3. JUROS COMPOSTOS

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JUROS 
COMPOSTOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROF. DRA. DENISE CANDAL
CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS
Ao final de um período, os juros produzidos são somados ao montante do 
início do período seguinte. Esta soma passa então a render juros no 
período seguinte e assim sucessivamente.
EXEMPLO
Considere o valor de R$1.000 para investimento. Esse investimento rende 20% ao mês. Ao 
final do período, os juros produzidos são somados ao montante do início do período 
seguinte, e assim sucessivamente (juros compostos). 
Período 𝑃 = 100,00 ; 𝑖 = 0,2 Geral
Período 1 𝑀1 = 100 + 100 ∙ 0,2
𝑀1 = 100(1 + 0,2)
𝑀1 = 100(1,2)
𝑀1 = 𝑃 + 𝑃 ∙ 𝑖
𝑀1 = 𝑃(1 + 𝑖)
Período 2 𝑀2 = 100(1,2) + 100(1,2) ∙ 0,2
𝑀2 = 100(1,2)(1 + 0,2)
𝑀2 = 100(1,2)(1,2)
𝑀2 = 100(1,2)
2
𝑀2 = 𝑃(1 + 𝑖) + 𝑃(1 + 𝑖) ∙ 𝑖
𝑀2 = 𝑃(1 + 𝑖)(1 + 𝑖)
𝑀2 = 𝑃(1 + 𝑖)
2
Período 3 𝑀3 = 100(1,2)
2+100(1,2)2∙ 0,2
𝑀3 = 100(1,2)
2(1 + 0,2)
𝑀3 = 100(1,2)
2(1,2)
𝑀3 = 100(1,2)
3
𝑀3 = 𝑃(1 + 𝑖)
2+𝑃(1 + 𝑖)2∙ 𝑖
𝑀3 = 𝑃(1 + 𝑖)
2(1 + 𝑖)
𝑀3 = 𝑃(1 + 𝑖)
3
...
Período n 𝑀𝑛 = 100(1,2)
𝑛 𝑀𝑛 = 𝑃(1 + 𝑖)
𝑛
EXEMPLO
Obs: 
✓ Setas para cima - entradas ou recebimentos 
✓ Seta para baixo - saídas ou pagamentos
M= 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
Após 3 meses, taxa de 2%, P= 1.000 
JUROS COMPOSTOS
Os juros que forem gerados a cada período serão incorporados ao 
principal. Calculamos então, os juros do período seguinte. 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
Observações:
𝑀 = 𝑆 = 𝑉𝐹 = 𝐹𝑉 = valor futuro ou de resgate
(1 + 𝑖)𝑛 = fator de capitalização
QUESTÃO
Considere que a correção da caderneta de poupança, em determinado ano, tenha sido de 
50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se um indivíduo depositou $100,00 em 
01/01 deste ano, desenvolva, mês a mês, o cálculo do resultado acumulado em 01/06 
deste mesmo ano
Importante: a taxa e o número de períodos devem estar na mesma unidade de tempo.
QUESTÃO
𝑃 = 100,00 ; 𝑖 = 0,5
Período 1
01/02
𝑀1 = 100 + 100 ∙ 0,5
𝑀1 = 100(1 + 0,5)
𝑀1 = 100(1,5)
Período 2
01/03
𝑀2 = 100(1,5) + 100(1,5) ∙ 0,5
𝑀2 = 100(1,5)(1 + 0,5)
𝑀2 = 100(1,5)(1,5)
𝑀2 = 100(1,5)
2
Período 3
01/04
𝑀3 = 100(1,5)
2+100(1,5)2∙ 0,5
𝑀3 = 100(1,5)
2(1 + 0,5)
𝑀3 = 100(1,5)
2(1,5)
𝑀3 = 100(1,5)
3
Período 4
01/05
𝑀4 = 100(1,5)
3+100(1,5)3∙ 0,5
𝑀4 = 100(1,5)
3(1 + 0,5)
𝑀4 = 100(1,5)
3(1,5)
𝑀4 = 100(1,5)
4
Período 5
01/06
𝑀5 = 100(1,5)
4+100(1,5)4∙ 0,5
𝑀5 = 100(1,5)
4(1 + 0,5)
𝑀5 = 100(1,5)
4(1,5)
𝑀5 = 100(1,5)
5
CÁLCULO DO MONTANTE COMPOSTO (VALOR FUTURO)
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 1 + 𝑖 𝑛 𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
Exemplo (Samanez pag 17): A juros compostos de 20% a.a., qual o montante
de $3.500 em oito anos?
