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Raciocínio Lógico André Brochi Vinicius Akira Baba Aula 9 * Lógica Matemática * Lógica: a “ciência da demonstração” (Aristóteles). Métodos que auxiliam a obter conclusões verdadeiras a partir de premissas. Preocupa-se com a forma do pensamento – Lógica Formal. * Raciocínio Lógico * Exemplo 1: “Ontem, quando Rafaela acordou, observou que havia muitas nuvens escuras no céu. Depois choveu. Hoje, Rafaela também observou muitas nuvens escuras no céu. Concluiu, então, que vai chover novamente”. * * Exemplo 1: “Ontem, quando Rafaela acordou, observou que havia muitas nuvens escuras no céu. Depois choveu. Hoje, Rafaela também observou muitas nuvens escuras no céu. Concluiu, então, que vai chover novamente.” Raciocínio Lógico * Raciocínio Lógico: formal e dedutivo * Exemplo 2: “Todo soteropolitano é baiano. Todo baiano é sulamericano. Então, todo soteropolitano é sulamericano.” Todo A é B. Todo B é C. Então, todo A é C. * Silogismo * Possui duas sentenças (premissas) como ponto de partida para a obtenção da conclusão. As premissas e a conclusão têm sujeito e predicado vinculados por palavras lógicas. Exemplo 3: “Todo mamífero é animal. (premissa) Todo cavalo é mamífero. (premissa) Todo cavalo é animal. (conclusão) * Proposições * No desenvolvimento da Lógica, serão utilizadas apenas sentenças declarativas que podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. Exemplo 4: Interrogativa: “Você gosta de chocolate?” Exclamativa: “Que bela tarde!” Imperativa: “Estude mais.” Declarativa: “O Brasil está na América do Sul.” * Princípios da Lógica Matemática * Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é só verdadeira ou só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. * Proposições simples e compostas * Simples: possui uma única proposição. Composta: formada por duas ou mais proposições unidas por conectivos lógicos. Exemplo 5: Simples: “O Brasil fica na América do Sul” “Todo paulista é brasileiro” Composta: “Se x + y = 5, então 2x + 2y = 10” “Um número primo é impar ou par” * Conectivos lógicos * Nas proposições lógicas é muito comum expressões como “não é verdade que”, “e”, “ou”, “se . . . então” e “se e somente se”. Elas são chamadas de operadores lógicos ou conectivos lógicos. Exemplo 6: “Marcos é palmeirense e Alessandra é gremista” “Se Daniel estudar, então ele será aprovado” “Não é verdade que Cármen é pernambucana” * Negação () * O conectivo “não é verdade que” prefixa uma proposição para formar uma nova, que é chamada de “negação” da primeira. Exemplo 7 p: “O número x é primo” p: “Não é verdade que o número x é primo”, ou * Negação: tabela-verdade * Se V(p) = 1, então V(p) = 0. Se V(p) = 0, então V(p) = 1. * Conjunção () * Dadas duas proposições p e q, a conjunção delas é uma proposição que só é verdadeira quando V(p) = V(q) = 1. Nos demais casos ela é falsa. Exemplo 8 p: “O número 3 é natural” q: “O número 5 é primo”. p q: “O número 3 é natural e o número 5 é primo” * Conjunção: tabela-verdade * * Disjunção ou disjunção inclusiva () * Dadas duas proposições p e q, a disjunção entre elas é uma proposição que somente é falsa se p e q forem ambas falsas. Exemplo 9 r: “Tiago foi ao cinema” s: “Fernanda foi ao teatro” r s: “Tiago foi ao cinema ou Fernanda foi ao teatro” * Disjunção: tabela-verdade * * Disjunção exclusiva () * Dadas duas proposições p e q, a disjunção exclusiva entre elas é uma proposição verdadeira somente quando seus valores lógicos forem diferentes, ou seja, V(p) V(q), e falsa quando seus valores lógicos forem iguais, V(p) = V(q). Exemplo 10 r: “Tiago foi ao cinema” s: “Fernanda foi ao teatro” r s: “Ou Tiago foi ao cinema, ou Fernanda foi ao teatro” * Disjunção exclusiva: tabela-verdade * * Condicional () * Dadas as proposições p e q, o condicional “p q” é falso somente quando V(p) = 1 e V(q) = 0, e é verdadeira nos demais casos. (p é o antecedente e q é o consequente) Exemplo 11 p: “Está chovendo” q: “Cármen não vai à praia” p q: “Se está chovendo, então Cármen não vai à praia” * Condicional: tabela-verdade * * Bicondicional () * Dadas duas proposições p e q , o bicondicional p q é uma proposição verdadeira quando V(p) = V(q) e falsa quando V(p) V(q). Exemplo 12 p: “Está chovendo” q: “Cármen não vai à praia” p q: “Se está chovendo, então Cármen não vai à praia” * Bicondicional: tabela-verdade * * Proposição composta: ordem de precedência * É preciso considerar a seguinte ordem de precedência na interpretação das proposições compostas: negação; conjunção e disjunção (a que aparecer primeiro); condicional; bicondicional. * Tabela-verdade de proposição composta * Exemplo 13: [(p q) (q p)] (p q) * Tautologia * Quando o valor lógico de uma proposição composta for sempre 1 (verdade), independentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, temos uma tautologia. * Tautologia * Exemplo 14: (pq)(qr)(pr) * Contradição * Quando o valor lógico de uma proposição composta for sempre 0 (falsidade), temos uma contradição. Exemplo 15: (p q) (p ~q) (~p q) (~p ~q) * Referência ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação à lógica matemática. 22ª ed São Paulo: Nobel, 2003. DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 1995. NOLT, J. & RHATYN, D. Lógica, Makron Books do Brasil, 1991 * * SÉRATES, J. Raciocínio lógico: lógico matemático, lógico quantitativo, lógico numérico, lógico analítico, lógico crítico. 8ª ed. Brasília: Jonofon Ltda, 1998. * Referência Raciocínio Lógico André Brochi Vinicius Akira Baba Atividade 9 * Atividade * Construa a tabela-verdade da proposição (p q) (p r) (p t) * * (p q) (p r) (p t) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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