934613_Caderno de Laboratório - Física Geral II - 2015

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Caderno de Atividades de Laboratório 
 
 
Física Geral II 
Fluidos, Oscilações e Calor 
 
 
 
 
DFQ – Departamento de Física e Química 
Belo Horizonte, 2015 
 
 
 
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Índice 
 
 
Densidade de um Líquido .................................................................................. 3 
 
Coeficiente de Viscosidade ................................................................................ 6 
 
Coeficiente de Dilatação Linear de uma Substância .......................................... 9 
 
Calor Específico da Água .................................................................................. 12 
 
Lei de Resfriamento de Newton ......................................................................... 15 
 
Lei de Boyle – Transformação Isotérmica .......................................................... 17 
 
Radiação Térmica .............................................................................................. 20 
 
Oscilador Harmônico Simples - Sistema Massa-Mola ....................................... 23 
 
Pêndulo Simples ................................................................................................ 26 
 
Oscilador Harmônico Angular Simples – Pêndulo de Torção ............................. 29 
 
Oscilações Amortecidas .................................................................................... 32 
 
Oscilações Forçadas e Ressonância ................................................................. 37 
 
Ondas Estacionárias Unidimensionais ............................................................... 39 
 
Módulo de Elasticidade ...................................................................................... 43 
 
Referências Bibliográficas ................................................................................. 48 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Densidade de um Líquido 
1 – Introdução 
 
Um objeto, ao ser mergulhado em um fluido qualquer, fica sujeito a uma força de baixo 
para cima devida à diferença entre as pressões nas partes superior e inferior desse objeto. O 
módulo E dessa força, chamada de empuxo, é igual ao peso do fluido contido em um volume 
idêntico ao volume submerso do corpo no fluido, ou seja, 
 , 
em que ρ é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e V é o volume submerso do 
corpo no fluido. Esse resultado é conhecido como Princípio de Arquimedes. Considere o objeto 
pendurado em um dinamômetro, como mostrado na parte a da Figura 1. Nessa situação, a 
leitura no dinamômetro é P. Em seguida, esse objeto é imerso em um líquido e, ao atingir o 
equilíbrio, a leitura no dinamômetro passa a ser P’, como mostrado na parte b da mesma figura. 
Note-se que, nessa situação, 
 . 
Então, medindo-se o peso aparente P’ e o volume V submerso do objeto, pode-se 
determinar a densidade do líquido. 
 
Figura 1: Representação das forças que agem sobre um objeto. Em (a), o dinamômetro indica o 
peso P; em (b), o dinamômetro indica o peso aparente P’. Figura adaptada da Ref. [1]. 
 
 
 
4 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a densidade de um líquido. 
 
Material Utilizado: cilindro de alumínio graduado, paquímetro, béquer de 250 ml, dinamômetro, 
líquido de densidade desconhecida, haste com suporte. 
Procedimentos: 
 Utilize o dinamômetro para determinar o peso do cilindro de alumínio, com sua 
respectiva incerteza avaliada (incerteza ou desvio avaliado é a metade da menor divisão 
do aparelho). 
 
P = _________________________ 
 
 Meça com o paquímetro o diâmetro d e a altura h do cilindro de alumínio. Anote os 
resultados com as respectivas incertezas avaliadas. 
 
 = _________________________ = ________________________. 
 
 O volume do cilindro de alumínio é 
 
 
 
 
O desvio absoluto do volume pode ser obtido pela relação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
em que e são os desvios avaliados de d e h, respectivamente. Então, 
especifique o volume do cilindro com sua respectiva incerteza. 
 
V = ______________________________ 
 
 Mergulhe o cilindro, ainda pendurado no dinamômetro, gradualmente no líquido. Para 
cada graduação do cilindro, registre o valor do peso aparente e o volume mergulhado 
V. Anote os resultados em uma tabela. 
 
5 
 
 Construa o gráfico de em função de V, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear para obter uma equação empírica do tipo , na qual e 
são os coeficientes angular e linear da reta, respectivamente. 
 
 Qual é o significado físico do parâmetro b? Compare-o com o resultado esperado. 
 
 Qual é o significado físico do parâmetro a? Determine a densidade do líquido. 
 
 Compare o resultado encontrado com os valores mostrados na Tabela 1 e veja se é 
possível identificar o líquido utilizado. 
 
Tabela1: Densidades de alguns líquidos à temperatura ambiente (20ºC). 
Líquido (g/cm3) 
Água 
Benzeno 
Etanol 
Éter 
Glicerina 
Mercúrio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Coeficiente de Viscosidade 
1 – Introdução 
 
Quando uma esfera metálica cai através de um tubo contendo líquido, de densidade 
 acelera até que a força de atrito de viscosidade do líquido ( ), junto com o empuxo ( , 
iguale ao peso ( ) da esfera, isto é, acelera até que 
 
 Quando a condição representada na equação (1) é satisfeita, a queda prossegue com 
velocidade constante. A esta velocidade dá - se o nome de velocidade limite (ou terminal). 
Segundo Stokes, a força de atrito de viscosidade F, sobre uma esfera de raio 
movendo-se com velocidade através de um líquido de coeficiente de viscosidade , é dada 
por: 
 
Sabendo-se que 
 
 
 e , em que é a densidade da esfera, podemos 
escrever a equação (1) como segue: 
 (
 
 
 ) (
 
 
 ) 
 
isolando , ficamos com: 
 
 
 
 
 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o coeficiente de viscosidade de um líquido. 
 
Material Utilizado: tripé, barra em alumínio com régua milimetrada, cinco sensores fotoelétricos, 
cronômetro multifunções, tubo de vidro, duas esferas de diâmetros diferentes, acessórios para 
fixação do tubo de vidro e um imã. 
 
Procedimentos: 
 Monte o equipamento conforme Figura 1. 
 Meça os diâmetros das esferas: 
7 
 
Esfera 1:________________________ Esfera 2:________________________ 
 
 
Figura 1: Montagem do experimento. 
 
 Determine a massa específica das esferas. 
 
 
 Procure saber qual líquido será colocado no tubo e consulte a Tabela 1 da atividade 
“Densidade de um líquido” para especificar o valor de . 
 
 
 Coloque o tubo, com o líquido cuja viscosidade se deseja medir, no suporte. 
 
 Coloque o primeiro sensor a 0,150 m da extremidade livre do líquido, e posicione os 
demais sensores a 0,100 m entre eles. 
 
 Conecte os sensores ao cronômetro. Se necessário, consulte o manual ou peça ajuda 
ao professor para usar o cronômetro corretamente. 
 
8 
 
 Abandone a esfera 1 dentro do tubo e meça o tempo decorrido no deslocamento entre 
os pares de sensores. Anote os resultados na Tabela 1. 
Observação: O tempo dever ser medido após a esfera percorrer a distância de 15 cm. 
Por quê? 
 
 Preencha o restante da Tabela1. 
 
 Repita os procedimentos para a esfera 2 e anote os resultados na Tabela 2. 
 
Tabela 1: Dados do movimento da esfera 1. 
Diâmetro (m) Deslocamento (m) Tempo (s) Velocidade (m/s) Valor médio da 
velocidade (m/s) 
Viscosidade do 
líquido (Pa.s) 0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
 
 
Tabela 2: Dados do movimento da esfera 2. 
Diâmetro (m) Deslocamento (m) Tempo (s) Velocidade (m/s) Valor médio da 
velocidade (m/s) 
Viscosidade do 
líquido (Pa.s) 0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
 
 Pesquise sobre as condições de validade da fórmula de Stokes. 
 Comente os resultados encontrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Coeficiente de Dilatação Linear de uma Substância 
 
 
1 – Introdução 
 
Quando a temperatura de um corpo se eleva, sabemos que há um aumento na agitação 
de seus átomos ou suas moléculas. Em virtude da maior agitação térmica, a distância média 
entre essas partículas torna-se maior e, assim, o corpo, como um todo, terá suas dimensões 
aumentadas, ou seja, o corpo se dilata. No entanto, se a temperatura do corpo é reduzida, a 
distância média entre as partículas diminui e o corpo, como um todo, terá suas dimensões 
reduzidas. Uma maior ou menor dilatação (ou contração) dependerá de fatores como dimensão 
inicial do corpo, material e variação de temperatura. 
O conhecimento destes fatores é de importância em estruturas ou mesmo em projetos 
de máquinas. Senão vejamos: no caso de uma barra ser aquecida, com as extremidades fixas, 
surgirá tensões de origem térmica que, caso muito grandes, poderão ultrapassar o limite de 
elasticidade ou mesmo a tensão de ruptura do material. Nas pontes uma extremidade pode ser 
rigidamente fixa em uma das extremidades, enquanto a outra descansa sobre roletes para se 
dilatar ou contrair livremente. 
Considere uma barra qualquer de comprimento L0 à temperatura T0. Após ser aquecida 
até uma temperatura T, seu comprimento passa a ser L. Então, o comprimento da barra sofre 
uma dilatação ∆L=(L-L0) em virtude de sua temperatura ter sofrido uma elevação ∆T=(T-T0). É 
possível verificar, experimentalmente, que existe uma relação linear entre ∆L e ∆T, dada por: 
 
na qual α é o coeficiente de dilatação linear, uma grandeza que depende do material da barra. 
A equação (1) também pode ser usada quando um corpo sofre uma redução de 
temperatura e, consequentemente, uma contração. Neste caso, ∆T e ∆L são negativos. 
 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o coeficiente de dilatação linear de uma barra metálica. 
 
Material Utilizado: Aquecedor elétrico, recipiente com água, termômetro, micrômetro de leitura 
direta – precisão 0,01mm, tubo metálico, mangueira de látex e base para fixação do tubo e do 
micrômetro. 
 
10 
 
 
Procedimentos: 
 Monte o equipamento conforme Figura 1. 
 Coloque o recipiente com água na fonte térmica. 
 Posicione o termômetro para medir a temperatura do tubo. 
 
 
 
Figura 1: Ilustração do esquema utilizado. 
 
 Ligue a fonte térmica e espere a água entrar em ebulição. O vapor de água passará pelo 
tubo metálico, elevando-se sua temperatura até entrar em equilíbrio térmico com o 
vapor. Anote o valor dessa temperatura, que será o valor de T0, pois, mediremos a 
variação de temperatura e a variação do comprimento do tubo durante o resfriamento. 
Meça, também, o comprimento do tubo. 
T0=____________ e L0=________________ 
 Gire o micrômetro até o ponteiro ficar no zero e desligue a fonte térmica. 
 Anote, na Tabela 1, a temperatura do tubo em função da variação do comprimento, 
durante o resfriamento. 
 Complete a Tabela 1, com os valores de ∆T. 
 
 
Tabela 1: Temperatura T e dilatação ∆L do tubo metálico. ∆T é a variação de temperatura. 
T (ºC) 
∆T (ºC) 0 
∆L (mm) 0 
 
11 
 
 Construa o gráfico ∆L versus ∆T, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear para obter uma equação empírica do tipo 
 Determine o coeficiente de dilatação linear do tubo, a partir do coeficiente angular da 
equação empírica obtida. 
 Compare o valor encontrado com os valores da Tabela 2. 
 
Tabela 2: Coeficiente de dilatação linear para alguns materiais. 
Material α (10-5 ºC-1) 
Ferro 1,2 
Latão 2,0 
Alumínio 2,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Calor Específico da Água 
 
1 - Introdução 
 
Calor é a energia térmica trocada entre dois corpos, ou entre um sistema e um ambiente, 
em virtude de existir entre eles uma diferença de temperatura. A capacidade térmica C de um 
corpo é a razão entre o calor Q recebido ou perdido e a consequente variação de temperatura 
∆T, ou seja, 
 
 
 
 
 
Dois objetos de mesmo material, alumínio, por exemplo, possuem uma capacidade térmica 
proporcional à sua massa. Isso porque quanto maior a massa do objeto, maior é a quantidade de 
calor necessária para provocar a mesma variação de temperatura. Assim, é conveniente definir a 
grandeza calor específico , que é a capacidade térmica por unidade de massa, 
 
 
 
 
 
 
 
 
O calor específico refere-se a uma substância, enquanto, que a capacidade térmica refere-se a 
um corpo. O calor específico de uma substância varia um pouco com a temperatura. A Tabela 1 
mostra os calores específicos de algumas substâncias à temperatura ambiente. 
 
Tabela1: Calores Específicos à Temperatura Ambiente. 
Substância Calor específico 
(cal/g.ºC) (J/kg.K) 
Cobre 0,0923 386 
Vidro 0,20 840 
Gelo (-10 ºC) 0,530 2220 
Água 1,00 4187 
 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o calor específico da água. 
 
Material Utilizado: fonte de tensão contínua, calorímetro (recipiente termicamente isolado), 
termômetro, becker, resistência elétrica, amperímetro, voltímetro e cabos de ligação. 
13 
 
Procedimentos: 
 Monte um circuito elétrico, conforme Figura 1, com a fonte de tensão em série com o 
amperímetro e a resistência. A resistência não aparece na Figura 1, porque ela está 
dentro do calorímetro. Posicione o voltímetro em paralelo para medir a tensão na 
resistência. 
 
Figura 1: Montagem do experimento 
 
 Coloque 100 ml de água no calorímetro. Considere que a massa específica da água é 
1,0 g/cm3 ou 1,0 g/ml. Observe se a resistência elétrica está em contato com a água. 
 Meça a temperatura inicial do sistema (água + calorímetro). T0=__________________ 
 Ajuste a tensão na fonte em 12 V, ligue o circuito e acione o cronômetro. Anote, na 
Tabela 2, o tempo decorrido para variações de temperatura de 2 em 2 0C. 
 Meça a corrente I que está circulando no circuito e a tensão V na resistência. 
I=________________ V=________________ 
 
Tabela 2: Variação da temperatura ∆T do sistema em função do tempo t. 
∆T (ºC) 0 
t(s) 0 
 
A potência elétrica de uma resistência é P=IV e representa a energia elétrica transformada 
em calor, por unidade de tempo, ou seja, 
 
 
 
 
14 
 
Das equações (1) e (2), podemos escrever o calor que o sistema (calorímetro + água) 
recebe, como 
 
 
em que m é a massa da água, é o calor específico da água e C é a capacidade térmica do 
calorímetro. Considerando que o calor fornecido pela resistência é igual ao calor recebido 
pelo sistema e que a água e o calorímetro estão sempre em equilíbrio térmico, podemos 
escrever, igualando as equações (3) e (4), 
 
 
 
 
 Então, construa o gráfico versus t, com auxílio do programaScidavis. Faça uma 
regressão linear para obter uma equação empírica do tipo . 
 Qual é o significado físico do parâmetro ? Determine o calor específico da água. 
Segundo o fabricante do calorímetro usado neste experimento, a capacidade térmica do 
calorímetro é C=20 cal/ºC. 
 O resultado está de acordo com o esperado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Lei de Resfriamento de Newton 
 
1 - Introdução 
 
Quando dois objetos, com temperaturas diferentes, são colocados em contato térmico, 
há transferência de calor do objeto mais quente para o mais frio, até ambos atingirem a mesma 
temperatura. 
Para um sólido em contato térmico com um fluido, a taxa de resfriamento é dada por 
 
 
 
 
em que T é a diferença entre a temperatura da superfície do sólido e do fluido. A constante k 
depende de vários fatores – de a superfície ser plana ou curva, ou ainda, de ser vertical ou 
horizontal; de o fluido ser um gás ou um líquido; da densidade, da viscosidade, do calor 
específico e da condutividade térmica do fluido, entre outros [1]. Essa relação é conhecida como 
Equação de Newton para o resfriamento. 
Sendo T0 a diferença de temperatura entre o objeto e a vizinhança no instante inicial 
t=0, mostre que, após um tempo t, a diferença de temperatura T entre eles é 
 
 
 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Verificar o decaimento exponencial da temperatura em função do tempo e determinar 
o valor de k. 
 
Material Utilizado: recipiente de alumínio, água, aquecedor elétrico, termômetro e cronômetro. 
 
Procedimentos: 
 Meça e anote a temperatura ambiente. Ta=___________________. 
 Coloque água no recipiente e aqueça até, aproximadamente, 94°C. Desligue o 
aquecedor, retire o recipiente do mesmo e coloque-o sobre uma base isolante. Espere a 
temperatura alcançar 90 ºC e meça o tempo decorrido para variações de temperatura de 
2 em 2 graus até 60 ºC. Anote os resultados na Tabela 1 e, depois, complete-a com os 
valores de e 
 
16 
 
Tabela 1: Temperatura do sistema (água + recipiente de alumínio) em função do tempo. 
t(s) T(0C) T - Ta (0C) 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Faça o gráfico T versus t, com auxílio do programa Scidavis. Observe se a curva obtida 
pode ser uma exponencial. 
 Construa o gráfico versus t. Faça uma regressão linear para obter uma equação 
empírica do tipo . 
 Qual é o significado físico do parâmetro ? 
 E do parâmetro ? Determine o valor da constante k. 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Lei de Boyle – Transformação Isotérmica 
 
1- Introdução 
 
A Lei de Boyle pode ser enunciada da seguinte maneira: “Sob temperatura constante, o 
volume V ocupado por uma certa massa de gás é inversamente proporcional à pressão P à qual 
o gás está submetido”. Matematicamente, podemos escrever a lei de Boyle como 
 
em que C é uma constante. Esta relação é rigorosamente satisfeita para gases ideais e tem seu 
valor aproximado para gases reais. 
 
 
2- Parte Experimental 
 
Objetivos: (i) Comprovar a validade da Lei de Boyle para uma transformação Isotérmica, (ii) 
determinar a pressão atmosférica local e (iii) a quantidade de gás inicial da amostra. 
 
Material: Aparelho Gaseológico Emília, mostrado na Figura 1. 
 
Figura 1: Esquema geral do equipamento utilizado para a verificação da lei de Boyle. Neste 
diagrama as partes do arranjo são representadas pelas letras de acordo com a legenda: A – 
manômetro, B – manípulo, C – seringa, D – mangueira, E – válvula, F – presilhas, G – suporte. 
Figura da Referência [1]. 
18 
 
O aparelho gaseológico Emília, consiste de uma seringa com escala volumétrica 
conectada a um manômetro por uma mangueira. O manômetro permite apenas medir a pressão 
relativa, que neste experimento é a pressão do gás dentro do aparelho subtraída pela pressão 
atmosférica local. O gás (ar atmosférico) fica armazenado dentro da seringa e pode ser 
comprimido quando o êmbolo é empurrado. 
 
Procedimentos: 
Os procedimentos descritos abaixo estão propostos na Referência [1]. 
 Ajuste o equipamento de maneira que 20,0 mL de ar fiquem contidos inicialmente na 
seringa, nas condições atmosféricas locais, ou seja, com pressão manométrica igual a 
zero. O volume inicial de gás contido nas várias partes do equipamento (seringa, 
mangueira, válvula e interior do manômetro) é, neste caso, maior que 20,0 mL. 
 
 Feche a válvula para o ar não escapar e passe a comprimir o ar dentro da seringa por 
um valor fixo | | mL. Anote, na Tabela 1, os valores da variação do volume e 
da pressão ∆p lida no manômetro. 
 
Tabela 1 – Valores medidos para a variação de pressão e do volume. 
∆p (kgf/cm2) 
∆V (mL) 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 
 
Ao comprimir a seringa o novo volume será | |. Durante este procedimento a 
pressão aumenta, e a nova pressão será . Considerando que a compressão do 
gás ocorre isotermicamente, pode-se aplicar a Lei de Boyle, na qual . Assim 
 | | 
resultando em 
 
 | |
 | |
 
O inverso da equação (2) fornece, 
 
 
 
 
 
 
| |
 
 
 
 
Constata-se pela equação (3) uma relação linear entre 1/∆p e 1/∆V. A equação da reta 
que representa esta relação possui coeficiente angular V0/P0 e coeficiente linear 1/P0. 
19 
 
 Com os dados da Tabela 1, faça o gráfico 1/∆p versus 1/∆V com auxílio do programa 
Scidavis. Este gráfico é linear? Ajuste uma reta e determine os parâmetros A (coeficiente 
angular) e B (coeficiente linear) através de uma regressão linear. 
 Determine o valor da pressão atmosférica local P0 e a quantidade inicial V0 de ar dentro 
do equipamento, a partir dos parâmetros A e B. 
 
Referência: 
[1]. VERTCHENKO, Lev; DICKMAN Adriana Gomes, Revista Brasileira de Ensino de Física 34, 
4312 (2012). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Radiação Térmica 
1 – Introdução 
 
Um sistema pode trocar calor com um ambiente através de ondas eletromagnéticas. 
Geralmente, as ondas eletromagnéticas que transferem calor são chamadas de radiação 
térmica. Uma pessoa, por exemplo, ao se aproximar de uma fogueira é aquecida pela radiação 
térmica proveniente do fogo. O calor do Sol chega até nós por radiação térmica, o que quer dizer 
que uma onda eletromagnética não depende de um meio material para se propagar, já que entre 
o Sol e a Terra existe uma grande região de vácuo. 
Todo objeto cuja temperatura está acima de 0 K emite radiação térmica. De acordo com 
a lei de Stefan-Boltzmann, a taxa P com a qual um objeto emite energia através de radiação 
eletromagnética é dada por 
 
em que depende da emissividade e da área A da superfície do objeto e 
 é uma constante física conhecida como constante de Stefan-
Boltzmann. A emissividade tem um valor entre 0 e 1, dependendo da composição da superfície. 
Uma superfície com a emissão máxima de 1 é chamada de radiador de corpo negro, mas uma 
superfície como essa é um limite ideal e não existe na natureza. 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Medir a potência irradiada pelo filamento de uma lâmpada em função de sua 
temperatura e verificar se os dados experimentais são compatíveis com a lei de Stefan-
Boltzmann. 
 
Material Utilizado: dois multímetros digitais, lâmpada de filamento de tungstêniode 130 V e 
15W, termômetro, fonte de tensão alternada (varivolt) e cinco cabos. 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Procedimentos: 
 Monte o circuito mostrado na Figura 1. 
 
Figura 1: Circuito com uma lâmpada ligada a uma fonte de tensão alternada. 
 
 Certifique-se que a lâmpada não se encontra aquecida e use o multímetro digital para 
medir a resistência de seu filamento, R0, e o termômetro para medir a temperatura 
ambiente, T0, que deverá ser expressa em kelvin. 
R0=_________________ T0=___________________ 
 
 Alimente a lâmpada com a fonte varivolt e meça a tensão V e a corrente I na lâmpada. 
Anote os resultados na Tabela 1. 
Observação: são sugeridos valores altos para a tensão da lâmpada de forma que a 
temperatura do filamento seja relativamente alta e a relação dada pela equação (1) possa 
ser satisfatoriamente empregada, pois, para T > 3000 K a emissividade do tungstênio varia 
pouco. 
 
 Para cada par de medidas (V, I) calcule a resistência do filamento. Lembre-se que 
(R=V/I). 
 
 A resistência do filamento varia com a sua temperatura de acordo com a relação 
 [ ] 
em que é o coeficiente de temperatura para a resistividade do tungstênio. 
Isolando T na equação (2), temos que: 
 
 
 
 
22 
 
Use esta expressão para calcular a temperatura (em Kelvin) do filamento da lâmpada para cada 
valor de R. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
 
 
 Calcule a potência irradiada pela lâmpada e complete a Tabela 1. Lembre-se que P=IV. 
 
 Construa o gráfico P versus T4, com auxílio do programa Scidavis, e verifique se, nesse 
caso a dependência entre P e T corresponde ao previsto na equação (1). Faça uma 
regressão linear para obter o valor da constante C. 
 
Tabela 1: Uma lâmpada, de resistência R à temperatura T, emite radiação a uma taxa P, quando 
submetida a uma tensão V em um circuito com corrente I. 
V (V) I (A) R(Ω) T (K) P (W) 
114 
118 
122 
126 
130 
134 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Oscilador Harmônico Simples - Sistema Massa-Mola 
 
1 - Introdução 
 
 Na Figura 1, um objeto de massa m pendurado, em equilíbrio, na extremidade de 
uma mola de constante elástica k e de massa desprezível produz, nela, um alongamento x0. A 
mola faz uma força F contrária, tendendo a voltar ao seu comprimento original, proporcional à 
sua elongação. Matematicamente escrevemos: 
 
 Na situação de equilíbrio (repouso), o módulo do peso do objeto é igual ao módulo 
da força que a mola exerce nele, ou seja, 
 
 
 
 
Figura 1: Uma mola sofre uma deformação x0, quando um objeto de peso P é colocado em sua 
extremidade. Na situação de equilíbrio a mola exerce sobre o objeto uma força de módulo F=P. 
 
 Fazendo-se um pequeno deslocamento , a partir da posição de equilíbrio, e 
soltando-se o objeto, o sistema passa a oscilar, executando um movimento periódico (Movimento 
Harmônico simples). Sabe-se, pela 2ª lei de Newton, que 
 
 
 
 
No caso da mola, escreve-se 
 
 
 
 
24 
 
Na equação (3) é a posição do objeto, em relação à posição de equilíbrio . Como a posição 
do objeto varia com o tempo, deve-se encontrar uma função x(t) que seja solução da equação 
diferencial (3). Uma das soluções possíveis desta equação, e que se ajusta à nossa situação 
física é: 
 
com 
 √
 
 
 
Para interpretar a constante , denominada frequência angular do movimento periódico, 
notamos primeiramente que o deslocamento deve ser igual a , onde T é o 
período do movimento. Nesse caso podemos escrever: 
 
 Como a função cosseno se repete pela primeira vez quando o argumento aumenta rad, 
conclui-se que: 
 
ou seja, 
 
 
 
 
2-Parte experimental 
Objetivo: Determinar a constante elástica de uma mola. 
Material Utilizado: régua, cronômetro, suporte e objetos de massas conhecidas. 
Procedimento 1: 
 Monte o experimento, conforme figura 1, colocando apenas um objeto na extremidade 
da mola. 
 Meça o comprimento 
25 
 
 Acrescente os demais objetos, um por vez, e meça o comprimento . Anote os 
resultados na Tabela 1. 
Tabela 1: Valores da massa colocada na extremidade da mola e os correspondentes valores da 
força elástica F e deformação . 
m (kg) 0 
F (N) 0 
 (m) 0 
 
 Construa o gráfico F versus , com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão 
linear e compare a equação empírica obtida com a equação (1) para determinar a 
constante elástica da mola. 
Procedimento 2: 
 Monte o experimento, conforme figura 1, colocando apenas um objeto na extremidade 
da mola. Dê um pequeno deslocamento vertical e meça o período de oscilação. 
Sugestão: Meça o tempo de cinco oscilações ou mais e divida o resultado pelo número 
de oscilações para obter o valor mais provável do período. 
 Acrescente os demais objetos, um por vez, e meça o período de oscilação. Anote os 
resultados na Tabela 2. 
 Use a equação (6) para calcular a frequência angular Complete a tabela. 
 Observe a equação (5) e pense qual gráfico linear deve ser construído para que a 
inclinação nos forneça k. Construa o gráfico com auxílio do programa Scidavis. Faça 
uma regressão linear e determine a constante elástica k através da equação empírica 
obtida. 
 Verifique se o valor encontrado é próximo do obtido no procedimento 1. 
Tabela 2: Período de oscilação T e frequência angular em função da massa m. 
m (kg) 
T (s) 
 (rad/s) 
 
 
26 
 
Pêndulo Simples 
1 – Introdução 
 
O pêndulo simples é um exemplo de oscilador harmônico simples no qual a força de 
retorno está associada à gravitação e não às propriedades elásticas de um fio ou de uma mola. 
O pêndulo simples é composto por uma partícula de massa suspensa por uma das 
extremidades de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento L, cuja outra 
extremidade está fixa, como na Figura 1. 
As forças que agem sobre a partícula de massa são a tração ⃗ exercida pelo fio e a 
força gravitacional ⃗ , como mostra a Figura 1, onde o fio faz um ângulo com a vertical. 
Decompomos P em uma componente radial e uma componente que é tangente 
à trajetória da partícula. A componente tangencial produz um torque restaurador em relação ao 
ponto fixo do pêndulo porque sempre age no sentido oposto ao do deslocamento do peso, 
tendendo a levá-lo de volta ao ponto central. O ponto central ( é chamado de posição de 
equilíbrio porque o pêndulo ficaria em repouso neste ponto se parasse de oscilar. 
 
Figura 1: As forças que agem sobre a partícula de massa são a tração ⃗ exercida pelo fio e a 
força gravitacional ⃗ . Figura adaptada da referência [1]. 
 
O torque restaurador pode ser escrito na forma 
 
27 
 
em que o sinal negativo indica que o torque age no sentido de reduzir e L é o braço de 
alavanca da componente da força gravitacional em relação ao ponto fixo do pêndulo. 
De acordo com a segunda lei de Newton, o módulo do torque resultante é 
 
na qual I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação 
 
 
 é a 
aceleração angular. Combinando as equações (1) e (2), e substituindo P por , obtemos 
 
 
 
 
 
 
Podemos simplificar a equação (3) supondo que o ângulo é pequeno, poisnesse caso 
podemos substituir por (expresso em radianos). Usando essa aproximação, ficamos 
com 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das soluções possíveis desta equação diferencial, e que se ajusta à nossa situação física é: 
 (4) 
com 
 √
 
 
 
A constante é a frequência angular do movimento periódico. Como o período T de oscilação é 
 , chegamos na seguinte equação para o período de um pêndulo de simples 
 √
 
 
 (6) 
Lembrando que o momento de inércia de uma partícula que está a uma distância L do eixo de 
rotação é , podemos escrever o período como 
 √
 
 
 (7) 
A equação (7) é válida apenas para pequenas oscilações ( . 
 
 
 
 
28 
 
2 – Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a aceleração da gravidade. 
 
Material Utilizado: Barbante fino, objeto de massa m, cronômetro e régua. 
Procedimentos 
O experimento consiste em se medir o período do pêndulo em função de seu comprimento. Para 
isso você deve usar uma montagem como a representada na Figura 1. 
 Varie o comprimento do pêndulo de 10 em 10 cm e meça o período de oscilação para 
cada comprimento (é aconselhável que a amplitude de oscilação seja pequena, e que 
meça o tempo de 5 oscilações e divida por 5 para obter o período real- ATENÇÃO na 
contagem). Anote os resultados na Tabela 1. 
 Faça uma linearização da equação (7), isto é, pense qual gráfico linear deve ser 
construído para que a inclinação nos forneça uma informação para determinarmos o 
valor de . Construa o gráfico com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão 
linear e determine a aceleração da gravidade local através da equação empírica obtida. 
 
Tabela 1: Período T de oscilação de um pêndulo simples em função de seu comprimento L. 
(L ± 0,001) m 
T (s) ± 5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Oscilador Harmônico Angular Simples – Pêndulo de Torção 
 
1 – Introdução 
 
Quando fazemos girar a barra rígida da Figura 1, produzindo um deslocamento angular 
 a partir da posição de equilíbrio e a liberamos, a barra passa a oscilar em torno dessa posição 
em um movimento harmônico angular simples. A rotação da barra de um ângulo em qualquer 
sentido produz um torque restaurador dado por 
 
onde k é uma constante, a chamada constante de torção, que depende do comprimento e 
diâmetro do fio e do material de que é feito. O sinal negativo indica torque restaurador, ou seja, o 
sentido do torque é oposto ao sentido de abertura do ângulo . 
 
Figura 1: Pêndulo de torção composto por um fio e uma barra. 
 
De acordo com a segunda lei de Newton, o módulo do torque resultante é 
 
na qual I é o momento de inércia da barra e 
 
 
 é a aceleração angular. Combinando as 
equações (1) e (2), podemos escrever 
 
 
 
 
 
 
Uma das soluções possíveis desta equação diferencial, e que se ajusta à nossa situação física é: 
 (4) 
com 
 √
 
 
 
30 
 
A constante é a frequência angular do movimento periódico. Como o período T de oscilação é 
 , chegamos na seguinte equação para o período de um oscilador harmônico angular 
simples ou pêndulo de torção 
 √
 
 
 (6) 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Usar a balança de torção para medir o módulo de torção de um fio de aço. 
 
Material Utilizado: balança de torção com acessórios, régua milimetrada, cronômetro digital, 
haste metálica cilíndrica, balança. 
 
Procedimentos: 
1. Coloque a haste metálica no suporte preso ao fio, que se encontra fixo na balança de 
torção. Posicione a haste bem centralizada. Veja a Figura 2 (a). 
 
 (a) (b) 
Figura 2: Representação esquemática da montagem do experimento para medir a 
constante de torção de um fio de aço. 
 
2. Desloque ligeiramente a haste de sua posição de equilíbrio, dando-lhe um pequeno 
ângulo de deslocamento. 
 
3. Meça o tempo gasto em 10 ou mais oscilações, e calcule o tempo médio de uma única 
oscilação, isto é, o período T. 
31 
 
4. O momento de inércia I de uma barra em torno de um eixo perpendicular ao seu centro é 
 , em que é sua massa, e é seu comprimento. Calcule a constante de 
torção k pela expressão (6). 
 
5. Em seguida, desloque a haste no suporte de forma que ela fique presa por uma das 
extremidades, como mostrado na Figura 2 (b). Meça o período de oscilação da barra 
nessa nova situação. 
 
 
6. O momento de inércia I da barra em torno de um eixo que passa por uma de suas 
extremidades é . Calcule a constante de torção k e compare este resultado com 
o valor obtido anteriormente. 
 
7. Sabendo que o momento de inércia de um corpo rígido qualquer é dado por 
 ∫ , explique por que o momento de inércia da barra aumenta quando ela é presa 
em sua extremidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Oscilações Amortecidas 
1 – Introdução 
 
 Sistema massa-mola 
Quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa, dizemos que o 
oscilador e seu movimento são amortecidos. Um exemplo idealizado de um oscilador 
amortecido, proposto na referência [1], e mostrado na Figura 1, consiste de um bloco de massa 
m que oscila verticalmente preso a uma mola de constante elástica k. Uma barra liga o bloco a 
uma placa horizontal imersa em um líquido. Vamos supor que a barra e a placa têm massa 
desprezível. Quando a placa se move para cima e para baixo, o líquido exerce uma força de 
arrasto sobre ela e, portanto, sobre o sistema. A energia mecânica do sistema massa-mola 
diminui com o tempo, à medida que a energia é transferida para energia térmica do líquido e da 
placa. 
 
 
Figura 1: Um oscilador harmônico simples ideal. Figura adaptada da referência [1]. 
 
 Vamos supor que o líquido exerce uma força de amortecimento proporcional à 
velocidade da placa e do bloco (uma hipótese que constitui uma boa aproximação se a placa 
se move lentamente). Nesse caso, para componentes ao longo do eixo x da Figura 1, temos: 
 
onde b é uma constante de amortecimento que depende das características tanto da placa 
como do líquido e tem unidades de kg/s no SI. O sinal negativo indica que se opõe ao 
movimento. 
33 
 
 A força exercida pela mola sobre o bloco é , onde é a posição do bloco, 
em relação à posição de equilíbrio. Nesse caso, podemos escrever a segunda lei de Newton 
para as componentes ao longo do eixo como 
 
Substituindo por , por e reagrupando os termos, obtemos a equação 
diferencial 
 
 
 
 
 
 
 
cuja solução é 
 
 
 
em que é a amplitude em t=0 e é a frequência angular do oscilador amortecido. A 
frequência angular é dada por 
 √ 
 
Na equação (5), √
 
 
 é a frequência angular natural de oscilação quando não há 
amortecimento e 
 
 
. 
 Podemos considerar a equação (4) como uma função cosseno cuja amplitude, dada por 
 
 , diminui gradualmente com o tempo, como mostra a Figura 2. 
 
Figura 2: A função x(t) do oscilador amortecido. 
 
 Pêndulo de Pohl 
O pêndulo de Pohl, Figura 3, é constituído por uma chapa metálica cilíndrica (2) articulada e 
sustentada em seu centro (3) presa a uma mola helicoidal (5). A chapa oscila girando em torno 
do centro. O sistema possui um eletroímã queamortece o movimento. O amortecimento 
34 
 
depende da corrente que atravessa o eletroímã. O sistema possui também um motor elétrico (1) 
que através de alavancas aplica uma força oscilante no centro da chapa. 
 
Figura 3: Pêndulo de Pohl 
Nesta atividade estudaremos oscilações periódicas fracamente amortecidas em um 
pêndulo de Pohl usando como teoria aquela desenvolvida no estudo de oscilações para o 
sistema massa-mola. O movimento de oscilação periódico no pêndulo de Pohl é angular; sendo 
assim precisamos fazer adequações nas relações obtidas anteriormente. Por analogia trocamos 
a massa pelo momento de inércia , em relação ao centro de massa do disco oscilante no 
pêndulo de Pohl, além disto, avaliaremos a posição angular e não a posição usada 
anteriormente. A equação de movimento para o pêndulo de Pohl então será: 
 
 
 
 
O sistema oscila com freqüência angular 
 √ 
 
 
em que é a posição inicial (em t= 0), é a freqüência angular natural de oscilação (não 
afetada pelo amortecimento) e 
 
 
 é a constante de amortecimento do sistema que depende 
da intensidade da corrente elétrica que atravessa o eletroímã no pêndulo de Pohl. Da equação 
(5) podemos concluir que a frequência angular e, consequentemente, o período de oscilação, 
não depende da amplitude (deslocamento angular máximo em relação à posição de equilíbrio) e 
que para a situação de pequeno amortecimento , . 
Da equação (4), concluímos que a amplitude de oscilação varia no tempo de acordo 
com a relação 
 
 
 
35 
 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivos: (i) Determinar o valor da freqüência angular natural de oscilação sem amortecimento 
 para o sistema; (ii) verificar se, para amortecimento fraco, a freqüência angular de oscilação 
( ) é aproximadamente igual à frequência angular natural de oscilação sem amortecimento 
( ) e (iii) determinar o valor da constante de amortecimento . 
 
Material Utilizado: Pêndulo de Pohl e cronômetro. 
 
Procedimentos: 
 Com a fonte desligada posicione o marcador em 18 (medida angular). Solte e marque o 
tempo de cinco oscilações e obtenha o período natural e a frequência angular natural 
de oscilação 
 
 
. Repita o procedimento aproximadamente 3 vezes (tire o valor 
médio) . 
 
 Repita para os “ângulos” 9 e 3. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
 A amplitude de oscilação afetou significativamente o período? 
 
Tabela 1: Período de oscilação T e frequência angular natural de oscilação em 
função da amplitude. 
Ângulo (amplitude) 
18 
9 
3 
 
 Com a fonte ligada, solte o marcador da posição 18, conte novamente cinco oscilações e 
obtenha o período de oscilação. Varie a corrente na bobina conforme Tabela 2. 
 
Tabela 2: Período de oscilação T em função da corrente elétrica I. 
I (mA) 0 100 200 300 400 500 
 
 
36 
 
 Podemos afirmar que o amortecimento afetou o período de oscilação significativamente? 
E o fato da amplitude ir diminuindo, não afetaria o período? 
 
 Resta-nos determinar o valor de ; para tal posicione, com a fonte ligada em 300 mA, o 
marcador em 18, solte o pêndulo e anote a posição que o mesmo retorna após 1,2,3.. 10 
oscilações completas. Se necessário faça a experiência mais de uma vez. O problema 
de se determinar o tempo gasto para realizar 1,2,3... 10 oscilações completas, já foi 
resolvido na primeira parte da experiência (pense um pouco). 
 
 
 
Tabela 3: Amplitude de oscilação em função do número n de oscilações. O tempo 
total de n oscilações é t. 
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 18 
t(s) 
 
 Faça uma linearização da equação (6) aplicando a função de ambos os lados. 
Construa o gráfico , com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão 
linear e determine uma equação empírica do tipo . 
 
 Qual é o significado físico do parâmetro ? O seu valor está de acordo com o esperado? 
 Qual é o significado físico do parâmetro ? Determine o valor da constante de 
amortecimento . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Oscilações Forçadas e Ressonância 
1 – Introdução 
 
Uma pessoa que se balança em um balanço sem que ninguém a empurre constitui um 
exemplo de oscilações livres. Quando alguém empurra o balanço periodicamente, dizemos que o 
balanço está executando oscilações forçadas. No caso de um sistema que executa oscilações 
forçadas, existem duas frequências angulares características: (1) a frequência angular natural , 
que é a frequência angular com a qual o sistema oscilaria livremente depois de sofrer uma 
perturbação brusca de curta duração; (2) a frequência angular da força externa que produz 
as oscilações forçadas. 
Um oscilador forçado oscila com a frequência angular da força externa e a amplitude 
da velocidade das oscilações é máxima para . Nesta situação, conhecida como 
ressonância, a amplitude do deslocamento é, aproximadamente, máxima. Assim, se 
empurramos um balanço com a frequência angular natural de oscilação, as amplitudes do 
deslocamento e da velocidade atingem valores elevados, um fato que as crianças aprendem 
depressa por tentativa e erro. Quando empurramos o balanço com outra frequência angular, 
maior ou menor, as amplitudes do deslocamento e da velocidade são menores. 
Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências angulares naturais; 
se a estrutura é submetida a uma força externa cuja frequência coincide com uma dessas 
frequências angulares naturais, as oscilações resultantes podem fazer com que a estrutura se 
rompa. Assim, por exemplo, os projetistas de aeronaves devem se certificar de que nenhuma 
das frequências angulares naturais com as quais uma asa pode oscilar coincide com a 
frequência angular dos motores durante o vôo. Uma asa que vibrasse violentamente para certas 
velocidades dos motores obviamente tornaria qualquer vôo muito perigoso. 
Na atividade da aula anterior (Oscilações Amortecidas), ao estudarmos o 
comportamento de um pêndulo de Pohl, vimos que a amplitude das oscilações diminui 
lentamente com o tempo, até que o repouso seja alcançado. Isto ocorre para qualquer sistema 
oscilante, uma vez que não é possível eliminarmos completamente as forças dissipativas que 
atuam sobre os mesmos. Na verdade, para que um sistema oscile continuamente, é necessária 
uma força externa para manter a oscilação. 
Na montagem da figura 1, um motor acoplado ao pêndulo de Pohl gira com freqüência 
angular e, através do sistema de alavancas, aplica um torque periódico no disco no pêndulo 
de Pohl. Na situação de ressonância (quando a frequência angular do motor coincide com a 
38 
 
frequência angular natural do pêndulo de Pohl) a amplitude de oscilação será, 
aproximadamente, máxima. 
 
 
Figura 1: Pêndulo de Pohl 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar a frequência de ressonância do pêndulo de Pohl em uma oscilação 
forçada. 
 
Material Utilizado: Pêndulo de Pohl e cronômetro. 
 
Procedimentos: 
 Ligue o motor acoplado ao pêndulo de Pohl em uma tensão elétrica de 20 V. 
 Varie a velocidade de rotação do motor até observar o fenômeno de ressonância. 
 Meça o período de oscilação do pêndulo de Pohl e determine a frequência de oscilação 
para a condição de ressonância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Ondas Estacionárias Unidimensionais 
 
1- Introdução 
 
Considere uma corda esticada, na horizontal, entre duas presilhas. Suponha que 
produzimos uma onda senoidal contínua de umacerta frequência que se propaga para a 
esquerda. Quando a onda chega à extremidade esquerda, é refletida e começa a se propagar de 
volta para a direita. Para certas frequências, a interferência entre a onda que se propaga para a 
esquerda e a onda que se propaga para a direita produz uma onda estacionária, Figura 1, com 
nós (pontos com deslocamento nulo) e antinós (pontos em que a amplitude da onda resultante é 
máxima). Dizemos que uma onda estacionária desse tipo é gerada quando existe ressonância, 
isto é, quando a frequência da fonte que produz a onda senoidal é igual à frequência natural de 
oscilação da corda. Se a corda é excitada em uma frequência que não é uma das frequências de 
ressonância, não se forma uma onda estacionária. 
 
Figura 1: Uma corda presa a dois suportes oscila com ondas estacionárias. (a) O padrão mais 
simples possível é o de meio comprimento de onda. (b) O segundo padrão mais simples é o de 
um comprimento de onda. (c) O terceiro padrão mais simples é o de um e meio comprimento de 
onda. Figura adaptada da referência [1]. 
 
Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento L por qualquer 
onda cujo comprimento de onda () satisfaz a condição 
 
 
 
 
As frequências de ressonância (f) que correspondem a esses comprimentos de onda podem ser 
calculadas usando a equação 
  
40 
 
onde é a velocidade da onda na corda. Combinando as equações (1) e (2), encontramos que 
 
 
 
 
 
A equação (3) nos diz que as frequências de ressonância são múltiplos inteiros da menor 
frequência de ressonância, 
 
 
 que corresponde a n=1. O modo de oscilação com menor 
frequência é chamada de modo fundamental ou primeiro harmônico. O segundo harmônico é o 
modo de oscilação com n=2, o terceiro harmônico é o modo com n=3 e assim por diante. 
 A velocidade de uma onda está relacionada ao comprimento de onda e à frequência 
através da equação (2), mas é determinada pelas propriedades do meio. É possível demonstrar 
que, em uma corda esticada, a velocidade depende apenas da força (T) que deixa a corda 
tensionada e da massa específica linear da corda ( , conforme equação (4). 
 √
 
 
 
Portanto, substituindo na equação (2) pela equação (4), temos 
√
 
 
  
√ √  
  
 
2- Parte experimental 
 
Objetivo: Analisar experimentalmente a relação entre a força de tração na corda e o 
comprimento de onda da onda estacionária. 
 
Material Utilizado: dinamômetro, corda, haste regulável com suporte para dinamômetro e 
gerador elétrico de ondas estacionárias. 
 
 
 
 
 
41 
 
Procedimentos: 
1. Monte o experimento conforme Figura 2. 
 
Figura 2: Dispositivo usado no experimento. 
 
2. Aplique no dinamômetro uma força de tração igual a 0,30 N, movimentando a haste que 
fixa o dinamômetro. 
 
3. Ligue o equipamento deixando-o vibrar em uma frequência média. Mantenha a 
frequência constante durante o experimento. 
 
4. Ajuste cuidadosamente o dinamômetro movimentando-o para cima ou para baixo até 
encontrar o primeiro modo de vibração (primeiro harmônico). Se a força de tração 
exceder 1,10 N, diminuir um pouco a frequência para não danificar o dinamômetro. 
 
5. Anote, na Tabela 1, o valor da força de tração T indicada no dinamômetro, o número de 
nós e de antinós. 
 
6. Com uma trena meça o comprimento de onda . Anote o resultado na Tabela 1. 
 
7. Movimente o dinamômetro para baixo diminuindo a intensidade da tensão aplicada e 
encontre o próximo modo de vibração. 
 
8. Repita os procedimentos anteriores para o 2º, 3º e 4º harmônicos. Complete a Tabela 1. 
 
9. Construa o gráfico T versus , com auxílio do programa Scidavis. Este gráfico está de 
acordo com o esperado? 
 
42 
 
 
Tabela 1: Número de nós e antinós da onda estacionária, de comprimento de onda , 
produzida em uma corda tensionada por uma força T, quando os modos de vibração 
correspondem ao 1º, 2º, 3º e 4º harmônicos. 
Harmônico Nós Antinós T (N)  (m)  (m2) 
1º 
2º 
3º 
4º 
 
10. Utilize uma mudança de variável adequada para linearizar o gráfico. Para isso, observe 
a equação (5). Após linearização, faça uma regressão linear para obter uma equação do 
tipo 
11. Qual é o significado físico do parâmetro ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Módulo de Elasticidade 
1 – Introdução 
 
O módulo de elasticidade ou módulo de Young de um material é uma medida da rigidez do material 
quando o mesmo é submetido à deformações elásticas. Esta grandeza é um parâmetro de importância 
destacada em diversas áreas das ciências e sua determinação é tradicionalmente feita através do ensaio 
de tração. 
O ensaio de tração consiste em retirar uma amostra do material e submetê-la a esforços uniaxiais 
anotando-se os valores das forças aplicadas (F) e das deformações elásticas (X) sofridas pelo corpo de 
prova. A figura abaixo mostra um corpo de prova usado para se determinar o módulo de elasticidade do 
material e outras propriedades 
 
Figura 1 – Corpo de prova usado para o Ensaio de tração 
Neste ensaio uma força F é aplicada a um corpo de prova que sofre um alongamento X. A tensão 
aplicada (em ) é 
 
 
 
 
E a deformação (grandeza adimensional) é 
 
 
 
 
A relação entre a tensão aplicada e a deformação correspondente é dada pela Lei de Hooke 
 
Onde é o Módulo de Young ou módulo de elasticidade do material (N/m2) 
44 
 
 
Na determinação experimental do módulo de elasticidade por meio do ensaio de tração, constrói-se a 
curva tensão versus deformação e a incinação da curva, em sua parte linear, representa o valor 
do módulo de Young do material. 
 
Figura 2. Curva típica do ensaio de tração construída a partir da tensão aplicada e da 
deformação experimentada pelo objeto 
A partir desta curva, determina-se o Módulo de elasticidade do material como a inclinação de sua parte 
linear. Interprete a parte linear desta curva com base na lei de Hooke, dada pela equação 3. São 
mostrados a seguir valores do módulo de Young (E) para alguns materiais. 
Tabela 1. Módulo de Elasticidade de alguns materiais 
Material ⁄ 
Alumínio 70.000 
Ligas de Ti 110.000-124000 
Aço Carbono 190.000 - 205.000 
Latão 90.000-101000 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Ondas Mecânicas nos sólidos 
A propagação de ondas mecânicas através de um meio material se dá pela transmissão das vibrações 
das partículas (átomos ou moléculas) que constituem o meio. As propriedades do meio determinam a 
velocidade com que um pulso mecânico se propaga através do material. No caso de um material sólido a 
velocidade de propagação de uma onda mecânica é determinada pelas propriedades de elasticidade e 
inércia do meio conforme a relação 
 √
 
 
 . 
Onde representa a velocidade de propagaçào da onda, E é o módulo de Young do material e é 
densidade do material. 
Neste experimento vai se determinar a velocidade de propagação do som (deformações elásticas) em 
barras metálicas das quais se conhece a densidade ρ. A partir dai determina-se o módulo de elaticidade 
 do material usando a equação a seguir. 
 
 2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Determinar o módulo de elasticidade de um material metálico. 
 
Material Utilizado: Fonte de tensão contínua, capacitor, resistor, multímetro digital, barrametálica/base e 
trena. 
 
Procedimentos: 
 
-Determinação da velocidade de propagação de ondas mecânicas em uma barra metálica 
Quando a barra metálica da figura 3 é abandonada na vertical e colide com a base metálica, um pulso de 
onda sonora é produzido. Aqui o som é representado pela propagação da deformação elástica que a 
barra sofre quando ela colide com a base. Este pulso se propaga ao longo da barra e, ao atingir sua 
extremidade superior ele se reflete, retornando à extremidade inferior. Neste momento o pulso restaura a 
forma original da barra, exercendo sobre a base uma força orientada para baixo. 
A base por sua vez exerce uma força para cima, sobre a barra, fazendo-a “rebater”. Observe que a barra 
ficou em contato com a base desde o instante que ela a toca, até o instante que é “rebatida” [1]. 
46 
 
 
Figura 3 – Diagrama esquemático 
 
Determinamos então a velocidade de propagação do som na barra utilizando a equação 
 
 
 
 . 
Nesta equação L é o comprimento da barra, medido em metros e tc é o tempo de contato entre a barra 
metalica e a base, medido em segundos. 
 
Montagem experimental 
 Monte o circuito elétrico, conforme Figura 4. 
 Ajuste na fonte uma tensão 
 Quando a chave S é ligada, o capacitor C é carregado até atingir a mesma tensão da fonte. 
 Ao se soltar- a barra, o capacitor descarrega-se através do resistor R, durante o tempo em que a 
barra permanece em contato com a base metálica. A tensão nos terminais do capacitor diminui 
de acordo com a equação: 
 
 ⁄ 
em que RC é chamado de constante de tempo do circuito e é tempo de contato entre a barra 
e a base. 
 
Figura 4: Circuito utilizado para medir o tempo de contato entre a barra e a base metálica [1]. 
 
47 
 
Se a barra for solta sucessivas vezes, o valor de tensão , depois de cada colisão, estará 
relacionado com o valor , antes da colisão, por: 
 
 ⁄ 
Ao soltar a barra, posicione-a, no máximo 15 cm acima da base metálica, para evitar que a ponta dela se 
amasse. Cuide para que a barra caia perpendicularmente sobre a base, sem girar. Repita este 
procedimento 10 vezes, anote os valores na tabela 2 e a partir dai determine o tempo de contato . 
Neste experimento você pode anotar os valores de e de em volt (V) ou em milivolt (mV). 
 
Tabela 2: Valores da tensão no capacitor, antes e após cada colisão com a base metálica. 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Vi (V) 
Vf (V) 
 
Determinando o tempo de contato 
 Faça o gráfico versus , utilizando o programa Scidavis. Este gráfico é linear? 
 Faça uma regressão linear para obter uma equação empírica do tipo 
 Qual é o significado físico do parâmetro ? Procure saber o valor da capacitância C e da 
resistência R e determine o tempo de contato da barra com a base. 
 Com o valor do tempo de contato tc determinamos a velocidade de propagação do som na barra 
utilizando a equação 6. 
 Utilizando a equação 5, determine o módulo de elasticidade do material. Compare o resultado 
encontrado com os valores da Tabela 1. 
 
Tabela 3. Densidade de alguns materiais 
Material ρ (g/cm3) ρ (kg/m3) Vsom 
Alumínio 2,70 
Aço carbono 7,86 
Latão 8,50 – 8,83 
Ligas de Ti 4,43 
 
Referência: 
[1]. SPEZIALI, Nivaldo Lúcio; VEAS LETELIER, Fernando; Ondas Longitudinais: Determinação 
da Velocidade do Som em Metais. Revista de Ensino de Física. 8/1, 3-9 (1986). 
 
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