J. B. J. Fourier, em 1822. 
Ela estabelece que o calor transmitido por condução por unidade de tempo, qk, em um 
material é igual ao produto dos seguintes parâmetros: 
 
k = condutividade térmica do material; 
A = área da seção através da qual o calor flui por condução, medida perpendicularmente 
à direção do fluxo; 
dT/dx = gradiente de temperatura na seção, ou razão de variação da temperatura com a 
distância, na direção do fluxo de calor x. 
 
Como à medida que se desloca na direção do fluxo x, da maior temperatura para a menor 
temperatura, a variação da temperatura é negativa, assim, pode-se escrever a equação 
elementar para a condução de calor como segue: 
 
dx
dTAkqk ××−= 
Onde: 
qk = calor transmitido por condução por unidade de tempo, expresso em kcal/h; 
A = área atravessada pelo fluxo de calor, em m2; 
dT/dx = gradiente de temperatura, em ºC/m; 
k = condutividade térmica do material, que é uma propriedade do material e indica a 
quantidade de calor que fluirá através de uma área unitária se o gradiente de temperatura 
for unitário, sendo expressa em: 
Cmh
kcal
mCm
hkcal
°××=°× /
/
2 
No Sistema SI as unidades de condutibilidade térmica são: 
Km
W
mKm
W
×=× /2 
 
Cmh
kcal
Km
W
°××=× 86,01 
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 - 39 - 
A Figura 45 mostra a convenção de sinais para o fluxo de calor por condução. 
 
Figura 45 – Esquema ilustrando a convenção de sinais para o fluxo de calor por condução 
 
5.2.1 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL 
Para o caso simples de transmissão de calor em regime permanente através de uma 
parede plana, o gradiente de temperatura e o calor transmitido por unidade de tempo não 
variam com o tempo e a área transversal no caminho do fluxo é uniforme. 
Desta forma, pode-se escrever a equação da seguinte maneira: 
 
dTkdx
A
qk ⋅−=⋅ 
 
Podemos integrar a equação acima com os limites ilustrados na Figura 46, para: 
Tquente → x = 0 e para Tfria → x = L 
Assim: 
∫∫ −=
fria
quente
T
T
L
k kdTdx
A
q
0
 
 
( )quentefriak TTkLAq −−=× 
( )friaquentek TTL kAq −×= 
 
Figura 46 – Distribuição de temperaturas para condução em regime permanente através 
de uma parede plana 
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 - 40 - 
 
A equação anterior pode ainda ser escrita como se segue: 
kA
L
Tqk
×
∆= 
Nesta equação, tem-se: 
∆T é a diferença de Tquente e Tfria e é o potencial que causa a transmissão de calor; 
kA
L
× é chamado de resistência térmica, Rk, que a parede oferece à transmissão de calor 
por condução e temos: 
kA
LRk ×= 
O inverso da resistência térmica é chamado de condutância térmica, sendo representado 
por: 
L
kAkk
×= 
Chama-se k/L, a condutância térmica por unidade de área, de coeficiente de transmissão 
de calor por transmissão. 
O índice k se refere ao mecanismo de transferência por condução. 
A condutância térmica tem as seguintes unidades: 
 
Ch
kcal
Cmhm
kcalmkk °×=°×××
×=
2
 
e no sistema SI: 
 
K
W
Kmm
Wmkk =××
×=
2
 
 
A resistência térmica tem as seguintes unidades: 
kcal
Ch
kcalm
CmhmRk
°×=×
°×××= 2 
e no sistema SI: 
W
K
Wm
KmmRk =×
××= 2 
a) PAREDES PLANAS 
Com as considerações acima, a equação para o cálculo da quantidade de calor 
transmitido por condução, por unidade de tempo, através de um material homogêneo com 
superfície plana, é dada por: 
Tk
R
Tq k
k
k ∆×=∆= 
 
b) CILINDROS VAZADOS 
Se o cilindro for de material homogêneo e de comprimento longo, para que o efeito das 
extremidades não seja considerado, e a temperatura interna for constante igual a Ti, 
enquanto que a temperatura da superfície externa se mantém constante igual a Te, o calor 
transmitido por unidade de tempo será: 
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 - 41 - 
dr
dTAkqk ××−= 
 
Onde: 
dT/dr = gradiente de temperatura na direção radial. 
 
