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aplicacoesalgebralinear

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
IZABELE D’ AGOSTIN
APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
CURITIBA
2020
IZABELE D’ AGOSTIN
APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
Applications of Linear Algebra
Dissertação apresentada como requisito para
obtenção do título de Mestra Profissional em
Matemática em Rede Nacional - PROFMAT da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
(UTFPR)
Orientadora: Patrícia Massae Kitani
Coorientadora: Mari Sano
CURITIBA
2020
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pt
26/11/2020 -
https://sistemas2.utfpr.edu.br/dpls/sistema/aluno01/mpCADEDocsAssinar.pcTelaAssinaturaDoc?p_pesscodnr=201560&p_cadedocpescodnr=2098&p… 1/1
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Curitiba
IZABELE D AGOSTIN
APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR.
Trabalho de pesquisa de mestrado apresentado como requisito
para obtenção do título de Mestra Profissional Em Matemática
Para A Escola Básica da Universidade Tecnológica Federal do
Paraná (UTFPR). Área de concentração: Matemática.
Data de aprovação: 25 de Novembro de 2020
Prof.a Patricia Massae Kitani, Doutorado - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Prof Adriano Verderio, Doutorado - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Prof.a Paula Olga Gneri, Doutorado - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Prof Simao Nicolau Stelmastchuk, Doutorado - Universidade Federal do Paraná (Ufpr)
Documento gerado pelo Sistema Acadêmico da UTFPR a partir dos dados da Ata de Defesa em 26/11/2020.
 
Dedico esse trabalho a Deus e a minha famí-
lia. A Deus porque nunca me abandonou e a
minha família pelo incentivo e paciência.
AGRADECIMENTOS
À Deus que me permitiu concluir este trabalho.
À Profa. Dra. Patrícia Massae Kitani e à Profa. Dra. Mari Sano pela paciência, dedicação
e apoio na elaboração deste trabalho.
Aos meus pais pelo apoio, compreensão e pelas orações.
Aos familiares e amigos pelo incentivo.
Aos colegas do Profmat pelas trocas de ideias e pela ajuda durante todo o curso.
Aos professores que ministraram as disciplinas do curso pela qualidade do ensino
oferecida.
À Sociedade Brasileira de Matemática que, na busca da melhoria do ensino de matemática
na Educação Básica, viabilizou a implementação do PROFMAT.
À CAPES, pela recomendação do PROFMAT por meio do parecer do Conselho Técnico
Científico da Educação Superior.
“E tudo o que vocês na oração pedirem com
fé, vocês receberão."
(Bíblia Sagrada, Mateus 21, 22)
RESUMO
D’ AGOSTIN, Izabele. Aplicações de Álgebra Linear. 102 f. Dissertação - Programa de
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Universidade Tecnológica
Federal do Paraná. Curitiba, 2020.
O presente trabalho apresenta várias aplicações envolvendo Álgebra Linear. Entre elas, vale
destacar o jogo Lights Out, aplicação que pode ser utilizada no Ensino Superior como uma forma
de contextualizar alguns assuntos. Para isso, abordamos e analisamos os principais conceitos
associados a matrizes, determinantes, sistemas lineares, congruências e espaços vetoriais. Finali-
zamos o trabalho, propondo uma atividade voltada para o Ensino Médio, que envolve resolução
de sistemas lineares e multiplicação de matrizes, cuja metodologia utilizada é a modelagem
matemática.
Palavras-chave: Álgebra Linear; Aplicações; Jogo Lights Out; Matrizes; Sistemas lineares.
ABSTRACT
D’ AGOSTIN, Izabele. Applications of Linear Algebra. 102 pg. Dissertation - Programa de
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Universidade Tecnológica
Federal do Paraná. Curitiba, 2020.
This work presents several applications involving Linear Algebra. Among them, the Lights Out
game which can be used as a way to provide a context of some issues in higher education. In
order to accomplish this, we intruduce and analyze the main concepts associated with matrices,
determinants, linear systems, congruencies and vector spaces. Finally, we propose an activity
focused on high school students that involves the use of mathematical modelling to arrive at the
resolution of linear systems and matrix multiplication.
Keywords: Linear Algebra; Applications; Lights Out Game; Matrices; Linear Systems.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Face média e autofaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 2 – Junção dos polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 3 – Dodecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 4 – Buckminsterfullerene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 5 – Jogo Lights Out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 6 – Jogo na versão 3× 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 7 – Índice de Massa Corpórea (IMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Quadro alfanumérico para o envio e recebimento de mensagens codificadas 60
Quadro 2 – Frase decodificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Quadro 3 – Quantidade de materias escolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Quadro 4 – Preço dos materiais escolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Quadro 5 – Gasto calórico por atividade física para um indivíduo com 80 kg . . . . . . 97
Quadro 6 – Programa de atividades físicas da primeira semana . . . . . . . . . . . . . 97
Quadro 7 – Gasto calórico por atividade física para um indivíduo com 79,5 kg . . . . . 98
Quadro 8 – Programa de atividades físicas da segunda semana . . . . . . . . . . . . . 98
Quadro 9 – Gasto calórico por atividade física para um indivíduo com 78,8 kg . . . . . 98
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 DADOS HISTÓRICOS SOBRE A ÁLGEBRA LINEAR . . . . . . . . . 13
3 MATRIZES E DETERMINANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Forma escalonada de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Matriz invertível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Matrizes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Classificação de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Resolução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 CONGRUÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1 Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Classes residuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Operações com classes residuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 ESPAÇO VETORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1 Espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Subespaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.5 Base e dimensão de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.6 Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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