928884_EDOs de Primeira Ordem

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Roney Rachide Nunes
Equações Diferenciais Lineares
de Primeira Ordem
PUC-MG
2015.2
Sumário
1 Introdução 2
2 Equações Diferenciais de 1a ordem 5
2.1 Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Equações Lineares de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Fatores Integrantes para equações não exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Equação Autônoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
Capítulo 1
Introdução
Uma equação diferencial é uma equação em que a incógnita é uma função e a equação relaciona as variáveis
independentes desta função, a função e suas derivadas.
Exemplo 1:
a) y′′ + 2xy = 7 é uma equação diferencial em que a incógnita é uma função y = y(x)
b) uxx = 3ut é uma equação diferencial em que a incógnita é uma função u = u(x, t)
c) 4y′ + 5y = 0 é uma equação diferencial em que a incógnita é uma função y = y(x)
d) 5yy′ + 2y = x2sen (y) é uma equação diferencial em que a incógnita é uma função y = y(x)
e) 2ux = 3uy é uma equação diferencial em que a incógnita é uma função u = u(x, y)
f) 2x2y + 4y = x não é uma equação diferencial.
Equações Diferenciais Ordinárias e Equações Diferenciais Parciais
Podemos dividir as equações diferenciais em dois tipos básicos: Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Equações
Diferenciais Parciais (EDP). Em uma EDO a função incógnita é uma função de uma única variável, enquanto em uma
EDP a incógnita é uma função que depende de duas ou mais variáveis.
No exemplo 1, (a),(c) e (d) são EDO's, enquanto (b) e (e) são EDP's.
NESTA DISCIPLINA trabalharemos apenas com equações diferenciais ordinárias.
Ordem de uma equação diferencial
A ordem de uma equação diferencial é igual a ordem da maior derivada na equação. Se a maior derivada é a de
ordem n, dizemos que a equação tem ordem n ou é de n-ésima ordem.
No exemplo 1, (c),(d) e (e) são ED's de primeira ordem, enquanto (a) e (b) são ED's de segunda ordem.
2
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Linearidade
Uma EDO linear de ordem n é uma EDO que pode ser escrita na forma
an(x)y
(n) + an−1(x)y(n−1) + ·+ a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x) = f(x)
onde ai(x), 0 ≤ i ≤ n e f(x) são funções de x, an(x) 6= 0.
Exemplo 2
a) 2xy′′ + 3xy′ + y = 3 é uma edo linear de ordem 2.
b) sen (x) cos(y) + exy = 4y′ é uma edo não linear de ordem 1.
c) y3 + 6xy′ = 7 é uma edo não linear de ordem 1.
d) y(3) + 6xy′ = 7 é uma edo linear de ordem 3.
e) 2xy + yy′ = 3 é uma edo não linear de ordem 1.
Soluções
Uma solução de uma equação diferencial é uma função que satisfaz identicamente a equação.
Exemplo 3. Verifique se a função y = x2 é solução da EDO x2y′′ + 3xy′ − 3y = 0.
Exemplo 4. Verifique que a função y = cos(2t) é solução da edo y′′ + 4y = 0.
Exemplo 5. Verifique que a função y = sen(2t) é solução da edo y′′ + 4y = 0.
3 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Exemplo 6. Verifique que a função y = c1cos(2t) + c2sen(2t) (c1, c2 constantes) é solução da edo y
′′ + 4y = 0.
As soluções apresentadas nos exemplos 4 e 5 são soluções particulares (ou específicas) da equação, enquanto na
solução apresentada no exemplo 6 temos todas as possíveis soluções da equação (verificaremos tal afirmação no decorrer
do semestre), e é denominada solução geral da equação.
Exemplo 7. Determine para quais valores de r a função y = erx é solução da edo y′′ + 3y′ − 4y = 0.
Exemplo 8. Determine para quais valores de r a função y = xr é solução da edo x2y′′ + 3xy′ − 3y = 0.
Exemplo 9. Determine todas as soluções constantes de edo x3y′′ + 3x2y′ − (y2 + 2y − 3)(x3 + 6x− 3) = 0.
4 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
Capítulo 2
Equações Diferenciais de 1a ordem
2.1 Equações Separáveis
Uma equação separável é uma equação que pode ser escrita na forma
dy
dx
= f(x)g(y)
Uma edo da forma acima possui dois tipos de soluções: as soluções constantes e as soluções não constantes.
