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CALCULO
COM GEOMETRIA
ANALITICA
VOLUME I
George F. Simmons
Professor de Matematica
Colorado College
Tradut;ao
SEIJI HARIKI
Professor do Instituto de Matemc3tica e Estatlstica - IME-USP
Revisao Tecnica
RODNEY CARLOS BASSANEZI
SILVIO DE ALENCASTRO PREGNOLATTO
Professores do Instituto de Matematica, Estatlstica e
Ciencias de Computac;:ao - IMECC - UNICAMP
MAKRON Books do Brasil Editora Ltda.
Editora McGraw-Hill Ltda.
Sao Paulo
Rua Tabapua, 1105, Itaim-Bibi
CEP 04533-905
(011) 829-8604 e (011) 820-8528
Rio de Janeiro. Lisboa • Porto. Bogotd • Buenos Aires. Guatemala. Madrid. Mexico. New York. Panama.
San Juan. Santiago
Aucltland • Hamburg. Kuala Lumpur. London. Milan. Montreal. New Delhi. Paris. Singapore. Sydney.
Tokyo. Toronto
AGRADECIMENTOS
A Editora deseja expressar publicamente seus agradecimentos a todos os ilustres professores que
muito nos honraram com seus comentarios e sugestoes, permitindo que este livro esteja de acordo
com as atuais necessidades do ensino de CaIculo e Geometria Analitica.
Pedindo desculpas pela eventual omissao de alguns nomes, desejamos destacar:
AFFONSO SERGIO FAMBRINI
Mackenzie/FAAP - SP
ALINE TEREZA CARMIN-ATI GONl;ALVES
FATEC - SP
ANGELA M. F. DE MAGALHAES PINTO
UFMG-MG
ANTONIO CATARUZZI
Funda\(iio Santo Andre - SP
ANTONIO JOSE PINHEIRO DE ALMEIDA
PUC - SP
ANTONIO MARQUES VIEIRA CHAVES
AEVA/UFRJ - RJ
ANTONIO PERTENCE JUNIOR
SENAI - MG
ARMANDO PEREIRA LORETO JUNIOR
Fac. S. Judas Tadeu/Fac. Moema/FEI - SP
CELIA LOPES MARTINS
AEVA/USU - RJ
CiNTIA AUGUSTA DE MENEZES BARBOSA
AEVA-RJ
CLAuDIO JOAO DALL'ANESE
IMES/FEI/Fac. Objetivo/Fund. Santo Andre - SP
DEBORAH RAPHAEL
USP - SP
EDUARDO A. VALERIO DOMINGUES
PUC - SP
EDUARDO J. DE SOUZA MONTENEGRO
Fac. S. Judas Tadeu/Fac. Moema/FGV - SP
FLAVIO ANGELINE
PUC - SP
GERSON RODRIGUES DA ROCHA
Fac. Est<1cio de S<1/UGF - RJ
IZABEL CRISTINA R. TEIXEIRA VIANNA
Fac. Estacio de Sa - RJ .
JOAO ANTONIO POLID 0
Fac. S. Judas Tadeu/Fac. Moema/PUC/FMU - SP
JOAO VIEIRA DE FARIA
SUAM - RJ
JOAQUIM DA SILVA COR~IA
AEVA/UFRJ - RJ
JOSE JUSTINO CASTILHO
Mack.IEE MaualEE Piracicaba/FEC Araraquara - SP
JOSE MAURICIO MACHADO DA SILVA
UFMG - MG
JUSSARA DE SOUZA TRANJAN
Fund. Santo Andre - SP
LAURITO ANTONIO PERRELLA
IMES - SP
LEILA M. V. FIGUEIREDO
USP - SP
LUcfLIA BORSARI
USP - SP
LUIZ MAURO ROCHA
FEI/Fund. Santo Andre - SP
MARIA LuizA AZAMBUJA DE SOUZA
PUC - RS
NATALINA NEVES DIAS
Fac. S. Judas Tadeu - SP'
NEDA DA SILVA GON<;ALVES
PUC - RS
ODUVALDOCACALANO
Fund. Santo Andre/IMES - SP
RICARDO BIANCONNI
USP - SP
ROBERT MALLET
PUC - SP
ROBERTO BARBOSA
Fund. Santo Andre/Fac. C. Pasquale lFICAP) - SP
ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES
UFMG - MG
RONALDO SILVEIRA DE SOUZA
SUAM/USU/UCP - RJ
RUBENER DA SILVA FREITAS
FEI/PUC/Fund. Santo Andre - SP
SERGIO MARQUES BARBOSA
AEVA - RJ
VICTOR HUGO TEIXEIRA RODRIGUES
PUC - Campinas
Para Gertrude Clark,
a grande professora da minha vida.
Tradi~ao nao pode ser herdada, e se voce a quer tern de obte-la atraves de grandes trabalhos. - T.S. Eliot
Ciencia e Filosofia lan~am uma rede de palavras no mar da existencia, feliz no fim se elas arrastam alguma coisa
alem da propria rede, com alguns buracos_nela. - Santayana
A verdadeira defini~ao de ciencia e que ela e 0 estudo da beleza do mundo. - Simone Wei!
Para mirn, logica e aprendizado e todas as atividades mentais tern sido sempre incompreensiveis como uma
irnagem fechada e completa e tern sido compreensiveis somente como urn processo pelo qual 0 homem se coloca
em rela~o com 0 seu ambiente. E a batalha para aprender 0 que e significativo, e nao a vitoria.
Toda vitoria que e absoluta e seguida de uma vez pelo crepusculo dos deuses, no qual 0 conceito exato de vitoria
e dissolvido no momenta em que e atingido.
Estamos nadando contra a corrente, contra urn grande tormento de desorganiza~o, que tende a reduzir tudo a
morte termica, ao equilibrio, descrita na segunda lei da termodinamica. 0 que Maxwell, Boltzmann e Gibbs
quiseram dizer por essa morte termica em Fisica tern uma contrapartida na etica de Kierkegaard, que mostrou
que vivemos num universo moral caotico. Nisso, a nossa principal obriga~ao e estabelecer enclaves arbitrarios ate
ordem e sistema. Esses enclaves nao ficarao hi indefinidamente, por algum processo deles proprios, uma vez
estabilizados. Como a Rainha Vermelha, nao podemos ficar onde estamos sem correr 0 mais depressa que
podemos.