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = 3.500 1 + 0,2 8
𝑀 = 15.049,36
Obs. A entrada e a saída é sinalizada pelo valor negativo (CHS).
1. Qual o capital que, em seis anos, à taxa de juros composta de 15% a.a.
monta $14.000?
Samanez pag 18 e Crespo pag 124
EXERCÍCIOS 
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
14.000 = 𝑃(1 + 0,15)6
𝑃 =
14.000
1,156
𝑃 = 6.050,59
Samanez pag 18 e Crespo pag 124
1. Qual o capital que, em seis anos, à taxa de juros composta de 15% a.a.
monta $14.000?
2. Quanto rende um capital de $4.000 aplicado por dez meses a juros
compostos de 2% a.m.?
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = 4.000(1 + 0,02)10
𝑀 = 4.875,98
𝐽 = 𝑀 − 𝑃 = 4.875,98 − 4.000 = 875,98
EXERCÍCIOS 
2. Quanto rende um capital de $4.000 aplicado por dez meses a juros
compostos de 2% a.m.?
3. Uma pessoa toma R$3.000 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo
prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser
devolvido?
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = 3.000(1 + 0,03)10
𝑀 = 4.031,76
EXERCÍCIOS 
3. Uma pessoa toma R$3.000 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo
prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser
devolvido?
4. Calcule o montante de R$20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês,
durante 35 meses.
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = 20.000(1 + 0,035)35
𝑀 = 66.671,8
EXERCÍCIOS 
4. Calcule o montante de R$20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês,
durante 35 meses.
5. Calcule o montante de R$5.000 a juros compostos de 2,25% ao mês, no
fim de 4 meses.
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = 5.000(1 + 0,0225)4
𝑀 = 5.465,40
EXERCÍCIOS 
5. Calcule o montante de R$5.000 a juros compostos de 2,25% ao mês, no
fim de 4 meses.
Mês 0 Depósito
Mês 1 -
Mês 2 Depósito
Mês 3
Mês 4 Retirada
Mês 5 Restou?
6. Uma pessoa deposita $2.000 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais
$2.500 e, dois meses depois desse último depósito, realiza uma retirada de $1.300. Qual
será o saldo da poupança ao final do quinto mês, considerando que a taxa de juros
compostos obtida é de 15% a.m.?
𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
EXERCÍCIOS 
Mês 0 Depósito
Mês 1 -
Mês 2 Depósito
Mês 3
Mês 4 Retirada
Mês 5 Restou?
𝑀1 = 2.000(1 + 0,15)
5
𝑀1 = 4.022,71
𝑀2 = 2.500(1 + 0,15)
3
𝑀2 = 3.802,19
𝑀3 = 1.300(1 + 0,15)
1
𝑀3 = 1.495,00
𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
𝑀1 +𝑀2 −𝑀3 = 6.329,90
EXERCÍCIOS 
6. Uma pessoa deposita $2.000 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais
$2.500 e, dois meses depois desse último depósito, realiza uma retirada de $1.300. Qual
será o saldo da poupança ao final do quinto mês, considerando que a taxa de juros
compostos obtida é de 15% a.m.?
7. Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu
o montante de R$4.058,00.