Soluções Constantes
Se y é uma solução constante, temos y′ = 0. Assim, para determinar as soluções constantes, basta determinar as
soluções reais da equação g(y) = 0.
Soluções Não Constantes
Se y é uma solução não constante, y′ 6= 0 e, consequentemente, g(y) 6= 0. Assim, para determinar as soluções não
constantes de uma equação separável,
Passo 1. Escreva a edo na forma
dy
dx
= f(x)g(y).
Passo 2. Reescreva a edo na forma
1
g(y)
dy
dx
= f(x). (note que a divisão é possível, uma vez que g(y) 6= 0)
Passo 3. Integre a igualdade em relação a x.
∫
1
g(y)
dy
dx
dx =
∫
f(x)dx
Na integral do lado esquerdo da igualdade, fazendo z = y, temos dz = y′dx. Assim, a igualdade pode ser reescrita
como
5
2.1. EQUAÇÕES SEPARÁVEIS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
∫
1
g(z)
dz =
∫
f(x)dx
Passo 4. Resolva as integrais ∫
1
g(y)
dy =
∫
f(x)dx.
6 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.1. EQUAÇÕES SEPARÁVEIS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Exemplo: Determine as soluções não constantes das equações abaixo.
a) y′ = e2x+3y.
b) y′ = x2y2 + y2sen (x) + sen (x) + x2.
c) xy ln(x)y′ =
(
y + 1
4
)2
.
d) x2eyy′ = x4ey + x4.
7 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.1. EQUAÇÕES SEPARÁVEIS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
e) (ex + 1)y′ − e2xy + exy = 0
f) y′ = (x+ 1)cotg (x2 + 2x)y ln y
Exemplo: Determine a função y = f(x), tal que f(1) = 1, que satisfaz a seguinte propriedade: o coeficiente angular
da reta tangente no ponto de abscissa x é igual ao produto das coordenadas do ponto de tangência.
Exemplo: Determine as soluções constantes das edos apresentadas no exemplo anterior.
8 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.2. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
2.2 Equações Homogêneas
Uma equação diferencial ordinária homogênea de primeira ordem é uma equação que pode ser escrita na forma
y′ = f(x, y)
e f satisfaz a condição f(tx, ty) = f(x, y).
Para resolver uma edo homogêna, utilizamos a mudança de variáveis
y = vx, v = v(x).
Derivando a expressão acima, temos
y′ = v′x+ v.
Substituindo y e y′ na edo, obtemos
v′x+ v = f(x, vx) = f(1, v)
Exemplo: Resolva as equações abaixo.
a) y′ =
y − x
y + x
.
b) y′ =
3y + x
3x+ y
.
c) y′ =
2x2 + 5y2
2xy
.
9 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.2. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
d) xy′ = y + xey/x, y(1) = 0.
e) y′ =
x2 − xy + y2
x2
f) y′ =
y2 + xy − 9x2
x2
g) y′ − 3y
2 − x2
2xy
10 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.3. EQUAÇÕES LINEARES DE 1A ORDEM CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
2.3 Equações Lineares de 1a ordem
Uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem é uma equação que pode ser escrita na forma
y′ + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) são funções contínuas definidas em um mesmo intervalo.
Exemplo:
a) y′ + 2xy = 7 é uma edo linear de primeira ordem. p(x) = e q(x) = .
b) 2xy′ + 5x2y = ex é uma edo linear de primeira ordem. p(x) = e q(x) = .
c) 3y′ + 7y = 0 é uma edo linear de primeira ordem. p(x) = e q(x) = .
d) 5y′ + 2sen y = x2 não é uma edo linear.
e) 5xy′ = x2 é uma edo linear de primeiraordem. p(x) = e q(x) = .
f) y′ = 2exy − e2x é uma edo linear de primeira ordem. p(x) = e q(x) = .
Solução geral de uma edo linear de primeira ordem
Para determinar a solução de uma edo linear de primeira ordem:
Passo 1. Determinar um fator integrante µ(x).
µ(x) = e
∫
p(x)dx
(O fator integrante é uma função auxiliar que facilitará a resolução da equação diferential)
Passo 2. Multiplicar a edo por µ(x).
µ(x)y′ + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x)
Note que
(µ(x) · y)′ =
Assim,
Passo 3. Reescrever o lado esquerdo da igualdade.
11 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.3. EQUAÇÕES LINEARES DE 1A ORDEM CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
(µ(x) · y)′ = µ(x)q(x)
Passo 4. Integrar ambos os lados da igualdade em relação a x.
µ(x) · y =
∫
µ(x)q(x)dx
Passo 5. Isolar y.
y =
∫
µ(x)q(x)dx
µ(x)
Assim, a solução geral de uma edo linear de primeira forma é:
y =
1
µ(x)
∫
µ(x)q(x)dx
Observações:
• No primeiro passo buscamos um fator integrante para a edo linear. Independente da constante de integração,
temos
Assim, ao calcular a integral podemos "esquecer"a constante de integração, considerando c = 0.
• No quinto passo, caso "esqueça"a constante de integração, você terá obtido apenas uma solução da edo, e não a
solução geral.
12 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.3. EQUAÇÕES LINEARES DE 1A ORDEM CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Exemplo. Determine a solução geral das seguintes edos:
a) y′ + 2xy = 6x
b) xy′ + 2y = x5
c) y′ + sen (x)y = x2ex+cos(x)
d) xy′ +
x2
x2 − 1 = 0
e) y′ + y = x3
13 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.3. EQUAÇÕES LINEARES DE 1A ORDEM CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Problema de Valor Inicial e Problema de Valor de Contorno
Dada uma equação diferencial de ordem n , se a função e suas derivadas até a ordem n − 1 são especificadas em
um mesmo ponto, então temos um Problema de Valor Inicial (PVI). Se as n condições adicionais não são dadas em
um mesmo ponto, então temos um Problema de Valor de Contorno (PVC)
Exemplo. Determine a solução dos pvis abaixo.
a)
{
ty′ + (t+ 1)y = 2te−t
y(1) = 0
b)
{
y′ + exy = ex
y(0) = 1
c)
{
y′ + y = 0
y(0) = 13
14 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.3. EQUAÇÕES LINEARES DE 1A ORDEM CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Teorema de Existência e Unicidade
Considere o problema de valor inicial {
y′ + p(x)y = q(x)
y(x0) = y0
Se p(x) e q(x) são funções contínuas em um intervalo aberto I, então o problema de valor inicial tem uma única
solução neste intervalo.
O teorema acima se aplica em situações em que estamos interessados em determinar o intervalo de validade da
solução de um pvi, sem a necessidade de determinarmos sua solução.
Exemplo. Determine o maior intervalo de validade da solução de cada pvi abaixo.
a)
 ty′ +
t+ 1)
t2 − 9y =
2te−t
t2 − 100
y(2) = 0
b)
 y′ +
x
ex − 1y =
ex
x2 − 49
y(8) = 1
c)
 (x3 + x)y′ +
ex − 1
ln(x) + 1
y =
ex
ln(x)− 1
y(1) = 1
15 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.4. EQUAÇÕES EXATAS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
2.4 Equações Exatas
Uma equação exata é uma equação que pode ser escrita na forma
M(x, y) +N(x, y)y′ = 0
e as funções M e N satisfazem a condição
∂M
∂y
=
∂N
∂x
em um aberto Ω no qual
∂M
∂y
e
∂N
∂x
são contínuas.
Exemplo: Verifique se as equações abaixo são exatas.
a) 3x2y2 + 6y + ex cos y + (2x3y + 6x− exsen y)y′ = 2− 3y′.
b) 3x2y2 + 6y + ex cos y + (2x3y + 6x+ exsen y)y′ = 0.
c) (2xey − 2 cos(2x+ 3y) + 4x3y6 + 6x)dx+ (x2ey − 3 cos(2x+ 3y) + 6x4y5 + 28y3)dy = 0.
16 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.4. EQUAÇÕES EXATAS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Para resolver uma equação exata, procuramos uma função f(x, y) tal que
∂f
∂x
= M e
∂f
∂y
= N y = y(x).
Se f(x, y) = c, derivando em relação a x a equação temos fx + fyy
′ = 0. Como
∂f
∂x
= M e ∂f∂y = N , obtemos
M(x, y) +N(x, y)y′ = 0. Concluímos assim que a solução geral (na forma implicita) da equação exata é dada por
f(x, y) = c.
Procedimento para determinar a função f(x, y)
Passo 1. Iniciando pela equação
∂f
∂x
= M , integramos a igualdade em relação a x. Obtemos
f(x, y) = F (x, y) + g(y)
onde F (x, y) é uma integral de M em relação a x e g(y) é a constante de integração (no caso, uma função de y).
Passo 2. Derivar a expressão obtida no passo anterior em relação a y.
∂f
∂y
= Fy + g
′(y)
Passo 3. Igualar as duas expressões para
∂f
∂y
:
∂f
∂y
= Fy + g
′(y) = N ⇒ g′(y) = N − Fy
Passo 4. Integrar a igualdade obtida no passo anterior em relação a y, obtendo assim a função g(y) e, consequen-
temente, a função f(x,y).
Observações:
• No passo 4, a expressão g(y) = N − Fy independe da variável x.
• Poderíamos ter iniciado a resolução utilizando a equação ∂f
∂y
= N , alterando convenientemente as etapas da
resolução.
17 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.4. EQUAÇÕES EXATAS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Exemplo: Determine a solução geral da edo
3x2y2 + 6y + ex cos y + (2x3y + 6x− exsen y)y′ = 2− 3y′
18 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.4. EQUAÇÕES EXATAS CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Exemplo: Determine a solução geral da edo
(2xey − 2 cos(2x+ 3y) + 4x3y6 + 6x)dx+ (x2ey − 3 cos(2x+ 3y) + 6x4y5 + 28y3)dy = 0
19 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.5. FATORES INTEGRANTES PARA EQUAÇÕES NÃO EXATASCAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
2.5 Fatores Integrantes para equações não exatas
Se a equaçãoM(x, y)+N(x, y)y′ = 0 não é exata e µ(x, y)M(x, y)+µ(x, y)N(x, y)y′ = 0 é uma edo exata, dizemos
que a função µ(x, y) é um fator integrante para a equação não exata (no sentido de transformá-la em uma equação
exata).
Exemplo: Considera a edo 2y2 +
2y
x
+
(
2xy + 2 +
y
x
)
y′ = 0.
a) Mostre que a edo não é exata.
b) Mostre que a função µ(x, y) = x é um fator integrante para a equação não exata acima.
c) Determine a solução geral da edo dada.
20 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.5. FATORES INTEGRANTES PARA EQUAÇÕES NÃO EXATASCAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Quando o fator integrante para equação exata depende de uma única variável, isto é, é da forma µ(x) ou µ(y), é
possível determiná-lo por meio da resolução de uma equação separável.
Fator integrante na forma µ(x):
Se a edo µ(x)M + µ(x)Ny′ = 0 é uma equação exata, então
∂
∂y
[µ(x)M ] =
∂
∂x
[µ(x)N ].
Assim,
µ(x)
∂M
∂y
= µ′(x)N + µ(x)
∂N
∂x
.
Manipulando a expressão acima, obtemos
µ′(x) =
My −Nx
N
µ.
Critério: Se
My −Nx
N
é uma expressão que NÃO depende de y, então a edo M(x, y) +N(x, y)y′ = 0 possui um
fator integrante na forma µ(x) e o fator integrante é dado pela solução da edo separável
µ′(x) =
My −Nx
N
µ.
Exemplo: Determine um fator integrante para a edo não exata 2y2 +
2y
x
+
(
2xy + 2 +
y
x
)
y′ = 0.
21 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.5. FATORES INTEGRANTES PARA EQUAÇÕES NÃO EXATASCAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Fator integrante na forma µ(y):
Analogamente, se a edo µ(y)M + µ(y)Ny′ = 0 é uma equação exata, então
∂
∂y
[µ(y)M ] =
∂
∂x
[µ(y)N ]
e
µ(y)
∂N
∂x
= µ′(y)M + µ(y)
∂M
∂y
.
Manipulando a expressão acima, obtemos
µ′(y) =
Nx −My
M
µ.
Critério: Se
Nx −My
M
é uma expressão que NÃO depende de x, então a edo M(x, y) +N(x, y)y′ = 0 possui um
fator integrante na forma µ(y) e o fator integrante é dado pela solução da edo separável
µ′(y)=
Nx −My
M
µ.
Exemplo: Determine um fator integrante para a edo não exata x+ (x2y + 4y)y′ = 0.
Observações:
• O fator integrante não é único: se µ(x, y) é um fator integrante, então kµ(x, y) também é um fator integrante,
para qualquer constante não nula k.
• Uma edo pode não ser exata e também não possuir fator integrante da forma µ(x) nem µ(y).
• Uma edo pode não ser exata e possuir fator integrante que dependa apenas de x ou apenas de y.
• Uma edo pode não ser exata e possuir tanto fator integrante que só dependa de x quanto fator integrante que
dependa só de y.
22 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.6. EQUAÇÃO DE BERNOULLI CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
2.6 Equação de Bernoulli
Uma Equação de Bernoulli é uma equação diferencial que pode ser escrita na forma
y′ + p(x)y = q(x)yn
onde n é um número real, n 6= 0 e n 6= 1 (note que se n = 1 ou n = 0 temos uma edo linear de primeira ordem) e
p(x), q(x) são funções contínuas definidas em um mesmo intervalo.
Uma edo da forma acima possui dois tipos de soluções: as soluções constantes e as soluções não constantes.
Soluções Constantes
Se y é uma solução constante, y = c, temos y′ = 0. Substituindo tais informações na edo, temos
p(x)c = q(x)cn.
Daí,
c(p(x)− q(x)cn−1) = 0
Vemos que y = 0 sempre é solução da equação de Bernoulli. As outras possíveis soluções são as soluções constantes
da equação
p(x)− q(x)cn−1 = 0.
Soluções Não Constantes
Para determinar as soluções não constantes, utilizaremos uma mudança de variável que reduzirá a equação de
Bernoulli a uma equação linear de primeira ordem - cuja solução já sabemos determinar.
v(x) = y1−n v′ = (1− n)y−ny′
Utilizando a substituição acima,
Passo 1. Multiplique a equação de Bernoulli por y−n
y−ny′ + p(x)y1−n = q(x)
Passo 2. Da substituição apresentada, temos y1−n = v e y′ =
v′
(1− n)y−n . Substituindo na edo acima, obtemos
v′
(1− n) + p(x)v = q(x)
Passo 3. Resolver a edo linear.
Passo 4. Após determinar a solução geral da edo linear, substituir v = y1−n.
23 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.6. EQUAÇÃO DE BERNOULLI CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
Exemplo: Determine as soluções não constantes das equações abaixo.
a) y′ = y − e3xy4.
b) xy′ + y = x2y2.
c) q′ − q
t
+
√
q = 0, t > 0.
d) y′ = y − y3.
24 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.7. EQUAÇÃO AUTÔNOMA CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
2.7 Equação Autônoma
Uma equação autônoma é uma equação que pode ser escrita na forma
y′ = f(y).
Nas equações autônomas é possível determinar o comportamento das soluções, bem como o esboço das mesmas,
sem a necessidade de resolver algebricamente a equação diferencial. Neste caso, serão utizados os conceitos estudados
em cálculo 2 para esboço de gráfico de uma função.
Passo 1. Primeiramente, buscamos as soluções constantes da equação homogênea. Para tal, basta resolver a
equação f(y) = 0, uma vez que se y é constante temos y′ = 0. Tais soluções são conhecidas como soluções de equilibrio
da edo, ou soluções estacionárias.
Passo 2. Estudar a monotonicidade das soluções. Para tal, devemos identificar quando y′ > 0 (soluções crescentes)
e y′ < 0 (soluções decrescentes). Note que neste caso os resolvemos ineequações em y, consequentemente os intervalos
obtidos são intervalos do eixo y.
Passo 3. Determinar os pontos de inflexão e estudar a concavidade das soluções. Neste caso, é necessário calcular
y′′. Como y′ = f(y), derivando a igualdade temos
y′′ =
df
dy
· y′.
(O termo y' aparece pois temos uma derivada implícita)
Em seguida, estudamos o sinal de y′′: y′′ > 0 - concavidade voltada para cima; y′′ < 0 - concavidade voltada para
baixo. Novamente, as inequações são em y.
Exemplo: Determine o comportamento das soluções das edos abaixo. Classifique as soluções de equilíbrio como
estáveis ou instáveis.
a) y′ = y2 + 2y − 8.
25 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
2.7. EQUAÇÃO AUTÔNOMA CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM
b) y′ = y2 + 3y − 4.
c) y′ = ey
2 − 1.
26 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes