3.Equilibrio Relativo (1)

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3. EQUILÍBRIO RELATIVO 
Um líquido esta em equilíbrio relativo quando as suas partículas embora em 
movimento, se encontram em repouso umas em relação às outras, e em relação às paredes do 
recipiente que o contém. É o caso do líquido dentro de um tanque transportado por um 
caminhão. 
3.1. Movimento uniformemente acelerado sobre um plano Horizontal. 
 Pode-se demonstrar que a superfície de nível tem inclinação constante de angulo  em 
relação à horizontal, sendo: 
 
Figura 3.1 
g
a
tg 
 [3.1.] 
 sendo: a = aceleração (m/s
2
); 
 g = aceleração da gravidade (m/s
2
) 
 
Exemplo3.1: Calcular a altura da água em cada extremidade um tanque com 3 m de 
comprimento, 2 m de largura e 2,5 m de altura contendo 1,8 m de água, se o mesmo é 
movimentado com aceleração de 1,5 m/s
2
. 
 
Figura 3.2 
 
 
 
 
 
 38 
3.2. Movimento uniforme acelerado sobre um plano inclinado. 
 No caso de plano inclinado a inclinação da superfície do nível dágua é dado por: 
 
 
Figura 3.3 
gsena
cosa
tg



 
onde :  = ângulo de inclinação da superfície de nível do líquido (º); 
 a = aceleração (m/s²); 
g = aceleração da gravidade (m/s²);  = ângulo de inclinação da superfície (º). 
 
Exemplo 3.2: Um recipiente aberto é acelerado num plano inclinado de 12 º a 3,8 m/s². Qual a 
inclinação da superfície da água? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. Movimento vertical 
Para o movimento vertical a pressão em qualquer ponto do líquido é dada por: 
 
Figura 3.4 
 39 
 
 







g
a
hP 1
 [3.4.] 
onde: p = Pressão (N/m³) 
  = peso específico do líquido (N/m³); 
 h = altura da coluna de líquido (m); 
 a = aceleração do movimento (m/s²); 
 g = aceleração da gravidade (m/s²); 
O sinal positivo é usado para movimento ascendente e o sinal negativo com uma 
movimento descendente. 
Exemplo 3.3. Um tambor de 80 cm de diâmetro e 1,2 m de altura contendo óleo de 
densidade 0,86 é elevado verticalmente (a = 2,8 m/s²). Comparar a pressão total exercida no 
fundo do tanque com a pressão deste em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4. Pressão exercida pelos líquidos em repouso 
Nos projetos de estruturas que devem resistir a pressões exercidas pelos líquidos, 
como por exemplo projetos de comportas, barragens, canalizações, etc., deve-se conhecer a 
grandeza do empuxo e o centro do empuxo. 
 A pressão total exercida pelo líquido sobre uma superfície de área A é dada por: 
 F =  hG A [3.5] 
onde: F = pressão total ou empuxo (N/m
2
); 
  = peso específico do líquido (N/m3); 
 hG = profundidade do centro de gravidade em relação com a superfície (m); 
 A = área da superfície (m
2
); 
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Empuxo é a força resultante da pressão hidrostática sobre uma superfície plana imersa 
no líquido. É dado pelo produto da área pela pressão relativa ao centro de gravidade da área. 
O empuxo exercido sobre uma superfície plana e imersa é perpendicular a esta superfície. 
 
 
Figura 3.5. 
 
 
3.5.Centro de Pressão ou de Empuxo 
É o ponto de aplicação da pressão total (P) que atua sobre as superfícies. Nas 
superfícies planas e horizontais o centro de pressão coincide com o centro de gravidade, mas 
se a superfície é horizontal ou inclinada o centro de pressão está sempre abaixo do centro de 
gravidade. 
 A profundidade do centro de pressão pode ser calculada pela fórmula: 
 
G
O
GP
hA
I
hh 
 [3.6] 
onde: hP = profundidade do centro de pressão (m); 
 hG = profundidade do centro de pressão (m); 
 IO = momento de inércia que passa pelo centro de gravidade (tabela 3.1); 
 A = área da figura (m
2
) 
 
Na equação 3.6 as profundidades hp e hG são medidas ao longo do plano a partir do 
eixo situado na interseção do plano com a superfície do líquido, ambos prolongados se 
necessário. 
Para o cálculo da área e do centro de inércia das principais figuras geométricas pode-se 
utilizar a tabela 3.1. 
 
 
 41 
Tabela 3.1. Momento de Inércia e centro de gravidade para figuras geométricas. 
Formato Figura Momento de inércia -Io Área da 
figura - A 
Distância do centro de 
gravidade ao bordo 
superior da figura - hg 
Retângulo 
 
12
3bd
I o 
 
bdA
 
2
d
hg 
 
Triangulo 
 
36
3bd
I o 
 
2
bd
A 
 
3
2d
hg 
 
Triangulo 
 
36
3bd
I o 
 
2
bd
A 
 
3
d
hg 
 
Círculo 
 
64
d
I
4
o


 
4
2d
A


 
2
d
hg 
 
Semi-
círculo 
 
400686,0 dI o 
 
8
2d
A


 
d2144,0hg 
 
 
400686,0 dI o 
 
8
2d
A


 
d2878,0hg 
 
Elipse 
 
4
3ba
I o


 
baA 
 
ahg 
 
Trapézio 
 
 
36
4 322 d
bB
bBbB
I o



 
 
d
bB
A
2


 )bB(
)bB2(
3
d
hg



 
Trapézio 
 
 
36
4 322 d
bB
bBbB
I o



 
 
d
bB
A
2


 )bB(
)b2B(
3
d
hg



 
 42 
Parábola 
 
3
o db
175
8
I 
 
3
db2
A 
 
d
5
3
hg 
 
Parábola 
 
3
o db
175
8
I 
 
3
db2
A 
 
d
5
2
hg 
 
Meia 
Parábola 
 
3
o db
175
8
I 
 
3
db2
A 
 
d
5
3
hg
 
 
Exemplo 3.4: Determinar a pressão e a profundidade do centro de pressão em um comporta 
de 1,4 m de largura e 1,6 de altura colocada perpendicularmente em uma barragem de modo 
que o topo da comporta fique a 6 m da superfície? 
 
Figura 3.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
Exemplo 3.5: Determinar a pressão e o centro de pressão para o caso da comporta circular 
com 50 cm de diâmetro colocada verticalmente numa barragem com 8 m de água sobre o 
topo da comporta. 
 
Figura 3.7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.6. Calcular o esforço exercido pela água sobre uma comporta retangular de 1,5 m 
de largura e 2,0 m de altura colocada inclinada em 45 ° numa barragem de modo que a 
superfície da água esteja a 3 m de profundidade(Figura 3.8). Calcular também a profundidade 
do centro de pressão. 
 44 
 
Figura 3.8. 
3.6. Dimensionamento de Barragens de Gravidade. 
 Nas barragens de gravidade é o peso da estrutura que deve resistir as forças de 
tombamento. Considerando uma barragem triangular da figura 3.8, a resultante das forças F e 
W deve cair no terço médio da base. 
 
Figura 3.9. 
Assim pode-se escrever: 
 
3
b
W
3
h
F 
 [3.7] 
Para a largura unitária de 1 m, pode-se escrever: 
F =  hG A = 
1h
2
h
a 
 [3.8] 
b1
2
hb
W 


 [3.9] 
Substituindo as equações 3.8 e 3.9 na equação 3.7 tem-se: 
 45 
b
ahb



 [3.10] 
onde: b = largura da base da barragem (m); 
h = altura da barragem (m) 
a = peso específico do líquido representado na barragem (N/m³) ; 
b = peso específico da barragem (N/m³). 
 Esta expressão é válida para outros modelos de barragem conforme figura 3.10 
 
Figura 3.10. Perfisde barragem por gravidade estáveis. 
 
Exemplo 3.6. Calcular a espessura da base de uma barragem triangular a ser construída em 
terra compactada ( 18130 N/m³) com a altura do nível de água de 3,0 m. 
 
 
Exemplo 3.7. Uma barragem construída com material de densidade 2,25, com talude 1:1. 
Sabendo que esta barragem tem 8,0 m de profundidade de água e 40 m de largura, pede-se: 
a) calcular a pressão exercida pela água sobre a barragem; 
b) calculara profundidade do centro de aplicação; 
c) qual deve ser a espessura mínima da barragem para ser considerada barragem de 
gravidade. 
 
Figura 3.11.