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UFRPE – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
3a LISTA de CA´LCULO A VA´RIAS VARIAA´VEIS – BSI – mai/2015 – 2015.1
Prof a Ma´rcia P. Dantas – FUNC¸O˜ES A VA´RIAS VARIA´VEIS
OBS: Va´rias questo˜es conteˆm sugesta˜o de usar um recurso computacional. Sugiro a plataforma
WOLFRAM ALPHA.
PARTE 1: derivadas parcias de primeira ordem e de ordem superior; regra da cadeia; e aplicac¸o˜es.
1. Esboce o gra´fico das curvas de n´ıvel, o gra´fico da func¸a˜o e calcule as derivadas parciais:
(a) f(x, y) = 3
(b) f(x, y) = 10− 4x− 5y
(c) f(x, y) = y2 + 1
(d) f(x, y) = x2 + y2 − 4
(e) f(x, y) =
√
x2 + y2
(f) f(x, y) = y
(g) f(x, y) = x2 + 9y2
(h) f(x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2
(i) f(x, y) = 1
1+x2+y2
(j) f(x, y) = x2 − y2 (sela)
2. Esboce o gra´fico da func¸a˜o (use a plataforma WOLFRAM ALPHA) e calcule as derivadas parciais:
(a) f(x, y) = xy2 − x3 (sela do macaco)
(b) f(x, y) = xy3 − yx3 (sela do cachorro)
(c) f(x, y) = (x2 − y2)2
(d) f(x, y) = (x− y)2
(e) f(x, y) = cosx
(f) f(x, y) = cosxy
(g) f(x, y) = e−x2 + e−2y2
(h) f(x, y) = (1− 3x2 + y2)e1−x2−y2
3. Em func¸a˜o de um estudo feito sobre a economia norte–americana entre 1899 e 1922, Charles Cobb
e Paul Douglas chegaram a um modelo para a produc¸a˜o em func¸a˜o da quantidade de trabalho
e da quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores que afetam o
desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A func¸a˜o produc¸a˜o, conhecida
como func¸a˜o de Cobb–Douglas, e´ dada pela expressa˜o,
P (L,K) = bLαK1−α,
onde P e´ a produc¸a˜o total, L e´ a quantidade de trabalho medida pelo nu´mero de pessoas–hora
trabalhada em um ano, e K e´ a quantidade de capital investido medida pelo valor moneta´rio das
ma´quinas, equipamentos e pre´dios (no caso espec´ıfico da economia norte–americana, b = 1, 01, e
α = 0, 75).
(a) Usando b = 1, 01, e α = 0, 75, calcule a produc¸a˜o para uma quantidade de 150 pessoas–
hora trabalhadas em um ano e um capital de R$200, 00, e em seguida para 300 pessoas–hora
trabalhadas em um ano e um capital de R$400, 00. Qual a relac¸a˜o entre os dois resultados?
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(b) Mostre que no modelo geral a produc¸a˜o duplica ao duplicar a quantidade de trabalho e de
capital.
(c) Calcule as deriadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o de Cobb-Douglas e mostre que ela
satisfaz a equac¸a˜o,
LPL +KPK = (α+ β)P.
4. A equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor relaciona a temperatura com o tempo em um ponto de um objeto
como um fio, uma chapa ou uma esfera. Assim temos as verso˜es em uma dimensa˜o, duas e treˆs. A
equac¸a˜o unidimensional (que modela a conduc¸a˜o em um fio) e´,
ut = α
2uxx,
onde α e´ um paraˆmetro e x e´ a distaˆncia da fonte de calor. Mostre que a func¸a˜o u = e−α2k2t e´ uma
soluc¸a˜o da equac¸a˜o do calor dada acima.
5. Verifique se a func¸a˜o v = 1/
√
x2 + y2 + z2 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace tridimensional,
uxx + uyy + uzz = 0.
6. A lei dos gases para uma massa fixa m de um ga´s ideal a` temperatura absoluta T , pressa˜o P e
volume V e´ dada por PV = mRT , onde R e´ a constante do ga´s. Mostre que:
(a) PV VTTP = −1. (b) TPTVT = mR.
7. E´ poss´ıvel uma func¸a˜o cujas derivadas de primeira ordem sa˜o fx(x, y) = x + y e fy(x, y) = y − x
ter derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas? Justifique sua resposta.
8. Determine dz/dt quando t = 3, sabendo que x = g(t),y = h(t), g(t) = 2, h(3) = 7, g′(3) = 5,
h′(3) = −4,fx(2, 7) = 6 e fy(2, 7) = −8.
9. A produc¸a˜o W de trigo em um determinado ano depende da temperatura me´dia T e da quanti-
dade de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura me´dia anual esta´ crescendo a` taxa de
0, 15◦C/ano e a quantidade anual de chuva esta´ decrescendo a´ taxa de 0, 1cm/ano. Eles tambe´m
estimam que, no atual n´ıvel de produc¸a˜o, ∂W/∂T = −2 e ∂W/∂R = 8.
(a) Qual o significado do sinal dessas derivadas parciais.
(b) Estime a taxa de variac¸a˜o corrente da produc¸a˜o de trigo dada por ∂W/∂t.
10. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 4, 6cm/s enquanto sua altura decresce a
uma taxa de 6, 5cm/s. Qual a taxa de variac¸a˜o do volume do cone quando seu raio e´ 300cm e a
altura e´ 350cm?
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11. Uma caixa tem suas dimenso˜esde l (comprimento), w (largura) e h (altura), em metros, variando
com o tempo, medido em segundos. Se em determinado instante, l = 1, w = h = 2, l e w
aumentam a uma taxa de 2m/s, enquant h diminui a uma taxa de 3m/s, determine as taxas com
que as quantidades abaixo esta˜o variando nesse instante:
(a) O volume. (b) A a´rea da supef´ıcie. (b) O comprimento da diagonal.
12. A pressa˜o de um mol de ga´s ideal e´ aumentada a` uma taxa de 0, 05kPa/s e a temperatura e´ elevada
a uma taxa de 0, 15◦K/s. Use a lei dos gases perfeitos dada por PV = 8, 31T para obter a taxa de
variac¸a˜o do volume quando a pressa˜o e´ 20kPa e a temperatura e´ 320K.
PARTE 2: aproximac¸o˜es lineares; derivada direcioanl e gradiente; e aplicac¸o˜es.
13. Seja f(x, y) =
√
1 + x− y2.
(a) Determine e esboce o domı´nio de f .
(b) Encontre a aproximac¸a˜o linear de f no ponto (1, 1).
(c) Use a proximac¸a˜o linear do item anterior para encontrar um valor aproximado para f(1.1, 1.1).
Compare o valor aproximado encontrado do valor encontrado usando uma calculadora.
(d) Repita o item anterior para f(1.1, 0.9).
(e) * Nos dois caso acima, fac¸a o gra´fico da func¸a˜o e do plano tangente em um u´nico sistema de
coordenadas, com o aux´ılio de um recurso computacional.
14. Seja f(x, y) = ln(x+ y − 1).
(a) Calcule f(1, 1) e f(e, 1).
(b) Determine e esboce o domı´nio de f .
(c) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f .
(d) Encontre a aproximac¸a˜o linear para f no ponto (1, 1) e use-a para encontrar um valor aproxi-
mado para f em (1,01; 0,98).
15. Seja f(x, y, z) = ln(25− x2 − y2 − z2).
(a) Calcule f(2,−2, 4).
(b) Determine e eboce o domı´nio de f .
(c) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f .
(d) Encontre a aproximac¸a˜o linear de f no ponto (4, 0, 3).
16. Aproxime o valor de f no ponto dado.
(a) f(x, y) = sinpixy; (−1.97, 2.005).
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(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2; (3.01, 4.02, 11.98).
(c) f(x, y, z) = xyz2; (−2.1, 1.01, 0.989).
(d) f(x, y) = x2e3xy; (0.1, 1/3). Observe que voceˆ encontrou um valor aproximado para 0.01e0.1.
17. Use aproximac¸a˜o linear para encontrar um valor aproximado para o nu´mero:
(a) (1.93 + 2.13)1/4 (b) 16.051/47.952/3 (b) e0.1 ln 0.9
18. Encontre um valor aproximado para o comprimento da hipotenusa e para a a´rea de um triaˆngulo
retaˆngulo cujos lados teˆm comprimento de 5.011 e 11.877.
19. Encontre um valor aproximado para a superf´ıcie de uma caixa retangular com dimenso˜es 3.019,
3.979 e 11.973 asumindo que a caixa tem tampa.
20. Em uma placa de metal fina, a temperatura no ponto (x, y)e´ dada pela expressa˜o
T (x, y) =
100
1 + x2 + 2y2
,
onde T e´ medido em ◦Celsius e x, y em metros. As curvas de n´ıvel de T sa˜o chamadas isote´rmicas
porque todos os pontos teˆm a mesma temperatura em uma mesma isote´rmica.
(a) Fac¸a o esboc¸o de algumas isote´rmicas (use um recurso computacional se achar necessa´rio).
(b) Encontre a taxa de variac¸a˜o da temperatura nos pontos (0, 0) e (1, 2):
i. Com relac¸a˜o a x i. Com relac¸a˜o a y
(d) Encontre a aproximac¸a˜o linear no ponto (1, 2) e use–a para encontrar um valor aproximado
para a temperatura em (1.2, 2.1).
21. Achar o gradiente de f no ponto P dado e a derivada direcional na direc¸a˜o dada em P .
(a) f(x, y) = x
2−y2
x2+y2
;P (3, 4);u = (1,−√3)
(b) f(x, y) = e4y;P (1/2, 1/4);u = 4i
(c) f(x, y, z) = x3y2z;P (2,−1, 2);u = 2i− j− 2k
(d) f(x, y, z) = ex
2+y2+z2 ;P (0, 0, 0);u = −2i− j− k
22. Seja f(x, y) = 2x+ x2y + y sin y e u = ai + bj um vetor unita´rio.
(a) Expresse a derivada direcioanl Duf(1,0) em termos de a e b.
(b) Encontre os valores de a e b para os quais Duf(1, 0) e´ ma´xima.
23. No estudo da penetrac¸a˜o da geada em uma rodovia, a temperatura T no instante t em horas e a
uma profundidade x em metros pode ser dada por,
T = T0e
−λx sin(ωt− λx),
onde T0, ω e λ sa˜o constantes.
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(a) Calcule e interprete fisicamente Tt e Tx.
(b) Mostre que T verifica a equac¸a˜o unidimensional do calor,
Tt = kTxx
para uma certa constante k.
(c) Use um recurso computacional para trac¸ar o gra´fico de T (x, t) considerando λ = 0, 2, T0 = 0,
e T1 = 10.
(d) Com os dados acima, encontre a direc¸a˜o em que a temperatura e´ ma´xima no ponto (0, 0).
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