Revisão de momento fletor e esforço cortante

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UNIFAVIP
Lajes de concreto armado segundo a 
norma NBR 6118/2014
► Estruturas de superfície
→Estruturas laminares, de superfície ou bidimensionais:
Aquelas em que duas dimensões, plano médio, são muito maiores 
do que a terceira dimensão, espessura. A representação estrutural 
bidimensional é feita pela superfície média.
► Classificação das estruturas de superfície
● Chapas: São estruturas em que a superfície média forma um 
único plano, e as cargas atuam segundo este plano.
● Placas: São estruturas em que a superfície média forma um único 
plano e as cargas atuam perpendiculares a este plano.
● Cascas: São estruturas em que a superfície média não é formada 
por um único plano. As cascas podem ser: 
▪ Poliédricas:
Formada pela intersecção 
de vários planos.
▪ Curvas: A superfície média 
é uma curva.
● Membranas: São estruturas laminares em
que a superfície média é curva e sua
espessura é muito reduzida em
presença das demais dimensões.
Seus esforços internos são distintos
das cascas curvas. Devido à sua
pequena espessura e grande 
flexibilidade suportam apenas esforços
normais, não possuindo resistência
à flexão.
►Lajes
As lajes destinam-se a receber a maior parte das ações aplicadas 
numa construção, tais como cargas de pessoas, móveis, pisos, 
paredes, e os mais variados tipos de carga que podem existir em 
função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte. 
Têm como principais funções:
✓ Transmitir para os apoios as cargas de utilização;
✓ Contraventar as estruturas;
✓ Trabalhar como mesas de compressão da seção T, em casos das 
lajes serem construídas ligadas monoliticamente às vigas.
Há diferentes tipos de lajes empregados em obras, tais como “in 
loco” e pré-moldadas, quando é classificada pelo seu tipo de 
fabricação (modo de execução), assim como nervuradas, mistas ou 
maciças (plana ou cogumelo) quando é classificada pela sua 
natureza (composição e forma).
Laje nervurada
Se comparadas com as lajes maciças de concreto, as lajes 
nervuradas apresentam algumas vantagens importantes, como:
✓ Menor peso próprio;
✓ Menor consumo de concreto;
✓ Redução de formas;
✓ Maior capacidade de vencer grandes vãos;
✓ Maiores planos lisos (sem vigas). 
Lajes mistas
As lajes mistas são compostas por mais de um material e possuem 
um modo de execução diferenciado, podendo ser pré-fabricadas ou 
moldadas in loco.
➢ Tipo valterrana
➢ Tipo treliçada
Possibilitam vencer grandes vãos com menor peso próprio e redução 
de mão-de-obra durante sua execução. A armadura das nervuras 
tem a forma de uma treliça espacial. O banzo inferior é constituído 
por duas barras e o banzo superior por uma barra, unidos por barras 
diagonais inclinadas.
Lajes lisa e cogumelo
São lajes de concreto executadas “in loco” apoiadas sobre pilares, 
podendo conter vigas em suas extremidades.
➢ Tipo lisa
➢ Tipo cogumelo
► Lajes maciças
As placas em que toda a espessura
são compostas por concreto
são usualmente denominadas
lajes. As placas são elementos
de superfície plana, sujeitas
principalmente a ações
normais a seu plano médio. 
► Nomenclatura quanto ao tipo de apoio das lajes maciças
► Numeração das lajes na planta de forma
✓ Da esquerda para a direita;
✓ De cima para baixo.
► Classificação das lajes maciças quanto ao esquema de 
cálculo (direção da armação)
● Laje armada em uma só direção ● Laje armada em cruz
ly > 2.lx ly ≤ 2.lx 
» Direção principal: esforços » Nas duas direções: esforços
solicitantes de maior magnitude solicitantes são proporcionais
ocorrem na direção do menor vão; às duas direções;
» Direção secundária: esforços » Laje: deformação sem
solicitantes são bem menores que haja uma direção
e, por isso, são comumente predominante e as armaduras
desprezados nos cálculos. são colocadas nas duas direções.
Os esforços solicitantes são calculados supondo-se a laje como uma 
viga com largura (base) de 1m = 100cm e altura (h), segundo a 
direção da laje a ser calculada.