Considerando a Figura 47: 
 
Figura 47 – Esquema ilustrativo da nomenclatura para condução através de um cilindro 
vazado 
 
Para o cilindro vazado, a área é função do raio, sendo: 
LrA ×××= π2 
O calor transmitido por condução, por unidade de tempo, pode ser expresso: 
dr
dTLrkqk ×××××−= π2 
Pode-se ainda escrever: 
dTdr
rLk
qk −=×××××
1
2 π 
Integrando com os limites: 
 
Para Te → r = re e para Ti → r = ri 
∫∫ −=×××××
e
i
e
i
T
T
r
r
k dTdr
rLk
q 1
2 π 
Temos: 
ei
i
ek TT
r
r
Lk
q −=×××× ln2 π 
Ou: 
 
Que é a equação utilizada para o cálculo da quantidade de calor transmitida por 
condução, por unidade de tempo, através das paredes de um cilindro vazado, como um 
tubo. 
Lk
r
r
TTq
i
e
ei
k
×××
−=
π2
ln
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 - 42 - 
Podemos ainda chamar de resistência térmica à transmissão de calor por condução no 
cilindro vazado à seguinte expressão: 
Lk
rr
R iek ×××= π2
)/ln( 
5.3 TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONVECÇÃO 
É aquela devida à ação de partículas de fluido que recebem calor de uma fonte quente e 
se movem para uma região de temperatura mais baixa, que age como um sumidouro de 
calor, podendo ser um sólido exposto ao fluido ou regiões frias do próprio fluido. 
A diferença fundamental entre a transmissão de calor por convecção daquela por 
condução é que, na primeira, a transmissão é feita por meio de movimento do fluido, ao 
passo que na segunda, a transmissão se dá inteiramente por meio de transferência 
intermoleculares de energia. 
A convecção pode ser chamada de NATURAL quando a transmissão é feita por 
diferenças de densidades causadas por gradientes de temperatura dentro do fluido. 
A convecção pode ser chamada de FORÇADA quando o movimento se dá por meio 
mecânico, através de uma bomba ou ventilador. 
O calor transmitido por unidade de tempo por convecção entre uma superfície e um fluido 
pode ser calculado pela relação a seguir, que foi proposta por Isaac Newton, em 1701. 
 
TAhq cc ∆××= 
Onde: 
qc = calor transmitido por unidade de tempo por convecção, kcal/h; 
A = área de transmissão de calor, m2; 
∆T = diferença de temperaturas entre a da superfície Ts e a do fluido T∞, em um local 
especificado (geralmente bastante afastado da superfície), ºC; 
=ch coeficiente médio de transmissão de calor por meio de convecção, kcal/h.m2.ºC. 
 
No sistema SI, tem-se as seguintes unidades:qc = joule/segundo ou W/m2; 
∆T = K; 
=ch W/m2.K. 
1 W/m2.K = 0,8605 kcal/h.m2.ºC 
 
O valor de ch em um sistema depende da geometria da superfície e da velocidade, bem 
como das propriedades físicas do fluido e, freqüentemente, da diferença de temperatura, 
∆T. 
Na maioria das aplicações utilizamos o coeficiente de transmissão de calor por convecção 
médio. 
A Figura 48 apresenta a ordem de grandeza dos coeficientes médios de transmissão de 
calor por convecção. 
A condutância térmica para a transmissão de calor por convecção é dada por: 
Ahk cc ×= 
 
e a resistência térmica correspondente é dada por: 
 
Ah
R
c
c ×=
1 
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Coeficiente de transmissão de calor por meio de convecção ch 
Fluido Kcal/h.m2.ºC W/m2.K 
Ar, convecção natural 5 – 25 6 – 30 
Vapor ou ar superaquecido, convecção forçada 25 – 250 30 – 300 
Óleo, convecção forçada 50 – 1500 60 – 1800 
Água, convecção forçada 250 – 10000 300 – 6000 
Água, em ebulição 2500 – 50000 3000 – 60000 
Vapor, em condensação 5000 – 100000 6000 – 120000
 
Figura 48 – Ordem de grandeza dos Coeficientes de transmissão de calor por convecção 
 
