925799_Prova_2_EQ_CIV_2014_2

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Engenharia Qu´ımica - PUC Minas
Ca´lculo IV - Segunda Prova
Professora: Flaviana Dutra - Valor: 40 pontos - 19/11/2014
Nome: Nota:
Questa˜o 1. Determine o trabalho realizado pelo campo ~F (x, y) = (6x2y + xex)~i+ (x+ yey)~j sobre uma
part´ıcula que se move ao longo do caminho triangular de ve´rtices A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (1, 2) do ponto A
de volta a ele no sentido hora´rio.
Questa˜o 2. Considere a superf´ıcie S dada pela parte do plano 2x+2y+z = 8 que esta´ dentro da superf´ıcie
x2 + y2 = 1. Determine:
a) a sua massa, sabendo que a densidade de massa em um ponto (x, y, z) e´ dada pela func¸a˜o σ(x, y, z) = x2 + y2;
b) o fluxo do campo ~F (x, y, z) = (2x+ 2y+ z)~i+ y2~j + 2x2~k atrave´s de S, considerando vetor normal apontando
para cima.
Questa˜o 3. Considere a func¸a˜o f(x, y, z) = (x2+y2+z2)2. Mostre que a circulac¸a˜o em sentido anti-hora´rio
do campo ~5f atrave´s da curva x2 + y2 = 4 no plano z = 1 e´ zero:
a) diretamente;
b) com aux´ılio do Teorema Fundamental do Ca´lculo;
c) com aux´ılio do Teorema de Stokes.
Dica: Calcule rotacional de um campo gradiente qualquer antes de resolver o item c)
Questa˜o 4. Se ~F e´ um campo de forc¸as em R3 e suas componentes teˆm derivadas parciais de segunda
ordem cont´ınuas em todo o R3, mostre que
∫ ∫
S
rot~F · dS = 0 para qualquer superf´ıcie fechada S.
Nota: Observe que apesar de calcularmos o fluxo de rot~F atrave´s de S, S e´ uma superf´ıcie fechada.
LEMBRE-SE:
Teorema Fundamental das Integrais de Linha: Seja C uma curva lisa de pontos inicial e final Pi e Pf
respectivamente. Seja f uma func¸a˜o com deivadas parciais cont´ınuas em C. Enta˜o∫
C
~5f · dr = f(Pf )− f(Pi)
Teorema de Green: Se C e´ uma curva plana, fechada, orientada positivamente e simples delimitando uma
regia˜o D na qual o campo de forc¸as F tem componentes diferencia´veis, enta˜o∫
C
~F · dr =
∫ ∫
D
(Qx − Py) dA
Teorema de Stokes: Seja S uma superf´ıcie aberta e orientada cuja fronteira e´ formada por uma curva C
fechada e orientada positivamente. Se ~F e´ um campo cujas coordenadas teˆm derivadas parciais cont´ınuas sobre
S, enta˜o ∫
C
~F · dr =
∫ ∫
S
rot~F · dS
Teorema de Gauss (ou da Divergeˆncia): Seja E uma regia˜o so´lida com fronteira S, uma superf´ıcie
fechada e orientada positivamente. Se ~F = (P,Q,R) e´ um campo cujas componentes teˆm derivadas parciais
cont´ınuas sobre uma regia˜o aberta contendo E, enta˜o∫ ∫
S
~F · dS =
∫ ∫ ∫
E
(Px +Qy +Rz)dV
•
∫ ∫ ∫
E
f(x, y, z) dV =
∫ θ2
θ1
∫ φ2
φ1
∫ ρ2
ρ1
f(ρ senφ cosθ, ρ senφ senθ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dφ dθ
•
∫ ∫
S
f(x, y, z) dS =
∫ ∫
D
f(r(u, v))|ru × rv| dA •
∫ ∫
S
~F · dS =
∫ ∫
D
~F (r(u, v)) · (ru × rv) dA
•
∫
C
~F · dr =
∫ b
a
~F (r(t)) · r′(t) dt •
∫
c
f ds =
∫ b
a
f(r(t)) |r′(t)| dt