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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4
a
 Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos 
1 
 
 
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FÍSICA 3 
 
 
CAPÍTULO 31 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS 
 
01. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é 
colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial entre 
elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50 
pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V? 
 (Pág. 92) 
Solução. 
A carga a ser medida pelo eletrômetro é acumulada num capacitor, de capacitância C, do 
instrumento e deve satisfazer à relação fundamental de capacitância: 
 
  9 950 10 F 0,15 V 7,5 10 Cq CV      
 
 
7,5 pCq 
 
 
04. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22 cm e 1,31 
mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas 
armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas? 
 (Pág. 92) 
Solução. 
 
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não importando a forma geométrica de suas 
placas, é dada por: 
   
 
2122
100 0
3
8,85 10 F/m 0,0822 m
1,4340 10 F
1,31 10 m
A r
C
d d
    


    

 
 
143 pFC 
 
(b) A carga q vale: 
 
  10 81,4340 10 F 120 V 1,7208 10 Cq CV      
 
 
17,2 nCq 
 
 
10. Um capacitor é projetado para operar, mantendo a capacitância constante, em um ambiente com 
flutuações de temperatura. Como mostra a Fig. 23, ele é do tipo de armaduras paralelas com 
“espaçadores” plásticos que mantêm as armaduras alinhadas. (a) Mostra que a taxa de variação 
r
d
q q
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2 
da capacitância C com a temperatura T é dada por 
 
 
1 1dC dA dx
C
dT A dT x dT
 
  
 
, 
 
onde A é a área das armaduras e x, a distância entre elas. (b) Se as armaduras forem de alumínio, 
qual deve ser o coeficiente de dilatação térmica dos espaçadores para que a capacitância não 
varie com a temperatura? 
 
 (Pág. 92) 
Solução. 
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A, cuja distância de separação é d, é 
dada por: 
 
0AC
d


 (1) 
 Sendo A e d funções da temperatura, ou seja, A(T) e d(T), podemos derivar C em relação a T: 
 0 0
0 2
dA dx dA dx
x A x A
A AdC dA x A dxdT dT dT dT
dT x x xA x dT xA xA dT
 
   
        
          
 
 
Substituindo-se (1) na equação acima, teremos: 
 
1 1dC dA dx
C
dT dT A x dT
 
    
 
 (2) 
 
(b) A variação do comprimento (x) dos espaçadores é dada por: 
 
espx x T  
 
onde αesp é o coeficiente de expansão térmica dos espaçadores. Em termos de notação diferencial, 
teremos: 
 
espdx xdT
 (3) 
De forma similar, a variação da área das placas do capacitor é dada por: 
 
2 AldA AdT
 (4) 
Na Eq. (4), o termo 2αAl é o coeficiente de expansão superficial do alumínio das placas (lembre-se 
que o coeficiente de expansão superficial é aproximadamente duas vezes o coeficiente de expansão 
linear). O enunciado exige que a capacitância não varie com a temperatura, o que implica em dC/dT 
= 0. Logo (veja Eq. 2): 
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3 
 
1 1dA dx
dT A x dT
  
 (5) 
Substituindo-se (3) e (4) em (5), teremos: 
 21 1esp AlxdT AdT
x dT dT A
 
  
 
 
 6 12 2 23 10 Cesp Al     
 
 
6 146 10 Cesp   
 
 
13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C1 = 10,3 F, C2 = 4,80 
F e C3 = 3,90 F. 
 
 (Pág. 93) 
Solução. 
Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série de C1 e C2, cuja capacitância equivalente 
chamaremos de C12 e, em seguida, resolveremos a associação em paralelo entre C12 e C3, cuja 
capacitância equivalente chamaremos de C123. 
 
2 1
12 1 2 1 2
1 1 1 C C
C C C CC

  
 
   
   
1 2
12
1 2
10,3 F 4,80 F
3,2741 F
10,3 F 4,80 F
CC
C
C C
      
 
A capacitância equivalente final vale: 
 
   123 12 3 3,2741 F 3,90 F 7,1741 FC C C        
 
123 7,17 FC 
 
 
17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com 
espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas de um único 
capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da 
associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série. 
 (Pág. 93) 
Solução. 
(a) A capacitância da associação em paralelo (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado 
(Cisol). 
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Logo: 
 
assoc isolC C
 
 
0AC C C
l

  
 
 
03
A
C
l


 
 
0 03
A A
d l
 

 
 
3
d
l 
 
(b) A capacitância da associação em série (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol). 
 
Logo: 
 
assoc isolC C
 
 1
01 1 1 A
C C C l
 
   
 
 
 
0
3
AC
l


 
 
0 01
3
A A
d l
 

 
 
3l d
 
 
20. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 F, capazes de suportar, sem ruptura 
dielétrica, 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema 
capaz de resistir à diferença de potencial de 1.000 V e com uma capacitância de (a) 0,40 F e 
(b) 1,2 F? 
 (Pág. 93) 
Solução. 
(a) É possível satisfazer a condição do enunciado por meio de uma associação em série de cinco 
capacitores de C1 = 2,0 F. 
 
