Aula 03 - Bases numéricas

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Organização de Computadores
Bases numéricas
Prof. André Luiz Przybysz
andrelp@utfpr.edu.br
Roteiro
Introdução
Representação de números
Transformação entre bases
Exercícios
Introdução
A realização de cálculos com o sistema romano é 
extremamente complexo
Os árabes criaram um sistema com 10 algarismos (0 a 9):
•1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Tal sistema passou a ser usado na Europa a partir do século
12
Existe um símbolo para valor nulo (0)
Cada algarismo utilizado é maior que seu predecessor
A notação é posicional (o valor de um algarismo é 
determinado pela sua posição dentro do número
I = 1
II = 2
III = 3
Introdução
No período pré-histórico o homem disse: 
“muhaha, preciso contar...”
Isso implicou na necessidade de criar sistemas 
numéricos para a contagem
sistema unário (um-a-um)
Introdução
O sistema romano foi um avanço na contagem
Baseado em algarismos aditivos como:
Adicionou uma série de regras para interpretar o número a 
ser representado
• V = 5
• VI = 6
• IV = 6
• X = 10
• XX = 20
• XXX = 30 (não é o que vocês estão pensando!) 
• XL = 40
I = 1
II = 2
III = 3
Representação de números
Os sistemas atuais formam os números pela 
fórmula a seguir:
a=
n-1
i=-m
(x .B )
i
i
a: elemento propriamente dito
B: representa a base do sistema
xi : representa os algarismos (0 <= xi < B)
-m a -n1: representa o número de posições 
utilizadas 
a = xn-1.Bn-1 + xn-2.Bn-2 + ... + x1.B+x0
Representação de números
Exemplo:
• 125(10) = 1.102 + 2.101 + 5.100
a=
n-1
i=-m
(x .B )
i
i
a: elemento propriamente dito
B: representa a base do sistema
xi : representa os algarismos (0<=xi < B)
-m a -n1: representa o número de posições 
utilizadas 
a = xn-1.Bn-1 + xn-2.Bn-2 + ... + x1.B + x0
Transformação entre bases
Método polinomial
Exemplo: transforme 152(8) em decimal:
• 152(8) = 1*82 + 5*81 + 2*80 = 64 + 40 + 2 = 
106
a=
n-1
i=-m
(x .B )
i
i
a: elemento propriamente dito
B: representa a base do sistema
xi : representa os algarismos (0<=xi < B)
-m a -n1: representa o número de posições 
utilizadas 
a = xn-1.Bn-1 + xn-2.Bn-2 + ... + x1.B + x0
Transformação entre bases
Método das divisões
O número a ser convertido é dividido pela nova base. O resto desta 
divisão forma o algoritmo menos significativo. 
O quociente é dividido novamente, até o quociente ser zero.
a: elemento propriamente dito
B: representa a base do sistema
xi : representa os algarismos (0<=xi < 
B)
-m a -n1: representa o número de 
posições utilizadas 
a/B = (xn-1.Bn-1 + xn-2.Bn-2 + ... + x1.B + x0) / B
Exemplo: converter 73(10) para octal: 
Operação Quociente Resto
73/2 36 1
36/2 18 0
18/2 9 0
9/2 4 1
4/2 2 0
2/2 1 0
1/2 0 1
1001001
Transformação entre bases
Método das divisões para frações
Para frações, a fração é multiplicada pela nova base: a parte inteira resultante, 
forma o algarismo mais à esquerda da nova fração e a parte fracionária é 
submetida novamente ao método, até o resultado ser 0 ou até atingir o número 
de dígitos desejados.
Exemplo: converter 73(10) para 
binário: 
Operação Quociente Resto
73/2 36 1
36/2 18 0
18/2 9 0
9/2 4 1
4/2 2 0
2/2 1 0
1/2 0 1
1001001
Operação Parte inteira Fração
0,625*2=1,25
0
1 0,1
0,250*2=0,50 0 0,10
0,50*2=1,0 1 0,101
Exemplo: converter 0,625(10) para binário: 
0,101
1x2-1 + 0x2-2 + 1*2-3
Convertendo novamente para decimal
1 0 1
2-1 2-2 2-3
+ +
0,5 + 0 + 0,125 = 0,625(10)
Transformação entre bases
Método da substituição direta
Método trivial
Funciona SOMENTE para bases que são potências inteiras entre 
si
Exemplo: converter 26(8) para binário: 
Para converter B1 (base maior) para B2 
(base 
menor), cada algarismo de B1 é 
substituído por 
m algarismos equivalentes a B2
2 = 010
6 = 110
010110(2)
Para converter de B2 a B1, agrupam-se em 
grupos de m, tornando-se a vírgula como 
referência
Exemplo: converter 010110(2) para octal: 
010110(2)
2 6Fique esperto: para cada 
algarismo convertido de B1 a 
B2, complete com 0 as casas 
restantes de acordo com a 
base de origem
(8)
Dúvidas?
Exercícios
• 1. Converter para a base decimal os seguintes números:
• a) 1010102
• b) 10103
• c) 10214
• d)10256
• e) 21658
• f) 1FA216
• g) E1A16
• h) 7078
Exercícios
• 2. Usando o método das divisões, converter os seguintes 
números decimais para a base indicada:
• a) 96 para a base ternária
• b) 96 para a base octal
• c) 258 para a base hexadecimal
• d) 258 para base binária
• e) 49 para a base quaternária
• f) 57 para a base ternária
• g) 56 para a base binária
• h) 56 para a base hexadecimal
Exercícios
• 3. Usando o método das subtrações, converter os seguintes 
números decimais para a base indicada:
• a) 96 para a base ternária
• b) 96 para a base octal
• c) 258 para a base hexadecimal
• d) 258 para base binária
• e) 49 para a base quaternária
• f) 57 para a base ternária
• g) 56 para a base binária
• h) 56 para a base hexadecimal
Exercícios
• 4. Usando o método das substituições, converter os 
seguintes núemros para a base indicada:
• a) 1011000110102 para a base octal
• b) 1011000110102 para a base hexadecimal
• c) 001011001012 para base octal
• d) 001011001012 para a base hexadecimal
• e) 3478 para a base binária
• f) 72418 para a base binária
• g) 3AF16 para a base binária
• h) 7EB16 para a base binária
Exercícios
• 5. Qual o valor decimal de 011011012? Qual representação binária de 
654?
• 6. Converter para binário os seguintes números decimais:
• a) 39
• b) 0,4475
• c) 256,75
• d) 129,5625
• 7. Converter para decimal os seguintes números binários:
• a) 01101
• b)0,001101
• c) 0111011,1011
• d) 010110011
Exercícios
• 8. Converter os seguintes números hexadecimais em decimais:
• a) B6C7
• b) D2763
• c) 9,1A
• 9. Converter os seguintes números octais em binário:
• a) 56
• b) 32,234
• c) 231,2
• d) 3364
• 10. Converter os seguintes números hexadecimais em binário:
• a) AB2
• b) 12,A
• c) 649
• d) 0,D19
Exercícios
• 11. Converter os seguintes números binários em hexadecimais:
• a) 010110111
• b) 011110,01011
• c) 01110100010101