Nao estamos lutando por uma vitoria definitiva no futuro indefinido. Ea maior vitoria possivel ser, continuar a
ser e ter sido. Nenhuma derrota pode nos privar do sucesso de ter existido por algum momento de tempo num
universo que parece indiferente a nos. - Norbert Wiener
SUMARIO
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XlV
Ao Estudante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XIX
CAPiTULO 1 NUMEROS. FUN«;OES E GRAFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introdu~ao 1
1.2 A Reta Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 0 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Coeficientes Angulares e Equa~5es de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Circunferencias e Parabolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 0 Conceito de Fun~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Tipos de Fun~ao. Formulas da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8 Graficos de Fun~5es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
CAPITULO 2 A DERIVADA DE UMA FUN«;AO 69
2.1 0 que eCaIculo? 0 Problema das Tangentes '.... 69
2.2 Como Calcular 0 Coeficiente Angular (Inclina~ao) da Tangente . . . . . 72
2.3 A Defini~ao de Derivada 79
2.4 Velocidade e Taxas de Varia~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5 Limites e Fun~5es Continuas 94
CAPiTULO 3 0 ·CA.LCULO DE DERIVADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
3.1 Derivadas de Polinomios. ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
IX
X elilculo com Geometria Analftica
3.2 As Regras do Produto e do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114
3.3 Funyoes Compostas e a Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
3.4 Funyoes Impllcitas e Expoentes Fracionlirios . . . . . . . . . . . . . . . .. 126
3.5 Derivadas de Ordem Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133
CAPITULO 4 APLICA(:OES DE DERNADAS " 146
4.1 Funyoes Crescentes e Decrescentes. Maximos e Minimos 146
4.2 Concavidade e Pontos de Inflexao .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153
4.3 Problemas de Aplicayoes de Maximos e Minimos 160
4.4 Mais Problemas de Maximos e Minimos. Reflexao e Refrayao . . . . .. 171
4.5 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
4.6 (Opcional) Metodo de Newton para Resolver Funyoes . . . . . . . . . .. 190
4.7 (Opcional) Aplicayoes a'Economia e Neg6cios . . . . . . . . . . . . . . .. 194
CAPITULO 5 INTEGRAlS INDEFINIDAS E EQUA(:OES DIFERENCIAIS 219
5.1 Introduyao , 219
5.2 ANotayao de Diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219
5.3 Integrais IndefInidas. Integrayao por Substituiyao . . . . . . . . . . . . .. 231
5.4 Equayoes Diferenciais. Separayao de Variaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.5 Movimento sob a Gravidade. Velocidade de Escape e Buracos
Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245
CAPITULO 6 INTEGRAlS DEFINIDAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259
6.1 Introduyao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 259
6.2 0 Problema das Areas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 260
6.3 A Notayao Sigma e Algumas Somas Especiais . . . . . . . . . . . . . . . .. 264
6.4 A Area sob uma Curva. Integrais Definidas 267
6.5 0 Calculo de Areas como Limites 274
6.6 0 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278
6.7 Propriedades das Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286
CAPITULO 7 APLICA(:OES DA INTEGRA(:AO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 297
7.1 Introduyao. 0 Significado Intuitivo da Integrayao . . . . . . . . . . . . .. 297
7.2 A Area entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 299
7.3 Volumes: 0 Metodo do Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303
7.4 Volumes: 0 Metodo daCasca 310
7.5 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 315
Sumdrio XI
7.6 A Area de uma Superficie de Revolu~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321
7.7 For~a Hidrostatica 328
7.8 Trabalho e Energia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 333
CAPITULO 8 FUNC;OES EXPONENCIAIS E WGARfTMICAS 351
8.1 Introdu~ao 351
8.2 Revisao de Expoentes e Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352
8.3 0 Numero e e a Fun~ao y = eX ...........•..••...•..... 357
8.4 A Fun~ao Logaritmo Natural y =In x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 366
8.5 Ap1ica~5es. Crescimento Populacional e Decaimento Radiativo . . .. 377
8.6 Mais Ap1ica~5es. Crescimento Populacional Inibido etc. . . . . . . . .. 387
CAPITULO 9 FUNC;OES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 404
. 9.1 Revisao de Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 404
9.2 As Derivadas do Seno e do Co-Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 417
9.3 As Integrais do Seno e do Co-Seno. 0 Problema da Agulha . . . . . .. 426
9.4 As Derivadas das Outras Quatro Fun~5es . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 433
9.5 As Fun~5es Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 437
9.6 Movimento Harmonico Simples. 0 Pendul0 . . . . . . . . . . . . . . . .. 448
9.7 As Fun~5es Hiperb6licas 457
CAPITULO 10 METODOS DE INTEGRAC;AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 468
10.1 Introdu~ao. As F6rmulas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 468
10.2 0 Metodo da Substitui~ao 472
10.3 Algumas lntcgrais Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 477
10.4 Substitui~5es Trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 483
10.5 Complementando 0 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 491
10.6 0 Metodo das Fra~5es Parciais 494
10.7 Integra~ao por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 504
10.8 (Opcional) Fun~5es CUjas Integrais Nao Podem Ser Expressas
como Fun~5es Elementares 513
10.9 (Opcional) Integra~ao Numerica 520
CAPITULO 11 OUfRAS APLICAC;OES DE INTEGRAC;AO 536
11.1 0 Centro de Massa de urn Sistema Discreto .. . . . . . . . . . . . . . .. 536
11.2 Centr6ides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 540
11.3 Os Teoremas de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 547
11.4 Momento de Inercia 550
XII Ctilculo com Geometrio Analftica
CAPiTULO 12 FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRAlS IMPROPRIAS 560
12.1 Introduc;:ao. 0 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 560
12.2 A Forma Indeterminada 0/0. Regra de L'Hospital : . . .. 563
12.3 Outras Formas Indeterminadas " 569
12 A Integrais Improprias 577
APENDICES
A. ADICIONAIS TOPICOS 592
A.1 Mais inforrnac;:oes sobre Numeros: Numeros Irracionais, Numeros Perfeitos
e Numeros Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 592
A.2 0 Calculo Realizado por Fermat de IS x" dx para n Racional Positivo .. 600
A.3 Como Arquimedes Descobriu a Integrac;:ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 601
Ao4a Uma Abordagem Simples da Equac;:ao E.= M c2 .....•••...•••••.• 605
Ao4b Propu1sao de Foguete no Espac;:o Cosmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 607
A.5 Uma Prova da Formula de Vieta 609
A.6 A Catenaria ou a Curva de urn Fio Suspenso entre Dois Apoios . . . . . . .. 611
A.7 A Sequencia dos Primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 614
A.8 A Soluc;:ao por Bernoulli! para 0 Problema da Braquistocrona 623
8. A TEORIA DO CALCUW '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 628
B.1 0 Conjunto dos Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 628
B.2 Teoremas sobre Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 633
B.3 Algumas Propriedades mais Profundas das Func;:oes Continuas . . . . . . . .. 642
BA 0 Teorema do Valor Medio 648
B.5 A Integrabilidade de Func;:oes Continuas , .. 654
B.6 Uma Outra Prova do Teorema Fundamental do C3.1cu10 . . . . . . . . . . . .. 660
B.7 Existencia de e = limh_O (l + h)l/h 661
B.8 A Validade da Integrac;:ao por Substituic;:ao Inversa 663
B.9 Prova do Teorema das Frac;:oes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 665
C. NOTAS BIOGRAFICAS 669
Urn Panorama da Hist6ria do C3.1culo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 669
Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 671
Euc1ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 676
Arquirnedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 681
Pappus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 686
Surruirio XIII
Descartes 688
Mersenne 693
Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 694
Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 701
Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 705
Newton 708
Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 713
Os Irmaos Bernoulli 724
Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 726
Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 731
Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 732
Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 733
Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 734
Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 740
Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 740
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 742
Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 743
Hermite 744
Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 745
D. ALGUNS TOPICOS DE REVISAO 750
D.l 0 Teorema do Binomio de Newton 750
D.2 Indu~ao Matematica : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 758
TABELAS NUMERICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 771
RESPOSTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 773
mDICE ANALITICO . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 827
PREFAclO
E curiosa que alguem que escreve urn livro-texto de mil paginas pense ser necessario escrever
urn preflicio para explicar os objetivos: 0 proprio livre ja seria 0 suficiente. No entanto, todo livre-
texto - e este nao e exce~ao - e tanto expressao de insatisfa~ao com os livros existentes como
uma proposta do que urn tallivro deva conter: urn prefacio oferece a Ultima oportunidade para
sintetizar a proposta. Alem do mais, qualquer pessoa que contribua para aumentar a abundancia
de livros introdutorios de Calculo deve ser intimada a justificar sua ac;:ao (ou talvez se desculpar
por isto) a seus colegas da comunidade matematica.
Este livre pretende ser urn texto de CaIculo que possa ser utilizado em toda especie de curso
superior em qualquer nivel. Foi projetado particularmente para 0 curso-padrao de tres semestres
para estudantes de Ciencia, Engenharia ou Matematica. 0 pre-requisito requerido e Algebra e
Geometria do 2<? grau.
Nao se sup5e nenhum conhecimento especializado de Ciencia, e os estudantes de Filosofia,
Historia ou Economia podem ler e compreender as aplicac;:oes tao facilmente como qualquer outro
estudante. Nao ha lei da natureza humana segundo a qual as pessoas com grande interesse pelas
Ciencias Humanas ou Sociais estejarn automaticarnente impedidas de compreender e de gostar de
Matem~tica. A Matematica e, de fato, 0 palco de muitas' das mais elevadas realizac;:oes da mente
humana e deveria atrair os humanistas com a mesma forc;:a com a qual urn campo de flores silves-
tres atrai as abelhas. Dizem, com razao, que a Matematica pode iluminar 0 mundo ou satisfazer a
mente e, freqtientemente, ambas as coisas. Assim, urn estudante de Filosofia, por exemplo, teria
informac;:ao tao falha pela ausencia de conhecimentos nesta area quanto urn estudante de Historia
sem uma ampla compreensao de Economia e de Religiao. Assim, como poderiarn os estudantes
de Filosofia ou de Hist6ria dar-se ao luxe de desprezar 0 fato (e e urn fato!) de que 0 progresso
da Matematica e das Ciencias no seculo XVII foi 0 evento crucial no desenvolvimento do mundo
modemo, muito mais profundo em significado hist6rico que as Revoluc;:oes Americana, Francesa
e Russa? N6s, professores de Matemcitica, temos obriga~ao de ajudar tais estudantes neste aspecto
de sua formac;:ao, e 0 CaIculo e urn excelente ponto de partida.
