Propriedades Limites

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Professora: Ana Rita Barbosa - 21 - 
11 – Propriedades dos limites. 
 
Nesse tópico serão apresentadas algumas propriedades para cálculo de limites. As 
demonstrações serão omitidas porque não é esse o objetivo final do curso. 
 
Seja c uma constante real e suponha que existam os limites )(lim xf
ax→
e )(lim xg
ax→
. Então: 
 
1. )]()([lim xgxf
ax
+
→
 = )(lim xf
ax→
+ )(lim xg
ax→
 
2. )]()([lim xgxf
ax
−
→
 = )(lim xf
ax→
- )(lim xg
ax→
 
3. )]().([lim xgxf
ax→
 = )(lim xf
ax→
. )(lim xg
ax→
 
4. )](.[lim xfc
ax→
 = c. )(lim xf
ax→
 
5. )](/)([lim xgxf
ax→
 = )(lim xf
ax→
/ )(lim xg
ax→
, se 0)(lim ≠
→
xg
ax
 
6. nn
ax
ax =
→
][lim 
7. cc
ax
=
→
lim 
8. 



=
→→
f(x)[f(x)]
ax
limlim lnln 
ax
 
9. 



=
→→
f(x)sensen[f(x)]
ax
limlim 
ax
 
10. 



=
→→
f(x)[f(x)]
ax
limlim coscos 
ax
 
11. 
)(
)( lim][lim
xf
xf
ax
axee →=
→
 
 
Exemplos: 
 
01 . Calcular os limites: 
 
 
Professora: Ana Rita Barbosa - 22 - 
02. Calcular os limites: 
 
 
 
03. 
 
Professora: Ana Rita Barbosa - 23 - 
12 – Limites com indeterminação do tipo 0/0: 
 
12. 1 – Funções racionais polinomiais. 
 
Seja )(
)()(
xq
xp
xf = uma função real tal que p(x) e q(x) são polinômios. Se 
0
0)(lim =
→
xf
ax
 
devemos utilizar artifícios algébricos para calcular esse limite. 
 
Deve-se observar que, neste caso, “a” é raiz de p(x) e raiz de q(x), logo p(x) e q(x) são divisíveis 
por (x – a). Logo, é possível reescrever a função f e retirar a indeterminação do limite. 
 
Exemplos: 
 
Exercícios: 
 
01. Calcular os seguintes limites: 
 
 
 
 
 
Professora: Ana Rita Barbosa - 24 - 
12.2 – Limites de funções envolvendo radicais: 
 
Vamos analisar os casos em que o limite da função é uma indeterminação do tipo 0/0 e no 
numerador e/ou denominador contenha expressões da forma: 
 
babababa −+++ ou ,, . 
 
O artifício algébrico é multiplicar o numerador e o denominador dessas expressões pelo seu 
“conjugado”. 
Vale salientar que se na função houver mais de uma das expressões citadas acima a 
multiplicação deve ser feita com todos os conjugados. 
 
Exemplos: 
 
 
Exercícios: 
 
01. Calcular os seguintes limites: