2_Derivadas - Exercícios2

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Responsabilidade hoje, sucesso sempre! 
FAMEG- Faculdade Metropolitana de Guaramirim - Grupo UNIASSELVI 
Rodovia BR 280, Km 60 - nº 15.885 - Cx. Postal 244 - Bairro Imigrantes 
Guaramirim - SC - CEP: 89.270-000 - Fone/Fax: (47) 3373-9800 
http://www.grupouniasselvi.com.br 
Cálculo Diferencial e Integral 1 – Engenharias 
Professora Cristina Oening 
UNIDADE 2- DERIVADA 
Aula 1 
 
 
Interpretação física 
 
 
 
 
 
2 
Responsabilidade hoje, sucesso sempre! 
Usaremos a denotação: 
�´��� = lim
→�
��� + ℎ� − ����
ℎ 
 
 
1) Usando a definição, determinar a derivada da função f(x) e calcular a derivada no ponto x. 
a) ���� = �� + 1, no ponto � = 5 
b) ���� = 9 − ��, no ponto � = −2 
c) ���� = 2��, no ponto � = 2 
d) ���� = �� + 3�, no ponto � = 2 
e) ���� = 5�� − 3� + 7, no ponto � = 1 
f) ���� = ����, no ponto � = 0 
a) �´��� = 2�, �´�5� = 10 
b) �´��� = −2�, �´�−2� = 4 
c) �´��� = 6��, �´�2� = 24 
d) �´��� = 4�� + 3, �´�2� = 35 
e) �´��� = 10� − 3, �´�1� = 7 
f) �´��� = − �� ����� �´�0� = −1
2) Determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x no ponto em que x = 4. R.:1/4 
 
3) Determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x² + 2x +1 no ponto (1, 4).R.:4 
 
4) Um ponto material descreve uma trajetória retilínea, obedecendo à função horária ! = 3 − 6" + "�. 
No SI 
a) Determine as funções horárias da velocidade e aceleração. R.: # = −6 + 2" % & = 2'/)� 
b) Calcule a velocidade do ponto material no instante 10s. R.: # = 14'/) 
 
5) Um corpo de desloca sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária ! = *� "� − ". SI 
a) Qual a velocidade do corpo no instante 6 segundos? R.: # = 269'/) 
b) Em que instante a velocidade do corpo é 66,5 m/s? R.: " = 3) 
c) Qual a aceleração do corpo no instante 2 segundos? R.: & = 30'/)� 
 
 
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Responsabilidade hoje, sucesso sempre! 
Aula 2- Regras de derivação 
 
Derivada de uma função constante. Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0. 
Seja f(x) = 5 → f’(x) = 0. Ex.: f(x) = -3→ f’(x) = 0 
 
Derivada de uma função potência Se n é um número inteiro positivo e f(x) = x
n
, então:f’(x) = n. x
n-1
 
Seja f(x) = x
5 → f’(x) = 5x4. 
 
Derivada de uma função multiplicada por k. Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida 
por g(x) = k.f(x), então: g’(x) = k.f’(x). Ex.: f(x) = 8x
2
 → f’(x) = 8.(2x) = 16x. f(x) = 2x3→ f’(x) = 6x2 
 
Derivada da Soma: Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). 
A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x). Ex.:f(x) = 3x
4 
+ 8x + 5 →f’(x) = 3.(4x
3
) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x
3 
+ 8 
+ = ,. . → +´ = ,.´ + = . + # → +´ = .´ + #´ 
6) Calcular as derivadas:
a) + = 5 
b) + = −8 
c) + = �� 
d) + = �* 
e) + = ��� 
f) + = ��,� 
g) + = �0� 
h) + = �0� 
i) + = 5� 
j) + = −6� 
k) + = 0,4� 
l) + = −20� 
m) + = �� � 
n) = �� � 
o) + = −0,9� 
p) + = 4,95� 
q) + = 3�� 
r) + = 5�� 
s) + = −4�� 
t) + = 10�� 
u) + = −4�� 
v) + = 0,8�� 
w) + = 3�� 
x) + = �� �* 
y) + = �� + 3� + 1 
z) + = −�� − 10� + 50 
aa) + = 3�� + 4� − 10 
bb) + = 10�� − 6�� + 1 
cc) + = 0,4�� − 5� + 4 
dd) + = �� − 3�� + 12 
ee) + = �1� − 4�� + 2� + 1 
ff) + = 4�� − 10 
gg) + = � ���* 
hh) + = √� + 5 
ii) + = �� − ��� 
jj) = �� − �*� 
kk) + = √�1 + 4 
ll) + = ��10���* 
mm) + = 0�1� + 10 
nn) + = − �13 + 4�� − �� � + 10 
a) 0 b) 0 c) 3�� d) 5�� e) 20��4 
f) 2,4��,� g) −�0� h) −4�0* i) 5 j) -6 
k) 0,4 l) -20 m) 1/3 n) 3/4 o) -0,9 
p) 4,95 q) 6� r) 10� s) −8� t) 30�� 
u) −12�� v) 2,4�� w) 12�� x) 5/4�� y) 2� + 3 
z) −2� − 10 aa) 6� + 4 bb) 30�� − 12� cc) 0,8� − 5 dd) 3�� − 6� 
ee) �� − 8� + 2 ff) 16�� gg) ��* hh) ��√� ii) 2� + 20�
0� 
jj) 3�� + 15�0� kk) �� √� 1 ll) ���
 0��
* mm) 
0�� 
� nn) −
�
� �� + 8� − �� 
Obs.: Exercícios retirados da página 142 do livro Matemática para cursos superiores. Autor: Sebastião 
Medeiros da Silva, 2013, Atlas. 
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Aula 3: Derivada do produto e do quociente 
 
Derivada do Produto: + = .. # → +´ = .´. # + .. #´ 
Ex.: ���� = ���3� − 1� 
 
Derivada do quociente: + = 56 → +´ = 5
´6056´
6 
 
Não esquecer: 
 
 
7) Calcular a função derivada de cada uma das funções a seguir: 
a) + = ����� , � ≠ − �� 
 
b) + = ���� , � ≠ −1 
 
c) + = ������ , � ≠ −10 
 
d) + = ����0� , � ≠ −1 
 
e) + = �� �� , � 8 9 
 
f) + = ���0� , � ≠ 1 
 
g) + = 0:��� , � ≠ −4 
 
h) + = ����* , � ≠ −5 
 
i) + = � *��� , � ≠ − �* 
 
j) + = 03���� , � ≠ − �� 
a) +´ = ������� b) +´ = − ������ c) +´ = �������� d) +´ = − ���0�� e) +´ = − ���� ��� 
f) +´ = ����0�� g) +´ = :����� h) +´ = �����*� i) +´ = *�
 ���
�*���� j) +´ =
��
������ 
 
Obs.: Exercícios retirados da página 150 do livro Matemática para cursos superiores. Autor: 
Sebastião Medeiros da Silva, 2013, Atlas. 
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8) Calcule as derivadas das funções: 
1. f(r) = πr² 
2. f(x) = 3x² + 6x – 10 
3. f(w) = aw² + b 
4. f(x) = 14 - 3
2
1 −x 
5. f(x) = (2x + 1)(3x² + 6) 
6. f(x) = (7x – 1)(x + 4) 
7. f(x) = (3x 5- 1)(2 - x 4 ) 
8. )35()35(
3
2
)( 1 +−= − xxxf 
9. f(x) = (x - 1)(x + 1) 
10. f(s)= (s² - 1)(3s – 1)(5s³ + 2s) 
11. f(x) = 7(ax² + bx + c) 
12. f(u) = (4u² - a)(a – 2u) 
13. f(x) = 
13
42
−
+
x
x
 
14. f(t) = 
1
1
+
−
t
t
 
15. 
1
15²3
)(
−
−+=
t
tt
tf 
16. f(t) = 
2
²2
−
−
t
t
 
17. 
²5
4
)(
x
x
xf
−
−= 
18. f(x) = 
22
75
−
+
x
x
 
19. f(x) = ( )xx
x
x
6²3.
2
1 +
+
+
 
20. f(t) = 
bt
at
−
− 2)(
 
21. 
54
53
)(
xx
xf += 
22. 
6
4 2
2
1
)(
x
xxf += 
 
 
Responsabilidade hoje, sucesso sempre! 
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Aula 4: Derivação das funções elementares 
 
Função Derivada 
+ = �; , < ≠ 0 
 
+´ = <�0� 
+ = ln � +´ = 1� + = ln . +´ = .
´
. + = %� 
 
+´ = %� 
+ = &� , & > 0 % & ≠ 1 
 
+´ = &� ln & 
+ = logA � +´ = 1� ln & + = cos � 
 
+´ = −)%D� 
+ = )%D� 
 
+´ = EF)� 
 
Exemplos: 
 
 
9) Calcule as derivadas: 
 
a) + = 4�. %� 
b) + = ��GD� 
c) + = 3��%� 
d) + = �1 + ��GD� 
e) + = 3%� 
f) + = 4. 3� 
g) + = 4� 
h) + = 2� 
i) + = 5 ln � 
j) + = 7EF)� 
k) + = 2)%D� 
l) y = log� � 
m) + = 3%� + GD� 
n) + = 3�� + 5%� 
o) + = 3�0* − 5 ln � 
p) + = ��%� 
q) + = %�GD� 
r) + = ��GD� 
 
a) +´ = 4�%� + 4�%� b) +´ = ��2GD� + 1� c) +´ = �%��6 + 3�� d) +´ = GD� + �� + � 
e) +´ = 3%� f) +´ = 4. 3�GD3 g) +´ = 4�GD4 h) +´ = 2�GD2 
i) +´ = 5/� j) +´ = −7)%D� k) +´ = 2EF)� l) +´ = 1/��GD3� 
m) +´ = 3%� + 1/� n) +´ = 12�� + 5%� o) +´ = −15�03 − 5/� p) +´ = 2�� + ��%� 
q) +´ = %�GD� + %�/� r) +´ = 3��GD� + �� s) t) 
 
 
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Aula 5: Regra da Cadeia 
 
10) Determinar as derivadas das funções abaixo: 
 
1. ��� + 4��I 
 
2. √1 + 2� + ��J 3. ��KJ���1 
4. cos�&� + ��� 
 
5. %0L� 6. �1 + 4��*�3 + � − ���: 
7. �"� − 1���"� + 1�� 
 
8. �2� − 5���8�� − 5�0� 9. ���� = ��� − � + 1�� 
10. ���� = �1 + ��� 1 
 
11. ��"� = M1 + "N"1 12. + = ��� + 1�√�� + 21 
13. + = %0*�EF�3� 
 
14. + = 10�0� 
 
Gabarito 
1. 7��� + 4��3�3�� + 4� 2. ���� 
� O�������1�1J
 
3. 
0��K1
�KJ���J 
 
4. −3��)%D�&� + ��� 
5. −'%0L� 
 
6. 4�1 + 4����3 + � − ���I�17 + 9� − 21��� 
7. 12"��"� − 1���"� + 1���2"� + " − 1� 
 
8. 8�2� − 5���8�� − 5�0� − 48�2� − 5���8�� −5−4 
9. 3��� − � + 1���2� − 1� 
 
10. 
:�1
� √���J1 
11. 
PQR K
� M���KSK� 1 
 
12. – 
13. 
 
14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Responsabilidade hoje, sucesso sempre! 
8 
 
11) Determinar as derivadas das funções: 
 
a) f(x)= ( )1037²3 −+ xx 
b) f(t)=
4
1





 −
t
t 
c) f(x)=2e 76²3 ++ xx 
d) f(u)=
13
2
−u
u
 e) f(t)= ( ) ( )
47 136²7 −+ ttt f) f(x)= ( )3 226²3 −+ xx 
g) f(x)=2 xx 6²3 + 
h) f(t)=
3
3²2
17






+
+
t
t
 i) f(x)=
535 )62(
3
1 −+ xx 
j) f(x)= 36 )13()25( −− xx 
 
k) ( ) 3/125²4 −+− tt l) f(x)= (3x² + 6x)
²
110
x
− 
m) f(x)= (2x – 5) x
x
−
+
+
1
14
 
 
n) f(x)= 13
132
²7
5
++
+
x
x
x
 o) f(x)=e
x
 
p) f(x)=sen (2x + 4) 
 
 
q) f(x)=2cos (2x² - 3x + 1 )Gabarito 
a) ( ) ( )( )92 3737060' −++= xxxxf 
b) ( ) 




 +




 −=
2
3
1
1
1
4' 
tt
ttf c) 
( ) ( ) 763 21212' +++= xxexxf 
d) ( )
( )213
2
' 
−
−=
u
uf 
e) )]614)(13(7)6²7(12³[13()6²7( 6 +−++−+ ttttttt f) 
3 26²3
)1(4
−+
+
xx
x 
g) 2 2ln)1(66²3 ++ xxx h) 
4)3²2(
)214²14)²(17(3
−
+−−+
t
ttt i) )95()62(
3
10 44435 −− −+ xxxx 
j) ( ) ( ) )48135(1325 25 −−− xxx 
k) )58()25²4(
3
1 3/4 −+−− − ttt l) ³
2
)1()6²3(60 9
x
xxx +++ 
m) 8(2x – 5)³-
xx 2
1
)²1(
1 −
+
 n) 2/15/15/6 )13(
2
3
)13(7)13²(
10
21 −−− +++++− xxxxx 
o) 
x
e x
2
 
p) 2cos(2x+4) q) -2sen(2x² - 3x + 1)(4x - 3)