xv
XVI Ctileulo com Geometria Analftica
o texto em si - isto e, os 22 capitulos (Volumes Ie II)* sem os apendices - etradicional na
materia e na organiza~ao. Dei grande enfase amotivariio e acompreensiio intuitiva, e os refrnamen-
tos da teoria foram negligenciados. A maioria dos estudantes revela impaciencia com a parte
teorica do assunto, e com razao, pois a essencia do Calculo nao esta em teoremas e em como
prova-los, mas nos instrumentos que fomece e na forma de utiliza-los. Meu proposito maior foi 0
de apresentar 0 Calculo como arte poderosa de resolver problemas, arte que e indispensavel em todas
as ciencias quantitativas. Naturalmente, desejo convencer 0 estudante de que os instrumentos-padrao
do Calculo sao razoaveis e legitimos, mas nao acusta de transformar 0 assunto numa disciplina
logica enfadonha, dominada por defini~5es supercuidadosas, apresentac;:5es formais de teoremas e
provas meticulosas. E minha esperanc;:a que toda explica~aomatemlitica nestes capitulos pare~a ao
estudante atento ser tao natural e inevitavel quanta a agua que flui no leito do rio. 0 objetivo
principal do texto e explorar assuntos para os quais 0 Calculo e litil- 0 que ele nos possibilita fazer
e compreender - e nao qual 6 sua natureza logica, quando encarado do ponto de vista especializado
(e limitado) do matemMico puro modemo.
Ha diversos aspectos do proprio texto que gostaria de comentar.
Material Anterior ao Clilculo Devido a grande extensao do Calculo a ser coberta, e
desejavel comec;:ar com uma partida rapida, introduzir a derivada 0 mais cedo possivel e demorar 0
minima na revisao do material anterior ao Calculo. Entretanto, os estudantes constituem urn grupo
heterogeneo com niveis de prepara~ao matematica bastante diferentes. Por essa razao, inclui urn
primeiro capitulo com material de revisao que recomendo aos professores omitir completamente
ou tratar superficialmente, tanto quanta julgar aconselhavel para seus alunos. Esse capitulo foi
escrito com suficientes detalhes, de forma a que os estudantes que tenham necessidade de dispender
mais tempo nos preliminares consigam absorver a maior parte dele por si proprios com urn pequeno
esfor~o extra**.
Trigonometria 0 problema do que fazer com a Trigonometria em cursos de Calculo nao
tern tido solu~ao satisfatoria. Alguns autores introduzem 0 assunto cedo, parcialmente, para
poder usar as func;:6es trigonomMricas no ensino da regra da cadeia. Essa abordagem tern a desvan-
tagem de saturar os primeiros capitulos de Calculo com material tecnico que nao e realmente
essencial para os primeiros objetivos dos estudantes nesse estagio, que sao compreender os
significados e algumas das aplica~5es das derivadas e das integrais. Vma outra desvantagem dessa
forma de tratamento e que muitos tern urn unico semestre de Calculo e para eles a Trigonometria
6 uma complica~ao desnecessaria da qual talvez eles devam ser dispensados. 0 fato e que a trigo-
nometria so se toma realmente indispensavel quando metodos formais de integra~ao devem ser
enfrentados.
Por essas raz6es, introduzo 0 calculo de fun~5es trigonometricas no Capitulo 9, de modo que
todas as id6ias estarao frescas quando osestudantes iniciarem 0 Capitulo 10, que trata dos metodos
de integra~ao. Vma exposi~ao completa de trigonometria e dada na Sec;:ao 9.1. Para a maioria
*
**
(Nota do Tradutor). 22 capftulos na edi~ao portuguesa.
Vma exposi~iio mais completa da matematica do 29 grau, ainda respeitavelmente concisa, pode ser encon-
trada em meu livreto, Precalculos Mathematics In a Nutshell (William Kaufmann, Inc., Los Altos, Calif.,
1981), 119 paginas.
Pre/licio XVII
dos estudantes, sera uma revisao necessaria da materia aprendida (e, em grande parte, esquecida)
no 29 grau. Para aqueles que nao estudaram trigonometria, as explica90es apresentadas sao sufici-
entemente completas e os estudantes poderao aprender 0 que necessitam a partir desta (mica
se9ao .
Para os professores que prefiram apresentar a trigonometria mais cedo - e ha boas razoes
para isto - destaco as Se90es 9.1 e 9.2, que podem ser facilmente introduzidas diretarnente ap6s
as Se90es 4.5,9.3 e 9.4 ou podem perfeitarnente ser apresentadas em qualquer estagio depois do
Capitulo 6. Os unicos ajustes necessarios sao advertir os estudantes a nao trabalharem as
pares (b), (c) e (d) do Exemplo 2 da Se9ao 9.2 e tarnbem informa-los de que os Problemas 15-18
da Se9ao 9.2; 12,16,17 e 29 da Se9ao 9.3; e 11,12 e 24 da Se9ao 9.4 nao sao exercicios para
casa.
Problemas Para os estudantes, as partes mais irnportantes de seu livro de Calculo podem bern
ser os conjuntos de problemas, pois e neles que gastarn a maior parte de seu tempo e energia. Ha
mais de 5.800 problemas neste livro, incluindo muitos dos velhos problemas de apoio, farniliares
a todos os professores de Calculo, analisados desde 0 tempo de Euler e mesmo antes. Tentei retri-
buir nosso debito ao passado criando novos problemas, sempre que possivel. Os conjuntos de
problemas. foram cuidadosamente construidos, come9ando com exercicios de calculo de rotina
e passando a problemas mais complexos que exigem niveis mais elevados de pensamento e de
habilidade. Os problemas mais complexos sao marcados com urn asterisco (*). Em geral, cada,
conjunto contem aproximadarnente 0 dobro de problemas que a maioria dos professores gostaria
de passar para trabalho de casa, de forma que urn grande numero fica para os estudantes usarem
como material de revisao.
A maioria dos capitulos termina com longas listas de problemassuplementares. Muitos deles
pretendem apenas fornecer escopo e variedade adicionais aos conjuntos de problemas dos fins das
se90es. Entretanto, os professores e estudantes devem tratar esses problemas suplementares com
cuidado especial, pois alguns sao bastante sutis e dificeis e devem ser enfrentados por estudantes
munidos de amplas reservas de energia e tenacidade.
Devo mencionar tambem que ha diversas se.90es espalhadas por todo 0 livro nao coroadas
com uma rel~ao de problemas correspondentes. As vezes, essas se90es ocorrem em grupos peque-
nos e sao meramente subdivisoes convenientes do' que considero urn t6pico isolado e portanto
tern uma linica lista de exercicios, como no caso das Se90es 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 e 6.5. 'Em outros
casos (Se9[0 9.7 e Se90es 14.12, 15.5, 19.4 e 20.9, Vo.lurne II) a ausencia de problemas e urna
sugestao tacita de que 0 assunto tratado deve ser tocado de leve e com brevidade.
Ha urn grande numero de problemas "com hist6rias" espalhados por todo 0 livro. Todos os
professores sabem que os estudantes tremem diante desses problemas, pois usualmente exigem
pensamento nao-rotineiro. Entretanto, a utilidade da Matematica nas varias_ciencias demanda..'1l,\e_
tentemos ensinar os nossos estudantes a penetrar no significado de urn problema com hist6ria,
julgar 0 que e relevante e traduzir as palavras para esb090s e equa90es. Sem essas habilidades -
que sao igualmente valiosas para os estudantes que se tornarao doutores, advogados, analistas
fmanceiros ou pensadores de qualquer natureza - nao ha educa9ao matematica digna desse
nome.
XVIII Ctilculo com Geometria Analftica
series Infmitas Todo matematico que der uma olhada no Capitulo 14 (Volume II) vera de
imediato que "s6ries infmitas" e um de meus temas favoritos. No calor de meu entusiasmo, desen-
volvi esse t6pico com profundidade maior e com mais detalhes do que e usual em livros de Oilculo.
Entretanto, alguns professores podem nao desejar dedicar muito tempo e aten9ao a esse t6pico e
para sua conveniencia, dei urn tratamento breve no Capitulo 13 (Volume II), que deve ser suficien-
te para as necessidades da maioria dos estudantes que nao estao planejando prosseguir em cursos
mais avan9ados de Matematica. Os professores que, como eu, consideram que 0 assunto e de fato
importante, ira~ provavelmente utilizar ambos os capitulos, 0 prirneiro para dar urn panorama eo
segundo par.a estabelecer uma fundamenta9aO s6lida e flxar os conceitos basicos. Esses capitulos
foram concebidos com espiritos bastante diferentes e, surpreendentemente, hi pouca repeti9ao.
