_limites_notas_de_aulapdf

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
CAMPUS PATO BRANCO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
LIMITES 
 
1. Introdução: 
 
Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser 
eventualmente atingido mas que jamais pode ser ultrapassado. 
 
Exemplos: 
 
1) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. 
Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha. 
 
2) Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta. 
 
3) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível 
necessário para que a aeronave entre em órbita. 
 
4) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e 
compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir 
de agora, o preço de um certo modelo seja de 
1
3040)(
+
+=
x
xP unidades monetárias (u. m.). 
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45. 
b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1. 
c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses. 
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x→ ∞)? Resposta: P(x) → $ 40 quando x → ∞. 
 
5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de 
milhares
t
tP
1
620)(
+
−= de pessoas. 
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? 
b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano? 
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? 
Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares. 
b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes. 
c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes. 
Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual 
pode-se aproximar tanto quanto se desejar. 
 
 
 3 
2. Conceito intuitivo de limite: 
 
Exemplos: 
 
1) Inicialmente, vamos tomar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de 
f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2. 
 
Atribuindo a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores 
menores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir: 
 
x f(x) 
1 -1 
1,5 -0,5 
1,8 -0,2 
1,9 -0,1 
1,99 -0,01 
1,999 -0,001 
1,9999 -0,0001 
1,99999 -0,00001 
1,999999 -0,000001 
 
Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de 
0 (zero). 
 
Por outro lado, atribuindo-se a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, 
sendo todos maiores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte 
quadro: 
x f(x) 
3 1 
2,5 0,5 
2,3 0,3 
2,1 0,1 
2,01 0,01 
2,001 0,001 
2,0001 0,0001 
2,00001 0,00001 
2,000001 0,000001 
 
Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se 
de 2 (dois). 
 
Graficamente, temos: 
 
 
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática: 
 
0)(lim)(lim)(lim
222
===
→→→ +−
xfxfxf
xxx
 
 
Lê-se: Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0. 
 4 
2) Tomemos a função .
3
9)(
2
−
−
=
x
x
xf Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se 
aproxima f(x) quando x se aproxima de 3. 
 
Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3. 
 
X f(x) 
2,5 5,5 
2,8 5,8 
2,9 5,9 
2,99 5,99 
2,999 5,999 
2,9999 5,9999 
... ... 
 
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos 
aproximamos de x por valores menores do que 3. 
 
Matematicamente, representamos esta situação por: 
 
6)( lim
-3 
=
→
xf
x
 
 
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis). 
 
Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3. 
 
x f(x) 
3,4 6,4 
3,2 6,2 
3,1 6,1 
3,01 6,01 
3,001 6,001 
3,0001 6,0001 
... ... 
 
Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6. 
 
Matematicamente, representamos esta situação por 
 
6)( lim
3 
=
+→
xf
x
 
 
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis). 
 
Estes limites, são chamados limites laterais. 
 
O limite de uma função existe se e somente se seus limites laterais existem e tem o mesmo valor. 
 
Simbolicamente: 
 
LxfxfLxf
axaxax
==⇔=
+− →→→
)(lim)(lim)(lim 
 
 
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que: 
 
6)(lim
3
=
→
xf
x
 6)(lime 6)(lim pois,
33
==
+− →→
xfxf
xx
 
 5 
Limites laterais: São obtidos quando considera-se os valores menores que x (limite de f(x), quando x 
tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende 
a 2 pela direita). 
 
Antes de formalizarmos o conceito, façamos mais um exemplo: 
 
Analisar a função f: ℜ→ℜ, definida por 
1
1)(
2
−
−
==
x
x
xfy , quando x tende (aproxima-se) para 1. 
 
Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico, 
ressaltando que }1/{)( ≠ℜ∈= xxfDom (Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem 
atribuídos a variável independente x). 
 
x 
1
12
−
−
=
x
xy 
-1 0 
0 1 
0,9999 1,9999 
1 Não existe 
1,0001 2,0001 
2 3 
3 4 
 
Graficamente, temos: 
 
 
Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens das seqüências cujos valores se aproximam de 1. As 
imagens se aproximam de 2. Portanto, neste caso, escrevemos: 
 
2)(lim)(lim)(lim
111
===
→→→ +−
xfxfxf
xxx
 
 
Perceba que o limite dessa função para x tendendo a 1 existe, embora a função não esteja definida no 
ponto x = 1. 
 
De forma genérica, escrevemos: )(lim xf
ax→
 
 
De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a idéia de limite de uma função f, 
quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é 
irrelevante. 
 