► Determinação das condições de contorno das lajes maciças
Para o cálculo dos esforços solicitantes, torna-se necessário 
estabelecer os vínculos da laje com os apoios. Devido à 
complexidade do problema devem ser feitas algumas simplificações, 
de modo a possibilitar o cálculo manual que será desenvolvido. 
Principais tipos de vínculos
● Bordo livre → quando não há suporte.
● Bordo apoiado → quando há restrição dos deslocamentos verticais, 
sem impedir a rotação das lajes no apoio.
● Bordo engastado → quando há impedimento do deslocamento 
vertical e rotação da laje neste apoio. 
Representação gráfica para os tipos de apoio das lajes
Para as lajes maciças retangulares e quadradas armadas em cruz, sem 
levar em conta as lajes com bordo livre, pode-se considerar seis tipos distintos 
de situações, de acordo com a análise dos seus contornos. Sendo assim, tem-
se:
● Situação 1 → Os quatro lados são 
simplesmente apoiados.
● Situação 2 → Um dos lados é engastado e os outros 
três simplesmente apoiados.
● Situação 3 → Dois lados consecutivos são engastados e os 
demais simplesmente apoiados.
● Situação 4 → Dois lados opostos são engastados
e os demais simplesmente apoiados
● Situação 5 → Três lados são engastados 
e o quarto lado simplesmente
apoiado.
● Situação 6 → Os quatros lados são engastados.
.
► Relações determinantes entre os vãos das lajes com relação 
às condições de contorno
Em geral, adota-se que há engaste em um bordo da laje quando há 
continuidade de laje no bordo analisado. Não havendo, adota-se que 
esse bordo está apoiado. Existem algumas situações que podem 
surgir em uma planta de estrutura que devem ser analisadas para a 
determinação de apoio ou engaste para um bordo da laje. São elas:
● Situação 1: No bordo em comum entre as lajes L1 e L2, considera-
se nessa situação a laje L2 com bordo engastado, porém, para a laje
L1, tem-se:
● Situação 2: Analisando-se o bordo esquerdo da laje L3, tem-se:
Condição não
considerada para a
determinação das
condições de contorno
do bordo esquerdo da 
laje L3.
● Situação 3: No bordo em comum entre as lajes L1 e L2, considera-
se nessa situação a laje L2 com bordo engastado, porém, para a laje
L1, tem-se:
• Se:
• Se:
● Situação 4: Análise do bordo da laje rebaixada:
(engaste na viga)
► Vãos efetivos “lef”
✓ Laje isolada ou contínua
✓ ● Laje em balanço
► Espessura mínima das lajes maciças
A NBR 6118/2014 estabelece que a espessura mínima para as lajes 
maciças deve respeitar:
✓ 7 cm para cobertura não em balanço.
✓ 8 cm para lajes de piso não em balanço.
✓ 10 cm para lajes em balanço.
✓ 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou 
igual a 30 kN.
✓ 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 
30 kN.
✓ 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.
► Ações atuantes
As cargas atuantes nas lajes são de natureza permanente (g) e de 
natureza acidental (q). Os valores dessas cargas são indicadas pela 
norma de cargas para o cálculo de estruturas, NBR-6120. As cargas de 
natureza permanente que atuam nas lajes são compostas 
basicamente por: 
✓ Peso próprio;
✓ Alvenarias;
✓ Regularização;
✓ Assentamento;
✓ Enchimento, etc.
Utiliza-se o peso específico
dos materiais e a espessura 
da camada do material para
se obter a carga na laje.
Esquema geral de um fluxo de ações
► Lajes em balanço: 
Nas lajes em balanço, que se destinam a sacadas, além das cargas 
permanentes e acidentais citadas, devem ser considerados os 
seguintes carregamentos: 
Onde: 
H → 0,8 kN/m. 
V → 2,0 kN/m. 
► Análise dos esforços nas lajes
Após a determinação do carregamento da laje, parte-se para o 
cálculo dos esforços nela atuantes, ou seja, a determinação das 
solicitações. As lajes trabalham, basicamente, à flexão simples, 
isso quer dizer que nela estarão atuando momentos fletores e 
esforços cortantes. Para isso, existem alguns métodos para aanálise de esforços nas lajes. Alguns são listados a seguir:
➢ Teoria das Grelhas.
➢ Tabelas de dimensionamento.
➢ Teoria da Elasticidade.
➢ Método das Linhas de Ruptura.
► Teoria das Grelhas (TG)
Essa teoria consiste em dividir a carga total (p), carga distribuída por 
unidade de área, em duas cargas lineares, uma para cada direção 
da laje (px e py). Do estudo das grelhas, sabe-se que cada faixa é 
responsável por conduzir parte do carregamento total (p) até os 
respectivos apoios. Uma vez conhecido essa parte de carga que 
atua em cada faixa (px e py), pode-se determinar os diagramas de 
momento e cortante, conhecendo-se as condições de contorno do 
painel.
A montagem do problema é conduzida com base nas seguintes 
hipóteses: 
✓ As faixas são independentes entre si;
✓ As partes de carga são constantes em cada direção;
✓ O carregamento é uniformemente distribuído na faixa. 
Esquema geral dos valores de carga pela TG
Valores para momentos e reações de apoio pela TG
Considerando-se as condições de contorno em uma dada direção, 
os valores de carga (p) e de comprimento (l) é para a direção 
considerada no cálculo da flecha, não para o carregamento total da 
laje, ou seja, será px e py, assim como lx e ly.
► Tabelas de dimensionamento
Para facilitar a determinação das solicitações nas lajes, foram 
criadas várias tabelas com uma série de coeficientes que levam em 
conta os diversos parâmetros utilizados no cálculo das lajes. 
Algumas tabelas se baseiam na Teoria das Grelhas e outras na 
Teoria da Elasticidade. Algumas das tabelas mais utilizadas são:
➢ Czerny (TE);
➢ Marcus (TG + TE), entre outras.
✓ Tabelas de Czerny
Para o cálculo dos esforços nas lajes, através das tabelas de 
Czerny, são consideradas as diversas condições de contorno das 
lajes. Nas tablas são indicadas as equações para a determinação 
das reações e apoio e dos momentos fletores.
No uso das tabelas de Czerny, tem-se:
“ℓx” está na direção do menor vão, enquanto “ℓy” estará na direção 
com o maior vão.
✓ Tabelas de Marcus
De acordo com Marcus, para as lajes maciças, o processo das 
grelhas apresenta resultados de momentos fletores conservadores 
quando comparados com o cálculo exato, vindo do estudo das lajes 
pelo método das placas. Sendo assim, o processo de Marcus 
resultou em aproximar os resultados dos momentos fletores aos 
valores reais das placas. 
No uso das tabelas de Marcus, tem-se: 
“ℓx” está na direção com maior número de engaste. Caso ambas as 
direções sejam igualmente engastadas “ℓx” estará na direção com o 
menor vão.
► Métodos da Linhas de Ruptura: Charneiras plásticas
O método das linhas de ruptura, ou a teoria das charneiras plásticas, 
é um método de análise estrutural plástica. De acordo com a NBR 
6118/2014, permite-se que as reações em cada apoio correspondam 
às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados por 
meio das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada 
com os critérios da análise plástica, podendo ser consideradas 
uniformemente distribuídas em seus apoio estruturais.
Quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem 
ser, de maneira aproximada, representadas por retas inclinadas, a 
partir dos vértices da laje, com ângulos de:
✓ 45° entre dois apoios de mesmo tipo.
✓ 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for 
considerado simplesmente apoiado.
► Cálculo dos esforços nas lajes armadas em uma só direção e 
nas lajes em balanço
A determinação das reações de apoio e dos momentos fletores das 
lajes armadas em uma só direção e das lajes em balanço é feita de 
forma simplificada.
As situações para lajes armadas em uma só direção envolvem três 
tipos de lajes considerando os casos de vinculação possíveis de 
existirem quando se consideram apenas apoios simples e engastes 
perfeitos. 
Esforços nas lajes armadas em uma direção
Cálculo das solicitações nas lajes em balanço
As lajes em balanço, como as lajes de marquises e varandas: