928580_lista matrizes sistemas

Prévia do material em texto

Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear (Matrizes, Determinantes e Sistemas) -
Professor Luiz Ota´vio
1) Seja A2×2 uma matriz sime´trica, ou seja, aij = aji para quaisquer i e j. Se a21 = 0 e A2
for uma matriz diagonal, tal que aii = 9, para todo i, Determine A.
2) Dizemos que duas matrizes A e B comutam quando AB = BA. Se A e B comutam,
moste que (A + B)(A−B) = A2 −B2, utilizando as propriedades das operac¸o˜es de matrizes.
3) Diga quais sa˜o as ordens das matrizes A e B, sabendo que A possui 3 colunas e que
AB =
 3 01 2
4 1

4) Se A e´ uma matriz anti-sime´trica, ou seja, aij = −aji para todo i e j, diga se e´ poss´ıvel
que seus elementos sejam da forma aij = i + j, para quaisquer i e j.
5) Seja A uma matriz de ordem 2× 3 tal que aij = 2i + j. Determine At.
6) Sejam A =
[
2 6
3 1
]
e B =
[
0 −1
4 1
]
. Calcule os produtos AB e BA. Depois, diga se
para quaisquer matrizes A e B a conclusa˜o a mesma, justificando sua resposta.
7) Utilize o desenvolvimento de Laplace, tomando a primeira linha, para calcular o determi-
nante da matriz: A =
 7 6 22 3 1
4 6 2
. O resultado ja´ era esperado? Justifique.
8) Calcule o determinante de A =

7 6 2 1
1 3 1 2
4 1 2 3
2 6 0 3
, atrave´s da definic¸a˜o de permutac¸o˜es.
Explique por que na˜o podemos utilizar um desenvolvimento semelhante a` regra de Sarrus para
uma matriz desta ordem.
9) Sabe-se que AA−1 = Id, que det(Id) = 1 e que det(AB) = det(A)det(B). Mostre que
det(A) e det(A−1) sa˜o nu´meros inversos multiplicativos.
10) Duas matrizes A e B sa˜o tais que AB =
 1 00 1
3 1
. Diga se e´ poss´ıvel calcular os
determinantes det(A) e det(B). Justifique.
11) Calcule det(A), sabendo que At =
 1 0 24 1 3
3 1 2
.
12) Calcule os seguintes determinantes:
a)
∣∣∣∣∣∣
1 7 3
2 0 8
3 3 1
∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣
−1 7 3
−2 −3 6
8 −3 1
∣∣∣∣∣∣
1
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 4 3
2 2 8 2
3 3 12 1
3 3 4 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 4 2 1 3
2 6 3 2 0
1 6 3 1 1
0 2 1 2 4
3 8 4 4 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e) |A + B|, onde A =

6 3 1 1
4 1 7 8
4 −7 2 7
2 8 2 2
 e B =

−6 3 1 1
−4 −1 5 8
4 7 2 7
0 2 1 2

f)
∣∣∣∣∣∣∣∣
6 9 3 5
2 3 1 3
1 7 2 4
0 6 2 6
∣∣∣∣∣∣∣∣
13) Treˆs nu´meros a, b e c sa˜o tais que a soma e´ igual a 8. Se a+b = 4 e b−c = −4, determine
a, b e c.
14) Determine os valores de x, y e z, conforme a rede da figura abaixo:
15) Resolva os seguintes sistemas lineares e diga se sa˜o SPD, SPI ou SI:
a)

x + 6y + z = 0
2x + y − z = 0
x + 4y + z = 0
b)

5x + y − z = 0
2x + 4y − z = 0
x− 4y + z = 3
c)

x + y − z − t = −2
x + 4y + z + t = 9
x− y + 3z − 3t = 0
2x− 4y − z + 2t = 0
d)

4x + y − z − 2t = −2
3x + y − z + 3t = 2
4x− 2y + 6z − 5t = 1
−x− 8y − z + 2t = 2
2