928538_prova2A AL 2014 1 Eletrônica

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Prova 2 de A´lgebra Linear - Engenharia Eletroˆnica e de Telecomunicac¸o˜es
Professor Luiz Ota´vio - 28/05/2014
Instruc¸o˜es A prova tem a durac¸a˜o de 1h40. Apo´s o in´ıcio, sera´ permitida a sa´ıda apenas
apo´s de 30 minutos. O material na˜o podera´ ser consultado e os celulares devem ficar desligados
ou no silencioso. Justifique todas as suas respostas e fac¸a com letra leg´ıvel. Valor: 40 pontos.
Nome:
Questa˜o 1 (10 pontos) Considere a transformac¸a˜o linear T (x, y, z) = (2x− y, 0, x + y).
a) Escreva o conjunto Im(T).
b) Determine uma base e a dimensa˜o para imagem de T .
c) Encontre o conjunto Nuc(T).
d) Determine uma base e a dimensa˜o do nu´cleo de T .
e) Diga por que e´ va´lido o Teorema do Nu´cleo e Imagem.
1
Questa˜o 2 (10 pontos) Dado um espac¸o vetorial (V,+, ·) sobre R, definimos um produto
interno como uma func¸a˜o 〈, 〉 → R que satisfaz as seguintes condic¸o˜es para quaisquer vetores
u, v, w ∈ V e para qualquer k ∈ R:
(i) 〈u, u〉 ≥ 0 e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = −→0
(ii) 〈ku, v〉 = k〈u, v〉
(iii) 〈u, v〉 = 〈v, u〉
(iv) 〈u + v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉
Se V = R2 Verifique se 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 2y1y2 e´ um produto interno.
2
Questa˜o 3 (10 pontos) Verifique se a soluc¸a˜o do sistema e´ um subespac¸o vetorial de R3:
x + 3y − z = 0
2x + y − z = 0
3x + 4y − 2z = 0
3
Questa˜o 4 (10 pontos) Considere a matriz A =
 3 −4 41, 5 −2 3
0 0 1
.
a) Encontre os autovalores da matriz A.
b) Encontre os autoespac¸os da A.
c) Verifique se A e´ diagonaliza´vel.
4