C A, 
d
C A, 
C A, 
C A, 
l
C A, 
d
C A, 
d
C A, 
d
C A, 
l
C1/5
5V
=
C1
VVVVV
C1 C1 C1 C1
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1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 5
eqC C C C C C C
     
 
  
1
2,0 F
5 5
eq
C
C

 
 
 
0,40 FeqC 
 
Associando-se em série cinco capacitores que suportam individualmente uma tensão de 200 V, a 
tensão total que a associação poderá suportar é: 
 
 5 5 200 VeqV V V V V V V      
 
 
1.000 VeqV 
 
(b) No item anterior,a associação em série de cinco capacitores de 2,0 F produziu uma 
capacitância equivalente de 0,40 F. Para produzir uma capacitância equivalente de 1,2 F seria 
necessário associar em série cinco capacitores de: 
 
2
1 5
eqC C

 
 
 2 5 5 1,2 F 6,0 FeqC C    
 
É possível construir um capacitor equivalente a 6,0 F associando-se três capacitores de 2,0 F em 
paralelo. 
 
 
 1 1 1 13 3 2,0 F 6,0 FeqC C C C C        
É preciso lembrar que todos os capacitores que participam de uma associação em paralelo estão 
sujeitos à mesma diferença de potencial do capacitor equivalente. Isto faz com que a limitação da 
voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representada no esquema abaixo, onde 
todos os quinze capacitores têm capacitância C1 = 2,0 F: 
 
 
21. A Fig. 28 mostra dois capacitores em série, com uma seção central rígida, de comprimento b, 
que pode se mover verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente a esta associação 
independe da posição da seção central, sendo dada por 
 
 
0AC
a b



, 
 
C C2 1 = 3
=
C1
C1
C1
V
V
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 (Pág. 93) 
Solução. 
A capacitância equivalente (Ceq) de uma associação em série de dois capacitores (C1 e C2, onde C1 é 
o capacitor superior da Fig. 28 e C2 é o inferior) é dada por: 
 
1 2
1 1 1
eqC C C
 
 (1) 
 Se chamarmos de x a distância de separação de C1, a separação de C2 será a – b – x. Logo, 
teremos: 
 
0 0 0 0 0
1 1 1
eq
x a b x a b
A AC A A A
x a b x
    
  
    
 
 
Portanto: 
 
0
eq
A
C
a b



 
 
24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de 
capacitância C1 adquirem uma diferença de potencial V0. Inicialmente, C2 e C3 estão 
descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais q1, q2, 
e q3 sobre os capacitores correspondentes? 
 
 (Pág. 94) 
Solução. 
Considere a seqüência de operações no circuito mostradas no esquema abaixo: 
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No circuito B, a chave S é girada para a esquerda. O capacitor C1 adquire diferençca de potencial 
igual à da bateria (V0) e carga q0 igual a: 
 
0 1 0q CV
 (1) 
No circuito D, a chave S é girada para a direita. A carga q0 é distribuída entre os três capacitores. A 
diferença de potencial de C1 ,V1, diminui enquanto que a de C23 (capacitor equivalente a C2 e C3), 
,V23, aumenta até ficarem iguais. Podemos desenvolver o seguinte cálculo: 
 
1 23V V
 
 
231
1 23
qq
C C

 (2) 
Como C23 é uma associação em série de capacitores, teremos: 
 
2 3
23
2 3
C C
C
C C


 (3) 
e 
 
23 2 3q q q 
 (4) 
Portanto, a distribuição de carga entre os capacitores fica da seguinte forma: 
 
0 1 2 1 3q q q q q   
 
 
2 0 1q q q 
 (5) 
Substituindo-se (4) em (2): 
 
1 2
1
23
C q
q
C

 (6) 
Substituindo-se (5) em (6): 
  1 0 1 1 0 1 1
1
23 23 23
C q q C q C q
q
C C C

  
 
 
1 01
1
23 23
1
C qC
q
C C
 
  
 
 
 
1 0 23
1 1 0
23 1 23 1 23
1C q C
q C q
C C C C C
   
    
    
 (7) 
Substituindo-se (3) em (7): 
C1
C2
C3
V0
+ + +

C1
C2
C3
V0
q V2 2,
q V3, 3
q V1 1,
C1
C2
C3
V0
q V0 0,
+ + +

C1
C2
C3
V0
q V0 0,
+ + +

+ + +

+ + +

A B C D
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8 
 2 3
1 1 0 1 0
2 3 1 2 1 3 2 3
1
2 3
1 C C
q C q C q
C C CC CC C C
C
C C
 
   
    
      
 (8) 
Substituindo-se (1) em (8): 
 
1 2 1 3
1 1 0
1 2 1 3 2 3
CC CC
q CV
CC CC C C
 
  
  
 
Da Eq. (5), temos: 
 
1 2 1 3 1 2 1 3
2 1 0 1 0 1 0
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3
1
CC CC CC CC
q CV CV CV
CC CC C C CC CC C C
    
      
      
 
 
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3
2 1 0
1 2 1 3 2 3
CC CC C C CC CC
q CV
CC CC C C
    
  
  
 
 
2 3
2 1 0
1 2 1 3 2 3
C C
q CV
CC CC C C
 
  
  
 
Como q2 = q3: 
 
2 3
3 1 0
1 2 1 3 2 3
C C
q CV
CC CC C C
 
  
  
 
 
26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas 
que formam entre si um ângulo , conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre 
que a capacitância deste capacitor, para valores de  muito pequenos, é 
 2
0 1
2
a a
C
d d
  
  
 
 
(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em 
paralelo.) 
 
 (Pág. 94) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo: 
 

dx
a
d
y
x 
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Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um 
capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre 
as placas l. Capacitância dC: 
 
0 0 0
tan
dA adx adx
dC
l d y d x
  
   
 
O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores 
dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias: 
 
0
0 tan
a adx
C dC
d x


 
 
 
 
0 tanln 1
tan
a a
C
d
 

 
  
 
 (1) 
No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor, 
sendo o resultado: 
 
   2 3
1 1
ln 1 1
2 3
x x x x x     
 
Considerando-se 
 
tana
x
d


 
e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série: 
 2 2
2
tan tan tan tan tan
ln 1 1
2 2
a a a a a
d d d d d
       
       
   
 
Considerando-se   0, isto implica em tan   . Logo: 
 
tan
ln 1 1
2
a a a
d d d
     
     
   
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
0 1
2
a a a
C
d d
  

 
  
 
 
 2
0 1
2
a a
C
d d
  
  
 
 
 
27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga 
em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a 
chave S2. Suponha que C1 = 1 F, C2 = 2 F, C3 = 3 F e C4 = 4 F. 
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10 
 
 (Pág. 94) 
Solução. 
(a) Considere o esquema a seguir: 
 
C1 C3
C2 C4
V
C13
C24
V
=
 
Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que: 
 
1 3
13
1 3
CC
C
C C


 
 
1 3q q
 
O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4: 
 
2 4
24
2 4
C C
C
C C


 
 
2 4q q
 
Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos: 
 
1 3 2 4V V V V V   
 
Tomando-se: 
 
31 1 1
1 3
1 3 1 3
qq q q
V V V
C C C C
     
 
 
1
1 3
1 1
V q
C C
 
  
 
 
 
1 3
1
1 3
CC
q V
C C


 
 
1 3 9 μCq q 
 
De forma semelhante: 
 
2 4
2
2 4
C C
q V
C C


 
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11 
 
2 4 16 μCq q 
 
(b) Considere o esquema a seguir: 
 
C1 C3
C2 C4
V
C1 C3
C2 C4
V V
C12 C34
= =
 
 
3412
12 34
12 34
qq
V V V
C C
   
 
Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série: 
 
12 34q q
 
Logo: 
 
12
12 34
1 1
V q
C C
 
  
 
 
 
12 34
12 34
12 34
C C
q q V
C C
 

 
Como C12 e C34 são associações de capacitores em paralelo, temos: 
   
   
1 2 3 4
12 34
1 2 3 4
C C C C
q q V
C C C C
 
 
  
 
 
12 34 25,2 μCq q 
 
Mas: 
 
12
12
12
8,4 μC
q
V
C
 
 
Logo: 
 
1 12 1q V C
 
 
1 8,4 μCq 
 
 
2 12 2q V C
 
 
1 16,8 μCq 
 
De forma semelhante: 
 
3 10,8 μCq 
 
 
1 14,4 μCq 
 
 
30. As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bem-
sucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio pesado 
existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas muito 
intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos magnéticos. Por 
exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA), tem salas cheias de 
capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF a 10,0 kV. Calcular a 
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energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h. 
 (Pág. 95) 
Solução. 
(a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à uma 
diferença de potencial V, é dada por: 
 
  
2
2 3 3 61 1 61,0 F 10,0 V 3,05 J
2 2
U CV      
 
 
3,05 MJU 
 
(b) Lembrando-se que: 
 
7
3
kW h
1 J W s 2,777 kW h
10 W 3.600 s
      
 
Teremos: 
 
  6 73,05 J 2,777 kW h 0,84722 kW hU      
 
 
0,847 kW hU  
 
 
32. Dois capacitores, um de 2,12 F e outro de 3,88 F são ligados em série, com uma diferença de 
potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia total armazenada nos 
capacitores. 
 (Pág. 95) 
Solução. 
Podemos representar a associação em série dos capacitores C1 e C2 pelo capacitor equivalente C12: 
 
1 2
12
1 2
CC
C
C C


 
A energia potencial acumulada no capacitor C12 sujeito à diferença de potencial V vale: 
 
2
12
1
2
U C V
 
Logo: 
   
   
 
6 6
221 2
6 6
1 2
2,12 10 F 3,88 10 F1 1
328 V 0,073745 J
2 2 2,12 10 F 3,88 10 F
CC
U V
C C
 
 
 
  
   
 
 
73,7 mJU 
 
 
34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 F cada, é 
usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de 
potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um custo de 3 centavos por kW.h? 
 (Pág. 95) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
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A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia 
acumulada nos N capacitores (CN). 
 
NT t U NtU  
 
Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos capacitores da associação. 
 
2 21 1
2 2
T Nt CV NtCV
 
  
 
 
 
    27 6
1 cents kW.h
2.100 3,0 2,78 5,0 F 55.000 V 13,2449 cents
2 kW.h J
T  
 
     
 
 
 
13 centsT 
 
 
38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4. 
Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro 
de raio igual a 
 
r ab
. 
 
 (Pág. 95) 
Solução. 
Considere o esquema a seguir: 
C
V
C
C
C
V
}
U
U
U
U
1
2
3
2.100
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a
b
r
+

+
+
+
+
+
+
+














 
Capacitância de um capacitor cilíndrico: 
 
 0
2
ln
L
C
b a

 
Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico: 
  22
0
ln
2 4
q b aq
U
C L
 
 (1) 
Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico: 
 
dU
u
dV

 
 
 20
1
. .2 .
2
dU udV E L r dr     
 
 (2) 
Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico: 
 
02
q
E
Lr

 (3) 
Substituindo-se (3) em (2): 
 2
0 2 2 2 2
04
q
dU Lrdr
L r
 
 
 
  
 
 
 2
04
q dr
dU
Lr

 (4) 
Condição que resolve o presente problema: 
 
2
r
a
U
dU 
 (5) 
Substituindo-se (1) e (4) em (5): 
  22
0 0
ln1
4 2 4
r
a
q b aq dr dr
Lr r L 
 
  
 

 
 
1
ln ln
2
r b
a a

 
 2
ln ln
r b
a a
 
 
 
 
 2r b
a a
 
 
 
 
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 r b
a a

 
 
r ab
 
 
40. Mostre que as armaduras de um capacitor plano de placas se atraem mutuamente com uma força 
igual a 
 2
02
q
FA

 
Obtenha este resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as 
armaduras x para x + dx. 
 (Pág. 95) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema, em que temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas 
por uma distância x e carregado com carga q. 
 
A placa da direita é movida para a direita através de uma distância dx. O trabalho W realizado pela 
força F pode ser calculado da seguinte forma: 
 
cosdW d Fdx   F s 
 
dW Fdx 
 (1) 
O mesmo trabalho é equivalente à variação de energia potencial do sistema: 
 
 
2 2 2
0 0
0 0
1 1
2 2 2
q q q
dW dU U U U U
C C C C
 
           
 
 
 
 
2 2
0 0 02 2
q x x dx q
dW x x dx
A A A  
 
     
 
 
 2
02
q dx
dW
A
 
 (2) 
Comparando-se (1) e (2): 
 
 2
02
q
F
A

 
 
















dx
+q q
x
F
ds








F
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42. Uma bolha de sabão R0 adquire lentamente uma carga elétrica q. Por causa da repulsão entre as 
cargas superficiais, o raio aumenta ligeiramente até o valor R. A pressão do ar dentro da bolha 
diminui, por causa da expansão, até p(V0/V) onde p é a pressão atmosférica, V0 é o volume 
inicial e V é o volume final. Mostre que 
 
 
 2 2 3 30 032q pR R R  
, 
 
(Sugestão: Considere as forças atuantes sobre um elemento de área da bolha carregada. Elas são 
devidas a (i) pressão do gás, (ii) pressão atmosférica, (iii) tensão eletrostática; veja o Problema 
41). 
 (Pág. 95) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação, onde pi e pf são as pressões internas da bolha antes e 
após a deposição das cargas, respectivamente: 
 
Vamos analisar as forças que agem sobre um elemento de área A da bolha carregada. De fora para 
dentro da bolha age a força devida à pressão atmosférica, Fatm. De dentro para fora agem a força 
devida à pressão do ar no interior da bolha, Fint, e a força devida à tensão eletrostática, Feletr (veja o 
enunciado do Problema 41). O estudante deve notar que a tensão superficial da bolha, que tende a 
reduzir seu volume, foi desprezada. O somatório dessas forças deve ser nulo. 
 
 
0F 
 
 
int eletr atmF F F 
 
As forças devidas a cada uma das pressões são iguais às respectivas pressões multiplicadas pelo 
elemento de área considerado (F = p A), enquanto que a tensão eletrostática (força por unidade de 
área) é obtida como resultado do Problema 41. 
 
2
0
1
2
fp A E A p A    
 
A bolha comporta-se como um condutor em relação às cargas, que se espalham homogeneamente 
por sua superfície. O campo elétrico no interior da bolha é nulo, enquanto que na superfície externa 
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vale /0 (ver Capítulo 28 – Campo Elétrico). O valor de pf é dado no enunciado do problema. 
Assim, teremos: 
 2
0
0
0
1
2
V
p p
V



 
  
 
 
A densidade superficial de cargas  corresponde à razão entre a carga total q e a área superficial da 
bolha. 
 
2
3
0 2
0
3 0
4
13 4
4 2
3
qR
Rp p
R



   
       
       
 
 32
0
2 4 3
0
1
32
Rq
p
R R 
 
  
 
 
 
 2 2 3 30 032q pR R R  
 
 
44. É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um 
capacitor que armazene até 6,61 J com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos 
dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor, 
supondo que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero? 
 (Pág. 95) 
Solução. 
Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as placas for C1 e com 
outro dielétrico for C2, valem as seguintes relações: 
 
1 1 0C C
 
 
2 2 0C C
 
 
1 01
2 2 0
CC
C C



 
 
2
2 1
1
C C



 (1) 
A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale: 
 
2
2 2 2
1
2
U C V
 (2) 
Substituindo-se (1) em (2): 
 
22
2 1 2
1
1
2
U C V


 
  
 
 
Resolvendo-se para 2: 
   
  
6
1 2
2 22 12
1 2
2 1,00 6,61 J2
4,501099
7,40 F 630 V
U
CV




  

 
 
2 4,50 
 
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De acordo com a Tabela 1 (Pág. 86), o material com  = 4,5 corresponde ao ÓLEO DE 
TRANSFORMADOR. 
 
46. Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as 
armaduras têm área de 0,350 m
2
, qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for 
preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a nova capacitância? 
 (Pág. 95) 
Solução. 
(a) Um capacitor com placas planas e paralelas de área A e separação d possui capacitância C0 dada 
por: 
 
0
0
A
C
d


 
Logo: 
   
 
12 2
0
12
0
8,85 F/m 0,350 m
0,06038 m
51,3 F
A
d
C
 


  

 
 
6,04 cmd 
 
(b) Preenchendo-se o espaço entre as placas com dielétrico , a nova capacitância C será: 
 
  12 100 5,60 51,3 F 2,8728 FC C       
 
287 pFC 
 
 
48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2,80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é 
usada como dielétrico em um capacitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das 
armaduras para que a capacitância seja 68,4 nF e o capacitor possa resistir a uma diferença de 
potencial de 4,13 kV? 
 (Pág. 95) 
Solução. 
A capacitância C de um capacitor de placas planas e paralelas com material dielétrico  entre as 
placas é dada por: 
 
0C C
 
Na equação acima, C0 é a capacitância do mesmo capacitor sem o material dielétrico entre as 
placas. Esta capacitância é dada pela equação a seguir, em que A é a área das placas e d é a distância 
de separação entre elas. 
 
0
0
A
C
d


 
Logo: 
 
0AC
d


 
 
0
Cd
A


 
Multiplicando-se e dividindo-se a equação acima por Vmax, teremos: 
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max max
0 max 0 max
1CV CVd
A
V E    
 
   
   
9 3
2max
12 6
0 max
68,4 F 4,13 V
0,62637 m
2,80 8,85 F/m 18,2 V/m
CV
A
E


 
  
 
 
 
20,626 mA 
 
 
50.Você foi encarregado de projetar um capacitor portátil que possa armazenar 250 kJ de energia e 
escolhe um capacitor de armaduras paralelas com dielétrico. (a) Qual o menor valor possível 
para o volume do capacitor, se for usado um dielétrico selecionado entre aqueles listados na 
Tabela 1 e para os quais é dado o valor da rigidez dielétrica? (b) Capacitores modernos de alto 
desempenho e que podem armazenar 250 kJ têm volumes iguais a 0,087 m
3
. Supondo que o 
dielétrico usado tenha a mesma rigidez dielétrica do item (a), qual deve ser a sua constante 
dielétrica? 
 (Pág. 95) 
Solução. 
(a) O campo elétrico entre as placas de um capacitor, carregado com carga q e preenchido com 
dielétrico , vale: 
 
0 0
q
E
A

 
 
 
Na expressão acima,  é a densidade de carga em cada placa do capacitor. Resolvendo-se a equação 
acima para A e multiplicando-se ambos os membros por d, a distância de separação das placas, 
teremos: 
 
2
0 0 0
q q V qV
Ad d
E E E E  
 
   
 
 
Reconhecendo-se que Ad é o volume entre as placas e que q é o produto da capacitância C pela 
diferença de potencial entre as placas V, teremos: 
   2
2 2
0 0
CV V CV
Ad
E E 
 
 (1) 
A energia potencial acumulada no capacitor é dada por: 
 
21
2
U CV
 
Logo: 
 
2 2CV U
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
2
0
2U
Ad
E

 (3) 
Na condição-limite apresentada pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E corresponde à 
rigidez dielétrica suportada pelo material dielétrico. Como o volume Ad é inversamente 
proporcional à constante dielétrica e à rigidez dielétrica, o capacitor de menor volume deverá ser 
construído pelo dielétrico que possua maior produto  E2. Na Tabela 1 (Pág. 86) citada no 
enunciado, a substância de maior produto  E2 é a mica ( = 5,4, E = 160 kV/mm). Logo: 
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  
  
3
3
2
12
2 250 J
0,40868 m
kV 1.000 V 1.000 mm
5,4 8,85 F/m 160 
mm kV m
Ad


 
 
    
 
 
 
30,41 mAd 
 
(b) Resolvendo-se (3) para a constante dielétrica: 
 
2
0
2U
Ad E



 
  
  
3
2
3 12
2 250 J
25,3669 F
kV 1.000 V 1.000 mm
0,087 m 8,85 F/m 160 
mm kV m



 
 
    
 
 
 
25 F 
 
 
51. Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das armaduras de um 
capacitor plano, que estão separadas pela distância d (veja a Fig. 35). (a) Qual o valor da 
capacitância, depois da introdução da placa? (b) Se a carga nas armaduras mantém o valor 
constante q, ache a razão entre a energia armazenada antes e depois da introdução da placa. (c) 
Qual o trabalho realizado sobre a placa para inseri-la? A placa é puxada para dentro do 
capacitor ou você tem de empurrá-la? 
 
 (Pág. 95) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
(a) A introdução de um material condutor entre as placas de um capacitor carregado causa 
separação de cargas no condutor. Como o campo elétrico no interior do condutor deve ser zero 
(equilíbrio eletrostático), deduz-se que a separação de cargas no condutor gerou um campo elétrico 








E0








d
+q q
C ,V0 0
















d
+q q
C,V
b
















E0 E0
q +q
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21 
que neutralizou o campo produzido pelas cargas nas placas. Para que isso seja possível, as cargas 
induzidas no condutor devem ser iguais, em módulo, às cargas nas placas. O efeito líquido da 
introdução do material condutor é a criação de dois capacitores em série, de carga q, área A, 
separação das placas (d  b)/2 e capacitância C’. Chamando-se C a capacitância da associação em 
série, ou seja, do capacitor original mais a placa de cobre introduzida, teremos: 
 
1 1 1 2
' ' 'C C C C
  
 
 
 
0
0
0
2
2' 2
2 2 2 2
A
Ad b
AC d bC
d b




   

 
 
0AC
d b



 
(b) A razão entre a energia armazenada antes (U0) e depois (U) da introdução da placa, vale: 
 
 
 
202
2 00 0
0 0 0
2
22 0
0
1
2
1
2
A
E dC V
U C V d
AU CV
CV E d b
d b


 
 
   
 
     
 
 
0U d
U d b


 
A introdução da lâmina faz com que a energia potencial do sistema diminua. 
(c) Por definição, o trabalho realizado pela força elétrica vale: 
 
 0 0W U U U U U      
 
 
   
222 2 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
A A
W C V CV E d E d b
d d b
    
             
 
 
 2 20 0 0 0
1 1
2 2
W AE d AE d b   
 
 
 0 0 0
2
AE
W E d d b

    
 
 
0 0
0
2
AE
W E b


 (1) 
Chamando-se de  a densidade de cargas em cada placa do capacitor, o campo elétrico E0 valerá: 
 
0
0 0
q
E
A

 
 
 (2) 
 
0 0AE q 
 (3) 
Substituindo-se (2) e (3) em (1): 
 
02
q q
W b
A

 
 2
02
q b
W
A

 
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22 
O trabalho realizado por uma força externa é o negativo desse trabalho: 
 2
ext
02
q b
W W
A
   
 
Quando a lâmina de cobre começa a ser introduzida no espaço entre as placas do capacitor, as 
cargas já existentes na s placas polarizam a extremidade da lâmina e as cargas induzidas são 
atraídas para dentro do capacitor. Como as cargas induzidas estão presas na lâmina, esta também é 
atraída para dentro do capacitor. Logo, a força externa precisa puxar a lâmina para fora das placas 
para neutralizar a força de atração e manter constante a velocidade de entrada da placa de cobre. A 
atração da lâmina pelas placas e sua aproximação, fazem com que a energia potencial do sistema 
diminua, como revelou o resultado do item (b). 
 
54. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostra a Fig. 36. 
Mostre que o valor de sua capacitância é dado por 
 
0 1 2
2
e eAC
d
   
  
 
 
Verifique a correção deste resultado em todos os casos particulares que você for capaz de 
imaginar. (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois 
capacitores ligados em paralelo?) 
 
 (Pág. 96) 
Solução. 
Quando o capacitor acima for carregado, toda a superfície de cada placa deve estar no mesmo 
potencial, uma vez que cada placa estará conectada diretamente à fonte de potencial. Isto implica 
em que a área das placas que envolverem o dielétrico 1 terá carga q1 e capacitância C1 e a área das 
placas que envolverem o dielétrico 2 terá carga q2e capacitância C2. 
 
1 0 2 01 2
1 2
0 0
CV C Vq q
C C C
V V

   
 
Note que a expressão acima corresponde a uma associação de capacitores em paralelo. 
 
 0 0 01 2 1 2
2 2 2
C C C
C       
 
Na expressão acima, C0 é a capacitância do capacitor sem os dielétricos presentes. 
 
 0 1 2
2
A
C
d

  
 
 
55. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos, como mostra a Fig. 37. Mostre 
que o valor de sua capacitância é dado por 
 
0 1 2
1 2
2 e e
e e
A
C
d
  
 
 
  
 
 
Verifique a correção deste resultado para todos os casos particulares que for capaz de imaginar. 
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23 
(Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores 
ligados em série?) 
 
 (Pág. 96) 
Solução. 
O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância, em que q0 é a 
carga nas placas do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas: 
 
0qC
V

 (1) 
Ao longo do dielétrico 1, a diferença de potencial é V1 e o campo elétrico é E1. Ao longo de 2, V2 
e E2. Logo, a diferença de potencial vale: 
 
0 0 0
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
2 2 2 2 2
E E E dd d d d
V V V E E    
 
        
 
 
Na equação acima, E0 é o campo elétrico entre as placas sem os dielétricos. 
 
0 1 2
1 22
V
V
 
 
 
  
 
 (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
0 1 2 1 2
0
0 1 2 1 2
2
2
q
C C
V
   
   
   
    
    
 
Nas equações acima, C0 é a capacitância do capacitor sem as camadas de dielétrico e V0 é a 
diferença de potencial entre suas placas. Logo: 
 
0 1 2
1 2
2 A
C
d
  
 
 
  
 
 
Esta expressão é a mesma que será obtida se considerarmos que o capacitor do problema é uma 
associação em série de capacitores C1 e C2, que possuem dielétricos 1 e 2, respectivamente. 
 
56. Qual é a capacitância do capacitor da Fig. 38? A área de armadura é A. 
 
 (Pág. 96) 
Solução. 
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24 
Considerando-se o resultado dos Problemas 54 e 55, podemos considerar o capacitor acima como 
uma associação de capacitores C1, C2 e C3, sendo que C2 e C3 estão em série e C1 está em paralelo 
com C23, que é o capacitor equivalente à associação de C2 e C3. Logo: 
 
1 23C C C 
 (1) 
A capacitância C1 vale: 
 1 0 1 0
1
2
2 4
A
A
C
d d
 
 
 
 
   (2) 
A capacitância da associação C23 vale: 
 
2 0 3 0
2 3 0 2 3
23
2 0 3 02 3 2 3
2 2
2
2 2
A A
C C Ad d
C
A AC C d
d d
   
  
     
  
          
  
 (3) 
Substituindo-se (2) e (3) em (1): 
 
1 0 0 2 3 0 2 31
2 3 2 34 2 2 2
A A A
C
d d d
       
   
   
      
    
 
 
0 2 3
1
2 3
2
4
A
C
d
  
 
 
  
 
 
 
59. Duas placas paralelas de área igual a 110 cm
2
 possuem cargas de sinais opostos e módulo igual 
a 8,9  107C. A intensidade do campo elétrico no interior do material dielétrico que preenche o 
espaço entre elas é de 1,4  106 V/m. (a) Calcule o valor da constante dielétrica do material. (b) 
Determine o valor da carga induzida em cada superfície do dielétrico. 
 (Pág. 96) 
Solução. 
(a) A constante dielétrica  é dada pela razão entre o campo elétrico entre as placas sem a presença 
do dielétrico, E0, e o campo no interior do dielétrico, E: 
 
0E
E
 
 
O campo sem o dielétrico vale: 
 
0
0
0 0
q
E
A

 
 
 
Logo: 
  
   
7
0
12 4 2 6
0
8,9 C
6,5301
8,85 F/m 110 m 1,4 V/m
q
AE
 

 

  
  
 
 
6,5 
 
(b) Considere a aplicação da lei de Gauss ao capacitor com o dielétrico, de acordo com o esquema 
abaixo: 
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25 
 
 
0 0 'd q q    E A
 
 
0 0 'EA q q  
 
 
     7 12 6 4 20 0' 8,9 C 8,85 F/m 1,4 V/m 110 mq q EA           
 
7' 7,5371 Cq  
 
 
' 0,75 Cq 
 
 
61. Um capacitor tem armaduras paralelas cuja área é de 0,118 m
2
 e estão separadas por 1,22 cm. 
Uma bateria carrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja 120 V, sendo 
então desligada. Uma placa de dielétrico, de espessura de 4,30 mm e constante dielétrica 4,80, é 
então colocada simetricamente entre as armaduras do capacitor. (a) Ache a capacitância antes da 
introdução do dielétrico. (b) Qual a capacitância após introduzirmos o dielétrico? (c) Qual o 
valor da carga livre q antes e depois da introdução do dielétrico? (d) Qual o campo elétrico no 
espaço entre as armaduras e o dielétrico? (e) Qual o campo elétrico no interior do dielétrico? (f) 
Com o dielétrico colocado, qual a diferença de potencial entre as armaduras? (g) Qual o 
trabalho externo realizado no processo de inserir o dielétrico? 
 (Pág. 96) 
Solução. 
(a) A capacitância C0 antes da introdução do dielétrico vale: 
   
 
12 2
110
0
8,85 F/m 0,118 m
8,5598 F
0,0122 m
A
C
d
      
 
0 85,6 pFC 
 
(b) Ver adiante. 
(c) A carga livre q0 nas placas, antes da introdução do dielétrico, vale: 
 
  11 80 0 0 8,5598 F 120 V 1,0271 Cq C V      
 
 
0 10,3 nCq 
 
Como o capacitor estava desconectado da bateria quando o dielétrico foi introduzido, não há 
mudança na quantidade de carga nas placas do capacitor. Seja q a carga após a introdução do 
dielétrico. Logo: 
 
10,3 nCq 
 
(d) Considere o esquema abaixo, onde uma superfície gaussiana envolve uma das placas do 
capacitor: 
















+q0 q0








E

+q’q’
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26 
 
Aplicando-se a lei de Gauss: 
 
0 0d q    E A
 
 
0 0 01 E A q   
 
  
  
8
0
0 12 2
0
1,0271 C
9.836,0655 V/m
8,85 F/m 0,118 m
q
E
A



  

 
 
0 9,84 kV/mE 
 
(e) O campo elétrico no interior do dielétrico, E, vale: 
  
 
0
9.836,0655 V/m
2.049,8032 V/m
4,80
E
E   
 
 
0 2,05 kV/mE 
 
(f) Considere o esquema abaixo: 
 
A diferença de potencial entre as armaduras do capacitor com o dielétrico vale: 
 
0
0 0
d b b
V d E ds Eds 

      E s
 
 
 0V E d b Eb  
 
      
  
3
3
9.836,0655 V/m 0,0122 m 4,30 m
 2.049,8032 V/m 4,30 m 86,5163 V
V 

     
  
 








E0








d
+q0 q0








b
E0
E

E0








E0








d
+q0 q0








b
E0E

ds
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86,5 VV 
 
(b) Agora podemos calcular a capacitância C do capacitor após a introdução do dielétrico com mais 
facilidade: 
  
 
8
100
1,0271 C
1,1872 F
86,5163 V
q
C
V



   
 
 
119 pFC 
 
(g) O trabalho realizado pelo agente externo, Wext, ao introduzir o dielétrico vale: 
 
  2 2ext int 0 0 0
1 1
2 2
W W U U U U CV C V          
 
 
     2 210 11ext
1 1
1,1872 F 86,5163 V 8,5598 F 120 V
2 2
W     
 
 
7
ext 1,7196 JW
  
 
 
ext 0,172 JW  
 
Este resultado indica que após a introdução do dielétrico a energia potencial do dielétrico diminuiu 
(Wext  0  Wint  0  U  0). Isto significa que o dielétrico é puxado para a região entre as 
placas pelas forças elétricas, que realizam trabalho positivo sobre o dielétrico. A força externa 
(representada pela mão que segura o dielétrico) realiza trabalho negativo sobre o dielétrico para que 
o mesmo possa ser introduzido com velocidade constante. 
 
62. Uma placa dielétrica de espessura b é introduzida entre as armaduras de um capacitor plano, que 
estão separadas pela distância d. Mostre que a capacitância é dada por 
 
 
0
1
e
e e
A
C
d b
 
 

 
 
(Sugestão: Siga o procedimento usado no Exemplo 9.) Esta fórmula prevê corretamente o 
resultado numérico do Exemplo 9? Serão razoáveis os resultados previstos para os casos 
particulares em que b = 0, e = 1 e b = d. 
 (Pág. 96) 
Solução. 
Considere o esquema abaixo, em que à esquerda temos um capacitor de placas planas paralelas sem 
dielétrico C0 e à direita o mesmo capacitor com dielétrico, o que modifica sua capacitância para C. 
 
O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância: 








E0








d
+q0 q0
C ,V0 0








E0








d
+q0 q0
C,V








b
E0
E

ds
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0qC
V

 (1) 
Precisamos agora calcular a diferença de potencial V do capacitor com dielétrico. 
 
0
0 0
d b b
V d E ds Eds
 

      E s
 
 
 0V E d b Eb  
 (2) 
Também podemos afirmar que: 
 
0
0
0
q
E
A

 (3) 
 
0
0
q
E
A 

 (4) 
Substituindo-se (3) e (4) em (2): 
 
 0 0 0
0 0 0
q q q b
V d b b d b
A A A    
 
      
 
 
  0
0
1d bq
V
A
 
 
  
  
 
 (5) 
Substituindo-se (5) em (1): 
 
 
0
1
A
C
d b

 

 