Estática - Momento de uma força

MOMENTO DE UMA FORÇAMomento de uma Força
A magnitude do momento da força F nos
três casos é M =F.d
M =r × F
M = F.d.sen α
mas sen α = d
 r
⟹ M = r.F
⟹ M = F.d
__
d
r
__
Produto Vetorial
M = r × F
A tendência da força de
provocar uma rotação no
corpo é chamada de mo-
mento da força: M
O momento de uma força
força também é chamado
de torque.
Para a situação ao lado a
magnitude do momento
será:
M = F.d
Para este caso a magnitu-
de do momento será:
M = F.d.sen α
Definimos o momento da
força F como sendo:
M =r × F
C = A × B
A magnitude de C é 
C = A.B.sen θ
O vetor C é perpendicular
aos vetores A e B. O senti-
do é dado pela regra da
mão direita.
Consequentemente,
B × A = −A × B
i × j = k ⟹ j × i = −k
j × k = i ⟹ k × j = −i
k × i = j ⟹ i × k = −j
i × i = j × j = k × k = 0
A = Aₓi +Aᵧj + Aᶻk B = Bₓi + Bᵧj + Bᶻk
A × B = (Aₓi +Aᵧj + Aᶻk) × (Bₓi + Bᵧj + Bᶻk)
A×B = Aₓi ×(Bᵧj+Bᶻk) + Aᵧj ×(Bₓi+Bᶻk) + Aᶻk ×(Bₓi+Bᵧj)
Momento de uma Força
Princípio dos Momentos (Teorema
de Varignon)
M =r × F = r × (F₁+F₂)
⟹ M = r×F₁ + r×F₂
⟹ M = M₁ + M₂
 M = r₁×F₁ + r₂×F₂
 ⟹ M = Σ rᵢ + Fᵢ
 ᵢ
Exercício α = 30º β = 45º
d = 3 m F = 45 N
Determine o momento da
força F sobre o ponto O.
Produto vetorial
r = d.cos α î + d.sen α j 
r = [(3.cos (30))i + (3.sen (60))j]m
r = ((3.√3)/2 i + (45.√2)/2 j)m
F = F.cos β i − F.sen β j
F = [(45.cos (45))i − (45.sen (45))j]N
F = ((45.√2)/2 i − (45√2)/2 j)N
M = ((3.√3)/2 i + (45.√2)/2 j) × ((45.√2)/2 i − (45√2)/2 j)
M = − 3.45.(√3.√2) k − 3.45.√2 k = −135. (√6+√2)
 4 4 4
M = (− 130.4 k) N.m
___________ _______ ____
Momento de Binário Resultante
Mᴀ =r × F
Mᴀ = (2i+1,5j)×F
 = (2i+1,5j)×(75.cos 30ºj + 75.sen 30ºk)
 = (2i+1,5j)×(64,95j+37,5k)
Mᴀ = 56,25i−75j+129,9k
Momento de uma força em relação
a um eixo
 Mᵧ = ?
 Mᵧ = Mᴀ ‧ j = (56,25i−75j+129,9k) ‧ j
⟹ Mᵧ = −75 N.m
 Mᵧ = Mᴀ ‧ j = (r×F) ‧ j = [(rₓi+rᵧj)×(Fᶻk + Fᵧj)] ‧ j
 Mᵧ = [−rₓ.Fᶻj+rₓ.Fᵧk+rᵧ.Fᶻi] ‧ j 
⟹ Mᵧ =−rₓ.Fᶻ
Uma força não contribui para o momento em
relação a um eixo se sua direção é paralela ao
eixo ou se passa pelo eixo.
Se uma força F é perpendicular a um eixo α,
então o momento em relação a este eixo é
Mₐ = F.dₐ
Outra opção:
Mₐ = (r × F) ‧ uₐ
Exemplo: Determine o momento Mᴀʙ produzi-
do pela força F sobre o eixo AB.
Mᴀʙ = (r ×F) ‧ uᴮ
uᴮ = rᴮ = 0,4i + 0,2j
 rᴮ √(0,4)²+(0,2)²
uᴮ = 0,8944i + 0,4472j
C/A
Mᴀʙ = [(0,6i + 0,3k)×(−300k)] ‧ uᴮ
⟹ Mᴀʙ = 80,5 N.m
Momento de um Binário
Um binário é definido como
sendo duas forças paralelas
de mesma magnitude.
M = rᴬ × F + rᴮ × −F
M = (rᴬ−rᴮ) × F
M = r × F
Binários Equivalentes:
Se dois binários tem a
mesma magnitude e
mesma direção eles
são ditos equivalentes.
 Mʀ = M₁ + M₂
⟹Mʀ = Σ(r × F)
Exemplo:
Determine a magnitu-
de e a direção do mo-
mento de binário a-
tuando sobre a engre-
nagem.
___ ____________________
Fₓ= 600.cos (30º)= 600.√3/2= 300√3= 519,6N
Fᵧ = 600.sen (30º) = 600.(1/2) = 300N
M₁ = −300.(0,2) ⟹ M₁ = −600 N.m
M₂ = 300.√3.(0,2) ⟹ M₂ = 60.√3 = 103,9 N.m
M = 60.√3−60 ⟹ M = 43,9 N.m