Equa~oes Diferenciais e AnaIise Vetorial Cada urn desses assuntos e por si s6 urn ramo
importante da Matematica. Eles devem ser ensinados em cursos separados, ap6s 0 Calculo, com
tempo amplo para explorar seus metodos e aplica90es especificos. Uma das principais responsa-
bilidades de urn curso de Calculo e preparar 0 carninho para esses assuntos mais avan9ados e ~ar
alguns passos preliminares nessa dire9ao, mas 0 quanto se deve ir e uma questao discutivel. No caso
de equa90es diferenciais, 0 assunto e introduzido tao cedo quanto possivel (Se9ao 5.4) e retorna-
mos a ele de urn modo restrito sempre que surge a oportunidade (Se90es 5.5,7.8,8.5,8.6 e 9.6 e
Se90es 17.7,19.9, Volume II), completando com um estudo mais detalhado no Capitulo 22
(Volume II). Em analise vetorial acredito que 0 Teorema de Green e exatamente 0 ponto certo
para parar, com 0 Teorema de Stokes - que e urn dos teoremas mais profundos e de longo alcance
de toda a Matematica - sendo deixado para urn curso posterior. Para os que desejarem incluir mais
analise vetorial em seu curso de Calculo, dou urn tratamento resumido do Teorema da Divergencia
e do Teorema de Stokes - com problemas - nos Apendices A.15 e A.16 (Volume II).
Urn dos principais aspectos que distinguem este livro e 0 tornam talvez Wrico em rela9ao a
todos os demais e notado pelo exame dos apendices, que comentarei rapidamente. Antes de
faze-Io, enfatizo que este material e inteiramente separado do texto principal, podendo ser yuida-
dosamente estudado, consultado ocasionalmente ou completamente ignorado, conforme 0 desejo
de cada estudante ou professor.
Apendice A Ensinando Calculo durante varios anos, coletei uma quantidade considemvel de
t6picos de Teoria dos Numeros, Geometria, Ciencia etc., que tenho usado com 0 prop6sito de abrir
as portas e estabelecer liga90es com outros assuntos... e tambem para sair da rotina e despertar
os espiritos. Muitos de meuS estudantes acharam· essas "pepitas" interessantes e estirnulantes.
Coletei a maioria desses topicos nesse apendice com a esperan9a de conquistar alguns adeptos a
visao de que a Matematica, embora as vezes tediosa e rotineira, pode, com frequencia, ser suma-
mente interessante.
Apendice B No corpo do texto, 0 nivel de rigor matematico aumenta' e dirninui de acordo
com a natureza do assunto estudado. E bastante baixo nos capitulos geometricos, onde contio
no senso comum e na intui9ao e acrescento ilustra90es; e bastante elevado nos capitulos sobre as
series infinitas, onde a substancia do assunto nao pode realmente ser compreendida sem urn
pensamento cuidadoso. Tive sempre em mente 0 fato de que a maioria dos estudantes tern pouco
interesse no raciocinio puramente matematico em si e tentei evitar esse tipo de material, intro-
duzindo apenas 0 absolutamente necessario. Alguns estudantes, no entanto, tern urn gosto natural
Prefacio XIX
pOI teoria, e alguns professores encaram como questao de principio que todos os estudantes devam
estar expostos a uma certa quantidade· de teoria para seu pr6prio bern. Esse apendice contem
virtualmente todo 0 material te6rico que por qualquer esfor90 da imagina9ao poderia ser conside-
rado apropriado para 0 estudo do Calculo. Do ponto de vista puramente matematico, e possivel
para os professores dar cursos em muitos niveis diferentes de sofistica9ao usando - ou nao - 0
material selecionado contido nesse apendice.
Em resumo, 0 corpo principal deste livro e direto e tradicional, e os apendices 0 tOffiam
conveniente para os professores, permitindo-lhes, em correspondencia a seus interesses e opinioes,
oferecerem uma ampla variedade de cursos adaptados as necessidades de suas pr6prias classes.
Pretendi a maxima flexibilidade de uso.
Apendice C Esse material compoe-se de uma pequena hist6ria biografica da Matematica
desde seus primeiros tempos ate meados do seculo XIX. Ele tern dois objetivos principais.
Primeiro, espero dessa maneira "humanizar" 0 CaIculo, tomar transparentemente claro que
grandes homens criaram-no com genialidade. Dessa forma almejo aumentar 0 interesse dos estudan-
tes naquilo que estao estudando. As mentes de muitas pessoas evitam enfrentar problemas - mudam
de dire9ao, ausentam-se, eludem 0 contato, mudam de assunto, pensam em alguma outra coisa a
todo custo. Essas pessoas - a grande maioria da ra9a human a - encontram consolo e conforto no
que conhecem e no que Ihes e familiar, evitando 0 desconhecido. E tao dificil para elas pensar
regularmente em urn problema dificil quanta manter juntos os p610s norte de dois fortes imas.
Em contraste, uma minuscula minoria e atraida irresistivelmente pelos problemas: envolvem-se e
lutam com eles, sem descanso, ate que seus segredos sejam revelados. Eessa minoria que ensina aos
outros muito do que se sabe e se pode fazer, desde aroda e a balan9a ametalurgia e aTeoria da
Relatividade. Escrevi sobre algumas dessas pessoas de nosso passado na esperan9a de encorajar
elementos dessa gera9ao.
Meu segundo objetivo esta ligado ao fato de que muitos estudantes de Ciencias Humanas e
Ciencias Sociais sao obrigados, contra a pr6pria vontade, a estudar Calculo s6 para satisfazer
requisitos academicos. As profundas conexoes que unem a Matematica a historia da Filosofia e
tambem a mais ampla historia social e intelectual da civiliza9ao ocidental sao muitas vezes capazes
de aumentar 0 interesse dessesestudantes que, de outro modo, se mostrariam indiferentes.
George F Simmons
AD ESTUDANTE
Embora nao pareya, nenhum autor tern a intenyao deliberada de produzir urn livro ilegivel;
todos nos fazemos 0 que podemos e esperamos ter feito 0 melhor. Naturalmente, espero que
minha linguagem seja clara e util para os estudantes; no flIll so eles estiio qualificados para julgar.
Entretanto, sena uma grande vantagem para todos nos - professores e estudantes - se de algum
modo fossem dadas aos estudantes usmirios de livros-texto de Matematica'algumas sugest6es sobre
a arte de ler Matematica, que 6 muito diferente da de ler novelas, revistas ou jomais.
Nos cursos de Matematica do 29 grau, a maioria dos estudantes esta acostumada a tentar
resolver primeiro os exercfcios para casa, com impaciencia, para terminar toda a tarefa penosa 0
mais rapidamente possive!. Esses estudantes leem as explicayoes no texto apenas como Ultimo
recurso. Este 6 0 oposto grotesco do procedimento razoavel e tern tanto sentido quanta tentar
por os sapatos antes das meias. Minha sugestao 6 que os estudantes leiam primeiroo texto e
quando este estiver totalmente assirnilado entao e so entao passem para os exercfcios de casa.
Como urn estudante deve ler 0 texto de urn livro como este? Devagar e com cuidado, e com
total consciencia de que urn grande numero de detalhes tera sido deliberadamente omitido. Se este
livro contivesse todos os detalhes de cada tema, seria cinco vezes maior, 0 que seria pecado mortal!
Ha urn velho prov6rbio frances que diz: "Aquele que tenta explicar tudo acaba falando sozinho".
Todo autor de urn livro dessa natureza tenta andar num estreito caminho entre dizer demais e dizer
de menos.
As palavras "evidentemente", "6 facll ver" e express6es semelhantes nao tern intenyao de
. serem consideradas ao p6 da letra e jamais devem ser interpretadas por urn estudante como menos-
prezo de suas habilidades. Estas sao frases-padrao utilizadas na escrita matematica ha centenas de
anos. Seu proposito 6 dar urn sinal ao leitor cuidadoso de que nesse lugar particular a exposiyao 6
algo condensada e que alguns detalhes de calculo foram ornitidos. Toda frase como estas equivale
a uma sugestao amigavel para 0 estudante de que talvez seja uma boa id6ia ler ainda com mais
cuidado e meditayao a fim de preencher as lacunas da exposiyao, ou talvez lanyar mao de uma
XXI
XXII Ctilculo com GeometriD Analftica
follia de rascunho para verificar detallies de calculo que foram omitidos. Ou mellior ainda, fazer
total uso das margens deste livro para enfatizar pontos, levantar questOes, fazer pequenos ccilculos
e corrigir erros de impressao.
CAPiTULO
1
NUMEROS, FUNCOES E GRAFICOS
1.1 INTRODUCAO
Todos nos sabemos que 0 mundo em que vivemos e dominado por movimento e variar;ao. A
Terra move-se em sua orbita em tome do Sol; uma colonia de bacterias cresce; uma pedra lanr;ada
para cima vai perdendo velocidade, para e, em seguida, cai ao dillo com velocidade crescente;
elementos radiativos de desintegram. Estes' sao apenas alguns itens no rol infindcivel de fenomenos
para os quais a Matematica e 0 meio mais natural de comunicar;ao e compreensao. Como disse
Galileu ha mais de 300 anos: "0 Grande Livro da Natureza esta escnto com sfmbolos
matematicos".
o Calculo e 0 ramo da Matematica cujo principal objetivo e 0 estudo do movimento e da
anar;ao. E urn instrumento indispensavel de pensamento em quase todos os campos da ciencia
pura e aplicada - em Fisica, Quimica, Biologia, Astronomia, Geologia, Engenharia e ate mesmo
em algumas das ciencias sociais. Tern tambem muitas aplicar;oes importantes em outras partes da
Matematica, especialmente na Geometria. Qualquer que seja 0 padrao de medida, os metodos e as
aplicar;oes do Calculo estao entre as maiores realizar;oes intelectuais da civilizar;ao.
Os principais objetos de estudo do Calculo sao as funr;oes. Mas, 0 que euma funr;ao? Grosso
modo, e uma regra ou lei que nos diz como uma quantidade variavel depende de uma outra
"Funr;ao" e 0 principal conceito das ciencias exatas. Ele nos oferece a perspectiva de compreender
e correlacionar fen6menos naturais _por meio de instrumental matematico de grande e, as
vezes, misterioso poder. 0 conceito de funr;ao e tao vitalmente importante para todo nosso
trabalho que devemos batalhar muito para toma-Io claro, para alem de qualquer possibilidade de
confusao. Este e 0 tema do presente capitulo.
As seyoes seguintes contem uma boa quantidade de material que muitos leitores ja
estudaram. Alguns iraQ saudar a oportunidade de rever e refrescar sua memoria. Aqueles. que
acharem cansativo trilhar urn mesmo caminho repetidas vezes poderao descobrir algumas variar;oes
1
2 Cdlculo com Geometria Analftica
interessantes e desafios estimulantes nos problemas suplementares no fim do capitulo. Este
capitulo tenciona servir somente para prop6sitos de revisao. Podera" ser estudado com cuidado ou
superficialmente, ou ate mesmo ser omitido, dependendo do nivel de preparo do leitor. 0
conteudo real deste curso comeera no Capitulo 2, mas seria desastroso se, urn unico estudante que
fosse, viesse a sentir que este capltulo preliminar e mais urn obstaculo que uma fonte de
recorrencia.
1.2 A RETA REAL
A maior parte das quantidades vanavelS que estudamos, tais como comprimento, area,
volume, posierao, tempo e velocidade, e medida por meio de numeros reais e, nesse sentido, 0
Calculo esta baseado no sistema dos numeros reais. E verdade que existem outros sistemas
numericos importantes e uteis, como, por exemplo, os numeros complexos. E tambem verdade
que os tratamentos bi e tridimensional de posierao e velocidade exigem 0 uso de vetores. Essas
ideias serao examinadas no devido momento, mas, por longo periodo de tempo, os unicos numeros
com os quais trabalharemos serao os numeros reais*.
Pressupomos neste livro que os estudantes estejam familiarizados com a algebra elementar
dos numeros reais. Todavia, nesta seerao, damos urn breve apanhado descritivo que podera ser uti!.
Para nossos prop6sitos basta isto, mas 0 leitor que deseje investigar com maior profundidade a
natureza dps numeros reais encontrara uma discussao mais precisa no Apendice B.1.
o sistema dos numeros reais contem diversos tipos de numero que merecem menerao especial:
os inteiros positivos (ou numeros naturais)
1,2,3,4,5, ... ;
os inteiros
... , -3, -2, -1,0, 1,2,3, ...;
e os numeros racionais, que sao aqueles numeros reais que podem ser representados sob a forma
de fraeroes (ou quocientes de irlteiros), tais como
1, -i, 4, 0, - 5, 3,87, 2t·
Urn numero real que nao e racional e denomirlado irracional; por exemplo:
sao numeros irracionais.
12, ,[3, 12 + ,[3, J'S, V5, e
Aproveitamos esta oportunidade para lembrar ao leitor que, para todo numero positivo a, 0
simbolo ..jii significa sempre a raiz quadrada positiva. Assim, V4 e igual a 2 e nao a -2, embora
* o adjetivo "real" [oi originahnente utilizado para distinguir esses numeros de numeros tais como ..;:I, que
foram no passado encarados como "irreais" ou "imaginanos".
Numeros. funfoes e grtificos 3
(_2)2 = 4. Se desejamos designar ambas as ralzes quadradas de 4, devemos escrever ±yI4."
Analogamente, !Va significa sempre a raiz n-esima positiva de a.
A Reta Real
o uso dos numeros reais para mediyao se reflete no costume bastante conveniente de
representar esses numeros graficamente por meio de pontos numa reta horizontal.
-l~ 1 .j2 ,)3 242 1T
..
• • • • • • • • • • • • • • - ..
-3 -2 -I 0 1 2 3
Figura 1.1 A reta real.
Essa representayao comeya com a escolha de urn ponto arbitnirio, denominado origem ou
ponto zero, e urn outro ponto arbitnirio a sua direita, 0 ponto 1. A distancia entre esses pontos
(a distancia unitaria) serve entao como escala por meio da qual podemos associar pontos da reta
a inteiros positivos ou negativos, como esta ilustrado na Fig. 1.1, e tambem anumeros racionais.
Chamamos atenyao especial para 0 fato de que todos os numeros positivos estao a direita do
0, no "sentido positivo", e todos os numeros negativos estao a sua esquerda. a metoda de associar
7 1
urn ponto a urn numero racional e mostrado na Fig. 1.1 para 0 nUmero 3 = 2 3: 0 segmento
de reta entre 2 e 3 e subdividido por dois pontos em tres segmentos iguais, e 0 primeiro desses
pontos e designado 2~. Esse processo de usar subdivisoes iguais serve, e claro, para determinar
o ponto da reta que corresponde a todo e qualquer numero racional. Alem disso, essa cor-
respondencia entre numeros racionais e pontos pode ser estendida para numeros irracionais,
pois, como veremos no fim desta seyao, a expansao decimal de numeros irracionais tais como
v'2 = 1,414 ... , .f3 = 1,732 ... , 7l = 3,14159 ... ,
pode ser interpretada como urn conjunto de instruyaes que especificam a posi¢o exata do ponto
correspondente.
o descrito acima e uma correspondencia urn a urn (ou biunlvoca) entre todos os nUmeros
reais e todos os pontos da reta, correspondencia esta que caracteriza esses numeros como urn
sistema de coordenadas na reta. Esta reta com coordenadas chama-se reta real (ou, as vezes, reta
numerica). E conveniente e costumeiro fundir os conceitos 10gicamente distintos de sistema dos
numeros reais e reta real - falaremos livremente de pontos da reta como se fossem numeros e de
nUmeros como se fossem pontos da reta. Dessa forma, expressoes mistas, tais como "ponto
irracional" e "segmento de reta entre 2 e 3", sao abso1utamente naturais e serao utilizadas sem
maiores explicayoes.
4 Calcula com Geametria AnaUtica
Desigualdades
A sucessao, da esquerda para a direita, de pontos na reta real corresponde a uma parte
importante da algebra dos numeros reais - a que trata das desigualdades. Essas ideias exercem
urn papel maior no Calculo que nos cursos anteriores de Matematica, de modo que recordaremos
rapidamente os pontos essenciais.
a significado geometrico da desigualdade a < b (leia-se "a e menor que b") e simplesmente
que a esta a esquerda de b; a desigualdade equivalente b > a ("b e maior que a") significa que
b esta it direita de a. Urn numero a e positivo ou negative conforme a> a ou a < O. As principais
regras utilizadas no trabalho com desigualdades sao as seguintes:
1. Se a> 0 e b < e, entao ab < ae.
2. Se a < 0 e b < e, entao ab > ae.
3. Se a < b, entao a +e < b +e para qualquer numero e.
As regras 1 e 2 sao usualmente expressas dizendo-se que uma desigualdade e preservada
quando da multiplicayao por numero positivo e invertida quando da multiplicayao por numero
negativo; a regra 3 diz que uma desigualdade e preservada quando qualquer nlimero (positivo ou
negativo) e adicionado a ambos os membros. Muitas vezes, e desejavel substituir uma desigualdade
a> b pela desigualdade equivalente a - b > 0, sendo a regra 3 utilizada para estabelecer a
equivaH~ncia.
