Engenharia_Economica_UnB

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ENGENHARIA
ECONÔMICA
181315 - Organização Industrial
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
Faculdade de Tecnologia
Núcleo de Engenharia de Produção
Notas de aula sobre Engenharia Econômica
Prof. José C. Balthazar
Agosto - 2013
ENGENHARIA ECONÔMICA
ENGENHARIA ECONÔMICA
ÍNDICE
Índice 1
Engenharias Econômica 2
1 Matemática financeira 3
1.1 Juros 3
1.2 Custo de oportunidade 3
1.3 Fluxo de caixa 4
1.4 Taxa de juros 5
1.5 Relações de equivalência 7
1.6 Série de pagamentos uniformes 8
1.7 Amortização 11
2 Análise de alternativas de investimento 18
2.1 Análise pelo método payback 18
2.2 Análise pelo valor presente 20
2.3 Análise pelo custo anual 22
2.4 Análise pelo custo capitalizado 23
3 Viabilidade econômica 26
3.1 Taxa Mínima de Atratividade - TMA 26
3.2 Taxa Interna de Retorno - TIR 26
3.3 Valor Presente Líquido - VPL 28
3.4 Taxa Externa de Retorno - TER 29
3.5 Análise de sensibilidade 30
3.6 Ponto de equilíbrio 30
3.7 Análise custo/benefício 31
4 Substituição de equipamentos 34
4.1 Método do Valor Presente Líquido - VPL 34
4.2 Método do Custo Anual Uniforme Equivalente - CAUE 35
4.3 Vida econômica e vida útil de um equipamento 35
4.4 Baixa com substituição por equipamento idêntico 37
4.5 Baixa com substituição por equipamento diferente 38
4.6 Baixa sem substituição 40
5 Depreciação 41
5.1 Depreciação linear 42
5.2 Depreciação exponencial 42
5.3 Depreciação mista 42
6 Bibliografia 44
1
ENGENHARIA ECONÔMICA
ENGENHARIA ECONÔMICA
Decisões de projeto e de operação de sistemas de engenharia são afetadas por limitações de
recursos, tais como tempo, material, trabalho, capital, recursos naturais, etc., existentes em todas as etapas
do ciclo de vida de um produto ou de um processo. Além da função e desempenho, as soluções de
engenharia devem ser economicamente viáveis. Uma grande solução técnica pode se tornar um grande
fracasso se não for viável economicamente. Portanto, compreender e aplicar princípios econômicos à
engenharia sempre foi extremamente importante. O projeto e operação de sistemas de engenharia é muito
mais do que o desenvolvimento de produtos, sistemas e processos para satisfazer uma necessidade ou
demanda, os recursos materiais e financeiros alocados são sempre escassos e, por esta razão, a sua
otimização se impõe como requisito essencial.
Investimento é a aplicação de recursos financeiros na implantação, exploração, expansão e
modernização de atividades produtivas, na expectativa de se obter um ganho financeiro como retorno ao
capital investido. Portanto, para garantir com ganho o retorno de um investimento, há sempre que analisar
as alternativas possíveis para que a decisão correta seja tomada.
Os métodos da Engenharia Econômica permitem aos engenheiros racionalizarem o uso de recursos
de capital por meio de análises para a escolha entre diferentes opções de projeto, de processos produtivos
alternativos, da oportunidade de substituir equipamentos, de comprar ou alugar um imóvel ou uma
máquina, etc.
Em qualquer atividade de engenharia é necessário prever custos e também administrá-los. Despesas
e receitas ocorrem ao longo do desenvolvimento de uma atividade, associando, portanto, valor e tempo.
A questão principal é que o valor do dinheiro varia ao longo do tempo, ou seja, um pagamento nominal de
R$1,00 hoje custa mais que o pagamento nominal de R$1,00 no futuro. Da mesma forma, R$1,00 investido
hoje valerá R$1,00 mais juros em uma data futura. A metodologia para se lidar com esse tipo de problema
é denominada Engenharia Econômica ou Análise Econômica de Engenharia ou ainda, mais simplesmente,
Engenharia de Custos. A Matemática Financeira, que descreve as relações entre tempo e dinheiro, fornecem
a base na qual se assentam os métodos e técnicas da Engenharia Econômica. A variação do valor do dinheiro
no tempo torna mais vantajoso deslocar pagamentos para o futuro e antecipar receitas tanto quanto
possível.
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ENGENHARIA ECONÔMICA
1 Matemática Financeira
A Engenharia Econômica tem como base o reconhecimento do fato que o uso do dinheiro é um bem
ao qual se pode atribuir valor. O uso do dinheiro é remunerado da mesma forma que se paga um salário
pela força de trabalho de uma pessoa, se paga aluguel pelo uso de um imóvel, carro ou equipamento
industrial, ou ainda o pagamento de royalties pelo uso de uma tecnologia. A remuneração do uso do
dinheiro chama-se juro. 
1.1 Juros:
O rendimento em troca do uso do dinheiro por certo tempo é denominado juro e representa o
elemento de ligação entre valores em um ponto de tempo e outro. Os juros são expressos como um
percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e podem ser calculado de duas formas: juros simples
ou juros compostos. 
A fixação da taxa de juros para remunerar o capital emprestado baseia-se em vários fatores: no
risco agregado no investimento, ou seja, quanto mais arriscado o investimento, mais alta a taxa de juros
cobrada, as expectativas inflacionárias, a compensação pela não aplicação do dinheiro em outro
investimento e os custos administrativos envolvidos na operação.
O tomador do empréstimo paga para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento e o
credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar o dinheiro emprestado até o dia do
pagamento e pelo risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).
1.2 Custo de oportunidade:
O custo de oportunidade é o termo usado para indicar o custo de uma oportunidade renunciada,
ou seja, o custo, econômico e até mesmo social, causado pela renúncia dos benefícios que poderiam ser
obtidos com a oportunidade renunciada ou, ainda, a mais alta renda gerada em alguma aplicação
alternativa.
O custo de oportunidade é estimado a partir do que poderia ser ganho no melhor uso alternativo
dos recursos disponíveis. Ou seja, o custo de oportunidade representa o valor associado a melhor alternativa
não escolhida. Fazer uma escolha é recusar outras, pois ao se fazer determinada escolha, deixa-se as demais
possibilidades de lado, pois são excludentes. O maior benefício que seria obtido, mas não foi, das
possibilidades não escolhidas é o custo de oportunidade associado à alternativa escolhida, isto é, a escolha
de determinada opção impede o usufruto dos benefícios que as outras opções poderiam proporcionar. O
mais alto valor associado aos benefícios não escolhidos, é entendido como um custo da escolha realizada,
que é chamado de "custo de oportunidade".
Por exemplo, a diferença de valores entre duas taxas de juros, provindas de alternativas econômicas
diferentes de investimento, constitui, para a alternativa aceita e de menor valor, uma taxa de juros chamada
de custo de oportunidade. Admitindo que se possa obter juros de 20% ao ano em aplicações financeiras,
manter uma quantia de dinheiro sem aplicá-lo incorre num custo de oportunidade de 20% ao ano, ou seja
os 20% que o dinheiro deixa de render. Se uma outra oportunidade de investimento render 50% ao ano, o
custo de oportunidade de não investir o dinheiro será de 50%, e de aplicá-lo no banco que paga 20% será
de 30%.
O custo de oportunidade também pode ser considerado como a redução da fabricação de um bem
a favor de outro. Por exemplo, caso uma empresa que fabrica 20.000 camisetas amarelas por mês decidir
também produzir 8.000 camisetas verdes, tendo, para isso, que reduzir a produção das azuis par 12.000, o
custo de oportunidade será de 8.000 camisetas amarelas deixadas de produzir.
3
ENGENHARIA ECONÔMICA
Se a administração de uma cidade decidir construir uma escola num terreno vazio de propriedade
pública, o custo de oportunidade é representado pela renúncia aos benefícios de outras destinações do
terreno, como, por exemplo, a possibilidade de construir no local um parque ou um centro desportivo ou
mesmo um estacionamento.
1.3 Fluxo de caixa:
As decisões financeiras devem ser tomadas a partirde critérios que reconhecem a variação do valor
do dinheiro no tempo. Qualquer comparação entre quantias de dinheiro deve ser referidas a uma data e
a transferência para uma outra data somente podem ser feita considerando os juros envolvidos no período
entre as datas. É impossível somar ou subtrair quantias de dinheiro que não se referem à mesma data.
Os problemas de Engenharia Econômica envolvem essencialmente a fixação de valores, como
receita e despesa, ao longo do tempo, as quais podem ser representadas em um diagrama ou e uma tabela
denominada fluxo de caixa, figura 1.
Na linha horizontal são representados os períodos de tempo (meses, semanas, trimestres, anos,
etc.). As receitas e desemboles são representadas por setas no fim de cada período. Não há escala para as
setas, os valores envolvidos são indicados numericamente sobre as setas ou ao lado. N valores consecutivos
e iguais podem ser indicados por uma linha horizontal, no período correspondente, com indicação do valor
comum.
A seta para baixo representa um desembolso P, ou seja, um valor emprestado ou investido, também
denominado Principal, Capital Inicial, Valor Atual, Valor de Aplicação ou qualquer outra denominação que
indique claramente serem valores cedidos ou aplicados.
A seta para cima representa uma receita F, ou seja, um Montante, Valor de Resgate, Valor Futuro,
Valor capitalizado ou qualquer denominação que indique se tratar de um retorno.
Fig. 1 - Diagrama de fluxo de caixa
Fig. 2 - Exemplo de diagrama de fluxo de caixa do ponto de vista do investidor
4
ENGENHARIA ECONÔMICA
J F P i J
P
= − ⇒ = (1.1)
( )F P ni= +1 (1.2)
No exemplo da figura 2, o diagrama representa um investimento inicial de R$5.000,00, que produz
receitas de R$1.000,00 no 2º período, R$800,00 no 3º período e R$1.200,00 no 4º período, com uma despesa
constante de R$200,00 por período, a partir do 2º período. 
O diagrama de fluxo de caixa depende do ponto de vista considerado, pois como a toda receita
corresponde a um desembolso em outro caixa, o mesmo fluxo dá origem a dois diagramas simétricos,
conforme o ponto de vista seja do investidor, figura 2, ou do investimento, figura 3. 