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
4.058 = 𝑃(1 + 0,03)5
4.058 = 𝑃(1,03)5
4.058 = 1,15927𝑃
4.058
1,15927
= 𝑃
𝑃 = 3.500,48
EXERCÍCIOS 
7. Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu
o montante de R$4.058,00.
8. Sabendo que um capital inicial, em regime de juros composto, à taxa de
2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$79.475,00,
calcule este capital.
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
79.475 = 𝑃(1 + 0,025)4
79.475 = 𝑃(1,025)4
79.475 = 1,1038𝑃
79.475
1,1038
= 𝑃
𝑃 = 72.001,27
EXERCÍCIOS 
8. Sabendo que um capital inicial, em regime de juros composto, à taxa de
2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$79.475,00,
calcule este capital.
9. Determinar o capital que aplicado por sete meses a juros compostos de
4% a.m. rende $10.000.
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
𝑃 + 10.000 = 𝑃(1 + 0,04)7
𝑃 + 10.000 = 1,3159𝑃
10.000 = 1,3159𝑃 − 𝑃
0,3159𝑃 = 10.000
𝑃 =
10.000
0,3159
𝑃 = 31.655,59
EXERCÍCIOS 
9. Determinar o capital que aplicado por sete meses a juros compostos de
4% a.m. rende $10.000.
10. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$3.200,00, sem entrada,
para pagamento em uma única prestação de R$4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa
mensal cobrada pela loja?
EXERCÍCIOS 
𝑞
𝑎 = 𝑎
1
𝑞
Lembre-se:
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
4.049 = 3.200(1 + 𝑖)6
4.049
3.200
= (1 + 𝑖)6
(1 + 𝑖)6= 1,2353125
(1 + 𝑖)6
1
6 = 1,2353125
1
6
1 + 𝑖 = 1,2353125
1
6
1 + 𝑖 = 1,0399991
𝑖 = 0,0399991
EXERCÍCIOS 
10. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$3.200,00, sem entrada,
para pagamento em uma única prestação de R$4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa
mensal cobrada pela loja?
𝑞
𝑎 = 𝑎
1
𝑞
Lembre-se:
11. A que taxa de juros composta um capital de $13.200 pode transformar-se em
$35.112,26, considerando um período de aplicação de sete meses?
EXERCÍCIOS 
𝑞
𝑎 = 𝑎
1
𝑞
Lembre-se:
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
35.112,26 = 13.200,00(1 + 𝑖)7
35.112,26
13.200,00
= (1 + 𝑖)7
(1 + 𝑖)7= 2,66
7
(1 + 𝑖)7=
7
2,66
1 + 𝑖 = 2,66
1
7
1 + 𝑖 = 1,15
𝑖 = 0,15
EXERCÍCIOS 
11. A que taxa de juros composta um capital de $13.200 pode transformar-se em
$35.112,26, considerando um período de aplicação de sete meses?
𝑞
𝑎 = 𝑎
1
𝑞
Lembre-se:
12. A que taxa de juros um capital de $2.000 obtém um rendimento de $280 em dois
meses?
EXERCÍCIOS 
𝑞
𝑎 = 𝑎
1
𝑞
Lembre-se:
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
2.280 = 2.000(1 + 𝑖)2
2.280
2.000
= (1 + 𝑖)2
2.280
2.000
= (1 + 𝑖)2
1 + 𝑖 =
2.280
2.000
=
2.280
2.000
1
2
1 + 𝑖= 1,0677
𝑖 = 0,0677
𝑖 = 6,77% 𝑎.𝑚.
EXERCÍCIOS 
12. A que taxa de juros um capital de $2.000 obtém um rendimento de $280 em dois
meses?
𝑞
𝑎 = 𝑎
1
𝑞
Lembre-se:
13. Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$12.000 para
receber R$16.127 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento
proposto no regime de juros compostos?
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
16.127 = 12.000(1 + 𝑖)10
16.127
12.000
= (1 + 𝑖)10
(1 + 𝑖)10= 1,3439167
1 + 𝑖 = 1,3439167
1
10
1 + 𝑖 = 1,03000002
𝑖 = 0,03000002
EXERCÍCIOS 
13. Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$12.000 para
receber R$16.127 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento
proposto no regime de juros compostos?
EXERCÍCIOS 
14. Determine em que prazo um empréstimo de R$11.000 pode ser quitado em um único
pagamento de R$22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em
regime de juros compostos.
log 𝑎𝑏 = 𝑏 log 𝑎
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
Lembre-se:
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
22.125 = 11.000(1 + 0,15)𝑛
22.125
11.000
= (1 + 0,15)𝑛
22.125
11.000
= (1 + 0,15)𝑛
(1 + 0,15)𝑛= 2,01136
𝑙𝑜𝑔(1 + 0,15)𝑛= 𝑙𝑜𝑔2,01136
𝑛𝑙𝑜𝑔1,15 = 𝑙𝑜𝑔2,01136
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔2,01136
𝑙𝑜𝑔1,15
𝑛 =
0,30349
0,06070
𝑛 = 4,9998
EXERCÍCIOS 
14. Determine em que prazo um empréstimo de R$11.000 pode ser quitado em um único
pagamento de R$22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em
regime de juros compostos.
log 𝑎𝑏 = 𝑏 log 𝑎
Lembre-se:
EXERCÍCIOS 
15. O capital de R$8.700,00 colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se
no fim de certo tempo a R$11.456,00. Calcule este tempo. 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
log 𝑎𝑏 = 𝑏 log 𝑎
Lembre-se:
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
11.456 = 8.700(1 + 0,035)𝑛
11.456
8.700
= (1 + 0,035)𝑛
1,31678 = (1 + 0,035)𝑛
𝑙𝑜𝑔1,31678 = 𝑙𝑜𝑔(1 + 0,035)𝑛
𝑙𝑜𝑔1,31678 = 𝑛 log 1,035
𝑙𝑜𝑔1,31678
𝑙𝑜𝑔1,035
= 𝑛
𝑛 = 7,999
EXERCÍCIOS 
15. O capital de R$8.700,00 colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se
no fim de certo tempo a R$11.456,00. Calcule este tempo.
log 𝑎𝑏 = 𝑏 log 𝑎
Lembre-se:
16. Em que prazo um empréstimo de $55.000 pode ser quitado por meio de um único
pagamento de $110.624,80 se a taxa de juros composta cobrada for de 15% a.a.?
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
EXERCÍCIOS 
log 𝑎𝑏 = 𝑏 log 𝑎
Lembre-se:
16. Em que prazo um empréstimo de $55.000 pode ser quitado por meio de um único
pagamento de $110.624,80 se a taxa de juros composta cobrada for de 15% a.a.?
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
110.624,80 = 55.000(1 + 0,15)𝑛
110.624,80
55.000
= (1,15)𝑛
(1,15)𝑛= 2,01136
Aplicando logaritmo e propriedades:
𝑙𝑜𝑔(1,15)𝑛= 𝑙𝑜𝑔2,01136
𝑛𝑙𝑜𝑔1,15 = 𝑙𝑜𝑔2,01136
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔2,01136
𝑙𝑜𝑔1,15
𝑛 = 5
EXERCÍCIOS 
log 𝑎𝑏 = 𝑏 log 𝑎
Lembre-se:
17. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será
necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização
composta?
EXERCÍCIOS 
17. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será
necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização
composta?
EXERCÍCIOS 
𝑖 =
150
100
= 1,5
𝑀 = 2𝑃
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
2𝑃 = 𝑃(1 + 1,5)𝑛
2 = (2,5)𝑛
𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔(2,5)𝑛
𝑙𝑜𝑔2 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔2,5
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2,5
𝑛 = 0,7564708
0,7564708 de um ano
1 ano --- 12 meses
0,7564708 ---- x
x= 9,0776
18. Á taxa de juros composta de 5% a.m., em que prazo $5.000 rendem
juros de $1.700,48?
EXERCÍCIOS 
18. Á taxa de juros composta de 5% a.m., em que prazo $5.000 rendem
juros de $1.700,48?
EXERCÍCIOS 
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
6.700,48 = 5.000(1 + 0,05)𝑛
6.700,48
5.000
= (1 + 0,05)𝑛
(1 + 0,05)𝑛= 1,340096
𝑙𝑜𝑔(1 + 0,05)𝑛 = 𝑙𝑜𝑔1,340096
𝑛𝑙𝑜𝑔1,05 = 𝑙𝑜𝑔1,340096
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔1,340096
𝑙𝑜𝑔1,05
𝑛 ≅ 6
TAXA EFETIVA
Taxa de juro em que a unidade referencial de seu tempo 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização
Quando temos uma taxa cujo período de formação
de juros é diferente do período de capitalização,
precisaremos efetuar uma conversão de taxas.
Dependendo do tipo de capitalização, composta ou
simples, temos taxas equivalentes ou proporcionais,
respectivamente
TAXAS 
EQUIVALENTES E 
TAXAS 
PROPORCIONAIS
TAXAS
TAXAS
TAXAS 
PROPORCIONAIS
JUROS 
SIMPLES
TAXAS 
EQUIVALENTES
JUROS 
COMPOSTOS
TAXAS PROPORCIONAIS – JUROS SIMPLES
São taxas cujo período de formação de juros é diferente do período de 
capitalização, e que, quando aplicadas ao mesmo principal, durante um 
mesmo prazo, produzem o mesmo montante no final daquele prazo, 
considerando juros simples. 
TAXAS EQUIVALENTES – JUROS COMPOSTOS
São taxas cujo período de formação de juros é diferente do período de 
capitalização, e que, quando aplicadas ao mesmo principal, durante um 
mesmo prazo, produzem o mesmo montante no final daquele prazo, 
considerando juros compostos. 
Considere um principal de $100,00, aplicados a juros compostos. Determine os
montantes acumulados ao final de 4 anos quando as taxas forem de
(a) 12,6825% ao ano.
(b) 6,1520% ao semestre.
4 anos são 8 semestres.
(c) 1,00% ao mês.
4 anos são 4x12 meses = 48 meses
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
TAXAS EQUIVALENTES - EXEMPLO (Puccini)
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛
Considere um principal de $100,00, aplicados a juros compostos. Determine os
montantes acumulados ao final de 4 anos quando as taxas forem de
(a) 12,6825% ao ano.
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛= 100(1,126825)4= 161,22
(b) 6,1520% ao semestre.
4 anos são 8 semestres.
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛= 100(1,061520)8= 161,22
(c) 1,00% ao mês.
4 anos são 4x12 meses = 48 meses
𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛= 100(1,01)48= 161,22
São equivalentes, a juros compostos:
12,6825% ao ano, 6,1520% ao semestre e
1% ao mês.
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
TAXAS EQUIVALENTES - EXEMPLO (Puccini)
FORMULAS RELACIONANDO TAXAS EQUIVALENTES
Calculando o montante de 1 ano: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 ∙ 1)
Calculando o montante de 12 meses: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)
12
Os montantes são os mesmos.
𝑃 1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 𝑃(1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)
12
1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
12
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
Outro Formato: 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
n1 e n2 representam o
mesmo período de tempo,
mas estão expressos na
unidade de suas taxas
correspondentes.
A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano, pode ser determinada da
seguinte forma:
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
EXEMPLO
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍
𝟏 𝒂𝒏𝒐
𝟏𝟐𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 − 𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐 − 𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐 − 𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟗𝟓 − 𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟓
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟗𝟓%
Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao
mês.
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
EXEMPLO (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao
mês.
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
EXEMPLO (Puccini)
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
𝟏 𝒂𝒏𝒐 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏
𝟏𝟐
𝟏 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟏𝟐𝟔𝟖 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟖
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟖%
Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao
mês.
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
EXEMPLO (Puccini)
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟔𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
𝟏 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏
𝟔 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟎𝟔𝟏𝟓 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟏𝟓
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟔, 𝟏𝟓%
Calcule as taxasanual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao
mês.
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
12
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = 1 + 0,01
12
1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 1,126825
𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 0,126825
𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 12,6825%
(1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
2 = 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
12
(1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
2 = 1 + 0,01 12
1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1 + 0,01
6
1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,061520
𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,061520
𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 6,1520%
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
EXEMPLO (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
1. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao 
trimestre. 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
1. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao 
trimestre. 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
𝟒 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔
𝟏 𝒂𝒏𝒐 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑
𝟒 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟏𝟐𝟓𝟓 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓𝟓
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟓%
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
1. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao 
trimestre. 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
𝟐 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔
𝟏 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑
𝟐 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟎𝟔𝟎𝟗 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟎𝟗
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟔, 𝟎𝟗%
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
1. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao 
trimestre. 
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = (1 + 0,03)
4
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = 1,12550881
𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 0,12550881
𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 12,550881%
(𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒
(1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
2 = (1 + 0,03)4
(1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
2 = 1,12550881
(1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)
2 = 1,12550881
1 + 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 1,0609
𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,0609
𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 6,09%
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
2. Calcule a taxa mensal que é equivalente a taxa de 10% ao ano. 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
2. Calcule a taxa mensal que é equivalente a taxa de 10% ao ano. 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍
𝟏 𝒂𝒏𝒐
𝟏𝟐𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 − 𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝟎, 𝟏
𝟏
𝟏𝟐 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟕𝟗𝟕 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟗𝟕
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟕𝟗𝟕%
2. Calcule a taxa mensal que é equivalente a taxa de 10% ao ano. 
𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐
1 + 0,1 = 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
12
1,1
1
12 = 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
12
1
12
1,1
1
12 = 1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 1,007974
𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 0,007974
𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = 0,7974%
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
3. Calcule a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês. 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
3. Calcule a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês. 
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂 = 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏 𝒎𝒆𝒔
𝟑𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔 − 𝟏
𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓
𝟏
𝟑𝟎 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗𝟔𝟒 − 𝟏
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗𝟔𝟒
𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟗𝟔𝟒%
3. Calcule a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês. 
𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 = (1 + 𝑖𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎)
30
1 + 0,015 = (1 + 𝑖𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎)
30
1,015 = (1 + 𝑖𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎)
30
1,015
1
30 = (1 + 𝑖𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎)
30
1
30
1 + 𝑖𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 = 1,0004964
𝑖𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 = 0,0004964
𝑖𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 = 0,04964%
TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS (Puccini)
(𝟏 + 𝒊𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍) = (𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)
𝟒= 𝟏 + 𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝒅𝒊á𝒓𝒊𝒂)
𝟑𝟔𝟎
𝒊𝟏 = 𝟏 + 𝒊𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟏 − 𝟏
TAXAS EFETIVAS E TAXAS NOMINAIS
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma unidade de tempo do período de 
capitalização, ou seja, o período em que os juros são incorporados ao capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
Efetivas
Quando os períodos coincidem.
Nominais
Quando a taxa de juros está expressa em unidade de tempo 
diferente da unidade de tempo do período de capitalização.
TAXAS EFETIVAS E TAXAS NOMINAIS
 Quando nada é dito sobre o período de capitalização, 
inferimos que se trata de taxa de juros efetiva (Quando 
os períodos coincidem).
 Nas fórmulas para juros compostos, devemos sempre 
utilizar taxas efetivas. Se o problema fornecer uma taxa 
nominal, devemos convertê-la para a taxa efetiva antes 
de aplicar a fórmula.
OBSERVAÇÕES