Se desejamos dizer que a e positivo ou igual a zero, escrevemos a;;;' a e lemos "a e maior
au igual a zero". Analogamente, a;;;' b significa que a> b ou a =b. Assim, 3;;;' 2 e 3;;;' 3 sao
ambas desigualdades verdadeiras.
Lembramos tambem que 0 produto de dois au mais numeros sera igual a zero se e somente
se pelo menos urn dos fatores for igual a zero. Se nenhum dos fatores for igual a zero, 0 produto
sera positivo ou negativo, conforme tenha urn numero par ou impar de fatores negativos.
Valores Absolutos
a valor absoluto (ou m6dulo) de urn numero a e denotado par Ia I e defmido par
lal= { a
-a
se a ~ 0,
se a < 0.
Por exemplo, I 3 I = 3, I -2 I = -(-2) = 2 e Ia I = O. E claro que a operayao de formar 0 valor
absoluto mantem inalterados os numeros positivos e troca cada numero negativo pelo numero
positivo correspondente. As principais propriedades dessa operayao sao
labl = lallbl e la + bl $Ial + /bl·
Em linguagem geomtHrica, 0 valor absoluto de urn numero a e simplesmente a distancia do ponto
a it origem. Analogamente, a distancia de a abe Ia-b.
Numeros, func;oes e grdficos 5
Para resolver uma equa9ao como Ix +2 1= 3, podemos escreve-la na forma Ix - (-2) I = 3
e pensa-la como "a distancia de x a -2 e 3". Tendo em mente a Fig. 1.1, e evidente que as
solu~~es sao x = 1 e x = -5. Podemos tambem resolver essa equa9ao utilizando 0 fato de que
Ix + 2 1=3 significa que x + 2 = 3 ou x + 2 = -3, e as solU90es sao x = 1 ex = -5, como antes.
Intervalos
Os conjuntos de mimeros reais que consideraremos sao, na grande maioria dos casos,
intervalos. Urn intervalo e simplesmente urn segmento da reta real. Se suas extremidades sao O,s
nfuneros a e b, entao 0 intervalo consiste em todos os numeros que estao entre a e b. No entanto,
podemos querer incluir ou nao as pr6prias extremidades como parte do intervalo.
Para maior precisao, suponha que a e b sejam numeros, com a < b. 0 intervalo fechado
de a a b, denotado por [a, b], inclui as extremidades e, portanto, consiste em todos os nfuneros
reais x tais que a ~ x ~ b. Utilizaremos parenteses para indicar extremidades excluidas. 0
intervalo (a, b), com ambas as extremidades excluidas, chama-se intervalo aberto de a a b, e
consiste em todos os x tais que a < x < b. Algumas vezes desejamos ~cluir somente uma
extremidade nurn intervalo. Assim, os intervalos denotadospor [a, b) e (a, b] sao defmidos pelas
desigualdades a ~ x < b e a < x ~ b, respectivamente. Em cada urn desses casos, todo numero
c tal que a < c < b chama-se ponto interior do'intervalo (Fig. 1.2).
Ponto interior
/
a c b
.~I /-
Extremidades
a
•
b
Fechado: a $. x $. b ou [a. b J
a
o
b
Aberto: a < x < b ou(a. b)
Figura 1.2 Intervalos.
Do ponto de vista estrito, as nota90es a ~ x ~ b e [a, b] tern significados diferentes - a
primeira representa urna restri9ao imposta sobre x, enquanto a segunda denota urn conjunto -,
mas ambas designam 0 mesmo intervalo. Iremos entao consideni-las equivalentes e usa-las
indistintamente; 0 leitor devera se familiarizar com ambas as nota90es. Entretanto, 0 significado
geometrico da nota9ao a ~ x ~ be mais visual e, por essa razao, ir~mos preferi-la aoutra.
6 Cdlculo com Geometrio AnaUtica
Vma semi-reta e, muitas vezes, considerada como urn intervalo estendendo-se ao infInito
em urn dos sentidos. 0 simbolo 00 (leia-se "infInito") e com freqiiencia utilizado na designa9ao
de tal intervalo. Assim, para todo nfunero real a, os intervalos defmidos pelas desigualdades a < x
ex";;; a podem ser escritos como a < x < 00 e _00 < x";;; a ou, equivalentemente, como (a, 00) e
(_00, a]. Lembre-se, no entanto, de que os simbolos 00 e _00 nao denotam numeros reais; eles
sao utilizados desta maneira somente como urn modo conveniente de enfatizar que a x epermitido
ser arbitrariamente grande (no sentido positivo ou negativo). Para ajudar a ter clara a nota9ao em
nossa mente, pode ser util pensar em _00 e 00 como "numeros ficticios" localizados nas
"extremidades" esquerda e direita da reta real, como se sugere na Fig. 1.3. E tambem as vezes
conveniente pensar na propria reta real como urn intervalo, _00 < x < 00 ou (_00,00) .
•a
Figura 1.3
Conjuntos numencos descritos por meio de desigualdades e valores absolutos sao, com
frequencia, intervalos. E claro, por exemplo, que 0 conjunto de todos os x tais que Ix I < 2 e
o intervalo -2 < x < 2 ou (-2, 2). 0 exemplo seguinte ilustra algumas tecnicas que serao uteis
em varias situa90es.
Exemplo Resolver a desigualdade x 3 > x.
"Resolver" uma desigualdade como esta signifIca achar todos os numeros x para os quais
a desigualdade e verdadeira. Primeiro, escrevemos a desigualdade como x 3 - x > 0, e depois na
forma fatorada
x(x + 1)(x - I) > O. (1 )
A expressao da esquerda e igual a zero quando x = 0, -1, 1. Esses tres pontos dividem a reta
real em quatro intervalos abertos, como emostrado na Fig. 1.4; e, no interior de cada urn desses
intervalos, a expressao x (x + 1)(x - 1) tern sinal constante.Por exemplo, quando x < -I, vemos,
pOI inspe9ao, que todos os tres fatores sao negativos, e assim x (x + I) (x - 1) enegativo; quando
-1 < x < 0, vemos que x ex - 1 sao negativos, mas x + 1 e positivo, e assim x (x + 1) (x - 1)
e positivo. Testamos a expressao em cada intervalo dessa maneira e registramos os resultados em
nossa fIgura. Concluida essa opera9ao, simplesmente lemos os intervalos nos quais (1) esatisfeita
e escrevemos a solu9ao: -1 < x < 0 ou 1 < x ou, de modo equivalente, (-1,0) ou (1,00).
•
-I
+
•a
Figura 1.4
•I
+
Numeros. fun{:oes e grdficos 7
Acrescentamos alguns comentarios sobre 0 uso de intervalos para que se compreenda 0
significado geornetrico da expansao decimal de urn numera real. No caso do irracional 0,0 fato
de que a sua expansao decimal e 1,414... significa que 0 numera V2 satisfaz cada uma das
desigualdades da seguinte relayao infmita:
1 ~ fi ~ 2,
1,4 ~ fi ~ 1,5,
1,41 ~ fi ~ 1,42,
Isto, por sua vez, significa que 0 ponto correspondente a V2 esta em cada urn dos intevalos
fechados com extrernidades racionais: [1,2], [1,411,5], [1,141 11,42] ... Essa sequencia de
"intervalos encaixados" e mostrada na Fig. 1.5. Egeometricamente claro que existe urn e somente
urn ponto que esta em todos esses intervalos, e, nesse sentido, a expansao decimal do numera
V2 pode ser interpretada como urn conjunto de instruyoes especificando a posiyao exata do ponto
V2 na reta real. Como V2 e irracional, ele e urn ponto interior de todos os intervalos dessa
sequencia.
[1. 21
,---------------~---------------------l
: ,_£:1[1,4,1,5 1 I
I I~ [1,41,1,42) :
I Ir'f i
I III I II
I III I I
-.. W • •
1 1,4 1,5
Figura 1.5 -J2 = 1,414... localizado geometricamente.
Enfatizamos que nossas metas neste livro sao quase inteiramente praticas. Entretanto nossas
.discussoes muitas vezes fazem aparecer certas quest6es "nao-pniticas", que alguns Ieitores poderao
considerar interessantes e atraentes. Por exemplo, como sabemos que 0 numero 0 e irracional?
Aos leitores com tempo e inclinayao para atacar essas questoes - e tambem porque consideramos
que vale a pena conhecer as respostas por si mesmas, sem outra fmalidade -, oferecernos material
para aprofundamento em apendices ocasionais (veja 0 Apendice A.I).
8 Calculo com Geometria Analftica
Problemas
1. Ache todos os valores de x que satisfazem cada uma das seguintes condiyoes:
(a) Ixl = 5;
(c) Ix - 21 = 4;
(e) Ix + 11 = 12x - 21;
(g) Ix-31:s5.
(b) Ix + 41 = 3;
(d) Ix + 11 = Ix - 21;
(f) Ix2 - 51 = 4;
2. Resolva as seguintes desigualdades (ou inequayoes):
(a) x(x - 1) > 0;
(c) (x - 1)(x + 2) < 0;
(e) x 2(x - 1) ~ 0;
(g) x 2 + 4x - 21 > 0;
(i) 1 - x :s 2x2;
(k) x 3 + 1 < x 2 + x;
(b) x 4 < x 2;
(d) x 2 - 2 ~ x;
(f) (2x + 1)8(X + 1) :s 0;
(h) 2x2 + x < 3;
(j) 4x2 + lOx - 6 < 0;
(1) x 2 + 2x + 4 > O.
3. l..embrando que va e um numero real se e somente se a ~ 0, ache os valores de x para
os quais cada uma das seguintes expressoes eurn nlimero real:
(b) ..)x2 - 9;
(d) 1
vx2 -x- 12
(c) ~;
v4 - 3x
(a) ..)4 - x 2;
1
4. Ache os valores de x para os quais cada uma das seguintes expressoes e positiva:
x
(a) x2 + 4;
(c) x + 1;
x-3
x
(b) x2 - 4;
(d) x 2 - 1 .
x 2 - 3x
5. Mostre, por meio de urn exemp10 numerico, que a seguinte afirmayao nao e verdadeira: se
a < bee < d, entao ac < bd. (para essa afirmayao ser verdadeira, ela devera ser verdadeira
para todos os nlimeros a, b. c, d. satisfazendo as condiyoes estabelecidas. Vma Unica exceyao
- chamada contra-exemplo - e, portanto, suficiente para demonstrar que a afirmayao nao
e verdadeira.)
Numeros, fun90es e grdficos 9
6. Se a, b, c e d sao numeros positivos tais que alb < cld, mostre que
a a+c c
-<--<-b b + d d'
7. Mostre que 0 numero ~ (a +b), chamado media aritmetica de a e b, e 0 ponto medio do
intervalo a';;;;; x';;;;; b. (Sugestao: 0 ponto medio e a mais a metade do comprimento do
intervalo.) Ache os pontos de trisseyao desse intervalo.
8. Se 0 < a < b, mostre que a 2 < b 2 e.,Ja< ..,fE.
9. Se 0 < a < b, 0 numero.,Jab chama-se media geometrica de a e b. Mostre que
a<...;ab< b.
10. Se a e b sao numeros positivos, mostre que.,Jab ,;;;;; ~ (a +b).
1.3 0 PLANO COORDENADO
Assim como os numeros reais sao utilizados como coordenadas para pontos de uma reta,
pares de ntimeros reais podem ser utilizados como coordenadas para pontos de urn plano. Com esse
prop6sito estabelecemos urn sistema de coordenadas retangulares no plano, como se segue.
Desenhamos duas retas perpendiculares no plano, uma horizontal e a outra vertical, como
na Fig. 1.6. Essas retas chamam-se eixo x e eixo y, respectivamente, e seu ponto de interseyaO
chama-se origem. As coordenadas sao assinaladas nesses eixos da maneira descrita anteriormente,
com a origem como 0 ponto zero em ambos os eixos e a mesma distancia unitaria em ambos os
eixos. 0 serni-eixo positivo dos x esta a direita da origem, e 0 semi-eixo negativo dos x a esquerda,
como antes; 0 serni-eixo positivo dos y esta acima da origem, e 0 semi-eixo negativo dos y esta
abaixo.
Agora consideremos urn ponto P qualquer do plano. Desenhamos uma reta por P paralela
ao eixo dos y, e seja x a coordenada do ponto em que essa reta corta 0 eixo dos x. Analogamente,
desenhamos uma reta por P paralela ao eixo dos x, e seja y a coordenada do ponto em que essa
reta carta 0 eixo dos y. Os numeros x e y determinados dessa maneira chamam-se coordenada
x e coordenada y de P. Ao nos referirmos as coordenadas de P, e costume escreve-Ias como urn
par ordenado (x, y), com a coordenada x escrita em primeiro lugar; dizemos que P tern
coordenadas (x, y)*.
* Na pnitica, 0 usa da mesma nota~iio para pares ordenados e intervalos abertos jamais leva a confusao, pois em
qualquer contexto especifico fica sempre claro 0 que esta sendo tratado.
10 Ctilculo com Geometria AnaUtica
2<) quadrante Eixo y. 1<) quadrante
3 y(.-4.3)t------------/
I ...-----------1 p = (x . .1')
: 2 I
I I
I :
I I
I I x
1 • l~
-5 -·4 -3 -2 -y 2 3: 4 5 Eixox
Origem (0: 0) -I i
I
~ --------J(3. -2)
3
3<) quadrante 4<) quadrante
Figura 1.6 0 plano coordenado, ou plano xy.
Essa correspondencia entre 0 ponto P e suas coordenadas e uma correspondencia um-a-um entre
todos os pontos do plano e todos os pares ordenados de numeros reais, pois P determina suas
coordenadas univocamente, e, revertendo 0 processo, vemos que cada par ordenado de numeros
reais determina univocamente urn ponto P tendo esses nUmeros como suas coordenadas. Como
no caso da reta real, e costume deixar de lado a distinyao entre urn ponto e suas coordenadas e
falar de "0 ponto (x, y)" em vez de "0 ponto com coordenadas (x, y)". As coordenadas x e y
do ponto P sao, as vezes, chamadas de abscissa e ordenada, respectivamente, de P. a leitor deve
notar, em particular, que os pontos (x, 0) estao sobre 0 eixo dos x, os pontos (O,y) sobre 0
eixo dos y e que (0, 0) e a origem. Deve tambem notar que os eixos dividem 0 plano em quatro.
quadrantes, como rnostrado na Fig. 1.6; esses quadrantes sao caracterizados, como se segue, pelos
sinais de x e y: primeiro quadrante, x> 0 e y> 0; segundo quadrante,x < 0 ey < 0; terceiro
quadrante, x < 0 e y < 0; quarto quadrante, x > 0 e y < O.
Quando 0 plano esta munido do sistema de coordenadas aqui descrito, e usualmente
chamado plano coordenado, ou plano xy.
A Formula da Distancia
Grande parte de nosso trabalho envolve ideias geometricas - triarrgulos retarrgulos, triarrgulos
semelhantes, circulos, esferas, cones etc. -, e consideramos que os estudantes tenham ja adquirido
uma razoavel comprensao da geometria elementar nos cursos anteriores. Urn fato notivel de
particular importarrcia e 0 Teorema de Pitagoras: "Em todo triarrgulo retarrgulo, a soma dos
Numeros. fim90es e grtificos 11
quadrados dos catetos e igual ao quadrado da hipotenusa" (Fig. 1.7). Dentre as diversas
demonstra~6esdesse teorema, a que se segue talvez seja a mais simples Sejam a e b os catetos e
C, a hipotenusa; disponha quatro replicas do triangulo nos cantos de urn quadrado de lado a +b,
como mostra a Fig. 1.7. Entao, a area do quadrado maior eigual a 4 vezes a area do triangulo mais
a area do quadrado menor; isto e,
(a + W = 4(!ab) + c 2.
Isto se simplifica imediatamente para a2 + b2 = c2 , que e 0 Teorema de Pitagoras*.
u b
(/~
b b (/
Figura 1.7 0 Teorema de Pitagoras e uma de suas demonstrayoes.
