Curso_ 221RGR2996A - RESISTENCIA DOS MATERIAIS, bloco_ UNIDADE 1

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
RESISTÊNCIA DOSRESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS:MATERIAIS:
FUNDAMENTOS EFUNDAMENTOS E
INTRODUÇÃO AOSINTRODUÇÃO AOS
CONCEITOS DE TENSÃOCONCEITOS DE TENSÃO
E DEFORMAÇÃOE DEFORMAÇÃO
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Rev isor : Luc iano Gald ino
IN IC IAR
introdução
Introdução
Iniciamos este conteúdo destacando que a resistência dos materiais é um
ramo das ciências mecânicas que estuda relações entre cargas externas
aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que
atuam no interior do corpo.
Nesse contexto, temos como intuito trazer uma abordagem dinâmica e
introdutória sobre resistência dos materiais, recapitulando conceitos de
estática, tais como tipos de esforços (forças, momentos e forças distribuídas) e
equilíbrio dos corpos rígidos, incluindo reações de apoio, equações de
equilíbrio, diagrama de corpo livre e cargas internas.
Além disso, de acordo com a mecânica dos sólidos, serão apresentados os
conceitos de tensão, deformação e sua relevância dentro das aplicações de
engenharia, tais como a esquematização de curvas de tensão-deformação,
fase elástica e fase plástica, lei de Hooke e apresentação no grá�co de tensão
e deformação.
A resistência dos materiais é um tópico de suma importância para
engenheiros e estudantes de engenharia, pois diz respeito à formulação de
um projeto, que avalia o comportamento de estabilidade de um certo
material.
Pode-se dizer que a grande área mecânica, a qual estuda o estado de repouso
ou movimento de corpos sujeitos a forças, divide-se em:
mecânica dos corpos rígidos (estática e dinâmica);
mecânica dos corpos deformáveis (teorias de elasticidade e
plasticidade);
mecânica dos �uidos.
Para que haja um entendimento sobre resistência dos materiais, alguns
conceitos de estática são necessários, como: cargas externas de superfícies
ativas, sejam elas concentradas ou distribuídas, cargas externas de superfícies
reativas (reações vinculares), cargas internas (normal, cisalhamento, momento
de torção, momento �etor), diagrama de corpo livre (DCL), método das seções,
Conceitos deConceitos de
EstáticaEstática
equilíbrio de força e momentos, cálculo de reações de vínculo e cálculo de
cargas internas.
Nesse contexto, forças são caracterizadas por sua intensidade, direção e
ponto de aplicação. Portanto, as forças externas podem ser forças de
superfície, havendo contato, ou forças de campo, nas quais não há contato
(gravidade, forças elétrica e magnética). E as forças de superfícies são as que
nos interessam de acordo com contexto de resistência dos materiais, desse
modo, elas podem ser as seguintes:
Forças ativas: podem ser concentradas ou distribuídas em área ou
linha.
Forças reativas: acontecem em reações vinculares ou de apoio.
As forças internas, por sua vez, podem ser:
Força normal (tração-compressão).
Cisalhamento.
Momento �etor.
Momento torsor.
O momento de uma força, ou simplesmente momento, é a tendência de
rotação de um corpo em torno de um ponto produzida por uma força aplicada
ao corpo. O momento de uma força ( M ) é calculada pelo produto da força (
F ) pelo braço do momento ( d ) ou distância perpendicular do ponto O à linha
de ação da força, conforme Equações 1.1 e 1.2. Para de�nir a direção e o
sentido do momento, usa-se a regra da mão direita, conforme se vê na Figura
1.1:
O
Figura 1.1 – Regra da mão direita 
Fonte: Hibbeler (2011, p. 122).
As equações a seguir mostram como se dá a relação entre a força e o braço do
momento:
M = F.d (equação escalar) (Equação 1.1)
M = r × F (equação vetorial)                   (Equação 1.2)
M sempre age ao longo de um eixo perpendicular ao plano que contém F e d
, passando pelo ponto O . A convenção de sinais, seguindo a regra da mão
direita, é de que momentos em sentido anti-horário são positivos e,
consequentemente, momentos em sentido horário são negativos .
Cargas Externas
Um corpo pode ser submetido a forças de superfície ou forças de corpo, em
que as forças de superfícies são causadas pelo contato direto de um corpo
com a superfície de outro. Se a área de contato for pequena, considerando a
área de superfície do corpo, pode-se interpretar a força como uma força
concentrada, a qual é aplicada num único ponto. Já as forças de campo
ocorrem quando um corpo exerce força sem contato físico direto, tais como a
força gravidade (força peso) e a força eletromagnética.
Reações de Apoio
Quando vigas ou outros elementos estruturais estão apoiados ou suportados,
sejam em apoios �xos ou naqueles que ocasionam eventual movimento,
ocorrem as chamadas reações de apoio. Esse subcapítulo traz um apanhado
dos conceitos de estática que são fundamentais para a resistência dos
materiais.
As forças de superfícies reativas são as que surgem em apoios ou pontos de
contato entre corpos que impedem deslocamentos e rotações em um
determinado ponto. Se o apoio impede a translação em uma direção, então
O
O
O
uma força naquela direção será desenvolvida. Se o apoio impede a rotação ,
um momento é aplicado sobre o elemento.
Nesse contexto, existem diversos tipos de vínculos, sendo eles:
Vínculos de primeira ordem : reação de vínculo equivalente a uma
força com linha de ação conhecida. Há uma incógnita apenas.
Vínculos de segunda ordem : reação de vínculo equivalente a uma
força com linha de ação desconhecida (a qual é representada por
duas componentes). Há duas incógnitas.
Vínculos de terceira ordem : reação de vínculo equivalente a duas
componentes de força e um momento. Há três incógnitas.
A Figura 1.2, a seguir, mostra os tipos de vínculos e suas reações, podendo
estas apresentarem uma, duas ou até três incógnitas.
Figura 1.2 – Tipos de vínculos e forças envolvidas 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
Os vínculos de uso comum são:
Roletes : que impedem a translação na direção do contato,
perpendicular ou normal à superfície.
Pinos : que impedem deslocamento em qualquer direção no plano
que contém a força.
Engastes : que impedem translação e rotação.
Equações de Equilíbrio
O equilíbrio de um corpo rígido requer o equilíbrio de forças e o equilíbrio de
momentos.
Nesse contexto, o equilíbrio de forças evita a translação ou movimento do
corpo ao longo de uma dada trajetória. O somatório de forças deve ser nulo
em todos os eixos.
∑ F = 0      ∑F = 0      ∑F = 0      ∑F = 0
O equilíbrio de momentos evita a rotação do corpo; além disso, também deve
ter um somatório nulo para estar em equilíbrio.
∑ M = 0    ∑M = 0     ∑M = 0     ∑M = 0
Diagrama de Corpo Livre
O diagrama de corpo livre (DCL) é uma ilustração grá�ca usada para visualizar
as forças aplicadas, momentos e reações resultantes em um corpo, em
determinadas condições. O DCL esboça um corpo, ou corpos conectados com
todas as forças, momentos e reações que agem no(s) corpo(s).
Sua função é fornecer um esboço, para que o engenheiro ou o estudante
calcule as reações resultantes, determinando carregamentos de componentes
estruturais e forças internas. Sendo assim, o DCL consiste em:
uma versão simpli�cada de desenho do corpo, contendo dimensões
necessárias para cálculos, tais como comprimentos em uma viga;
forças externas, ativas e reativas, representadas como setas retas que
apontam suas direções e sentidos;
momentos conhecidos e desconhecidos, ativos e reativos,
representados como setas curvadas que apontam a direção na qual
agem no corpo;
um sistema de coordenadas (x,y);
forças e momentos conhecidos devem ser marcados com suas
intensidades, direções e sentidos. Letras representam intensidade,
direção e sentido de forças e momentos desconhecidos (A,B,C etc.). 
x y z
x y z
O procedimento de análise se dá da seguinte forma: 
a)    Construção do DCL. 
b)        Resolução das equações de equilíbrio para força e momento,
decompondo forças com mais de uma componente. Considerar
negativas forças ou reações que tenham sentido oposto ao assumido
nas coordenadas do DCL.
Exemplo 1 
A haste mostrada na Figura 1.3aestá conectada por um pino A, e sua
extremidade B tem o movimento limitado pelo apoio liso em B. Calcule os
componentes horizontal e vertical da reação no pino A, lembrando-se das
convenções de sinais da regra da mão direita e daquelas adotadas no
diagrama de corpo livre.
Solução
Primeiramente, devemos considerar que o diagrama de corpo livre é visto na
Figura 1.3b. Com o DCL, devem-se calcular as equações de equilíbrio e, por
�m, as reações:
Figura 1.3 – Diagrama de corpo livre 
Fonte: Hibbeler (2011, p. 37).
+ ∑ = 0MA
– (1).60– 90 + (0, 75). = 0NB
= 200NNB
+ → ∑Fx = 0
Cargas Internas
As cargas internas atuam no interior de um corpo e o mantêm unido quando
submetido a cargas externas.
Figura 1.4 – Método das seções 
Fonte: Hibbeler (2010, p. 4).
Para entendermos cada um dos pontos, vejamos o detalhamento da Figura
1.4:
(a) Corpo mantido em equilíbrio por quatro forças externas, considerando
peso do corpo desprezível.
(b) Distribuição de força interna atuando na área exposta da seção ou “corte”.
As �echas na seção representam efeitos do material da parte superior do
corpo.
(c) Força resultante F e momento resultante M no ponto O .
– (sen30º) + = 0NB Ax
= 100NAx
+ ↑ ∑ = 0Fy
– (cos30º) + – 60 = 0NB Ay
= 233, 2051NAy
R RO
(d) Componentes de F e M no ponto O . A força normal N atua
perpendicularmente à seção. Ocorre sempre que forças externas tendem a
empurrar ou puxar duas partes do corpo. A força de cisalhamento ou força
cortante V atua no plano da seção transversal. É criada quando forças
externas fazem com que duas partes de um corpo tendem a deslizar.
De�nidos ou recordados os conceitos básicos de estática, as cargas coplanares
surgem como um meio de interpretar problemas de estática de maneira
resolutiva, conforme o conteúdo a seguir.
Cargas Coplanares
Se o corpo estiver submetido a um sistema de forças coplanares, então
existem na seção apenas componentes de: força normal, força cortante e
momento �etor. A Figura 1.5a ilustra um sistema sujeito a forças coplanares,
enquanto a Figura 1.5b mostra apenas as componentes existentes na seção:
força normal, força de cisalhamento e momento �etor.
Figura 1.5a – Sistema de forças coplanares           Figura 1.5b – Componentes
existentes na seção 
Fonte: Hibbeler (2010, p. 3).                                  Fonte: Hibbeler (2010, p. 3).
Como base nos conceitos de cargas internas e cargas coplanares, o método
das seções é de�nido como um procedimento de análise , que se dá
conforme apresentado:
Traça-se um plano pelo corpo, o qual o divide completamente em
duas partes distintas.
Para manter o equilíbrio, as forças externas aplicadas em um dos
lados do corte necessitam se compensadas por forças internas.
Tratando-se uma estrutura, como uma viga ou dispositivo mecânico, a
seção será perpendicular ao eixo longitudinal do elemento.
R RO
Sendo assim, usa-se o método das seções para de�nir a resultante de cargas
internas em um determinado ponto sobre a seção de um corpo.
Exemplo 2
Determinar as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em
C da viga apresentada na Figura 1.6:
Figura 1.6 – Sistema de forças coplanares. 
Fonte: Hibbeler (2010, p. 6).
Solução
Primeiramente, devemos considerar:
Reações de apoio: as reações em A podem ser desprezadas, se o
segmento CB for considerado.
Diagrama de corpo livre do segmento CB.
A carga distribuída total 300 N/m deve ser distribuída
proporcionalmente para a seção CB, ou seja, w /2,4 m = (300 N/m)/3,6
m, w = 200 N/m.
A resultante (área do triângulo, 200 N/m x 2,4 m) da carga distribuída
é igual à área sob a curva da carga e age no centroide (1/3).(2,4 m) =
0,8 m de C , visto na Figura 1.7:
Figura 1.7 – Forças e momentos resultantes na viga 
Fonte: Hibbeler (2010, p. 6).
A partir do DCL, aplicam-se, então, as equações de equilíbrio:
O sinal negativo do momento M indica que ele age em direção oposta
àquela vista no DCL. Deve-se lembrar de que, pela convenção da regra da mão
direita, o momento tem sinal positivo quando está no sentido anti-horário.
praticar
Vamos Praticar
+ → ∑ = 0Fx
– = 0Nc
= 0Nc
+ ↑ ∑ = 0Fy
= 233, 2051NAy
– 240N = 0Vc
= 240NVc
+ ∑ = 0MC
– – (240N)(0, 8m) = 0MC
=– 192N ⋅mMC
C
Caro(a) aluno(a), agora que você tem uma noção sobre momento, forças de reação e
apoios, faça um exercício muito simples, mas que dá um entendimento muito
interessante sobre momento. Tente abrir uma porta aplicando uma força no seu
centro. Com um pouco mais de di�culdade, a porta se abrirá. Agora, novamente
abra a porta da maneira convencional, aplicando força em seu lado “livre”. A
diferença na força requerida para empurrar a porta será muito menor no segundo
cenário, e o fenômeno tem relação justamente com a força relacionada ao
momento, que depende do braço de alavanca.
Agora, abordaremos dois conceitos fundamentais na mecânica dos sólidos:
tensão e deformação. No entanto, é importante lembrar que, na resistência
dos materiais, algumas hipóteses devem ser levadas em conta, e o corpo
analisado é:
contínuo (sem descontinuidades estruturais ou defeitos);
homogêneo (propriedades idênticas em todos os pontos);
isotrópico (propriedades não mudam com a orientação e a
cristalinidade).
De qualquer forma, as equações de resistência dos materiais descrevem
comportamento de materiais reais , uma vez que a heterogeneidade
microscópica (grãos, fases, segregações) é muito menor em relação ao volume
macroscópico do corpo.
A análise de tensões e deformações permite que o pro�ssional possa fazer
uma avaliação crítica sobre um projeto e compreenda a performance de
materiais em dadas situações. Os valores máximos e mínimos de tensão são
usados para dimensionamento e de�nição de critérios de falha.
Tensão eTensão e
DeformaçãoDeformação
Tensão
As tensões são expressas com a razão da intensidade, ou seja, uma força
aplicada dividida pela área em repouso, que pode ser representada pela
seguinte equação, onde T é tensão, F é força e A é área:
T = F/A                   (equação 1.3)
As unidades mais comumente usadas, dentro do Sistema Internacional de
Unidades, para tensão são em pascal (N/m2), uma vez que força é
normalmente dada em newton (N) e a área em unidades métricas, seja em m²
ou mm². Desse modo:
1000 Pa = 1 kPa
10 Pa = 1 MPa = 1 MN/m² = 1 N/mm²
Nesse contexto, a Tabela 1.1 pode nos guiar, considerando a tensão tanto
para unidades no SI quanto do sistema inglês. 
Sistema Internacional (SI)
Sistema
Inglês
Equivalente
do SI
Quantidade Unidade Símbolo Fórmula
Força newton N
kg .
m/s²
lb 4,448 N
Área
metro
quadrado
- m² in.² 645,2 mm²
Tensão pascal Pa N/m²
lb/in.²
(psi)
6,895 kPa
Tabela 1.1 - Unidades 
Fonte: Elaborada pelo autor.
6
Além disso, os pre�xos, que vêm sempre a uma unidade e aumentam sua
grandeza, devem ser lembrados.
Quilo, cujo símbolo é k e equivale a 10³.
Mega, cujo símbolo é M e equivale a 10 .
Giga, cujo símbolo é G e equivale a 10 .
A tensão pode ser normal , que é de�nida como a intensidade da força
agindo, perpendicularmente, a uma seção (área). Matematicamente, é
representada pela letra grega σ (sigma), e a tensão normal pode ser de tração
ou de compressão. Na Figura 1.8, a tensão σ é proveniente de uma força
axial no eixo z , que é representado pelo subscrito, o qual indica a atuação da
força na área sombreada. 
Sendo assim, na tensão de tração , a força normal F “puxa” o elemento de
uma área A. Nesse contexto, a Figura 1.9 apresenta duas pessoas puxando
uma corda de cada lado. A corda está sob tensão de tração. Nesse caso, uma
seção da corda estaria sendo puxada de sua posição inicial. Agora, imagine
que haja força o su�ciente para romper a corda – com o aumento da força
aplicada, a corda tende a ter a área da seção reduzida até romper-se por
completo. 
6
9
z
Figura 1.8 – Tensão de tração agindo sobre uma área 
Fonte: Hibbeler (2010, p. 15).
Figura 1.9 – Corda sob tração 
Fonte: Przemyslaw Koch / 123RF.
Na tensão e compressão, a forçanormal F “empurra” o elemento de uma área
A. A Figura 1.10 ilustra a tensão de compressão, em que uma pessoa pressiona
uma mola. A tendência é que uma determinada seção ou um elemento �nito
seja “empurrado” no sistema. 
Figura 1.10 – Mola sob compressão 
Fonte: stocksnapper / 123RF.
Por convenção de sinais, a tensão normal de tração possui um sinal positivo,
enquanto que a tensão normal compressiva tem um sinal negativo.
Há ainda a tensão de cisalhamento , que é de�nida como a força que age de
forma tangente a uma seção ou área. Matematicamente, é de�nida pela letra
grega tau (τ). Na Figura 1.11, o eixo z especi�ca a orientação da área, enquanto
os eixos x e y correspondem às retas que indicam a direção das tensões de
cisalhamento. 
Figura 1.11 – Tensões de cisalhamento agindo em uma área. 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010, p. 15).
O estado geral de tensões de um ponto em um sólido consiste em três
tensões normais (σ , σ e σ ) e seis tensões de cisalhamento ( τ , τ , τ ,
τ , τ e τ ). É representado por um elemento cúbico que mostra as três
componentes atuantes em cada face do cubo, conforme Figura 1.12: 
Figura 1.12 – Estado geral de tensões em um elemento 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
Cada tensão ou componente de tensão representa uma força por unidade de
área agindo em um pequeno cubo do material. Por equilíbrio, nota-se que
tensões de cisalhamento com subscritos inversos são sempre iguais: τ = τ
, τ = τ   e τ = τ , uma vez que, se fossem diferentes, o bloco
tenderia a rotacionar. Sendo assim, três tensões normais e três tensões de
cisalhamento são necessárias para descrever um estado geral de tensão.
Tensão Normal Média
Se uma barra é feita de um material homogêneo e isotrópico e é sujeito a uma
série de cargas axiais externas que passam pelo centroide da seção
transversal, então uma distribuição uniforme de tensões normais agirá sobre
a seção de corte. A tensão normal média pode ser determinada como:
σ = N / A (equação 1.4)
x y x yx xy zx
xz zy yz
yx
xy zx xz zy yz
Em que, N é a carga axial interna na seção.
Portanto, o procedimento de análise se dá da seguinte forma:
Carga interna: 
•  Selecionar o elemento perpendicular ao eixo longitudinal no ponto
em que a tensão normal é determinada. 
•  Usar diagrama de corpo livre, caso necessário. 
•  Usar equação de equilíbrio de força para obter a força axial interna
N na seção.
Tensão normal média: 
•  Determinar A. 
•  Calcular σ = N / A .
Nesse contexto, treliças, pendurais e parafusos são exemplos clássicos de
elementos mecânicos ou estruturais compridos e �nos que estão submetidos
a cargas axiais.
Tensão de Cisalhamento Média
A tensão de cisalhamento média pode ser determinada como:
                                       (Equação 1.5)
Em que V é a força de cisalhamento que age na seção de corte, e V equivale à
metade da força normal que atua em um plano. 
=τm dé
V
A
reflita
Re�ita
Considere uma folha de papel sendo
cortada com auxílio de uma tesoura.
Que tipo de tensão o papel está
sofrendo? E se estivermos falando de
uma prensa industrial sobre uma
peça?
Portanto, no equilíbrio de um corpo, vamos ter algo como o exemplo ilustrado
na Figura 1.13: 
Figura 1.13 – Equilíbrio das forças de cisalhamento V com a força normal F 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
Sendo assim, a fórmula apresentada é comumente utilizada para encontrar a
tensão de cisalhamento média em elementos de �xação como parafusos ou
peças usadas para acoplamentos.
Deformação
A deformação é descrita como a mudança na forma e no tamanho de um
corpo submetido a uma carga ou temperatura, podendo ser visível ou
imperceptível. Sendo assim, a deformação ocorre de maneira não uniforme no
corpo (há mudança na geometria de cada segmento de reta no interior do
corpo). Por exemplo, se uma barra for puxada em uma das pontas por uma
carga P , haverá um deslocamento μ que é relativo à sua posição inicial. 
Figura 1.14 – Deformação de uma viga sob carga axial 
Fonte: Groover (2013, p. 65).
Portanto, a deformação de um corpo pode ser medida experimentalmente,
podendo ser relacionada com tensões que agem no interior do corpo. Sendo
assim, a deformação normal é de�nida como o alongamento ou contração
de um segmento de reta por unidade de comprimento.
                                                  (equação 1.6)
Em que: εméd=deformação normal média.
Δs' = comprimento da curva após a deformação.
Δs= comprimento da reta antes da deformação. 
praticar
Vamos Praticar
L
= =εm dé
Δ −′s Δs
Δs
δ
Δs
Uma bola de borracha cheia de ar tem um diâmetro de 6 polegadas. Considerando
que a pressão dentro dele é aumentada, até que seu diâmetro chegue a 7
polegadas, determine a deformação normal que ocorre na borracha.
Modelo de resposta: 
ε = 0,167 polegada/polegada
ε =
π −πδf δi
πδi
Muitos materiais são sujeitos a forças ou cargas em serviço; uma liga de titânio
num componente aeronáutico ou um aço em um componente automotivo são
alguns exemplos. Assim, é necessário conhecer e caracterizar o material
quanto às suas propriedades mecânicas, para saber o quanto uma
deformação resultante pode ser excessiva a �m de evitar falha por fratura, por
exemplo.
As propriedades mecânicas dos materiais determinam seus
comportamentos frente a tensões mecânicas, que incluem o módulo elástico
(ou módulo de elasticidade e ainda módulo de Young), ductilidade, tenacidade
e dureza, entre outras propriedades que medem resistência. Desse modo, há
três tipos de tensões aos quais os materiais podem ser sujeitos: tração,
compressão e cisalhamento.
Curva Tensão-deformação
PropriedadesPropriedades
Mecânicas dosMecânicas dos
MateriaisMateriais
Algumas ferramentas são utilizadas para ilustrar as propriedades dos
materiais, e uma delas é a curva tensão-deformação . O ensaio de tração é o
teste mais comum para estudar a relação tensão-deformação, especialmente
em metais. Nesse teste, uma força puxa o material, alongando-o e reduzindo
seu diâmetro. 
Figura 1.15 – Esquema cronológico de um ensaio de tração em um corpo-de-
prova 
Fonte: Groover (2013, p. 53).
Sendo assim, o procedimento do ensaio de tração dá-se na seguinte ordem,
conforme visto na Figura 1.15:
(1) Corpo-de-prova sem carregamento.
(2) Alongamento uniforme e redução da área transversal.
(3) Carga máxima.
(4) Pescoçamento.
(5) Fratura.
(6) Junção das partes para medir o comprimento �nal.
Portanto, a tensão é de�nida como força dividida pela área original:
                      (Equação 1.7)
Em que σ = tensão, F = força aplicada, e Ao = área original do corpo de prova. A
deformação de engenharia é de�nida como:
       (Equação 1.8)
σ = F
A0
σ = =
−lf l0
l0
Δl
l0
Na região elástica da curva, a relação entre tensão e deformação é linear e
segue a lei de Hooke:
σ = E.ε                           (Equação 1.9)
Em que E = módulo de elasticidade ou módulo de Young.
Nessa região, o material retorna ao seu comprimento original, quando a
tensão é removida, tendo uma deformação não permanente. O módulo de
elasticidade E é uma medida da rigidez inerente de um material e é diferente
para cada material.
Conforme a tensão aumenta, um último ponto na relação linear é �nalmente
alcançado: o limite de elasticidade . Até esse ponto, a remoção da carga
deixa o material em sua forma original.
Um pouco acima do limite de elasticidade, o material começa a escoar/ceder, e
esse ponto é chamado de limite de escoamento ou ponto de escoamento .
A deformação, a partir desse ponto, é a deformação plástica , que é
permanente.
Na região plástica da curva, a lei de Hooke não pode ser aplicada, pois,
conforme a carga é aumentada, o alongamento ocorre a uma taxa muito mais
elevada, fazendo com que o declive da curva mude drasticamente. O
alongamento é acompanhado de uma redução uniforme na área transversal,
mantendo o volume constante.
A Figura 1.16 ilustra a curva tensão-deformação : 
Figura 1.16 – Curva tensão-deformação para um materialdúctil 
Fonte: Adaptada de Barcelos (2015).
A �gura nos apresenta os pontos-chave: o trecho AO corresponde à faixa
linear, que pode ser descrita pela lei de Hooke. Até o ponto A, temos o
chamado limite de proporcionalidade. No segmento AB, o comportamento
não segue a lei de Hooke, porém o regime ainda é elástico e toda deformação
até o ponto B é reversível. B é o limite elástico. Acima de B, entra-se no regime
plástico, em que as deformações são irreversíveis e permanentes.
Propriedades dos Materiais
Os materiais possuem diversas propriedades que de�nem seu
comportamento em aplicações, seja frente a um carregamento no regime
elástico, no regime plástico ou em esforços cíclicos. A seguir, algumas das
propriedades fundamentais serão brevemente discutidas.
Coe�iciente de Poisson
O coe�ciente de Poisson ( ν , letra grega ni ) é um parâmetro elástico e
representa a razão negativa de deformações transversal e longitudinal. Como
se vê na Figura 1.17, tomando uma tensão normal arbitrária no eixo z
denominada σ , haverá deformações nas laterais (eixos x e y ) e na direção
perpendicular à tensão (eixo z). Se a carga é axial (somente eixo z) e o material
é isotrópico, então as deformações laterais serão iguais: 
Figura 1.17 – Esforço axial e deformações envolvidas no coe�ciente de Poisson 
Fonte: Adaptada de Callister (2008).
A equação a seguir mostra como o negativo da razão entre as deformações
transversais e longitudinais fornece o coe�ciente de Poisson do material.
                           (Equação 1.11)
z
ν = − = −
εx
εz
εy
εz
Deve-se sempre usar o sinal negativo, uma vez que as deformações lateral e
longitudinal possuem sinais opostos. Dessa forma, o coe�ciente de Poisson é
sempre positivo. Os valores de coe�ciente de Poisson geralmente se
encontram entre 0,25 e 0,35 e são adimensionais.
Para um material isotrópico, os módulos de elasticidade e cisalhamento são
relacionados de acordo com:
E = 2.G. (1+ ν) (Equação 1.12)
Em que G é o módulo de cisalhamento, que pode ser estimado como 0,4E .
Ductilidade
Outra propriedade mecânica importante é a ductilidade, que é uma medida do
grau de deformação plástica que é sustentada até a fratura. Um metal que
experimenta pouca ou nenhuma deformação plástica até a fratura é chamado
de frágil, enquanto materiais que suportam considerável deformação plástica
são chamados de dúcteis. 
saibamais
Saiba mais
O artigo a seguir traz um estudo de
diagramas tensão-deformação para
concretos com agregados de concreto.
ACESSAR
http://www.scielo.br/pdf/riem/v10n3/pt_1983-4195-riem-10-03-00547.pdf
A ductilidade pode ser expressa quantitativamente como porcentagem de
alongamento ou porcentagem de redução de área. Um metal que
experimenta pouca ou nenhuma deformação plástica até a fratura é chamado
de frágil , enquanto materiais que suportam considerável deformação plástica
são chamados de dúcteis . A ductilidade pode ser expressa quantitativamente
ou como porcentagem de alongamento ou porcentagem de redução de área . A
porcentagem de alongamento (%EL) é a porcentagem de deformação plástica
na fratura, ou ainda:
                          (Equação 1.13)
Já a porcentagem de redução de área é:
                       (Equação 1.14)
É importante entender sobre ductilidade por dois motivos: indica ao projetista
o grau que uma estrutura deformará antes da fratura e especi�ca o grau de
deformação permissível durante as operações de fabricação. Materiais frágeis
costumam ter a deformação de fratura em menos de 5%.
Tenacidade
A tenacidade é um termo mecânico que pode ser aplicado em vários
contextos. Por exemplo, a tenacidade à fratura é uma propriedade do material
de resistir à fratura quando há uma trinca (ou outro concentrador de tensão).
A tenacidade também é de�nida como a habilidade de um material absorver
energia e se deformar plasticamente antes da fratura.
Dureza
Outra propriedade mecânica importante é a dureza, que mede a resistência
de um material à deformação plástica localizada (como uma pequena
indentação ou risco). Ensaios de dureza são frequentemente utilizados, por
serem simples e baratos, além de não destrutivos e permitirem que outras
propriedades possam ser estimadas a partir de dados de dureza, tais como o
limite de resistência à tração. 
%EL = ( )× 100
−lf l0
l0
%RA = ( )× 100
−A0 Af
A0
praticar
Vamos Praticar
Um corpo de prova com comprimento inicial de 300 mm e diâmetro de 12 mm é
submetido a uma força de 2,5 kN. Quando a força é elevada para 9 kN, o corpo de
prova sofre um alongamento de 22,5 mm. Determine o módulo de elasticidade para
o material, considerando que ele se mantém no regime elástico.
Modelo de resposta:
E =
F ⋅ l0
⋅ ΔlA0
= = = 113, 04 mA0
π d2
4
π (12)2
4
m2
E =
(9 x    −  2, 5 x  )  ⋅  300103 103
113, 04  ⋅  (322, 5  −  300)
E =
6, 5 x    ⋅  300103
113, 04  ⋅  22, 5
E =
1, 95 x 106
2543, 4
E =  766, 7 N/m2
Um material que é deformado por cargas externas armazena energia
internamente. Essa energia é relacionada diretamente com deformações
sofridas pelo corpo, sendo chamada de energia de deformação .
Um exemplo seria um corpo submetido a uma carga axial ( F ). Dizemos que o
corpo está submetido a uma tensão uniaxial σ , ou seja, de um único eixo de
seu volume, conforme a Figura 1.18:
Figura 1.18 – Elemento de volume do corpo de prova 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
Essa tensão uniaxial desenvolve uma força ΔF nas faces superior e inferior do
elemento após ele ter sofrido um deslocamento vertical ε.Δz :
Energia deEnergia de
DeformaçãoDeformação
ΔF = σΔA (equação 1.15)
Como a área ΔA = ΔxΔy , a força �ca:
ΔF = σ ( ΔxΔy )                             (equação 1.16)
Por de�nição, trabalho ( W ) é determinado pelo produto entre a força e o
deslocamento na direção da força.
Quando se é obtido o deslocamento, o trabalho realizado pela força sobre o
elemento é igual ao valor médio da força multiplicado pelo deslocamento da
sua direção, como mostrado a seguir:
                                    (Equação 1.17)
Esse “trabalho externo” é equivalente ao “trabalho interno” ou energia de
deformação ( ΔU ) armazenada no elemento, considerando que nenhuma
energia é perdida sob a forma de calor. Ou seja:
                        (Equação 1.18)
Como visto anteriormente, a força:
                  (Equação 1.19)
Sabendo que o volume do elemento então é ΔV = ΔxΔyΔz , a energia de
deformação, por conseguinte, é:
                            (Equação 1.20)
A energia de deformação também pode ser apresentada por unidade de
volume do material. Nesse caso, a densidade de energia de deformação é
expressa da seguinte forma:
                     (Equação 1.21)
O módulo de resiliência é a densidade de energia de deformação, quando a
tensão atinge o limite de proporcionalidade. Em termos práticos, ela
W = ( )εΔzΔF
2
W = ΔU = ( )εΔzΔF
2
ΔU = ( ) . Δx. Δy.ε. Δzσ
2
ΔU = ( )εΔVσ
2
u = = σεΔU
ΔV
1
2
representa a capacidade do material em absorver energia, sem deformações
permanentes. A equação que rege o módulo de resiliência é:
                                  (Equação 1.22)
No grá�co do módulo de resiliência , o resultado da equação 1.22 é
equivalente à área triangular sob a região elástica do diagrama tensão-
deformação:
Figura 1.19 – Módulo de resiliência 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
Módulo de tenacidade : o módulo de tenacidade indica a densidade de
energia de deformação do material um pouco antes da ruptura.
Figura 1.20 – Módulo de tenacidade 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
Essa propriedade é importante no projeto de elementos estruturais, de modo
que materiais com alto módulo de tenacidade sofrerão grande distorção
quando sobrecarregados. Já materiais que têm baixo módulo de tenacidade
podem sofrer ruptura repentina ao serem sobrecarregados. No grá�co da
Figura 1.20, o módulo de resiliência representa a área inteira sob o diagrama
tensão-deformação.
= =ur
1
2
σlpεlp
1
2
σlp
2
E
praticar
VamosPraticar
A cama elástica é um tecido não elástico �rme e esticado, preso por diversas molas a
uma estrutura de aço. Agora, considere uma criança pulando em uma cama elastíca.
Baseado nos conceitos vistos no tópico de energia de deformação, o que podemos
a�rmar em relação ao salto de uma criança em uma cama elástica?
a) O módulo de resiliência é o fator decisivo na escolha dos materiais
utilizados nas molas na cama elástica, pois elas devem suportar o peso da
criança.
b) Energia cinética é transferida do peso da criança às molas, que é
armazenada nessas devido à deformação que sofrem. As molas retornam à
sua forma original, e a energia armazenada nelas é então devolvida ao
sistema, fazendo com que a criança salte.
c) As molas da cama elástica possue um módulo de tenacidade muito baixo,
uma vez que deformam rapidamente a cada salto que a criança dá.
d) O tecido funciona como uma borracha elástica de dinheiro. A borracha
elástica de dinheiro deforma com uma tensão aplicada e retorna a seu e
estado original, quando a tensão é removida. Dessa forma, o tecido da cama
faz com que a criança salte.
e) A inércia do sistema faz com que ele mantenha a criança saltando em
ciclos.
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Resistência dos Materiais
Autor : Russell Hibbeler
Editora : Pearson
Comentário : recomenda-se uma leitura aprofundada
dos assuntos no livro-base sobre resistência dos
materiais. Nele, encontram-se descrições menos
sucintas dos temas tensão e deformação,
correlacionando exemplos teóricos com aplicações
reais.
FILME
Documentário do National Geographic,
Obras Incríveis – Eurotúnel
Ano : 2004
Comentário : episódio que relata uma das obras de
engenharia mais ousadas do século 20: um túnel
subaquático que liga a Grã-Bretanha à França.
TRA ILER
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, abordamos um conteúdo introdutório à resistência dos
materiais, destacando conceitos de revisão de estática e criando o link com os
temas de tensão e deformação, aqui de�nidos.
Além disso, destacamos mais detalhes sobre tensão e deformação, que são
tópicos básicos dentro da mecânica e precisam ser levados adiante em tópicos
mais avançados, especialmente quando se fala de projeto e análises de
tensão. As propriedades mecânicas também dependem da base sobre tensão
e deformação e são necessárias para que a construção de dispositivos
submetidos a esforços seja feita de maneira admissível para evitar falhas.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BARCELOS, I. D. Estudo de propriedades estruturais e ópticas de
heteroestruturas formadas com materiais bidimensionais . 2015. 146 f.
Tese (Doutorado em Física) – UFMG, Belo Horizonte, 2015.
CALLISTER, W. D. Ciência e engenharia de materiais : uma introdução. Rio de
Janeiro: LTC, 2008.
GROOVER, M. P. Groover’s Principles of Modern Manufacturing : materials,
processes, and systems. Indianápolis: John Wiley & Sons, 2013.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais . São Paulo: Pearson, 2010.
HIBBELER, R. C. Estática : mecânica para engenharia. São Paulo: Pearson,
2011.