Distribuição Qui-Quadrado

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08/04/13
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Disciplina: Bioestatística
Prof. Dra. Maria Helena Jacob
Aula 4 
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Distribuição Qui-Quadrado (x2)
* Karl Pearson, 1899
*Técnica estatística adequada para variáveis QUALITATIVAS com 2 ou + categorias
* Medir o grau de DISCREPÂNCIA entre as frequências OBSERVADAS e as frequências ESPERADAS segundo determinada HIPÓTESE
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Distribuição Qui-Quadrado (x2)
(Resolve vários problemas, entre eles:)
a) Verifica se uma distribuição OBSERVADA de dados ajusta-se a uma distribuição ESPERADA
(de aderência ou de ajustamento)
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Distribuição Qui-Quadrado (x2)
(Resolve vários problemas, entre eles:)
b) Compara 2 ou + populações com relação a uma variável categórica
(de comparação de proporções ou de heterogeneidade)
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Distribuição Qui-Quadrado (x2)
(Resolve vários problemas, entre eles:)
c) Verifica a existência (ou não) de associação entre 2 variáveis qualitativas 
(de associação ou de independência)
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X2: Medir o grau de discrepância entre um conj de F(O) e conj F(E) 
Presença de antígenos “R” e “S”:
 histocompatibilidade …
transfusões e transplantes 
 R e S CO-DOMINANTES
Genótipos RR, RS e SS (¼, ½, ¼ respect)
1a Lei de Medel: F(E)
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X2: Medir o grau de discrepância entre um conj de F(O) e conj F(E) 
24 filhos de RS x RS
Presença de antígenos “R” e “S”: 
F(O): 6 R + 15 RS + 3 S
F(E): 6 R (¼ de 24)+12 RS (½ de 24)+ 6S(¼ de 24) 
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X2: Medir o grau de discrepância entre um conj de F(O) e conj F(E) 
Até que ponto as diferenças podem ser atribuídas ao acaso?
MEDIDA F(O) x F(E)
Fórmula X2: (O – E)2
 E
 
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X2: 2,25
Diferença geral entre os números O e os que deveriam ser obtidos se a herança dos tipos R, RS e S fosse CO-DOMINANTE 
 
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Decidir-se por uma das conclusões:
(a) As diferenças entre FO e FE são casuais
 e pode-se dizer que R, RS e S são determinados por genes co-dominantes; 
ou
(b) As diferenças entre FO e FE não são casuais, tendo ocorrido porque R, RS e S não são determinados da maneira suposta 
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X2: zero: sem diferença entre números O e E, ficando maior a medida que aumentam discrepâncias entre O e E;
Diferenças grandes são pouco prováveis quando hipótese que norteou a obtenção de E for verdadeira
 (X2 alto: dados não apoiarem H) 
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Distribuição x2
Depende do número de categorias compõem a variável QUALITATIVA
Número de categorias determinam o número de graus de liberdade (gl)
gl= número de categorias – 1 (simples)
O valor crítico de x2 deve ser procurado na TABELA conforme o nível de significância desejado e o número de gl 
 
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Distribuição Qui-Quadrado (x2)
a)De aderência ou de ajustamento
Exemplo antígenos R e S
(1) H0: O = E ou Ha: O ≠ E
(2) Nível de Significância: p=0.05
(3) Valor crítico teste: gl= 3 – 1= 2; então x2 0,05;2= 5,99
(pela tabela)
SÓ o SPSS ou o MINITAB fazem o qui-quadrado
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Fórmula X2: (O – E)2
 E
= 2,25
DECISÃO:
 
Como o valor encontrado (2,25) é menor que o valor tabela (5,99), não se rejeita H0.
 
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CONCLUSÃO: 
A distribuição das FO não difere da distribuição das FE: as diferenças observadas foram CASUAIS. 
Não há evidências que contradigam a Hipótese de que o mecanismo genético que determina R, RS e S é o de herança simples com co-dominância
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Distribuição Qui-Quadrado (x2)
b) De comparação de proporções ou de heterogeneidade: 
Compara 2 ou + populações quanto a uma variável qualitativa;
Dados em tabelas: 
linhas com várias amostras e 
colunas com as categorias da variável (ou vice-versa)
n=fixo (pesquisador decide) 
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Distribuição Qui-Quadrado (x2)
b) De comparação de proporções ou de heterogeneidade: 
A hipótese que se deseja verificar é a de que a proporção de indivíduos em cada categoria é a mesma nas diferentes populações amostradas, isto é, as populações não diferem com relação à variável estudada 
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a
 
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b) De comparação de proporções ou de heterogeneidade: 
			O cálculo das FE parte da pressuposição de que não existe diferença entre LOCALIDADES (Poa, São Leo e Caxias) quanto às frequências dos padrões dos élitros 
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Ho: as proporções relativas aos três padrões (claro, intermediário e escuro ) são as mesmas nas três populações (Poa, São Leo e Caxias) (não diferem entre si)
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Considerando verdadeira a H de que as populações não diferem... 				 Cálculos: Regra 3 242 (total élitros) ------ 161 (total élitros claros) 91 (Total élitros Poa) --- E (élitros claros Poa) E= (60,5) Após, fazer Fórmula X2: (O – E)2 E
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 H0: O = E , a proporção de élitros nos três padrões é a mesma nas três cidades ou Ha: O ≠ E
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Escolher o Nível de Significância: α=0.05; O gl nas tabelas de contingência é dado por gl = (L-1) (C-1) isto é (3-1) (3-1)= 4 onde L=categorias linhas (3 cidades) e C=categorias colunas (3 padrões élitros) Valor Crítico do teste ------ x2 0,05; 4 = 9,49 (tabela) 
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Fórmula X2: (O – E)2 E = 12,500 DECISÃO: Como o valor encontrado (12,5) é maior que o valor tabela (9,49), se rejeita H0. 
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CONCLUSÃO: A distribuição das FO difere significativamente da distribuição das FE dos padrões nos élitros. Portanto, as três populações de Chauliognathus flavipes diferem quanto a esta característica 
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Distribuição Qui-Quadrado (x2) c) De associação ou de independência Verifica a existência (ou não) de associação entre 2 variáveis qualitativas x2 associação Coeficiente r Quali Quanti
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Fórmula 
E= (Total Coluna – Total Linha) Total Geral
E = (197 – 228) 384
E = 117,1
Com os números E, calcula-se 
 X2: (O – E)2 E e 
gl = (L-1) (C-1) 
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				Fórmula X2: (O – E)2 					E = 30,439 (calculado) e gl= (2-1)(4-1)=3 				DECISÃO: Como o valor encontrado (30,439) é maior que o valor tabela (entre 7,81 e 16,27), se rejeita H0. 
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CONCLUSÃO: Rejeita-se H0 e conclui-se que existe associação entre o tipo de pneumopatia e a ocorrência de eosinófilos no escarro
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