5.4 TRANSMISSÃO DE CALOR POR RADIAÇÃO 
A transmissão de calor por irradiação, ao contrário daquelas por condução ou por 
convecção, não depende de um meio carreador de calor. È um processo de emissão 
contínua da energia pelas superfícies de todos os corpos. Esta energia é denominada 
ENERGIA RADIANTE e transmite-se sob a forma de ondas eletromagnéticas, que se 
deslocam com a velocidade da luz, sendo transmitidas através do vácuo, assim como 
através de substâncias que lhes são transparentes. A transmissão pelo vácuo é melhor, 
pois outros meios intervenientes absorvem parte, senão o total, da energia radiante. 
Todos os corpos emitem e absorvem energia radiante, a uma taxa que depende da 
temperatura absoluta e das propriedades físicas das substâncias básicas dos corpos. 
Um irradiador perfeito ou CORPO NEGRO, que é um corpo que emite e absorve, a 
qualquer temperatura, a máxima quantidade possível de radiação em qualquer 
comprimento de onda, emite energia radiante de sua superfície à razão qr, dada por: 
 
4
11 TAqr ××= σ 
Onde: 
qr = energia transmitida por unidade de tempo por radiação, em kcal/h; 
A1 = área da superfície, em m2; 
T1 = temperatura da superfície, em K; 
σ = constante dimensional = 4,88 x 10-8 kcal/h.m2.K4, também chamada de constante de 
Stefan-Boltzmann, em honra aos cientistas J. Stefan, que, em 1879, achou a equação 
acima experimentalmente, e L. Boltzmann, que, em 1884, deduziu-a teoricamente. 
 
A energia transmitida por dois irradiadores ideais, chamada de troca líquida de energia é 
dada pela expressão: ( )4241 TTAqr −××= σ 
 
A equação acima deve ser modificada para as aplicações práticas, de modo a levar em 
conta os irradiadores não-ideais e a presença de meios absorventes entre dois corpos. A 
expressão geral para a transmissão de calor radiante entre dois corpos é dada por: 
 ( ) ∈×−××= 4241 TTAqr σ 
Onde: 
∈= fator de emissividade, para levar em conta a natureza nõ-ideal da radiação (corpo 
não-negro). 
 
A Figura 49 mostra fatores de emissividade de alguns materiais. 
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Superfície Temperatura ºC Є 
Filamento de platina 27 - 1227 0,036 – 0,192 
Prata polida 227 – 638 0,0198 – 0,0324 
Níquel, placa polida 23 0,045 
Gesso (estuque), argamassa 10 – 88 0,91 
Tijolo vermelho, áspero 21 0,93 
Concreto 21 0,63 
Vidro liso 22 0,937 
Papelão alcatroado 20,5 0,91 
Água 0 – 100 0,95 – 0,963 
Folha de alumínio 100 0,087 
Papelão de amianto 38 – 371 0,93 – 0,945 
Corpo negro - 1,00 
 
Figura 49 – Emissividade Total de Algumas Superfícies 
 
5.4.1 ABSORÇÃO, REFLEXÃO E TRANSMISSÃO 
As ondas incidentes sobre a superfície de uma substância podem ser parcialmente 
absorvidas, parcialmente refletidas e parcialmente transmitidas pela substância. A fração 
absorvida da energia radiante chama-se ABSORTIVIDADE, α, ou PODER 
ABSORVENTE. A fração refletida é denominada REFLETIVIDADE, ρ, e a fração 
transmitida através da substância é a TRANSMISSIVIDADE, τ. 
A relação entre a absortividade, a refletividade e a transmissividade é: 
 
1=++ τβα 
 
A transmissividade sendo zero, que é o caso da maioria dos sólidos opacos à luz, diz-se 
que a substância é opaca à radiação. Reciprocamente, a transmissividade sendo igual à 
unidade, a substância é transparente à radiação. Nenhuma substância é perfeitamente 
transparente, mas os fluidos menos densos, tais como os gases, apresentam 
transmissividade elevada. 
 
Um refletor ideal é um corpo cuja superfície reflete toda a energia radiante sobre ele 
incidente. Superfícies altamente polidas constituem boas aproximações a um refletor 
ideal. 
 
Um absorvedor ideal absorve toda a energia radiante incidente sobre a sua superfície e a 
sua absortividade é igual à unidade. 
 
5.5 TROCADORES DE CALOR 
Um trocador de calor é um dispositivo que efetua a transmissão de calor de um fluido para 
outro. O tipo mais simples de trocador de calor é um recipiente no qual um fluido quente e 
um frio são misturados diretamente, Num sistema como esse, ambos os fluidos atingem a 
mesma temperatura final e a quantidade de calor transferida pode ser estimada 
igualando-se a energia perdida pelo fluido mais quente à energia ganha pelo mais frio. 
São mais comuns, no entanto, os trocadores de calor nos quais um fluido é separado do 
outro por uma parede ou partição através da qual passa o calor. Esses tipos de 
trocadores de calor são chamados de RECUPERADORES. Existem muitas formas 
desses equipamentos, indo desde o simples tubo-dentro-de-tubo, com uns poucos metros 
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 - 45 - 
quadrados de superfície de troca de calor, até os complexos condensadores e 
evaporadores de superfície, com milhares de metros quadrados de superfície de troca de 
calor. Entre esses extremos há uma vasta gama de trocadores tipo carcaça-e-tubos. São 
largamente empregadas porque podem ser construídas com grandes superfícies de troca 
de calor num volume relativamente pequeno, podem ser fabricadas de ligas para reduzir a 
corrosão e são adequadas para aquecimento, resfriamento, evaporação ou condensação 
de todas as espécies de fluidos. 
A Figura 50 mostra um trocador de calor de tipo carcaça-e-tubo, que consiste de um tubo 
localizado concêntricamente dentro de outro tubo, que forma a carcaça. Um dos fluidos 
escoa dentro do tubo interior e o outro através do anel formado entre os tubos interno e 
externo. A diferença de temperatura entre os fluidos quente e frio em geral não é 
constante ao longo do tubo e a quantidade de calor transmitida variará de seção para 
seção. 
 
Figura 50 – Trocador de calor do tipo tubo-dentro-de-tubo com correntes opostas 
 
A Figura 51 mostra um trocador de calor do tipo placa plana, onde os dois fluidos escoam 
formando ângulos retos entre si, em correntes cruzadas. Cada um dos fluidos não se 
mistura ao passar através do trocador de calor e, portanto, as temperaturas dos fluidos, 
ao deixarem o trocador, não são uniformes, sendo maiores num lado que no outro. 
 
Figura 51 – Trocador de calor do tipo placa plana com correntes cruzadas com ambos os 
fluidos não misturados 
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 - 46 - 
 
A Figura 52 mostra outro tipo de trocador de calor de corrente cruzada, neste tipo de 
trocador um dos fluidos se mistura na passagem através do trocador. A temperatura do 
fluido misturado será uniforme emqualquer seção e só variará na direção do escoamento. 
 
 
 
Figura 52 – Trocador de calor de correntes cruzadas com um fluido misturado e outro não 
misturado 
 
 
 
A fim de aumentar a área superficial de troca de calor efetiva por unidade de volume, a 
maioria dos trocadores de calor comerciais prevê mais de um passe através dos tubos (os 
fluidos passam mais de uma vez pelos tubos) e o fluido que escoa por fora dos tubos, na 
carcaça, é guiado por meio de defletores. A Figura 53 é um corte de um trocador de calor 
de dois passes nos tubos e um passe nos defletores. A Figura 54 mostra alguns tipos de 
defletores. 
 
 
 
Figura 53 – Trocador de calor carcaça-e-tubos com defletores: dois passes nos tubos e 
um na carcaça 
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Figura 54 – Tipos de defletores usados em trocadores de calor carcaça-e-tubos 
 
Para o cálculo da quantidade de calor transmitida por unidade de tempo em um trocador 
de calor, pode-se usar a expressão: 
 
TdAUdq ∆××= 
 
Um balanço de energia numa área diferencial dA, considerando U constante, variações de 
energia cinética desprezíveis e a carcaça do trocador isolada, resulta: 
 


 −××=××±=××−= fqfpffqpqq TTdAUdTcmdTcmdq 
Onde: 
m = vazão em massa, em kg/h; 
cp = calor específico à pressão constante, em kcal/kg.ºC; 
T = temperatura média, em ºC; 
Índices q e f = referentes ao fluido quente e ao fluido frio; 
Sinal + = fluidos em corrente paralela; 
Sinal - = fluidos em corrente oposta; 
U = coeficiente global de transmissão de calor, dado na tabela da Figura 55. 
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Figura 55 – Coeficientes Globais aproximados para estimativas preliminares