Fig. 3 - Exemplo de diagrama de fluxo de caixa do ponto de vista do investimento.
1.4 Taxa de Juros:
Movimentar recursos financeiros ao longo de um período de tempo tem um custo, expresso pela
taxa de juros, i, que representa o custo de cada unidade de capital por unidade de tempo. Se a operação é
vista do ponto de vista do investidor, a diferença entre o valor de resgate e o valor aplicado, ou seja o
rendimento, denomina-se juro. O mesmo vale no caso do investimento, no qual o custo da operação
também é expresso pelo juro. A taxa de juros i é o coeficiente de proporcionalidade entre o valor do juro
e o capital utilizado na unidade de tempo considerada, ou seja, é a relação entre o juro gerado numa
operação financeira e o capital nela empregado. Essa taxa de juros está sempre relacionada com o tempo
da operação financeira. 
Se uma operação financeira executada num determinado período de tempo resultar em um
montante F, referente a um principal, ou capital, P, empregado na operação, o valor do juro J gerado será
a diferença entre F e P e a taxa de juros para esse intervalo de tempo, expressa em forma unitária, é definida
como:
A sucessiva incorporação de juros ao principal ao longo de períodos de tempo, chama-se
capitalização e pode ocorrer em dois regimes diferentes:
• Capitalização simples:
A penas o capital inicial rende juros. Os rendimentos são devidos exclusivamente sobre o principal
ao longo dos períodos de tempo a que se referir a taxa de juros i.
Ao fim de n períodos o montante F referente a um principal P, com capitalização simples à taxa de
juros i valerá:
5
ENGENHARIA ECONÔMICA
• Capitalização composta:
Se após cada período de capitalização os juros forem incorporados ao principal, eles passam
também a render juros em cada período de tempo a que se refere a taxa de juros i, a partir do período
seguinte. Portanto, o rendimento é acrescido ao capital para compor um novo principal, que, no período
seguinte, será acrescido de novo rendimento ou despesa de juros e assim sucessivamente, ou seja: 
Após o 1° período : F1 = P ( 1 + i )
Após o 2° período : F2 = F2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )2
Após o 3° período : F3 = F2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )3
Após o n-ésimo período: Fn = P ( 1 + i )n
Ao fim de n períodos o montante F referente a um principal P, com capitalização composta à taxa
de juros i valerá:
O fator é chamado de fator de capitalização ou de valor futuro de um( )1 + =i F P i nn ( , %, )
pagamento simples. Este fator é encontrado nas tabelas para diversos i e n.
( )F P i P F P i nn= + = ×1 ( , %, ) (1.3)
Exemplo 1.2: 
Qual o prazo necessário para que um capital de R$100.000,00 aplicado a uma taxa de juros composta de 12%
ao ano se transforme em R$1.200.000,00.
 
( )
( )
P F i
n
n anos
n n
n
= + = = + =
= = +
= =
= =
−( ) . . , . ,
. . ,
. ,
,
log , log
log
log ,
,
1 1200 000 00 100 000 1 0 12
1200 000 00
100 000 00
1 0 12
112 12
12
112
21 92
Exemplo 1.1: 
Supondo R$1.000,00 emprestados a uma taxa de 5% ao mês:
Mês F - Juros simples F - Juros compostos
0 1.000,00 1.000,00
1 1.000,00 + 0,05x1.000,00 = 1.050,00 1.000,00 + 0,05x1.000,00 = 1.050,00
2 1.050,00 + 0,05x1.000,00 = 1.100,00 1.050,00 + 0,05x1.050,00 = 1.112,50
1.100,00 + 0,05x1.000,00 = 1.150,00 1.112,50 + 0,05x1.112,50 = 1.157,60
.
.
.
12 =1.600,00 =1.795,85
Juros simples 5% ao mês correspondem a 60% ao ano (a.a.). Em juros compostos 5% ao mês corresponderá
a 79,5856% ao ano.
6
ENGENHARIA ECONÔMICA
( )P F i F P F i nn= + = ×−1 ( , %, ) (1.4)
F P
i
p
p n
= +














1 (1.5)
Inversamente, se o que se deseja é saber o valor atual ou valor presente P de um pagamento F a ser
feito no futuro:
O fator (1 + i)-n = (P/F, i%, n) é chamado de fator de atualização ou de valor presente ou de valor
atual de um pagamento simples. Este fator também é encontrado nas tabelas para diversos i e n. Duas taxas
i1 e i2, relativas aos períodos n1 e n2, expressos na mesma unidade de tempo, são proporcionais quando
observarem a relação de proporcionalidade:
Para se obter a taxa de juros r para um sub-período p, fração de n, é suficiente dividir a taxa i , do
período n, pelo número de períodos p contidos em n:
Normalmente, em engenharia econômica, o número de períodos n é fixado em anos e i é a taxa de
juros anual. Entretanto, são comuns situações em que os juros são compostos a períodos mais curtos, como
dia, semana etc, tendo como conseqüência o aumento da taxa efetiva de juros. Portanto, se p for o número
de períodos por ano em que o juro é composto e i a taxa de juros nominal anual, a taxa de juros por período
é r=i/p e o número de períodos em n anos torna-se pn. Portanto, o montante valerá:
1.5 Relações de Equivalência
As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem no tempo.
Por exemplo, duas ou mais aplicações com datas de vencimento diferentes são equivalentes quando,
levados par uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais nesta data.
Exemplo 1.3:
Qual o valor de emissão de um título que, no fim de 10 meses e a uma taxa de 5% ao mês, o valor de
resgate é R$10.000,00.
( )P F i n= + = + =− −( ) . , , . ,1 10 000 00 1 0 05 6139 1310
i
i
n
n
1
2
1
2
=
r
i
p
=
7
ENGENHARIA ECONÔMICA
Os exemplos acima mostram que quando se lida com quantias monetárias, alem do valor numérico,
interessa também o instante em que tais quantias serão pagas ou recebidas.
1.6 Série de pagamentos uniformes:
 Muitas operações financeiras são realizadas por meio de uma série de pagamentos ou
recebimentos,em datas previamente estipuladas, nos quais estão embutidos juros, já que o dinheiro tem
valor no tempo. O cálculo de Valor Futuro ou de Valor Presente das prestações, no regime de juros
compostos, requer a utilização de fórmulas matemáticas específicas para cada situação .
Para uma série uniforme de receitas ou desemboles de valor A ao longo de um prazo composto de
Exemplo 1.5: 
Considere um plano de um empréstimo de R$1.000,00 tomado a um banco à taxa de juros de 3% ao mês.
O empréstimo pode ser pago em dois meses pelos planos I a I:
Plano Valor Pago
Mês 0
Valor Pago
Mês 1
Valor Pago
Mês 2
Total
Pago
I 0.00 1.000,00x1.03-1.000,00=30,00 1.000,00x1,03=1030,00 1.060,00
II 0.00 0.00 1.000,00x1,03
2
=1060,90 1.060,90
III 0.00 [500,00x1,03+500,00x1,03
2
]/2=1.045,405/2=522,61 522.61 1,.045,45
IV 60,90(1,03)
-2
=57,40 0.00 1,000.00 1.057,45
Todos os planos baseiam-se em juros compostos de 3% ao mês.
Apesar de envolverem pagamentos de magnitudes diferentes em instantes de tempo diferentes, os planos possuem
dois pontos em comum: juros de 3% ao mês, débito igual a zero no fim do segundo período. Os planos são
equivalentes a R$1.000,00 na data inicial (t = 0), a juros de 3% ao mês, porque pagam exatamente o
empréstimo feito.
Exemplo 1.4: 
Uma pessoa tem um título que irá receber pelo
valor nominal de R$15.000,00 em 2 anos. Dispõe
ainda de R$20.000,00 que irá aplicar a uma taxa
de 3% a.m. durante 2 anos. Determinar:
a) Quanto esta pessoa possui hoje?
b) Quanto ela possuirá daquí a 1 ano?
c) Quanto ela possuirá daquí a 2 anos?
a) ( )x = + = + =20 000 00
15 000 00
1 03
20 000 00 7 379 00 27 379 0024. ,
. ,
,
. , . , . ,
b) ( ) ( )y = + = + =20 000 00 1 03
15 000 00
1 03
28 515 22 10 520 69 39 035 9112 12. , ,
. ,
,
. , . , . ,
c) ( )y = + = + =20 000 00 1 03 15 000 00 40 655 88 15 000 00 55 655 8824. , , . , . , . , . ,
Portanto, na taxa de juros
considerada, a pessoa em
questão possui hoje
R$27.379,00, daquí a um
ano possuirá R$39.035,91 e
daquí a dois anos
R$55.655,88.
8
ENGENHARIA ECONÔMICA
( )
F A
i
i
A F A i n
n
=
+ −
=
1 1 ( , %, ) (1.6)
( ) ( )A F
i
i
A A F i n
n
=
+ −
=
1 1
, %, (1.7)
vários períodos, como ocorre, por exemplo, no pagamento de prestações ou na amortização de uma quantia
F que deverá estar disponível no futuro para a substituição de um equipamento, ou ainda na retirada anual
na forma de uma série de pagamentos ao invés de um pagamento concentrado.
Para uma série de pagamentos A, ao final de cada período, o valor futuro de n pagamentos
uniformes à taxa de juros i vale:
onde (F/A, i%, n) é o fator de valor futuro de uma anuidade.
Por outro lado, o valor dos pagamentos uniformes, ou anuidades, A que devem ser feitos ao longo
de n períodos para, a uma taxa de juros i, acumular o valor futuro F vale:
onde (A/F, i%, n) é o fator de anuidade de um valor futuro. Esta expressão é freqüentemente usada para
calcular o dinheiro que deve ser reservado em um fundo de amortização para substituição de equipamentos
obsoletos.
Combinando as equações (1.3) e (1.6), obtém-se a expressão para o valor presente P de uma série
uniforme de pagamentos A,:
Exemplo 1.6: 
Uma pessoa faz mensais e iguais de R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que tem um rendimento
mensal de 0,8%. Considerando que os depósitos são realizados ao final de cada mês, qual será o valor
acumulado no final de 12 meses?
