928543_Prova1A AL 2015 1 Química

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Prova 1 de A´lgebra Linear
Curso: Engenharia Qu´ımica - Professor Luiz Ota´vio - Data: 25/03/2014
Instruc¸o˜es A prova tem a durac¸a˜o de 1h40. O material na˜o podera´ ser consultado e os
celulares e aparelhos eletroˆnicas devem ficar desligados. Justifique todas as suas respostas e fac¸a
com letra leg´ıvel. Valor: 40 pontos.
Nome:
Questa˜o 1 (9 pontos) Considere a matriz A =

1 0 2 3
0 0 1 0
1 1 0 3
1 0 3 2
. Fac¸a o que se pede:
a) (2 pontos) Calcule o trac¸o de A, ou seja, o nu´mero
n∑
i=1
aii, onde n e´ a ordem da matriz.
b) (7 pontos) Calcule a inversa da matriz transposta de A.
1
Questa˜o 2 (9 pontos) Encontre o valor de x em cada caso:
a)
∣∣∣∣ 1 32 −x
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1 8x 3
∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣
1 x 1
2 x 0
1 0 1
∣∣∣∣∣∣ = −2
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 4 2
2 x 8 2
3 6 12 0
1 2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 72
2
Questa˜o 3 (9 pontos) Considere o sistema linear:

x + 2y + z = 1
3x + 5y + 4z = 4
5x + 9y + 6z = 6
a) (7 pontos) Escreva o conjunto soluc¸a˜o deste sistema.
b) (2 pontos) Qual o nu´mero de varia´veis livres?
3
Questa˜o 4 (8 pontos) Determine a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3, sabendo que
T (1, 0, 0) = (−9, 1, 0) e T (0, 1, 0) = (−1, 0, 1) e T (0, 0,−1) = (−6, 2, 1).
Questa˜o 5 (5 pontos) Mostre que se uma matriz A for invers´ıvel, enta˜o existe uma u´nica
inversa para A.
4