Questão resolvida - Determinar as coordenadas do cg da região limitada pelas curvas yx, xy2 e x0 no primeiro quadrante - centroide de região entre curvas - Cálculo II

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Determinar as coordenadas do cg da região limitada pelas curvas , e y = x2 x + y = 2
 no primeiro quadrante.x = 0
 
Resolução:
 
Para determinar o cg (que é o mesmo que centróide), vamos, primeiro, definir o seu gráfico. 
Devemos encontrar o ponto de intercessão entre a curva e a reta;
 
y = x x = y2 → 2
Substiruindo na reta, temos;
 
x + y = 2 y + y = 2 y + y - 2 = 0→ 2 → 2
 
Temos uma equação do 2° grau, resolvendo;
 
y + y - 2 = 02
 
y = y' = = = = = 1
- 1 ±
2 ⋅ 1
( ) 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ -2( )2 ( )
→
-1 +
2
1 - 8 -1 +
2
9 -1 + 3
2
2
2
 
 y" = = = = = - 2
-1 -
2
1 - 8 -1 -
2
9 -1 - 3
2
-4
2
Como desejamos calcular a área no primeiro quadrante, o intercessão que nos interessa é 
para , assim, o , substituindo o encontrado na equação da reta, é;y = 1 x y
 
x + 1 = 2 x = 2 - 1 x = 1 ponto 1, 1→ → → ( )
 
A reta toca os eixos x e y em 2; substituindo alguns valores na curva, obtemos seu 
comportamento;
 
x = 4 y y = 4 y = y = 2→ 2 → 2 → 4 →
 
x = y = y = y =
1
4
→
2
1
4
→
1
4
→
1
2
 
 
 
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico da região que queremos encontrar o 
centróide;
As coordenadas do centróide da figura são dados por;
 
=x⏨
xdA
1dA
b
a
∫
f
g
∫
b
a
∫
f
g
∫
 
 
=y⏨
ydA
1dA
b
a
∫
f
g
∫
b
a
∫
f
g
∫
 
O próximo passo é achar a área da região, esta área, usando integrais duplas, é;
 
A = 1dAR
b
a
∫
f
g
∫
 , já que as curvas variam no eixo , ou seja, as curvas de baixo e de cima estão dA = dydx y
definidas em função de , já o limites de integração a e b, são 0 e 1 respectivamente. x
 
 
Devemos colocar a reta e a curva em função de ;x
 
 
Reta x + y = 2 y = 2 - x→ →
 
 
Curva y = x y =→ 2 → x
 
Assim, a área da região fica;
 
A = 1dydx = y dx = 2 - x - dx = 2 - x - x dxR
1
0
∫ ∫
2-x
x
1
0
∫
2-x
x
1
0
∫ x
1
0
∫
1
2
 
A = 2x - - x = 2x - - = 2x - - = 2x - - xR
x
2
2 -1
1
2
1
0
x
2
2 x
1 + 2
2
1+2
2
1
0
x
2
2 x
3
2
3
2
1
0
x
2
2 3
2
2
3
1
0
 
A = 2 ⋅ 1 - - - 2 ⋅ 0 - - = 2 - - - 0R
1
2
( )2 2 1
3
( )
3
2 0
2
( )2 2 0
3
( )
3
2 1
2
2
3
 
A = A = u. a.R
12 - 3 - 4
6
→ R
5
6
 
 Encontrada a área dá região, vamos calcular a integral dupla do numerado de , seguindo x⏨
a mesma lógica da integral de área para definir os limites de integração e para definir o ;dA
 
xdA = xdydx
b
a
∫
f
g
∫
1
0
∫ ∫
2-x
x
Resolvendo;
 
xdydx = xy dx = xy dx = x 2 - x - dx
1
0
∫ ∫
2-x
x
1
0
∫
2-x
x
1
0
∫
2-x
x
1
0
∫ x
 
 
 
= 2x - x - x ⋅ x dx = 2x - x - x dx = 2x - x - x dx
1
0
∫ 2
1
2
1
0
∫ 2
+1
1
2
1
0
∫ 2
1 + 2
2
 
= 2x - x - x dx = 2 - - = x - -
1
0
∫ 2
3
2
x
2
2 x
3
3 x
+ 1
+1
3
2
3
2
1
0
2
x
3
3 x
3 + 2
2
3+2
2
1
0
 
= x - - = x - - = x - - x ⋅ = x - -2
x
3
3 x
5
2
5
2
1
0
x
3
3 x
5
2
5
2
1
0
x
3
3 5
2
2
5
1
0
x
3
3 2x
5
5
2 1
0
 
= 1 - - - 0 - - = 1 - - - 0 =
1
3
( )3 2 1
5
( )
5
2 0
3
( )3 5 0
2
( )
2
2 1
3
2
5
15 - 5 - 6
15
 
xdydx =
1
0
∫ ∫
2-x
x
4
15
Agora, calculamos a integral dupla do numerado de , seguindo a mesma lógica da integral y⏨
de área para definir os limites de integração e para definir o ;dA
 
ydA = ydydx = dx = - dx
b
a
∫
f
g
∫
1
0
∫ ∫
2-x
x
1
0
∫ y
2
2 2-x
x
1
0
∫ 2 - x
2
( )2
2
x
2
 
= - dx = - dx = - dx
1
0
∫ 2 - 2 ⋅ 2x + x
2
( )2 2 x
2
1
2
2
1
0
∫ 4 - 4x + x
2
2 x
2
2
2 1
0
∫ 4 - 4x + x
2
2 x
2
1
 
= dx = dx = 4 - 5x + x dx
1
0
∫ 4 - 4x + x - x
2
2 1
0
∫ 4 - 5x + x
2
2 1
2
1
0
∫ 2
 
= 4x - 5 ⋅ + = 4 ⋅ 1 - 5 ⋅ + - 4 ⋅ 0 - 5 ⋅ +
1
2
x
2
2 x
3
3 1
0
1
2
1
2
( )2 1
3
( )3 1
2
0
2
( )2 0
3
( )3
 
 
 
= 4 - 5 ⋅ + - 0 = 4 - + = = ⋅
1
2
1
2
1
3
1
2
5
2
1
3
1
2
24 - 15 + 2
6
1
2
11
6
 
ydydx =
1
0
∫ ∫
2-x
x
11
12
 
Finalmente, temos que as coordenadas dos centróides da região são;
 
= = = ⋅ = ⋅ =x⏨
xdydx
1dydx
1
0
∫ ∫2-x
x
1
0
∫ ∫2-x
x
4
15
5
6
4
15
6
5
4
5
2
5
8
25
 
 
= = = ⋅ = ⋅ =y⏨
ydydx
1dydx
1
0
∫ ∫2-x
x
1
0
∫ ∫2-x
x
11
12
5
6
11
12
6
5
11
2
1
5
11
10
 
Logo, o ponto do centróide da região é;
 
,
8
25
11
10
 
 
(Resposta )