( ) ( )F A i
i
n
=
+ −
=
+ −
=
1 1
1000 00
1 0 008 1
0 008
12 542 34
12
. ,
,
,
. ,
Exemplo 1.7:
Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente em uma caderneta de poupança que paga juro de 0,8% ao
mês, para acumular o valor de R$20.000,00 no final de 12 meses?
 
( )
( )
A F i
i
A
n
=
+ −
=
=
+ −
=
1 1
20 000 00 0 008
1 0 008 1
1594 6012. ,
,
,
. ,
9
ENGENHARIA ECONÔMICA
( )
( )A P
i i
i
P A P i n
n
n
=
+ ⋅
+ −
= ×
1
1 1
( , %, ) (1.9)
O termo (P/A, i%, n) é chamado de fator de valor presente de uma série uniforme ou também fator
de valor presente de uma anuidade.
Resolvendo a eq. (1.8 ) para A:
O valor de A é o pagamento anual, ou anuidade, necessário para recuperar o capital inicial P mais
os juros sobre aquele capital a uma taxa i em n anos. O termo (A/P, i%, n) é conhecido como fator de
recuperação de capital de uma série uniforme de pagamentos ou fator de anuidade de um valor presente,
muito utilizado para cálculo de prestações no comércio.
( )
( )P A
i
i i
A P A i n
n
n
=
+ −
+ ⋅
= ×
1 1
1
( , %, ) (1.8)
Exemplo 1.8:
Qual o valor de um automóvel adquirido com um financiamento realizado à taxa de 1,0% ao mês e que deve
ser liquidado em 24 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 1.500,00.
( )
( )
( )
( )
P A
i
i i
P
n
n
=
+ −
+ ⋅
=
=
+ −
+ ×
=
1 1
1
1500 00
1 0 01 1
1 0 01 0 01
31865 08
24
24. ,
,
, ,
. ,
Exemplo 1.10:
Um produto é comercializado por R$ 1.200,00 a vista. Qual será o valor da prestação, se o comprador financiar
em 5 prestações iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pela loja é de 3% ao mês?
( )
( )
( )
( )
A P
i i
i
A
n
n
=
+ ⋅
+ −
=
=
+ ×
+ −
=
1
1 1
1200 00
1 0 03 0 03
1 0 03 1
262 02
5
5. ,
, ,
,
,
Exemplo 1.9:
Qual o valor das prestações mensais e iguais de um empréstimo de R$15.000,00, à taxa de 3,5% ao mês,
pelo prazo de 12 meses?
( )
( )
( )
( )
A P
i i
i
A
n
n
=
+ ⋅
+ −
=
=
+ ×
+ −
=
1
1 1
15000 00
1 0 035 0 035
1 0 035 1
1552 26
12
12. ,
, ,
,
. ,
10
ENGENHARIA ECONÔMICA
Exemplo 1.11:
Para P= R$1.000,00, I = 6% e n = 3: 
(A/P, 6%, 3) = 0,37411 Y A = Px(A/P, 6%, 3) = 1000x 0,37411 = 374,11
A tabela mostra o capital devedor no início dos períodos bem como a composição, em termos de juros e
amortização, de cada uma das três parcelas iguais a AP.
Composição Juros X Amortização
Período Juros Amortização Pagamento Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 1.000,00
1 1000,00 x 0,06 = 60,00 374,11 - 60,00 = 314,11 37.411,00 1000,00 – 314,11 = 685,89
2 685,89 x 0,06 = 41,15 374,11 - 41,15 = 332,96 37.411,00 685,89 – 332,96 = 352,93
3 352,93 x 0,06 = 21,18 374,11 - 21,18 = 352,93 37.411,00 0,00
Totais: 12.233,00 1.000,00, 1.122,33
1.7 Amortização:
Amortização é o processo de extinção gradual de uma dívida por meio de uma série de pagamentos
periódicos.
Num fundo de amortização se reserva anualmente uma quantia de dinheiro A que, em n anos, junto
com os juros compostos acumulados, iguala a quantia futura requerida F para, por exemplo, promover a
substituição de um equipamento que irá se tornar obsoleto em um dado prazo. A recuperação de capital
corresponde ao dinheiro reservado a cada ano para prover a quantia F mais os juros do capital investido.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento cobre os juros vencidos mais uma parcela
para amortização do principal. Cada pagamento é, portanto, a soma do valor amortizado com os juros do
saldo devedor, isto é:
A taxa de juros por período permanece constante durante todos os períodos, o saldo devedor
diminui no início de cada período devido à amortização do principal. Se o valor A de cada parcela a ser paga
é igual em todos os períodos, os juros diminuem a cada pagamento enquanto a amortização aumenta
período a período. 
Os principais sistemas de amortização são:
• Sistema de pagamento único: ocorre um único pagamento (capital + juros) no final do período
estipulado;
• Sistema de pagamento variável: ocorre vários pagamentos diferenciados durante o período (às
vezes somente juros, outras juros+capital);
• Sistemaamericano: ocorre um único pagamento ao final do período, porém os juros são
calculados em várias fases durante o período;
Pagamento = Amortização + Juros
11
ENGENHARIA ECONÔMICA
• Sistema de amortização constante (SAC): geralmente o mais utilizado, os juros e o capital são
calculados uma única vez e divididos para o pagamento em várias parcelas durante o período;
• Sistema Price ou francês: geralmente usados em financiamentos de bens de consumo, todas as
parcelas são iguais e com os juros já embutidos;
• Sistema de amortização misto (SAM): calcula-se o financiamento pelos métodos SAC e price e
faz-se uma média aritmética das prestações desses dois sistemas, chegando ao valor da
prestação do sistema misto.
• Sistema Alemão: Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro
pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
Para mostrar as características de cada sistema de amortização, considere, por exemplo, um
financiamento hipotético de R$300.000,00 a ser pago em 5 meses à taxa mensal de 4%.
Sistema de Pagamento Único:
O devedor paga o montante, F, o capital, P, mais os juros compostos da dívida a uma taxa i em um
único pagamento ao final de n períodos. O montante pode ser calculado pela fórmula:
É o sistema comumente usado em Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados
a prazo fixo com renda final.
Sistema de Pagamento Único
Valor = R$ 300.000,00 Taxa (% a.m) = 4 n = 5
n Juros
Amortização do
SD
Pagamento Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 300.000,00
1 12.000,00 0,00 0,00 312.000,00
2 12.480,00 0,00 0,00 324.480,00
3 12.979,20 0,00 0,00 337.459,20
4 13.498,37 0,00 0,00 350.957,57
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0,00
Totais: 64.995,87 300.000,00 364.995,87
Sistema de Pagamentos Variáveis:
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com
a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do saldo devedor são pagos sempre ao final de
cada período. É os sistema normalmente usado em cartões de crédito.
No presente exemplo, o devedor pagará a dívida da seguinte forma:
• No final do 1º mês: R$ 30.000,00 + juros;
• No final do 2º mês: R$ 45.000,00 + juros;
( )F P i P F P i nn= + = ×1 ( , %, ) (1.10)
12
ENGENHARIA ECONÔMICA
• No final do 3º mês: R$ 60.000,00 + juros;
• No final do 4º mês: R$ 75.000,00 + juros;
• No final do 5º mês: R$ 90.000,00 + juros
Sistema de Pagamentos Variáveis
Valor = R$ 300.000,00 Taxa (% a.m) = 4 n = 5
n Juros
Amortização do
SD
Pagamento Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 300.000,00
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0,00
Totais: 42.000,00 300.000,00 342.000,00
Sistema Americano:
O pagamento do principal a feito em uma única parcela no final. No final de cada período paga-se
os juros do saldo devedor do período. No final dos n períodos, paga-se também os juros do nº período.
Sistema Americano
Valor = R$ 300.000,00 Taxa (% am) = 4 n = 5
n Juros
Amortização do
SD
Pagamento Saldo Devedor
0 0,00 0,00 0,00 300.000,00
1 12.000,00 0,00 12.000,00 300.000,00
2 12.000,00 0,00 12.000,00 300.000,00
3 12.000,00 0,00 12.000,00 300.000,00
4 12.000,00 0,00 12.000,00 300.000,00
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0,00
Totais: 60.000,00 300.000,00 360.000,00
Sistema de Amortização Constante - SAC:
O devedor paga o Principal em n pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes
e iguais. Este sistema é usado no financiamento de imóveis residenciais.
13
ENGENHARIA ECONÔMICA
Sistema de Amortização Constante - SAC
Valor = R$ 300.000,00 Taxa (% am) = 4 n = 5
n Juros
Amortização do
SD
Pagamento Saldo Devedor
0 0,00 0 0,00 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0,00
Totais: 36.000,00 300.000,00 336.000,00
Sistema francês ou Sistema Price:
É o mais conhecido dos sistemas de amortização. Ele apresenta um conjunto de fatores (A/P, in)
para diferentes valores de i e n , na qual os pagamentos são iguais durante todo o período. É usado nos
financiamentos de bens de consumo em geral.
A aplicação dos valores da “Tabela Price” definem uma série uniforme de n parcelas A
financeiramente equivalente ao principal P no tempo zero.
Sistema Francês ou “Tabela PrIce”
Valor = R$ 300.000,00 Taxa (% am) = 4 n = 5
n Juros
Amortização do
SD
Pagamento Saldo Devedor
0 0,00 0 0,00 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,33 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,02 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0,00
Totais: 36.940,67 300.000,00 336.940,67
O cálculo da prestação A é o produto do valor financiado P pelo um coeficiente K dado pela fórmula:
Portanto: 
( )
( )K
i i
i
n
n
=
+ ⋅
+ −
1
1 1
 (1.11)
14
ENGENHARIA ECONÔMICA
Sistema de Amortização Misto - SAM:
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas do Sistema Francês -
Tabela Price e do Sistema de Amortização Constante (SAC). É também usado no financiamento de imóveis
residenciais.
O cálculo da prestação é feito pela fórmula:
Prestações do SAM
n PSAC PPrice PSAM
1 72.000,00 67.388,13 69.694,07
2 69.600,00 67.388,13 68.494,07
3 67.200,00 67.388,13 67.294,07
4 64.800,00 67.388,13 66.094,07
5 62.400,00 67.388,13 64.894,07
Sistema de Amortização Misto - SAM
Valor = R$ 300.000,00 Taxa (% a.m) = 4 n = 5
n Juros
Amortização do
SD
Pagamento Saldo Devedor
0 0,00 0 0,00 300.000,00
1 12.000,00 57.694,07 69.694,07 242.305,93
2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,10
3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,19
4 4.942,01 61.152,06 66.094,07 62.398,13
5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 -0,02
Totais: 36.470,33 300.000,02 336.470,35
Sistema Alemão:
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com
prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da
A K P= × (1.12)
A A ASAM ice SAC=
+Pr
2
(1.13)
15
ENGENHARIA ECONÔMICA
( )A A ii= +1 (1.15)
operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento A e os valores das amortizações AMk,
k=1,2,3,...,n.
Para k = 1,2, ....,n:
Calculando então as prestações mensais do financiamento:
A = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80
AM1 = 64.995,80 × (1-0,04)4 = 55.203,96
AM2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13
AM3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13
AM4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97
AM5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80
Sistema Alemão de Amortização
Valor = R$ 300.000,00 Taxa (% am) = 4 n = 5
n Juros Amortização do SD Pagamento Saldo Devedor
0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
1 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,04
2 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,91
3 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,78
4 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,80
5 64.995,80 64.995,80 0,00
Totais: 36.979,02 300.000,00 336.979,02
Geralmente, ao se trabalhar com séries uniformes, é convencional considerar que os pagamentos
A são feitos ao final de cada período. Entretanto, pode também ocorrer que esses pagamentos devam ser
feitos no início dos períodos. Se for esse o caso, o valor de Ai pode ser determinado descontando-se de A
um período. Portanto, na eq. (1.3) F = A e P = Ai e n = 1:
Valor que pode ser substituído nas eqs. (1.6), (1.7) e (1.8).
O exemplo a seguir mostra a diferença entre os conceitos de custo de recuperaçãode capital e de
fundo de reposição ou amortização.
( ) ( ) ( )A
P i
i
AM A i AM AM
in
n
k k=
⋅
− −
= − =
−
−
−1 1
1
1
1
1 1
1 (1.14)
16
ENGENHARIA ECONÔMICA
( ) ( )A F
i
i n
=
+ −
=
+ −
= × =
1 1
10 000 00
0 1
1 0 1 1
0 01746 10 000 00 174 6020. ,
,
,
, . , ,
( )
( )
( )
( )A P
i i
i
n
n=
+
+ −
=
+
+ −
= × =
1
1 1
10 000 00
0 1 1 0 1
1 0 1 1
0 11746 10 000 00 1174 60
20
20. ,
, ,
,
, . , ,
Exemplo 1.12:
Assuma que em uma empresa existe uma máquina cujo valor é R$10.000,00 para a qual deve-se fazer uma
provisão de fundos para a suasubstituição em 20 anos. Existem duas possibilidades: a) reservar anualmente uma
certa quantia para uma fundo de amortização, que irá capitalizar e, ao final de 20 anos, proporcionará o
montante necessário para a troca ou; b) reservar já uma quantia de R$10.000,00, que, sendo aplicada, pode
gerar ganhos financeiros.
Caso a) Qual o investimento anual que dever ser feito, considerando uma taxa de 10%, para reservar fundos
para substituir a máquina em 20 anos?
Portanto, deve-se pagar R$174,60 por ano ao fundo de amortização.
Caso b) Qual o custo anual de recuperação do capital de R$10.000,00 a 10% em 20 anos?
O custo anual de recuperação de capital será de R$1.174,60. 
Portanto: Fator de recuperação = Fator de valor futuro + i
de capital da anuidade
0,11746 = 0,01746 + 0,10
Custo anual Custo anual Custo
de recuperação = do fundo de + anual
do capital reposição de juros
• No caso a) reserva-se a cada ano uma quantia de dinheiro, R$174,60, que, após n anos,
Ojuntamente com os juros compostos acumulados, soma a quabtia futura requerida.
• caso b) representa a quantia reservada a cada ano para prover a substituição da máquina
em n anos mais o custo (juros) do capital investido.
• A quantia de dinheiro investida em capital (R$10.000,00 no exemplo) representa um custo
de oportunidade, pois se está abrindo mão dos rendimentos que os R$10.000,00 poderiam ter
se aplicados no mercado financeiro.
17
ENGENHARIA ECONÔMICA
2 Análise de Alternativas de Investimentos:
Para comparar alternativas que proporcionam o mesmo resultado em diferentes períodos de tempo
e com taxas de juros diferentes, é necessário reduzí-las a uma base equivalente de comparação. Se duas
alternativas são economicamente equivalentes, então elas são igualmente desejáveis.
Em engenharia econômica é necessário definir fatores de equivalência para que se possa comparar
fluxos de dinheiro (fluxos de caixa) em diferentes pontos no tempo. Por exemplo, um pagamento que deve
ser feito hoje não pode ser comparado diretamente com um fluxo de dinheiro (pagamentos) ao longo de
5 anos.
O valor do dinheiro varia de acordo com:
1. A taxa de juros;
2. A quantidade de dinheiro envolvido;
3. A programação de recebimentos e pagamentos e;
4. O modo pelo qual os juros são compostos.
São os fatores de equivalência que permitem reduzir fluxos de dinheiro em diferentes épocas a uma
base equivalente.
Princípios de Equivalência:
S Fluxos de dinheiro equivalentes devem ter o mesmo valor econômico no mesmo ponto no
tempo;
S Fluxos de dinheiro equivalentes em um ponto no tempo são equivalentes em qualquer ponto
no tempo;
S Conversão de um fluxo de dinheiro ao seu equivalente em um outro ponto no tempo deve
refletir a(s) taxa(s) de juros sobre cada período entre os fluxos de dinheiro equivalentes;
S Equivalência entre receitas e desembolsos: a taxa de juros que estabelece a equivalência entre
receitas e desembolsos é a taxa de juros real;
S A equivalência econômica fica estabelecida quando, em geral, se torna indiferente optar por
um pagamento futuro, ou uma série de pagamentos, e uma soma presente de dinheiro.
2.1 Análise pelo método payback:
Payback é o tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido
acumulado se iguala ao valor desse investimento. O payback pode ser nominal, se calculado com base no
fluxo de caixa com valores nominais, e presente líquido, se calculado com base no fluxo de caixa com valores
trazidos ao valor presente líquido.
Qualquer projeto de investimento tem inicialmente um período de despesas (em investimento) a
que se segue um período de receitas líquidas. As receitas recuperam o capital investido. O período de tempo
necessário para as receitas recuperam a despesa em investimento é o período de recuperação. O período
de recuperação pode ser considerado com o fluxo de caixa atualizado ou não.
É uma técnica de análise de investimento alternativa ao método do Valor Presente Líquido (VPL),
sobre o qual apresenta como principal vantagem o fato de levar em conta o prazo de retorno do
investimento. É um método mais apropriado em ambientes de risco elevado.
18
ENGENHARIA ECONÔMICA
Exemplo 2.1
Uma empresa pretende investir R$800.000,00 em equipamentos para a sua linha de produção. Ela espera ter
como resultado desse investimento uma receita de R$300.000,00 no 1º ano de operação dos
equipamentos,R$350.000,00 no 2º ano, R$400.000,00 no 3º ano e R$450.000,00 por ano a partir de
então. Qual o prazo de recuperação do capital investido, sem remuneração?
Ano Fluxo de Caixa Saldo
0 -800.000,00 -800.000,00
1 300.000,00 -500.000,00
2 350.000,00 -150.000,00
3 400.000,00 250.000,00
4 450.000,00 700.000,00
Portanto, no período 3 o saldo já será positivo e o payback estará entre 2 e 3 anos:
Exemplo 2.2:
Considere a possibilidade de realizar um investimento A de R$20 milhões ou um investimento B de R$18
milhões. Espera-se que o Investimento A gere retornos anuais de R$5 milhões durante 10 anos, a partir do
final do primeiro ano. O investimento B irá gerar resultados líquidos de R$6 milhões anuais durante 4 anos. Qual
o investimento que deve ser escolhido?
payback B = 3 anos < payback A = 4 anos
Portanto, se a escolha for feita apenas pelo payback simples, o investimento B seria o escolhido, pois o seu
prazo para retorno do investimento é menor.
O payback simples consiste no cálculo do tempo necessário para que os fluxos de caixas recebidos
compensem o investimento realizado.
O payback simples não leva em consideração a taxa de juros, nem a inflação do período ou o custo
de oportunidade. Além disso, nem sempre os fluxos esperados são constantes. Assim uma análise mais
apurada deve levar em conta outros aspectos.
19
ENGENHARIA ECONÔMICA
Exemplo 2.3:
Considere, entretanto que no exemplo anterior, na alternativa A uma vez o investimento seja reposto ao fim do
4º ano, o Excedente Líquido - EL gerado ou juros ou ainda remuneração do capital investido vale:
EL = R$50 milhões - R$20 milhões = R$30 milhões
que dividido pelo investimento, resulta:
EL / IA = 30/20 = 1,5
ou seja, 150% de juros simples em 10 anos, o que perfaz 15% a.a.
Para a alternativa B:
EL = R$24 milhões - R$18 milhões = R$6 milhões
EL / IB = 6/18 = 0,33
ou seja, 33% de juros simples em 4 anos, o que perfaz 7,75% a.a.
O investimento A tem um rendimento superior ao do B. O que fazer? Os prazos de aplicação são diferentes
e portanto, a comparação só pode ser feita encontrando-se um horizonte comum para ambos os investimentos,
que no caso é 20 anos: 2x10 anos = 5x4 anos.
Pelo critério de payback simples selecionar-se-ia o investimento B, pelo critério de rentabilidade a juros simples,
selecionar-se-ia o investimento A. 
payback B = 3 anos < payback A = 4 anos
Portanto, se a escolha for feita apenas pelo payback simples, o investimento B seria o escolhido, pois o seu
prazo para retorno do investimento é menor.
O método do payback simples não leva em conta o fluxo de caixa gerado depois que a recuperação
do investimento é completada, o que o torna inapropriado para a avaliação de projetos de longaduração.
Entretanto, é um método bastante simples de ser aplicado e de fácil compreensão, fornecendo uma boa
idéia do grau de liquidez e de risco do projeto.
Em tempos de instabilidade, a sua utilização é uma forma de aumentar a segurança dos negócios. 
O seu emprego é apropriado à avaliação de projetos em contextos de risco elevado e também para projetos
com vida limitada.
O prazo de recuperação do capital investido pode também ser calculado com base no fluxo de caixa
co remuneração, considerando a variação do valor do dinheiro no tempo. Neste caso todo o fluxo de caixa
deve ser trazido ao valor presente líquido.
2.2 Análise pelo Valor Presente Líquido - VPL:
O método do valor presente líquido, também conhecido como método do valor atual, caracteriza-se,
20
ENGENHARIA ECONÔMICA
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
P
P
A
B
= + −
+ −
+
− + =
= + × − × =
= +
+ −
+
+ + =
= + × +
−
−
25000 00 2 000 00 500 00
1 0 1 1
0 1 1 0 1
3 000 00 1 0 1
25000 00 1 500 00 3 971 3 000 00 0 621 28823 00
15 000 00 4 000 00
1 0 1 1
0 1 1 0 1
3500 00 1 0 1
15 000 00 4 000 00 3 971 3500 00
5
5
5
5
5
3
. , . , ,
,
, ,
. , ,
. , .. , , . , , . ,
. , . ,
,
, ,
. , ,
. , . , , . , × =0 751 32 793 00, . ,
Exemplo 2.4: Fluxo de caixa de cada máquina
Duas máquinas A e B, cujas características econômicas estão
mostradas na tabela abaixo, tem, cada uma, uma vida útil
de 10 anos. Se o valor do dinheiro corresponde a uma taxa
de 10%, qual máquina é mais econômica?
 
Característica A [R$] B [R$]
Custo inicial 25.000,00 15.000,00
Custo anual de
manutenção
2.000,00 4.000,00
Custo de reforma ao
final do 3º ano
3.500,00
Valor de revenda 3.000,00
Benefício anual
derivado da melhor
qualidade de produção
50.000,00
• Para comparar as duas alternativas em uma base comum decomparação, todos os valores
futuros são trazidos para o momento presente:
• A máquina A é mais econômica, já que apresenta o menor custo líquido no momento
presente, tendo sido considerados custos + benefícios e valor de revenda ao fim da vida
útil.
essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as variações de caixa esperadas. Ou
seja, é o transporte para a data zero de um diagrama de fluxos de caixa, de todos os recebimentos e
desembolsos esperados, descontados a uma taxa de juros. Se o valor presente for positivo, a alternativa de
investimento é atrativa, e quanto maior o valor positivo, mais atrativa é a alternativa.
Para duas alternativas que possuam um período de tempo comum, a comparação pode ser feita com
base no valor presente (atual).
No exemplo acima, ambas as máquinas tinham a mesma vida, portanto o período de tempo era o
mesmo e o valor presente pode ser determinado sem ambiguidade. Entretanto, se os períodos de tempo
fossem diferentes, não seria possível comparar os valores correspondentes. Neste caso é necessário um
período de tempo comum ou usar períodos de tempo equivalentes.
21
ENGENHARIA ECONÔMICA
3 24.529 73587
2 31334 62.668,00
× =
× =
,00 . ,00
. ,00
Exemplo 2.5:
Considerando o fluxo de caixa abaixo, qual das duas máquinas A e B, a uma taxa de 10%, é mais econômica?
Fluxo de caixa de cada máquina
Neste caso poder-se-ia usar um período comum de 6 anos em que a máquina A seria substituída três vezes
e a máquina B duas vezes:
A máquina B seria a mais econômica!
P P
Fator i n
Fator i nn n2 1
1
2
=
( , %, )
( , %, ) (2.1)
P P
Fator
Fator
RB B2 3
10%, 3
10%, 2 31334 00
0 402
0 576 867 00= = =
( , )
( , ) . ,
,
,
$21. ,
O procedimento mostrado no exemplo acima funciona quando é possível encontrar-se um período
comum para as duas alternativas. Uma outra maneira é converter o valor presente baseado em um período
n1 em um valor equivalente baseado num período n2:
Para o exemplo acima:
Portanto, comparada com base em igual período, a máquina B se torna mais econômica.
2.3 Análise pelo Valor Anual Uniforme Equivalente - VAUE:
Este método caracteriza-se pela transformação de todos os fluxos de caixa do projeto considerado,
numa série uniforme de pagamentos, indicando, dessa forma, o valor do benefício líquido, por período,
oferecido pela alternativa de investimento. É também chamado de valor anual uniforme 
A idéia do método é converter o fluxo de caixa em uma série uniforme equivalente de custo ou
benefício. Não há necessidade de procedimentos especiais para períodos diferentes de cada alternativa já
22
ENGENHARIA ECONÔMICA
Exemplo 2.6:
Considere duas máquinas, A e B, cujas características econômicas estão mostradas na tabela abaixo, qual
máquina é mais econômica?
Característica A [R$] B [R$]
Custo inicial 10.000,00 18.000,00
Vida estimada 20 anos 35 anos
Custo de revenda 0,00 3.000,00
Custo anual de operação 4.000,00 3.000,00
Para comparar as duas alternativas em uma base comum de comparação, todos os valores futuros são trazidos
para o momento presente:
Observar que no cálculo do custo anual de recuperação de capital da máquina B, é necessário considerar o
custo de revenda como receita ao final da vida. Portanto há um custo anual desse investimento, pois embora
seja uma receita, ela só será recebida no final da vida.
A máquina B possui o menor custo anual de operação e é mais econômica, já que apresenta o menor custo
líquido no momento presente, tendo sido considerados custos + benefícios e valor de revenda ao fim da vida
útil.
Um modo mais direto de lidar com o caso da máquina B é determinar o custo anual equivalente baseado nos
desembolsos menos o benefício do valor de revenda futuro:
que todas as comparações são em base anuais (n = 1). 
Como geralmente, em estudos de engenharia econômica a dimensão do período considerado possui
magnitude anual, foi convencionada a adoção da terminologia Valor anual. O projeto em análise só será
atrativo se apresentar um benefício líquido anual positivo, e entre vários projetos, aquele de maior benefício
positivo será o mais interessante.
2.4 Análise pelo custo capitalizado
Este método é um caso especial do método de análise pelo valor presente. Se um capital P for
aplicado a uma taxa i, no final do período tem-se um montante F = P + i . Se o rendimento P x i for retirado,
o capital para o período seguinte é novamente P e a situação se repete indefinidamente. Tem-se, nesse
caso, a chamada perpetuidade (n = 4).
23
ENGENHARIA ECONÔMICA
( )
( )
( )
( )
P P
Fator i n
Fator i
A P i n
i i
i
A P i
i i
i
i
n
n
n
∞
∞
∞
=
∞
=
+
+ −
∞ =
+
+ −
=
( , %, )
( , %, )
( , %, ) ( , %, )1
1 1
1
1 1
(2.2)
( )
( )K P P
i
i
P P K i n
n
n= =
+
+ −
= ×
∞
1
1 1
( , %, ) (2.3)
( , %, ) ( , %, )P K i n A P i n
i
= (2.4)
P A P A i n K P P K i n
A P i n
i
= × = × =( , %, ) ( , %, ) ( , %, )
K
A P A i n A P i n
i
A
i
A P i n
P A i n
=
× ×
= =
( , %, ) ( , %, ) ( , %, ) ( , %, )pois
1
(2.5)
K P P K i n P
A P i n
i
= × = = =( , %, ) ( , %, ) . , ,
,
. ,10 000 00
0 2296
0 10 22 960 00
F P F P= × = × =( , ) . , ( , ) . ,10%, 6 12 960 00 1 722 22 960 00
Exemplo 2.7:
Um banco de tubos de condensação que custam R$10.000,00 e tem uma vida média de 6 anos. Se a taxa
é 10%, o custo capitalizado será:
A diferença sobre o custo inicial é 22.960,00 - 10,000,00 = 12.960,00. Se essa quantia for investida no
período de vida dos tubos:
Portanto, quando os tubos necessitarem substituição, R$22.960,00 terão sido acumulados. Tira-se os
R$10.000,00 necessários à compra dos tubos novos (desconsiderando a inflação) e investe-se a diferença
(R$12.960,00) a 10% em 6 anos para acumular outros R$22.960,00, e assim sucessivamente, provendo ocusto de capital por meio de uma perpetuidade. 
O custo capitalizado de um projeto é o valor presente que forneça ao projeto uma perpetuidade.
O conceito foi originalmente desenvolvido para obras públicas como barragens e sistemas de distribuição
de água que possuem vidas muito longas e fornecem serviços que devem ser mantidos indefinidamente.
Posteriormente, o seu uso se ampliou na engenharia econômica, pois é um método independente do
período de tempo das várias alternativas.
Usando a equação (1.11) e fazendo n2 = 4 e n1 = n.
Portanto, o custo capitalizado K de um valor presente P é dado por:
Tabelas de juros compostos geralmente não incluem o custo capitalizado, porém é fácil notar que:
O custo capitalizado de uma anuidade A pode ser determinado da seguinte forma:
Substituindo P:
O custo capitalizado é o valor presente necessário para fornecer um custo de capital em uma
perpetuidade, ou seja, assume-se que haverá um número infinito de renovações do investimento inicial.
24
ENGENHARIA ECONÔMICA
K
P A
K
= +
+
= + =
20 000 00
10%, 10
0 10
1000 00 600 00
0 10
20 000 00
0 1627
0 10
1600 00
0 10 48540 00
. ,
( , )
,
. , ,
,
. ,
,
,
. ,
,
. ,
( )
( )( )
K
K
= −
+
+
= − × + =
6 000 00
0 1315
0 10 500
1
1 0 10
4 800 00
0 10
7 890 00 500 0 2394 1 315 48 000 00 55733 00
15. ,
,
,
.
,
. ,
,
. , , , . , . ,
Exemplo 2.8:
Compare o custo de um processo de fabricação contínuo com um processo de fabricação por lotes, com base
na análise pelo custo capitalizado para um taxa i = 10%.
Processo Contínuo Processo por lotes
Custo inicial 20.000,00 6.000,00
Vida útil 10 anos 15 anos
Valor residual no fim da vida 0 500,00
Custos anuais de energia 1.000,00 500,00
Custos anuais de mão-de-obra 60000 4.300,00
Processo contínuo: 
Processo por lotes:
• Note que o valor residual no fim da vida de R$500,00 ocorre só no 15º ano. Este valor é trazido para
o presente pelo fator P/K= (A/P)/i.
,Qualquer um dos três métodos de análise proporciona o mesmo resultado quando aplicado ao
mesmo problema. A escolha do melhor método a ser usado depende do objetivo da análise e de qual
técnica se aplica melhor ao caso.
25
ENGENHARIA ECONÔMICA
3 Viabilidade econômica
Os valores utilizados na construção do fluxo de caixa de um projeto são geralmente estimativas, com
um certo grau de incerteza, dos valores mais prováveis, genericamente denominados níveis de referência.
As incertezas podem ser uma ameaça à viabilidade de um projeto, mas também podem oferecer
oportunidades para maiores ganhos. A avaliação destas incertezas é subjetiva e, portanto, a avaliação da
viabilidade de um projeto também o é. A avaliação da viabilidade depende do grau de aversão ao risco e
da qualidade das informações que se possui no momento da decisão.
Analisar a viabilidade econômico-financeira de um projeto significa estimar e analisar as
perspectivas de desempenho financeiro do resultado do projeto. Essa análise é de certa forma iniciada na
fase de planejamento do projeto, pois, ao se escolher a alternativa a ser desenvolvida, tem-se a convicção
que, a partir dos dados disponíveis, que projeto é economicamente viável.
É possível comparar alternativas de investimento com diferentes séries prospectivas de receitas e
despesas utilizando os métodos do Valor Presente Líquido, Taxa Interna de Retorno, Ponto de Equilíbrio 
e/ou Análise Custo-Benefício. Estes métodos, quando utilizados corretamente, permitem chegar a
conclusões idênticas.
3.1 Taxa mínima de atratividade - TMA:
A Taxa Mínima de Atratividade - TMA é uma taxa de juros que representa o mínimo que um
investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou o máximo que uma pessoa se propõe a pagar
quando faz um financiamento. Esta taxa é formada a partir de três fatores básicos:
C Custo de oportunidade: remuneração obtida em alternativas que não as analisadas, ou seja,
é o valor de outras oportunidades não escolhidas. Exemplo: caderneta
de poupança, fundo de investimento, etc.;
C Risco do negócio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de uma nova ação.
Quanto maior o risco, maior a remuneração esperada;
C Liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posição no
mercado para assumir outra.
A TMA é considerada pessoal e intransferível pois a propensão ao risco varia de pessoa para pessoa,
ou ainda a TMA pode variar durante o tempo. Assim, não existe algoritmo ou fórmula matemática para
calcular a TMA.
Ao se utilizar como taxa de juros de referência, a TMA é entendida como a taxa de desconto ao qual
aplicam-se métodos em comparação em relação a um período de tempo, como o Valor Presente Líquido
ou o Custo Anual Uniforme para se determinar a viabilidade financeira de um investimento ou empréstimo.
Caso o resultado seja positivo, a TIR (taxa interna de retorno) supera a TMA e o investimento é interessante.
O contrário ocorre caso o resultado seja negativo.
3.2 Taxa interna de retorno - TIR:
A Taxa Interna de Retorno - TIR é uma taxa de juros hipotética que, quando aplicada a um fluxo de
caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, seja igual aos valores dos retornos
dos investimentos, também trazidos ao valor presente. É a taxa de atualização do projeto que dá o VPL nulo,
ou seja, é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos
26
ENGENHARIA ECONÔMICA
no projeto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. A TIR de um investimento pode
ser:
- TIR > TMA: significa que o investimento é economicamente atrativo.
 - TIR = TMA: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.
- TIR < TMA: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo 
retorno de um investimento com o mínimo de retorno. Entre vários
investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno. 
Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das
entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento. É a taxa de juros
que faz com que o VPL do projeto seja zero. 
Dados os pares (n,FCn), o valor da TIR pode ser calculado da seguinte equação: 
onde n é um inteiro positivo, N o número total de períodos e FC = fluxos de caixa.
Para se efetuar o cálculo da TIR, a série de valores é obtida da seguinte forma:
- 1º valor: o investimento inicial (valor negativo);
- 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo);
- 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor positivo), e assim sucessivamente, até ao
último período a considerar.
Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.
No caso de investimentos alternativos, a alternativa com TIR mais elevada deve ser a preferida.
Aplicar o investimento em um banco é sempre uma alternativa, assim, se nenhuma das alternativas de
investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade - TMA, este
investimento não deve ser realizado.
Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como no exemplo acima, mas apenas
por meio de iterações, ou seja, fazendo interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que
apresente um VPL igual a zero. 
Um problema com o cálculo da TIR é que podem ser encontrados múltiplos valores se o fluxo anual
de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou
vice-versa) durante o período de análise. Para os casos de alteração freqüente de sinal deve utilizar-se a
Taxa Externa de Retorno - TER.
( )VPL
FC
TIR
n
n
n
N
=
+
=
=
∑
1
0
0
(3.1)
Exemplo 4.1
Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de umasaída no período 0 de R$ 100.000,00 e
uma entrada no período 1 de R$120.000,00, onde i corresponde à taxa de juros:
( )VPL i i= − + + = ⇒ = =100 000 00
120 000 00
1
0 0 2 20%1. ,
. ,
,
27
ENGENHARIA ECONÔMICA
3.3 Valor Presente Líquido - VPL:
O Valor Presente Líquido - VPL, Valor Atual Líquido -VAL, ou Valor Atual é o valor presente de
pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros apropriada, menos o custo do investimento inicial.
Basicamente, é o calculo de quanto os futuros pagamentos somados a um custo inicial estariam valendo
atualmente. No cálculo do valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a TMA (Taxa Mínima de
Atratividade) como taxa de juros. Se TMA for igual à taxa de retorno esperada, as seguintes situações
podem ocorrer:
- VPL > 0: Projeto economicamente viável. Tanto o investimento inicial, como a
remuneração mínima exigida pelo investidor será alcançada, gerando ainda um
excedente financeiro. No caso se dois projetos mutuamente exclusivos, deve-se
escolher o com o VPL positivo mais elevado.
- VPL = 0: Ponto de indiferença. Entretanto, dada a incerteza associada às estimativas de
fluxo de caixa que suportaram a análise, poder-se considerar elevada a
probabilidade de o projeto se revelar inviável.
- VPL < 0: Projeto economicamente inviável.
As receitas e desembolsos do fluxo de caixa devem ser trazidas para o valor presente e somados
para se obter o Valor Presente Líquido - VPL.
Dados t,Rt e ou Dt, o valor do VPL pode ser calculado pela seguinte equação:
onde, N é o número total de períodos, Rt = receita e Dt = desembolso no tempo t, i = taxa de desconto: a taxa
de retorno que pode ser obtida em um investimento no mercado financeiro com risco similar, ou seja, o
custo oportunidade do capital.
Nos casos em que os fluxos de caixa não são iguais em valor, o valor do VPL de cada fluxo de caixa
deve ser determinado separadamente. Qualquer fluxo de caixa dentro dos primeiros 12 meses não será
descontado para fins de cálculo do VPL. Os investimentos iniciais durante o primeiro ano, D0 , devem ser
somados num único fluxo de caixa negativo.
Para fluxos de caixa uniformes ou não:
onde FCj representa os valores dos fluxos de caixa de ordem "j", sendo j = 1, 2, 3, ..., n; FC0 representa o fluxo
de caixa inicial e "i" a taxa de juro da operação financeira ou a taxa interna de retorno do projeto de
investimentos.
Entre vários projetos de investimento, o mais atrativo é aquele de maior Valor Presente Líquido.
O método VPL é, do ponto de vista teórico, em condições estritamente deterministas, o mais
consistente dos indicadores disponíveis. Contudo, também apresenta algumas limitações sendo, sobretudo,
de difícil interpretação. O VPL não apresenta insensibilidade à escala do projeto, como acontece com o TIR
e o Payback e é insensível à duração do projeto. Tem como vantagens a facilidade de cálculo, mas apenas
uma vez conhecida uma taxa de atualização apropriada. É conceitualmente mais perfeito e complexo que
o Payback uma vez que considera a totalidade dos fluxos assim como o custo de oportunidade do capital
utilizado.
( )VPL i N
R D
i
t t
t
t
N
( , ) = −
+
=
∑ 10
(3.2)
( ) ( ) ( )VPL FC
FC
i
FC
i
FC
ij j
n
j n= +
+
+
+
+ ⋅⋅ ⋅ +
+
+ + + −1
2
1
3
2 11 1 1
(3.3)
28
ENGENHARIA ECONÔMICA
Exemplo 4.2:
A empresa Berimbau Azul S.A. necessita decidir se vai
introduzir uma nova linha de produto. O produto novo terá
custos de introdução, custos operacionais, e fluxos de caixa
entrantes durante seis anos. Este projeto terá uma saída de
caixa (t=0) imediata de R$125.000 (máquinas,
equipamentos, e custos de treinamento de empregados).
Outras saídas de caixa são esperadas do 1º ao 6º ano no
valor de R$25.000 ao ano. As entradas de caixa
esperam-se que sejam de R$60.000 ao ano. Todos os
fluxos de caixa são após pagamento de impostos, e não há
fluxo de caixa esperado após o sexto ano. A TMA é de
12% ao ano, segue abaixo o cálculo do valor presente líquido para cada ano.
Portanto, VPL = R$18.899 > 0 YYYY A empresa deve investir neste projeto.
Numa situação real, seria necessário considerar outros valores, tais como cálculo de impostos, fluxos de caixa
não uniformes, valores recuperáveis no final do projeto, entre outros.
Utilizando uma calculadora financeira e considerando-se uma TMA de 10% ao ano, encontramos para o projeto
de investimento I um Valor Presente Líquido de R$27.434,12. Se considerarmos uma TMA de 17.19% ao ano,
o Valor Presente Líquido do Projeto será zero. Para uma TMA de 0%, o lucro econômico periódico se confunde
com o lucro contábil periódico e o valor presente líquido é igual ao somatório dos lucros contábeis periódicos.
VPL = − + − + − + − +
+
−
+
−
+
−
=
125 000 00
112
60 000 00 25 000 00
112
60 000 00 25 000 00
112
60 000 00 25 000 00
112
60 000 00 25000 00
112
60 000 00 25000 00
112
60 000 00 25000 00
112
18 899 00
0 1 2 3
4 5 6
. ,
,
. , . ,
,
. , . ,
,
. , . ,
,
. , . ,
,
. , . ,
,
. , . ,
,
. ,
3.4 Taxa externa de retorno - TER:
A Taxa Externa de Retorno - TER, normalmente é utilizada quando há mais de uma inversão de sinais
no fluxo de caixa do projeto e não é possível obter-se o resultado desejado através do método da Taxa
interna de retorno. A TER compara todas as receitas equivalentes na data terminal n com todos os custos
equivalentes na data 0 do projeto, desconsiderando os sinais negativos.
De um modo geral TER é definida matematicamente da seguinte forma:
O valor dos custos equivalentes é calculado a uma taxa de juros i ,igual ao valor do custo do
capital, trazendo os valores negativos do fluxo de caixa para a data 0. Os valores positivos do fluxo de caixa
são trazidos para para a data terminal n, na mesma taxa de juros i, determinado o valor equivalente das
receitas.
Para se calcular os valores equivalentes das receitas e dos custos, de modo a obter os valores
equivalentes das receitas e dos custos, podem ser definidas uma ou duas taxas de juros.
A TER é também conhecida como Taxa Terminal de Retorno - TTR.
TER
ceitas equivalentes na data n
Custos equivalentes na data
n
=






Re
0
1
(3.4)
29
ENGENHARIA ECONÔMICA
( )VP P F n
n VP
n VP
n VP
n VP
= + ×
= ⇒ = + × =
= ⇒ = + × =
= ⇒ = + × =
= ⇒ = + × =
100 120 10%,
5 100 120 0 6201 174
10 100 120 0 3855 146
20 100 120 0 1486 118
30 100 120 0 0573 107
,
: ,
: ,
: ,
: ,
Exemplo 4.4:
Uma nova planta industrial custará R$100.000.000,00 no primeiro estágio de implantação e R$120.000.000,00
no segundo estágio em n anos no futuro. Se for construída para plena capacidade agora, ela custará
R$140.000.000,00. É esperada uma vida útil de 40 anos para a instalação e o seu valor residual no fim da
vida é desprezível. Qual das duas opções é a melhor?
Hipóteses assumidas:
S o custo anual de operação e manutenção é assumido o mesmo para a construção em dois estágios e para
plena capacidade agora;
S taxa de juros: 10%
Calculando o valor presente VP:
S Para plena capacidade agora: VP = 140.000.000,00
S Para construção em dois estágios:
Portanto, se a plena capacidade for necessária antes de 12 anos, essa opção seria a melhor.
( ) ( )
( )
10 000 00 3000 00 20 000 00 4 000 00 8%, 4 000 00 0 08 0
8%,
6 680 00
16 000 00 0 417 2 8
. , . , . , . , , . , ,
,
. ,
. ,
, ,
− − − × − × =
= = ⇒ =
A P n
A P n n anos
Exemplo 4.3:
Considere um investimento de R$20.000,00 em um equipamento com muma vida útil de 5 anos. O valor
residual é R$4.000,00 e a taxa de retorno mínima aceitável é 8%. O investimento produz ganhos anuais de
R$10.000,00 a um custo operacional de R$3.000,00. Suponha que há uma considerável incertezase a máquina
sobreviverá 5 anos de uso contínuo. Determinar o ponto de equilíbrio no qual o projeto se torna economicamente
viável.
Usando o método do custo anual:
Portanto, se a máquina não durar 2,8 anos, o investimento não se justifica.
3.5 Análise de sensibilidade:
A análise de sensibilidade consiste em determinar a influência de cada fator que afeta o problema
no resultado final. Com isso é possível determinar os fatores mais críticos para a decisão econômica.
Dado o considerável grau de incerteza existente em se prever o comportamento futuro de fatores
como volume de vendas, valor residual, taxa de inflação, etc., é importante avaliar quanto a análise
econômica é dependente das estimativas realizadas. É possível determinar quais fatores são mais sensíveis
(maior efeito), fazendo um fator um ou mais fatores de influência variar, mantendo os demais constantes.
Uma técnica bastante prática consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do investimento ao se
variar os dados de entrada, cada parâmetro de uma vez, obtendo - se o VPL ou a TIR.
3.6 Ponto de equilíbrio:
É uma análise freqüentemente usada quando há uma incerteza sobre um dos fatores envolvidos na
análise econômica. O ponto de equilíbrio é o valor para o fator no qual o projeto se torna viável.
30
ENGENHARIA ECONÔMICA
Razaocusto beneficio =
beneficios - prejuizos
custos
~
− RCB (3.5)
3.7 Análise custo/benefício
Uma categoria importante de decisões em projetos de engenharia é aquela relacionada à seleção
de alternativas de sistemas para um projeto, opções de materiais, escolha de um sub-sistema para
aquisição, etc., sob restrições econômicas que sempre existem em qualquer projeto. Dentre os vários
métodos de comparações de custos existentes, a análise custo/benefício é uma das mais freqüentemente
empregadas. Essa análise é baseada na razão os benefícios desejados, medidos segundo alguma escala de
valor financeiro, e o investimento em capital necessário para produzir os benefícios. Um projeto é
considerado viável se os benefícios líquidos resultantes excedem os custos associados à implementação 
da solução.
Benefícios são as vantagens proporcionadas ao público, proprietário ou usuário de uma solução,
expresso financeiramente. Se a solução produz também danos ou prejuízos, estes devem ser subtraídos dos
benefícios. Os custos a serem considerados incluem despesas de construção, operação e manutenção menos
o custo residual, se existir, ao final da vida da solução que será implementada. Benefícios, danos ou
prejuízos e custos devem ser expressos em valores comuns usando os conceitos de valor presente ou de
custo anual.
Uma solução com RCB < 1, implica em que os resultados produzidos não cobrem os custos de capital
para implementar a solução. Somente soluções com RCB > 1 são considerados viáveis. Os “benefícios”
considerados neste método podem ser fatores como aumento do desempenho de um componente,
aumento da capacidade de carga versus redução de peso, aumento da disponibilidade de equipamentos,
etc. “Benefícios” são definidos como “vantagens” - “desvantagens”, isto é, “benefícios líquidos”. De modo
análogo, custos são os custos totais, o capital inicial e os custos de operação, menos qualquer tipo de
“economia” (ganhos) produzidos.
Em problemas envolvendo várias alternativas, os benefícios marginais e aumento de custos
associados com mudanças que estejam além de uma base de referência de projeto podem servir como meio
de comparação. Inicialmente, classifica-se as alternativas quanto ao custo e a opção de menor custo deve
ser tomada como referência . Esta é comparada com a opção seguinte de maior custo, calculando-se o
“benefício marginal”, ou seja, o que ganha com a opção, e o aumento de custo. Se ΔB/ΔC < 1, a segunda
alternativa é rejeitada, pois a primeira alternativa é superior. Em seguida compara-se a alternativa 1 com
uma alternativa 3. Se ΔB/ΔC > 1, a alternativa 1 é rejeitada e a alternativa 3 torna-se a melhor solução no
momento. A alternativa 3 é então comparada com a alternativa 4 e se ΔB/ΔC < 1, a alternativa 3 é ainda a
Exemplo 4.5:
Uma projeto de construção de um pequeno aeroporto está sob análise. O terreno para o projeto custará R$35
milhões, os custos de construção serão de R$80 milhões e manutenção anual custará R$2,5 milhões. Os
benefícios esperados da operação do aeroporto são da ordem de R$25 milhões anuais. Avalie o custo/benefício
do empreendimento considerando uma taxa de juros de 6% a.a. e uma vida operacional de 20 anos para o
aeroporto.
Valor presente dos benefícios: B A P A i n P A milhoes= = = =( / , %, ) ( / , , ) ( , ) ,25 6% 20 25 11 4699 286 75
Valor presente dos custos: C P A milhoes= + + = + + =35 80 2 5 6% 20 35 80 2 5 11 4699 143 67, ( / , , ) , ( , ) ,
Portanto: A construção do aeroporto deve ser considerada.RCB B C= = = >/ , / , ,286 75 143 67 1 996 1
31
ENGENHARIA ECONÔMICA
melhor escolha, assim por diante. Não necessariamente este processo leva a melhor relação custo/benefício
geral.
Embora seja bastante utilizada, a análise custo/benefício não é uma metodologia sem problemas.
A hipótese básica é que custos e benefícios são relativamente independentes. Fundamentalmente, é um
método determinístico e não lida com incertezas associadas aos eventos possíveis. Portanto, é sempre
conveniente usá-la com as devidas cautelas.
Quando utilizada em um contexto estrito em projeto de engenharia como um instrumento de auxílio
Exemplo 4.6:
Deve-se escolher entre quatro locais aquele que será usado para a construção de uma barragem para uma
pequena central hidroelétrica. A tabela a seguir mostra os custos de construção em cada um dos locais, os quais
variam com topografia e condições do solo. As estimativas preveêm R$30 milhões para as turbinas e geradores.
Os benefícios anuais, gerados da venda de eletricidade, variam entre os locais em razão da velocidade da
corrente do curso d’água.
O retorno anual requerido é 10%. Para efeitos de cálculo, a vida da barragem é infinita e a do máquinário é
40 anos.
Local Custo deconstrução
milhões de R$
Custo do maquinário
milhões de R$
Custo da barragem
milhões de R$
Receitas
anuais
milhões de R$
A 90 30 60 100
B 80 30 50 90
C 120 30 90 125
D 60 30 30 50
Como as receitas (benefícios) são anuais, os custos serão convertidos a uma base anual. Por exemplo, o custo
anual de recuperação do capital para a opção A:
Custo das alternativas em valor crescente 
D B A C
Custo anual de recuperação do 6,07 8,07 9,07 12,07
Benefícios anuais (R$1000) 5 9 10 12,5
Comparação Não fazer D Não fazer A A para B C para B
) recuperação de capital 6,07 8,07 1 4
) benefícios anuais 5 9 1 3,5
)B/)C 82 111 10 87
Escolha Não fazer B B B
Observe-se que quando comparada a não construir a barragem, )B/)C para o local D é menor que 1,0. O
local seguinte de menor custo para a barrragem é maior que 1,0, por isso, escolhida comparada a não construir
a barragem. A relação custo/benefício para os locais A e C é também maior que 1,0, mas, tendo-se qualificado
o local B por baixo custo, é necessário determinar se o aumento nos benefícios e custos é melhor que em B.
Pela relação )B/)C, A e C não são escolhas melhores que B. Portanto, o local escolhido é B.
A P i P A P
P custo da barragem
P custo da maquinaria
A milhoes
B M
B
M
= +
=
=
= + =
( / , )
. . , ( , ) . . , ( , ) ,
10%,40
60 000 000 00 0 10 30 000 000 00 0 1023 9 07
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ENGENHARIA ECONÔMICA
à seleção de materiais, por exemplo, a análise custo/benefício é uma ferramenta útil de tomada de decisão.
Freqüentemente a análise custo/benefício é utilizada em grandes projetos públicos, financiados com 
recursos do contribuinte e destinados ao bem público geral. Nesses casos, este tipo de análise apresenta
a vantagem, sobre análises baseadas na taxa de retorno,de esconder a impressão de “lucro” com o uso
recursos públicos. Entretanto, há questões que vão além da eficiência puramente econômica e que são parte
do processo de decisão e difíceis de se quantificar em termos monetários.
Na construção de uma hidroelétrica, por exemplo, não é só a relação entre a eletricidade que será
produzida e os custos de construção/operação/manutenção que contam. A barragem pode servir também
de instrumento de controle de enchentes, para irrigação e fins recreacionais e ainda há custos sociais
envolvidos, tais como, deslocamentos de populações afetadas pelo alagamento, perda de florestas, efeitos
ambientais e até aspectos da natureza local, afetada pela instalação da hidroelétrica.
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ENGENHARIA ECONÔMICA
4 Substituição de Equipamentos
A substituição de equipamentos é um problema presente na atividade cotidiana de qualquer
empresa, com maior intensidade na indústria, e é de importância crítica, pois as decisões tomadas são
geralmente irreversíveis e podem causar grandes prejuízos. Uma decisão apressada de “livrar-se de uma
sucata” ou o capricho do possuir sempre o “último modelo” podem causar problemas econômicos sérios
à empresa. Uma máquina operatriz antiga pode ser substituída por um modelo novo, tecnologicamente
mais avançado, para executar função semelhante. Pode-se, porém, substituir essa máquina por serviços de
uma empresa terceirizada ou ainda por equipamento alugado. A decisão de qual caminho tomar é
estratégica no planejamento da atividade da empresa.
As principais razões que levam à substituição de equipamentos são:
• A existência de alternativa tecnicamente melhor;
• A obsolescência física: o equipamento está deteriorado, os custos operacionais são excessivos,
e os custos de manutenção são crescentes;
• A inadequação: o equipamento tem capacidade insuficiente para as condições demandadas;
• A obsolescência funcional: o equipamento não atende mais à produção nos padrões exigidos;
• A possibilidade de arrendamento, aluguel ou a contratação de serviços de terceiros, custando
menos que manter o equipamento em operação.
No problema de renovação ou de reposição, o objetivo é determinar o tempo ótimo de se conservar
um equipamento, ou seja, a sua “vida econômica”. Isto implica em analisar a questão focando o plano de
uso do equipamento novo, considerando o seu preço de compra, o valor de revenda do equipamento a ser
substituído e os custos de operação e de manutenção de ambos os equipamentos, novo e usado, ao longo
do tempo. Renovação ou reposição é a troca por outro equipamento idêntico, porém com características
técnicas como e/ou econômicas melhores. 
Os métodos mais utilizados para análise de substituição de equipamentos são o do Valor Presente
Líquido (VPL) e do Custo Anual Uniforme Equivalente – CAUE que é uma variação do método do Valor Anual
Uniforme Equivalente – VAUE. A escolha do método se dá de acordo com o tipo de problema. 
Na aplicação destes métodos o equipamento existente é denominado de defensor, enquanto que
aquele a ser adquirido é denominado desafiante. 
4.1 Método do Valor Presente Líquido – VPL 
O método do Valor Presente Líquido - VPL calcula o valor presente líquido de um equipamento
através da diferença entre o valor presente das entradas líquidas de caixa propiciadas pelo equipamento
e o investimento inicial requerido para colocá-lo em serviço. A taxa de desconto utilizada é a TMA da
empresa.
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ENGENHARIA ECONÔMICA
4.2 Método do Custo Anual Uniforme Equivalente – CAUE 
O método do Custo Anual Uniforme Equivalente – CAUE é utilizado quando se faz análise de
investimento onde preponderam as saídas de caixa, tendo-se no final um valor que representa um custo
anual ao invés de uma receita anual. O CAUE é uma variação do método do Valor Anual Uniforme
Equivalente – VAUE, na qual inverte-se a convenção de sinais: no CAUE as saídas (desembolsos) tem sinal
positivo e as entradas (recebimentos) tem sinal negativo. 
O CAUE corresponde à soma do custo anual de recuperação de capital (CRC) com os custos anuais
de manutenção (CM):
Ente outras aplicações o CAUE é usado para determinar a vida econômica de um bem.
4.3 Vida econômica e vida útil de um equipamento
A vida útil de um equipamento é o intervalo de tempo entre a entrada em serviço desse bem e o
posterior descarte para desmantelamento e reciclagem. Ela começa geralmente na entrada ao serviço ou
função e termina quando a taxa de falhas se torna inaceitável ou quando o equipamento é considerado
irrecuperável no contexto operacional, técnico ou econômico. A vida útil diz respeito, portanto, à capacidade
física de produção do equipamento, ou seja, ao período no qual ele consegue exercer as funções para as
quais foi projetado. A vida útil depende da utilização e da manutenção dada ao equipamento. 
A vida econômica refere-se aos custos globais incorridos para manter em operação o equipamento. 
A vida econômica, por outro lado, é o período de tempo de utilização do equipamento em que os
ganhos econômicos gerados são superiores ou iguais aos custos. A utilização de equipamentos, no contexto
econômico e produtivo, pressupõe o investimento na sua aquisição e exploração e nos custos para manter
a sua operacionalidade. Durante a vida econômica o custo anual uniforme equivalente de possuir e de
operar o equipamento deve ser mínimo. Os equipamentos deterioram-se com o uso, requerendo cada vez
mais de manutenção. Portanto, é de esperar que os custos operacionais aumentem com o passar do tempo.
Para a determinação da vida econômica de um equipamento calcula-se o CAUE (Custo Anual
Uniforme Equivalente) para cada ano da vida útil, e em seguida escolhe-se o menor CAUE. O ano em que
o CAUE é mínimo, corresponde à vida econômica do bem.
Exemplo 5.1:
Um equipamento de custo inicial de R$25.000,00 tem uma vida útil
estimada de 5 anos, produz receitas anuais de R$6.500,00 e o seu
valor residual é R$5.000,00. Sendo o TMA da empresa 12% ao ano,
deseja-se saber se o investimento é interessante para a empresa?
VPL (12%)=-25.000+6.500(P/A;12%;4)+11.500(P/F;2%;5)
VPL (12%)=1.268,18
Como VPL > 0, o equioamento é vantajoso (viável) economicamente, e
rende mais do que 12% ao ano.
0
1 5432
6.500
25.000
11.500
6.5006.5006.500
CAUE = Custo de recuperação de capital + custos operacionais
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ENGENHARIA ECONÔMICA
Figura 5.1 - Vida econômica de um bem.
Exemplo 5.2:
Um veículo novo custa R$60.000,00 e a TMA é 14% a.a. O valor de revenda e os custos de operação,
ano a ano, são os mostrados na tabela abaixo. Qual a vida econômica do veículo pelo método CAUE?
Ano 1 2 3 4
Valor de revenda 54.000,00 49.000,00 45.000,00 41.000,00
Custo operacional 10.000,00 11.000,00 12.500,00 15.000,00
1 ano: 2 anos : 
3 anos: 4 anos: 
CAUE1 = 60.000,00(F/P,14%,1)-54.000,00+10.000,00 = 24.400,00; 
ou: CAUE1 = [(60.000,00-54.000,00)(P/F,14%,1)+10.000,00(P/F,14%,1)](A/P, 14%,1) = 24.000,00
CAUE2 = [(60.000,00+10.000,00)(P/F,14%,1)+11.000,00(P/F,14%,2)-
-49.000,00(P/F,14%,2)](A/P,14%,2) = 24.007,00;
CAUE3 = [(60.000,00+10.000,00)(P/F,14%,1)+11.000,00(P/F,14%,2)-
- 32.500,00(P/F,14%,3)](A/P,14%,3) = 23.819,00;
CAUE4 = [(60.000,00+10.000,00)(P/F,14%,1)+11.000,00(P/F,14%,2)+12.500,00(P/F,14%,3)-
-26.000,00(P/F,14%,4](A/P,14% ,4) = 24.120,00
Resumindo:
Ano 1 2 3 4
CAUE 24.400,00 24.007,00 23.819,00 24.120,00
Portanto: vida econômica = 3 anos.
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ENGENHARIA ECONÔMICA
4.4 Baixa com substituição por equipamento Idêntico
Na baixa com substituição por equipamento idêntico, a função desempenhada pelo equipamento
continua após a sua baixa. Para que não haja confusão com o item seguinte – baixa com substituição por
equipamento diferente – vamos enunciar o problema da seguinte maneira: uma firma vai adquirir um bem
novo e deseja saber por quanto tempo deverá usá-lo antes de substituí-lo