Questão resolvida - Seja (x,y,z) solução de sistema2xy-3z10, 4x2y-z-5 e 2x-3yz10 Então o valor de xyz é Álgebra Linear I - UFMA

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Seja solução de sistema . Então o valor de é:x, y, z( )
2x + y - 3z = -10
4x + 2y - z = -5
2x - 3y + z = 10
x + y + z
• a. -9
• b. 8
• c. 5/2
• d. -7/2
● e. 3/2
 
Resolução:
 
Vamos usar o método de eliminação de Gauss, a matriz extendida do sistema linear é;
 
 
2 1 -3 -10
4 2 -1 -5
2 -3 1 10
L L + L 2 → 2 3
L L + 3L1 → 1 3
→
2 + 3 ⋅ 2 1 + 3 ⋅ -3( ) -3 + 3 -10 + 3 ⋅ 10( )
4 + 2 2 + -3( ) -1 + 1 -5 + 10
2 -3 1 10
 
 → L 
2 + 6 1 - 9 0 -10 + 30
6 2 - 3 0 5
2 -3 1 10
→
8 -8 0 20
6 -1 0 5
2 -3 1 10
1 →
L
4
1
→
8
4
-8
4
0
20
4
6 -1 0 5
2 -3 1 10
→
2 -2 0 5
6 -1 0 5
2 -3 1 10
 
Perceba que na primeira e segunda equações restaram apenas 2 incógnitas não nulas, 
assim, vamos reescrever o sistema e usar um método mais conveniente para continuar a 
solução;
 
 
2x - 2y + 0z = 5
6x - y + 0z = 5
2x - 3y + z = 10
→
2x - 2y = 5
6x - y = 5
2x - 3y + z = 10
 
Vamos isolar na segunda equação e substituir na primeira;y
 
6x - y = 5 -y = 5 - 6x ×- 1 y = -5 + 6x→ ( ) →
 
substituindo na primeira equação :
 
 
 
(1)
2x - 2 -5 + 6x = 5 2x + 10 - 12x = 5 -10x = +5 - 10( ) → →
-10x = -5 x = x =→
-5
-10
→
1
2
 
Substituindo o valor de x em y = -5 + 6 ⋅ y = -5 + 3 y = -2
1
2
→
1
2
→ →
 
Substituindo os valores de x e y na equação 3 do sistema, encontramos o valor de z;
 
2 ⋅ - 3 -2 + z = 10 1 + 6 + z = 10 7 + z = 10 z = 10 - 7 z = 3
1
2
( ) → → → →
Assim, é;x + y + z
 
+ -2 + 3 = - 2 + 3 = =
1
2
( )
1
2
1 - 4 + 6
2
3
2
 
 
(Resposta )