Nota: 




=
=
⇔=
+
−
→
→
→ Lxf
Lxf
Lxf
ax
ax
ax )(lim
)(lim
)(lim , ℜ∈L 
 
 6 
Exemplos: 
 
1) Seja 



<
>
=



<
>
==
0 xse 1-
0 xse 1
x
x
 
0 xsex -
0 xse x
x 
x
x)x(f 
)x(flim f(x)lim pois limite, existe não 11lim 11lim
0x0x0x0x −+−+ →→→→
≠∴−=−= 
 
2) O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[− em ℜ . Determine: 
 
a) )2(f 
 
b) )(lim
2
xf
x −→
 
 
c) )(lim
2
xf
x +→
 
 
d) )(lim
2
xf
x→
 
 
e) )2(−f = 
 
f) )7(f = 
Solução: 
a) 3)2( =f 
b) =
−→
)(lim
2
xf
x
2 
c) =
+→
)(lim
2
xf
x
5 
d) Não existe o limite pedido, pois: )(lim
2
xf
x −→
 ≠ )(lim
2
xf
x +→
 
e) 0)2( =−f 
f) 0)7( =f 
Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f. 
 
 
3) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o 
volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume 
forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: 
a) V
p −→100
lim b) V
p +→100
lim c) V
p 100
lim
→7 
Solução: 
a) V
p −→100
lim = 0,8 
b) V
p +→100
lim = 0,4 
c) Não existe o limite pedido, pois: V
p −→100
lim ≠ V
p +→100
lim 
 
Outros exemplos 
 
 
4) )4x(lim 2
1x
−
→
=12 – 4 = 1 – 4 = -3, pois o domínio de f(x) = x2 – 4 é todos os Reais 
 
5) 422)2x(lim
2x
)2x)(2x(lim
2x
4xlim
2x2x
2
2x
=+=+=
−
+−
=
−
−
→→→
, pois }2{)f(D −ℜ= 
 
 
6) 4
1
4
32
4
3x
4lim)3x)(2x(
)2x(4lim
6x5x
8x4lim
2x2x22x
−=
−
=
−
=
−
=
−−
−
=
+−
−
→→→
, pois }3 2,{)f(D −ℜ= 
 
7) 63339)3x(lim)9x(
)3x)(9x(lim)3x)(3x(
)3x)(9x(lim
3x
9xlim
9x9x9x9x
=+=+=+=
−
+−
=
+−
+−
=
−
−
→→→→
 
 
 
8) 6
1
6
23
6
2
6lim)3()2(
)3(6lim)3()2(
186lim
333
==
−
=
−
=
−⋅−
−⋅
=
−⋅−
−
→→→ xxx
x
xx
x
xxx
 
 
9) 
5
3
10
6
55
6
5
6lim)5()5(
)5(6lim
25
306lim
5525
==
+
=
+
=
+⋅−
−⋅
=
−
−
→→→ xxx
x
x
x
xxx
 
 
 
 
 
3. Propriedades Operatórias dos Limites 
 
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a 
pesquisa do número δ que aparece na definição de limite. 
 
• (P0) Se 1)(lim Lxf
ax
=
→
 e 2)(lim Lxf
ax
=
→
, então .21 LL = (Teorema da Unicidade do limite) 
 
• (P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então cc
ax
=
→ 
lim isto é o limite de uma constante é a 
própria constante. 
 
• (P2) Se a, b, m são números reais, então: bmabmx
ax
+=+
→
)(lim 
 
 
 
Exemplo: 754.3)53(lim
4 
=−=−
→
x
x
 
 
• (P3) Se ,)(lim e )(lim
 
MxgLxf
axax
==
→→
 então: 
 
a) )]()([lim
 
MLxgxf
ax
+=+
→
 
 8 
 
b) )]()([lim
 
MLxgxf
ax
⋅=⋅
→
 
 
c) 0M que desde 
M
L
=)(
)(lim
 
≠
→ xg
xf
ax
 
 
d) [ ] n) positivo inteiro p/ ( )(lim
 
∀=
→
nn
ax
Lxf 
 
e) par n p/ 0 L que desde ,)(lim
 
>=
→
nn
ax
Lxf 
 
f) [ ] 0 L que desde , .ln)(ln lim
 
>=
→
Lxf
ax
 
 
g) [ ] )( cosf(x) cos lim
 
L
ax
=
→
 
 
h) [ ] )( f(x)sen lim
 
Lsen
ax
=
→
 
 
i) lim )(
 
Lxf
ax
ee =
→
 
 
Exemplo: Determine o seguinte limite: 
 
=+−
→
)13(lim 2
2 
xx
x
112.321lim3limlim 2
2
2 2 
2
2 
3
−=+−⇒+−⇒
→→→
P
xxx
P
xx 
 
 
Vemos neste exemplo que o valor de )()(lim
 
afxf
ax
=
→
 
 
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos: 
 
 
Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: )()(lim
 
afxf
ax
=
→
. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule )15(lim 2
2 
+−
→
xx
x
512522 −=+⋅−= 
 
2) Calcule 


 ≤
→ 2>xse ,x
2xse 3x,
 sendo)(lim 22 xfx . 
Solução: Se 623)(lim 2
2 x
=⋅=⇒<
−→
xfx . Por outro lado, 42)(lim2>x 2
2 x +
==⇒
→
xf . Portanto, 
não existe o limite. 
 
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites. 
 
Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então: 
 
)()(lim aqxq
ax
=
→
 
 
 9 
Exemplos: 
1) Calcule 
76
125lim
2
3 
−
+−
→ x
xx
x
 
Solução: 
11
73
11
40
736
13235
76
125lim
22
3 
==
−⋅
+⋅−⋅
=
−
+−
→ x
xx
x
 
 
 
 
2) Calcular 3 2
5 
943lim +−
→
xx
x
 
Solução: 
464 9+20-75 =943lim943lim 333 2
5
3 2
5 
==+−=+−
→→
xxxx
xx
 
 
 
Exemplos: 
1) 24...)8x4(lim 3
2x
==−
→
 2) ) c b,a, ( ,cbpap...)cbxax(lim 22
px
ℜ∈∀++==++
→
 
3) 
2
3
...
1x
1xxlim
23
1x
==
+
++
→
 4) 
54x3
1x 2
3
...
2x
x2xlim 






==








+
+
+
→
 
 
 
4. Limites Indeterminados 
 
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal 
procedimento nos deparamos com resultados do tipo 00 ,0 ,1 ,.0 ,- , , 
0
0
∞∞∞∞
∞
∞
∞
 
 
Exemplo: 
 
1) Calcular o limite abaixo: 
4
2lim 2
2
2 
−
−−
→ x
xx
x
 
Solução: 
 
Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4. 
 
Então: 
 
f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0 
 
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo 
0
0
, logo esse procedimento não 
pode ser utilizado. 
 
No caso de indeterminações do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
 há vários métodos que podem ser aplicados de acordo 
com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método 
prático para resolver esses casos, método este conhecido como regra de L’Hospital. 
 
 
 10 
 
5. Limites no Infinito 
 
5.1 Introdução: 
 
 
Consideremos a função f definida por 
x
xf 1)( = e analisemos, mediante uma tabela, o seu 
comportamento quando os valores de x crescem ilimitadamente através de valores positivos. 
 
x 
4
1
 
3
1
 
2
1
 
1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 
)(xf 4 3 2 1 
2
1
 
3
1
 
4
1
 
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
 
Pela tabela constatamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos, os valores 
da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por: 
0)(lim =
+∞→
xf
x
, que se lê: “limite de f de x , quando x tende a mais infinito, é igual a zero”. 
 
Observação: Quando uma variável independente x está crescendo ilimitadamente através de valores 
positivos, escrevemos: “ +∞→x
”
. Devemos enfatizar que ∞+ não é um número real. O símbolo ∞+ 
indica, portanto, o comportamento da variável independente x . 
 
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável x decrescem 
ilimitadamente através de valores negativos. 
 
x 
-
4
1
 -
3
1
 -
2
1
 
-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
)(xf -4 -3 -2 -1 
-
2
1
 -
3
1
 -
4
1
 
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 
 
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de x decrescem 
ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 
(zero). Usando o simbolismo “ −∞→x ” para indicar os valores de x que estão decrescendo 
ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um 0)(lim =
−∞→
xf
x
, que se lê: “limite 
de f de x , quando x tende a menos infinito, é igual a zero. 
 
 
Pelo gráfico da função 
x
xf 1)( = cujo esboço é 
indicado pela figura ao lado, notamos que quando 
x cresce ilimitadamente através de valores 
positivos ( +∞→x ), os valores da função )(xf 
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, 
portanto, simbolicamente podemos escrever 
0)(lim =
+∞→
xf
x
 ou 01lim =
+∞→ xx
. 
 
 
 
 
 
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), 
constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores negativos ( −∞→x ), os valores 
da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: 
0)(lim =
−∞→
xf
x
ou 01lim =
−∞→ xx
. 
 
 11 
 
Exemplos: 
 
1) Observe o gráfico da função 
x
xf 11)( −= apresentado na Figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende para o 
infinito. Isto é, 1→y quando .x ±∞→ Denotamos por111lim =





−
±∞→ xx
 
2) A função 
1
12)(
−
+
=
x
x
xf tende para 2 quando ±∞→x como podemos observar na Figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
podemos escrever: 
 
2
1
12lim =
−
+
±∞→ x
x
x
 
 
 
5.2 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
5.2.1. Limite de uma função polinomial 
 
Consideremos a função polinomial 13764)( 23 +−+−= xxxxP , podemos escrevê-la na seguinte 
forma: 
 






+−+⋅−= 32
3
4
13
4
7
4
614)(
xxx
xxP 
Portanto, 






+−+⋅−=
±∞→±∞→±∞→ 32
3
4
13
4
7
4
61lim)4(lim)(lim
xxx
xxP
xxx
 
Ora, é claro que: 
 
 12 
1
4
13
4
7
4
61lim 32 =





+−+
±∞→ xxxx
 
Temos, então: 
)4(lim)(lim 3xxP
xx
−=
±∞→±∞→
 
Assim, temos dois casos: 
 
−∞=−=
+∞→+∞→
)4(lim)(lim 3xxP
xx
 e +∞=−=
−∞→−∞→
)4(lim)(lim 3xxP
xx
 
 
 
Generalizando, sendo 012211 ...)( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −− , podemos sempre escrever: 
 
n
n
xx
xaxP
±∞→±∞→
= lim)(lim 
 
 
 
 
5.2.2. Limite de uma função racional 
 
Dada a função racional )(
)()(
xQ
xP
xf = , onde P e Q são funções polinomiais em x com: 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −− e 012211 ...)( bxbxbxbxbxQ mmmm +++++= −− 
 
Sendo 0≠na e .0≠mb Tem-se então que: 
 
mn
x
m
n
m
m
n
n
xm
m
x
n
n
x
x
x
xx
x
b
a
xb
xa
xb
xa
xQ
xP
xQ
xP
xf −
±∞→±∞→
±∞→
±∞→
±∞→
±∞→
±∞→±∞→
⋅===== limlim
lim
lim
)(lim
)(lim
)(
)(lim)(lim 
 
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados: 
 
1o) ±∞=⇒>
±∞→
)(lim xfmn
x
 
2o) 0)(lim =⇒<
±∞→
xfmn
x
 
3o) 
m
n
x b
a
xfmn =⇒=
±∞→
)(lim 
 
Exemplos: 
 
1) +∞=⋅==
+−
+−+
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
xx
xxx
xxx
lim
9
10
9
10lim
4109
115810lim 2
3
2
23
 
 
2) 00151lim1515lim
21012
1196815lim 4
3
24
23
=⋅−=⋅−=
−
=
+−+−
−+−
−∞→−∞→−∞→ xx
x
xxx
xxx
xxx
 
 
3) 
5
71lim
5
7
5
7lim
58145
21187lim 3
3
23
23
=⋅==
+−+
−+−
±∞→±∞→±∞→ xxx x
x
xxx
xxx
 
 
 
 13 
4) Calcule 
1
lim
2
−
+∞→ x
x
x
 
Solução: 
 
Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx = ( ,0>x pois )+∞→x e então dividimos o 
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x 
 
1
11
1lim
1
lim
1
lim
1
lim
222
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
=
−
=
−
+∞→+∞→+∞→+∞→
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
 
 
 
5) Calcule xxx
x
−++
+∞→
43lim 2 
Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx +++ 432 , temos: 
 
( ) ( ) ( )( ) xxx xxxx xxxxxx xxxxxxxxx xxxx +++ +=+++ −++=+++ +++⋅−++=−++ +∞→+∞→+∞→+∞→ 43 43lim43 43lim43 4343lim43lim 22
22
2
2
22
 
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: 
 
( )
2
3
11
3
1431
43
lim
43
43
lim43lim
2222
2
2
=
+
=
+++
+
=
+++
+
=−++
+∞→+∞→+∞→
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx
xxx
 
 
 
 
 
6. Limites Laterais 
 
Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o 
comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a. 
 
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é 
denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para 
a através de valores maiores que a é o limite à direita de f. 
 
Estes limites, são chamados limites laterais. 
 
 
• Limite à esquerda: )(lim
 
xf
ax −→
, teremos x < a logo x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno. 
 
• Limite à direita: )x(flim
ax +→
, teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno. 
 
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples 
calcular os limites laterais. 
 
 
 14 
Exemplos: 
1) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule: 
)(lim))(lim)
1 1 
xfbxfa
xx −+ →→
 
 
Solução: 
Observando o gráfico, podemos concluir que: 3)(lim5)(lim
1 1 
==
−+ →→
xfexf
xx
 
Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1. 
 
2) Seja a função: 





>
=
<+
=
 2 x para ,x-9
2 xpara , 2
2x para, 1
)(
2
2x
xf Calcule: 
 )(lim (c)
 )(lim)(
)(lim)(
2 
2 
2 
xf
xfb
xfa
x
x
x
→
→
→
−
+
 
Solução: 
• Quando +→ 2x significa x > 2 logo 29)( xxf −= assim 52-9 x-9lim 22
2
==
+→x
 
• Quando −→ 2x significa x < 2 logo 1)( 2 += xxf assim 512 1xlim 22
2 
=+=+
+→x
 
 
Como os limites laterais são iguais, concluímos que .5)(lim
2
=
→
xf
x
 
Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos 
que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os limites laterais. 
 
Isto é: Simplificando: Para calcular os limites laterais, basta fazer uma substituição: 
 
• Quando )(lim
 
xf
ax +→
 fazemos x = a + h 
• Quando )(lim
 
xf
ax −→
 fazemos x = a – h 
 
Onde h é positivo e muito pequeno. 
 
3) Calcule por mudança de variáveis os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das 
funções abaixo, nos pontos indicados: 
1 21)
2 )
1 12)
2
2
−=+−=
==
=+=
xemxxyc
xemxyb
xemxya
 
 
 
 
 
 15 
7. Funções contínuas ou continuidade de funções 
 
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) 
 
7.1 Introdução: 
 
Sejam f e g funções de gráficos: 
 
Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um 
salto a outra não. 
 
Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p é igual 
ao valor da função quando x é igual a p, isto é: 
 
)()(lim pfxf
px
=
→
 
 
Por exemplo, se 4)( 2 −= xxf e p = 2, temos que: 
 
)()2(042)4(lim)(lim 22
2
pffxxf
xpx
===−=−=
→→
 
 
As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas 
nesse ponto. 
 
7.2. Definição: 
 
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaixo: 
(i) )( pf∃ 
(ii) )(lim)(lim :é isto ),(lim xfxfxf
pxpxpx −+ →→→
=∃ 
(iii) f(p))(lim =
→
xf
px
 
 
Observação: quando pelo menos uma das três condições não forem verificadas dizemos que f é 
descontínua em .px = 
 
Exemplos: 
 
1) Verifique se a função xxxf 352)( +−= é contínua em .4=x 
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 
• 12343542)4( +=⋅+−⋅=f 
• 12343542)352(lim)(lim
4
+=⋅+−⋅=+−=
→→
xxxf
xpx
 
• )4()(lim
4
fxf
x
=
→
 
Portanto, como )4()(lim
4
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .4=x 
 
 16 
2) Verifique se a função 
2
|2|)( −= xxf é contínua em .2=x 
Solução: Primeiramente, lembramos que: 






≥−
<
+−
=
−
2se,
2
2
2se,
2
2
2
|2|
x
x
x
x
x
 
A seguir, analisaremos uma a uma as três condições: 
• 0
2
0
2
22)2( ==−=f . 
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 
0
2
0
2
22
2
2lim
2
|2|lim)(lim222
==
+−
=
+−
=
−
=
→→→ −−
xx
xf
xxx
 
e 
0
2
0
2
22
2
2lim
2
|2|lim)(lim
222
==
−
=
−
=
−
=
→→→ ++
xx
xf
xxx
 
Como )(lim)(lim
22
xfxf
xx +− →→
= )(lim
2
xf
x→
∃⇒ e 0)(lim
2
=
→
xf
x
. 
• )2()(lim
2
fxf
x
=
→
. Portanto, como )2()(lim
2
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .2=x 
 
 
3) Verifique se a função 





>−
=
<−
=
3,3
3,2
3,1
)(
2
xsex
xse
xsex
xf é contínua em .3=x 
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 
• 2)3( =f . 
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 
81913)1(lim)(lim 22
33
=−=−=−=
→→ −
xxf
xx
 e 033)3(lim)(lim
33
=−=−=
→→ +
xxf
xx
 
Como )(lim)(lim
33
xfxf
xx +− →→
≠ ⇒ não existe )(lim
3
xf
x→
 e portanto a função dada não é contínua em .3=x 
 
4) Verifique se a função 



>−
≤
=
2,3
2,2)( 2 xsexx
xsex
xf é contínua em .2=x 
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 
• 422)2( =⋅=f . 
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais: 
422)2(lim)(lim
22
=⋅==
→→ −
xxf
xx
 e 264232)3(lim)(lim 22
22
−=−=⋅−=−=
→→ +
xxxf
xx
 
Como )(lim)(lim
22
xfxf
xx +− →→
≠ ⇒ não existe )(lim
2
xf
x→
 e portanto a função dada é descontínua em .2=x 
Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um “salto” em 
.2=x 
 
 
 17 
5) A função 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf não é contínua no ponto ,1=x pois a função dada não é definida no ponto 
especificado. Graficamente, temos: 
 
 
6) A função 





=
≠
−
−
=
1,1
1,
1
1
)(
2
xse
xse
x
x
xg também não é contínua no ponto ,1=x pois: 
• 1)1( =g . 
 
• Limites laterais: 
211)1(lim)1(
)1()1(lim
1
)1(lim)(lim
11
2
11
=+=+=
−
+⋅−
=
−
−
=
→→→→ −
x
x
xx
x
x
xg
xxxx
 
e 
 211)1(lim)1(
)1()1(lim
1
)1(lim)(lim
11
2
11
=+=+=
−
+⋅−
=
−
−
=
→→→→ +
x
x
xx
x
x
xg
xxxx
 
 
Como )(lim)(lim
11
xgxg
xx +− →→
= )(lim
1
xg
x→
∃⇒ e 2)(lim
1
=
→
xg
x
. 
 
• )2(12)(lim
1
gxg
x
=≠=
→
 
 
Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto 
especificado, como confirma o gráfico a seguir: 
 
 
 
 18 
7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função 





>−
≤≤−
<−
=
3,92
30,2
0,4
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf . 
Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0=x e .3=x 
 
 
Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto ,0=x assim: 
• .000002)0( 2 =−=−⋅=f 
• Limites laterais: 
0)4(lim)(lim
00
=−=
→→ −
xxf
xx
 e 0)2(lim)(lim 2
00
=−=
→→ +
xxxf
xx
 
 
Como )(lim)(lim
00
xfxf
xx +− →→
= )(lim
0
xf
x→
∃⇒ e 0)(lim
0
=
→
xf
x
. 
• )0()(lim
0
fxf
x
=
→
 
 
Logo, como )0()(lim
0
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .0=x 
 
Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto 
,3=x assim: 
• .396332)3( 2 −=−=−⋅=f 
• Limites laterais: 
396332)2(lim)(lim 22
33
=−=−⋅=−=
→→ −
xxxf
xx
 
e 
 396932)92(lim)(lim
33
−=−=−⋅=−=
→→ +
xxf
xx
 
Como )(lim)(lim
33
xfxf
xx +− →→
= )(lim
3
xf
x→
∃⇒ e 3)(lim
3
−=
→
xf
x
. 
• )3()(lim
3
fxf
x
=
→
 
 
Logo, como )3()(lim
3
fxf
x
=
→
 a função é contínua em .3=x 
 
Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é continua, 
concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer tipo de salto 
ou interrupção. 
 
 19 
 
8. Limites de Funções Trigonométricas 
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) 
 
• Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: 1 sen x lim
0 
=
→ xx
 
Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja MAˆ um arco de x radianos, 
com .
2
0 pi<< x Na figura a seguir: .e,ˆ ATxtgPMxsenMAx === 
 
 
Lembre-se: 
• AlturaBaseA ⋅⋅=∆ 2
1
 
 
• ArcoRaioASetor ⋅⋅=
2)(
2
1
 
Observe que o triângulo oAM está contido no setor circular ,oAM o qual por sua vez está contido no 
triângulo .oAT 
Assim, podemos afirmar que: 
área ∆ oAM < área setor oAM < área ∆ oAT 
 isto é: 
AToAxoAPMoA ⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅
2
1)(
2
1
2
1 2
 
Mas, 
1=oA 
Logo: 
ATxPM << 
ou, 
xtgxxsen << 
Dividindo termo a termo por ,xsen temos: 
 
⇒<<
xsen
xtg
xsen
x
xsen
xsen
xxsen
x
cos
11 << 
 
Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com: 
 
1coscos1 <<⇒>>
x
xsen
xx
x
xsen
 
Sabemos que, quando .1cos,0 →→ xx 
 
Então, para x tendendo a zero, 
x
xsen
 permanece entre xcos e 1 
 
E, portanto: 
1 sen x lim
0 
=
→ xx
 (c.q.d) 
 
 20 
A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar: 
 
x (em radianos) 
x
xsen
xf =)( 
0,2± 0,4546 
0,1± 0,8414 
5,0± 0,9588 
2,0± 0,9933 
1,0± 0,9983 
001,0± 
... 
x→ 0 
0,9999 
... 
f(x) → 1 
Assim, quando x→ 0 (em radianos), temos que: f(x) → 1, ou seja, .1lim
0
=
→ x
xsen
x
 
Exemplos: 
1) Calcule . x lim
0 xsenx→
 
 Solução: 1
1
1
lim
11
 lim x lim
0 
0 0 
====
→
→→
x
xsen
x
xsenxsen
x
xx
 
2) Calcule . xtg lim
0 xx→
 
 Solução: 
1
1
11
cos
1lim lim
cos
1
 
x
xsen
 lim1 
xcos
xsen
 lim xcos
xsen
 lim xtg lim
0 0 0 0 0 0 
=⋅=⋅=





⋅=





⋅==
→→→→→→ xx
xsen
xxxx xxxxxx
 
 
3) 1lim
3
3lim
00
==
→→ u
usen
x
xsen
ux
. 
 Nota: 00,3 →⇒→= uxxu 
 
4) *
00
k ,1limlim ℜ∈∀==
→→ u
usen
kx
kxsen
ux
. 
 Nota: 00, →⇒→= uxkxu 
 
5) 1limlim
02
2
0
=⋅=
→→ x
xsen
x
xsen
x
xsen
xx
. 
 
6) Calcule 
x
x
x
cos1lim
0
−
→
. 
Solução: 
=





+⋅
=





+⋅
−
=





+
+
⋅
−
=
−
→→→→ )cos1(lim)cos1(
)cos1(lim)cos1(
)cos1()cos1(limcos1lim
2
0
2
000 xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
001
11
01
0cos1
01
cos1
limlim
cos1
lim
000
=⋅=
+
⋅=
+
⋅=





+
⋅





=





+
⋅
→→→
sen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
 
7) Calcule 
x
xsen
x 5
3lim
0→
. 
Solução: 
5
31
5
3
3
3lim
5
3
5
3
3
3lim
5
3lim
000
=⋅=





⋅=





⋅=
→→→ x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
 
 21 
9. Limites de Funções Exponenciais 
 
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi) 
 
• O Número “e”. 
 
No estudo dos logaritmos (ensino médio ou antigo segundo grau) já nos referimos ao número e. Esse 
número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por 
meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é: 
 
n
n
n
a 





+=
11 
 
Tomando alguns valores naturais, para exemplificar,temos: 
 
� 2
1
11 1
1
1 =





+=⇒= an 
� 25,2
2
11 2
2
2 =





+=⇒= an 
� ...37037037,2
3
11 3
3
3 =





+=⇒= an 
� 48832,2
5
11 5
5
5 =





+=⇒= an 
� ...59374246,2
10
11 10
10
10 =





+=⇒= an 
� ...704813829,2
100
11 010
100
100 =





+=⇒= an 
� ...716923932,2
000.1
11 000.1
000.1
000.1 =





+=⇒= an 
� ...718145927,2
000.10
11 000.10
000.10
000.10 =





+=⇒= an 
� ...77181826823,2
000.100
11 000.100
000.100
000.100 =





+=⇒= an , e assim por diante. 
... 
� ean n →⇒∞→ , ou seja: 
 
Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou 
ainda: 
...5907182818284,211lim ≅=





+
+∞→
e
x
x
x
 
 
• Limite Exponencial Fundamental 
 
Teorema: .......718281828,211lim
 x
≅=





+
+∞→
e
x
x
 
 
Lembre-se: O número “e” é irracional. 
 
 22 
Dois limites podem ser obtidos como conseqüência do limite exponencial fundamental. 
 
• Primeira Conseqüência: ( ) ex x
x
 1 lim
1
0 
=+
→
 
 
De fato, fazendo 
x
u
1
= ⇒ x
u
=
1
, e observando que quando +∞→⇒→ u 0x , ficamos com: 
 
( ) e
u
x x
x
=





+=+
+∞→→
 
11 lim 1 lim
u
u 
1
0 
 
 
que é o próprio limite exponencial fundamental. 
 
• Segunda Conseqüência: 1 1e lim
x
0 
=
−
→ xx
 
 
Fazendo )1ln(11 +=⇒+=⇒=− uxueue xx , e é evidente que quando 0.u ,0 →→x Daí, 
=










+
=












+⋅
=





+
=




 −
→→→→
u
1000 
x
0 
)1ln( 
1
 lim
)1ln(
u
1
 
1
 lim
1)(uln
u
 lim 1e lim
uu
x uuux
 
 
1
1
1
ln
1
u)(1 limln
1
u)ln(1 lim
1
 
u
1
0 
u
1
0 
===
















+
=








+
=
→→
e
uu
 
Exemplos: 
 
1) Calcule ( ) .,1 lim *
0 
1
ℜ∈+
→
kkx x
x
 
Solução: Podemos escrever: 
 
( ) ( ) ( )
k
kxkx
k
x kxkxkx
 11
111 





+=+=+ 
 
Fazendo ,ukx = resulta que se 0u 0x →⇒→ portanto, ficamos com: 
 
( ) ( ) ku
ux
eukx
x
=





+=+
→→
k 1
0 0 
 1 lim1 lim
1
 
2) Calcule .
1
lnlim
1
−
→ x
x
x
 
Solução: Façamos .11 +=⇒−= uxxu 
 
Quando ,01 →⇒→ ux logo: 
 
.1ln)1(limln)1(lnlim)1(ln1lim)1(lnlim
1
lnlim
1
0
1
0001
==







+=







+=





+⋅=




 +
=





−
→→→→→
euuu
uu
u
x
x
u
u
u
uuux
 
 
 23 
10. Assíntotas Horizontais e Verticais 
 
(Texto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco) 
 
10.1 Introdução 
 
Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproximam de uma reta a 
medida que x cresce ( x → + ∞ ) ou decresce (x → −∞). Veja as Figuras a seguir: 
 
 
 
Essas retas são chamadas assíntotas. 
 
Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas 
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam. 
 
10.2 Assíntota Vertical 
 
Dizemos que a reta ax = é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações 
seguintes for verdadeira: 
 
−∞=∞=−∞=∞=
−−++ →→→→
)(lim)( )(lim)()(lim)( )(lim)(
 
xfivxfiiixfiixfi
axaxaxax
 
 
10.3 Assíntota Horizontal 
 
Dizemos que a reta by = e/ou y=c é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das 
afirmações seguintes for verdadeira: 
 
cxfiibxfi
xx
==
−∞→+∞→
)(lim)( )(lim)(
 
 
 
Exemplos: 
a) Seja a função 
3
5)(
−
=
x
xf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se elas 
existirem. 
Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. 
Verificamos, facilmente que }.3{)( −ℜ=fD Sendo assim, vamos calcular: )3(
5lim
3
−
→ xx
 . 
Para calcular o limite da função quando x tende a 3 devemos calcular os limites laterais, assim: 
 
Para calcular )3(
5lim
3
−
−→ xx
, fazemos ,3 hx −= com 0→h , assim temos: 
 
−∞=∞⋅−=⋅−=
−
=
−−
=
−
→→→→ −
51lim5)(
5lim)33(
5lim)3(
5lim
0003 hhhx hhhx
 
 
 24 
Por outro lado, para calcular )3(
5lim
3
−
+→ xx
, fazemos ,3 hx += com 0→h , assim temos: 
 
∞=∞⋅=⋅==
−+
=
−
→→→→ +
51lim55lim)33(
5lim)3(
5lim
0003 hhhx hhhx
 
 
Desta forma, temos: 
−∞=∞=
−+ →→
)(lim)(lim
33
xfexf
xx
 
 
Logo, 3=x é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv). 
 
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta existir. 
 
Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer: 
 
05lim
3
5lim)(lim ==
−
=
∞→∞→∞→ xx
xf
xxx
 
e 
05lim
3
5lim)(lim ==
−
=
−∞→−∞→−∞→ xx
xf
xxx
 
 
Logo, 0=y é a assíntota horizontal. 
 Obs: é possível que os limites acima tenham resultados distintos, nesse caso, teremos duas assíntotas 
horizontais. 
 
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: 
 
 
 
b) Considere a função 2)2(
43)(
−
−=
x
xf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e/ou 
verticais, se elas existirem. 
Solução: 
Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que }.2{)( −ℜ=fD 
 
Sendo assim, vamos calcular 22 )2(
43lim
−
−
→ xx
. 
 
Para calcular o limite da função quando x tende a 2 (dois) devemos calcular os limites laterais, assim: 
 
 
 25 
Para calcular 22 )2(
43lim
−
−
−→ xx
, fazemos hx −= 2 , com ,0→h vamos a: 
∞−=∞−=−=−=
−
−=
−−
−=
−
−
→→→→→→ −
 34lim3 lim43 lim)(
43 lim )22(
43 lim)2(
43 lim 200 20 20 20 22 hhhhx hhhhhx
 
 
Agora para calcular 22 )2(
43lim
−
−
+→ xx
, fazemos hx += 2 , com 0→h , vamos a: 
 
∞−=∞−=−=−=
−+
−=
−
−
→→→→→ +
 34lim3 lim43 lim)22(
43 lim)2(
43 lim 200 20 20 22 hhhx hhhhx
 
 
Assim, temos: 
 
−∞=
+→
)(lim
2 
xf
x
 e )(lim
2 
−∞=
−→
xf
x
 
 
Logo 2=x é uma Assíntota Vertical da função dada. 
 
Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta existir: 
 
Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular 2
 )2(
43 lim
−
−
±∞→ xx
 , ou seja: 
 
3034 lim3 lim
44
43 lim)2(
43 lim 2
 
2
 
2
 
=−=−=
+−
−=
−
−
∞→±∞→±∞→±∞→ xxxx xxxx
 
 
Logo, 3=y é a assíntota horizontal. 
 
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir: 
 
 
 
 
A lista de exercícios referente aos tópicos abordados nesse material encontra-se disponibilizada em 
http://www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus 
 
 
 
 
Referência: 
O presente material, o qual não se encontra na sua versão final e que passará por uma revisão mais requintada, é 
uma adaptação da apostila elaborada pelo prof. Msc. José Donizetti de Lima. 
 Agosto/2010