Como primeira de muitas aplicayoes desse fato, obtemos a formula da distancia d entre dois
pontos quaisquer do plano coordenado. Se os pontos sao PI = (x I, Yl) e P2 = (X2' Y2), entiro 0
segmento que os une e a hipotenusa de urn triangulo retangulo (Fig. 1.8), com catetos I XI - X2 1e
IY I - Y2 I. Pelo Teorema de Pitagoras,
d2 = IX I - x212 + IY1 - )'21 2
= (XI - x2)l + (YI - )'2)2,
logo
* Os estudantes interessados em aprender urn poueo mais aeerea dos homens extraordinarios que criaram
a Matematica eneontrarao no Apendice C urn breve relata sobre quase todas as personalidades eujas
contribuiyoes sao meneionadas no deeorrer deste livre.
12 Cdlwlo com Geometria Analftica
que e af6rmula da distdncia.
)'
.1'2-
I
I" -.Xl
Figura 1.8
X
Exemplo 1 A distancia d entre os pontos (-4,3) e (3, -2) na Fig. 1.6 e
d = ./(-4 - 3)2 + (3 + 2)2 = .J74.
Observe que, ao aplicar a formula (1), a ordem em que os pontos sao tornados nao importa.
Exemplo 2 Achar os comprimentos dos lados do triangulo cujos vertices sao P1 = (-1, -3),
Pz =(5,-I)eP3 =(-2,10).
Por (1), esses comprimentos sao
PlP2 = ./(-1 - 5)2 + (- 3 + 1)2 = ,J46 = 2110,
P I P3 = ./(-1 + 2)2 + (- 3 - 10)2 = If70 e
P2P3 = ./(5 + 2)2 + (-1 - 10)2 = 1f7O.
Esses c3.lculos revelam que 0 triangulo e isosceles, sendo P1P3 e PZP3 os lados iguais.
As Formulas do Ponto Media
Muitas vezes e uti! conhecer as coordenadas do ponto medio do segmento que une dois
Numeros, funfoes e grdficos 41 
6. . Se f(x) = 1 - x, mostre que f(f(x)) = x . 
7. Sef(x)= x~ 1 ,calcule f(0),f(I),f(2),f(3)ef(f(3)) . Mostrequef(f(.x))=x . 
ax +b 
8. Se f(x) = x _ a ' mostre que f(f(x)) = x . 
9. Se [(.x) = 1/(1 -x), calcule f(O),f(1 ),f(2),f(f(2)) e f(f (f (2))) . Mostre que f(f(f(x))) = x. 
10. Se f(x) = ax, mostre que f(x) + f(l - x) = f(l). Verifique tambem que f(x 1 + X 2) = f(x d + 
+ f(.x2) para quaisquer Xl e X2. 
11. Se f(x) = 2x, use a notayao funcional para exprimir 0 fato de que 2X 1 . 2X2 = 2X 1 + X 2 . 
12. Se f(x) = 10glO x, use a notayao funcional para exprimir 0 fato de que 10glO XIX2 
=lOglOXj +]OgIOX2 . 
13 . Funyao linear afim e uma funyao que tern a forma f(.x) = ax + b, onde a e b sao constantes. 
Se g(x) = ex + de tambem linear afirn, e sempre verdade que f(g(x)) = g(f(x))? 
14. Se f(x) = ax + b e uma funyao linear afim com a"* 0, mostre que existe uma funyao linear 
afirn g(x) = ax + (3 tal que f(g(x)) = x* . Mostre tambem que para essas funyoes e verdade 
que f(g(x)) = g(f(x)). 
15 . Funyao quadrdtiea e uma funyao que tern a forma f(x) = ax2 + bx + e, onde a, bee sao 
constantes com a"* O. 
(a) Ache os valores dos coeficientes a, bee se f(O) = 3,1(1) = 2 e f(2) = 9. 
(b) Mostre que, independentemente dos valores dados aos coeficientes a, bee, a imagem 
de uma funyao quadnitica nao pode ser 0 conjunto de todos os numeros reais. 
1.7 TIPOS DE FUNCAO. FORMULAS DA GEOMETRIA 
Na Seyao l.6 discutimos em detalhe 0 conceito de funyao. 
* Os simbolos a e {3 sao letras do alfabeto grego cujos nomes sao "alfa" e "beta". As letras desse alfabeto (veja 
o Apendice F) sao utilizadas com tanta freqiiencia em Matematica e outras ciencias que 0 estudante deve 
aprende-las 0 mais cedo posslve!. 
42 Ctilculo com Geometria Analftica 
Essa discussao pode ser resumida como se segue . 
Se x e y sao duas variaveis relacionadas de tal modo que, sempre que urn valor numerico 
e associado a x, esta determinado urn unico valor numerico correspondente para y , entao dizemos 
que y e umafunfao de x e exprimimos esse fato escrevendo y = f(x). A letraf simboliza a pr6pria 
fun((ao , que e a opera((ao ou regra de correspondencia que produz y quando aplicada a x . N~ 
entanto , por motivos praticos , preferimos falar de "a fun ((ao y = f (x )" em vez de "a fun((ao 
f' . Como questao de principio , os estudantes devem entender claramente que uma fun((ao nao e 
uma f6rmula nem precisa ser especificada por uma f6rmula , embora a maior parte de nossas 
fun((oes 0 sejam. 
Na pnitica, as fun((oes surgem , com freqiiencia , de rela((oes algebricas entre variaveis. Assim, 
uma equa((ao envolvendo x e y determina y como fun((ao de x se tal equa((ao for equivalente a 
uma f6rmula que exprima univocamente y em termos de x . Por exemplo , a equa((ao 4x + 2y = 6 
pode ser resolvida para y , y = 3" - lx , e essa segunda equa((ao define y como fun((ao de x. 
Entretanto , em alguns casos , 0 processo de resolu((ao para y leva a-mais de urn valor de y. Por 
exemplo , se a equa((ao for y2 = x, temos y = ± rx Como temos dois valores de y para cada 
valor positivo de x, a equa((ao y2 = X nao determina por si mesma y como fun((ao de x . Se 
desejarmos , podemos repartir a f6rmula y = ± Vx em duas f6rmulas: y = Vx e y = - -..rx: 
Cada uma dessas formula define y como fun((ao de x , de modo que de uma equa((ao obtemos duas 
fun((oes . 
o numero de fun((oes individuais distintas e claramente ilimitado. No entanto, a maio ria 
das que aparecem neste livro e relativamente simples e pode ser classificada em algumas categorias 
convenientes . Podera ser util para a orienta((ao dos estudantes apresentarmos grosso modo uma 
descri((ao dessas categorias em ordem crescente de complexidade. 
Polinomios 
As fun((oes mais simples sao as potencias de x com expoentes inteiros nao-negativos, 
1,x,x2,x3, . .. ,xn , .. .. 
Se uma quantidade finita delas e mUltiplicada por constantes e os resultados sao somados, 
obtemos urn polin6mio 
o grau de urn polinomio e 0 maior expoente de x que aparece nele; se an =1= 0 , 0 grau de p(x) e 
n . Os polinomios seguintes sao de grau 1, 2 e 3, respectivamente : 
y = 3x - 2, y = 1 - 2X+X2, 
Numeros, funfoes e grtificos 43 
Os polin6mios podem, evidentemente, ser multiplicados por constantes, somados, subtraidos e 
multiplicados, e os resultados serao novamente polinomios. 
Fun~oes Racionais 
Se permitirmos tambem a divisao entre polinomios, passaremos dos polinomios para as 
funyoes racionais tais como 
X 
x 2 + l' 
x+2 
x -2 ' 
x 3 - 4x2 + x + 6 
x2 + x + 1 
A funyao racional geral e urn quociente de polinomios 
ao + a1x + a2x 2 + . . . + anxn 
bo + b1x + b2x2 + ... + bmxm' 
1 
x+ - . 
x 
e uma dada funyao e racional se ela e ou pode ser expressa sob a forma de tal quociente. Se 0 
denominador for uma constante mlo-nula, esse quociente sera, ele proprio, urn polin6mio . Assim, 
os polin6mios estao incluidos entre as funyoes racionais. 
Fun~oes Aigebricas 
Se permitirmos extrayoes de raizes de polinomios, passaremos das funyoes racionais para a 
classe das funyoes algebricas, que sera devidamente definida em urn capitulo posterior. Alguns 
exemplos simples sao 
y = fX, y = x + ~X2 + 1, 1 y =--~' y =1
X + 1. 
x - I 
Usando a notayao de expoentes fracionarios, essas funyoes poderao ser escritas 
y = x + (x2 + 1 )1 /3, y = (1 - X)-1 /2, _ (x+ 1)1/4 y - -- . 
x -I 
44 Calculo com Geometria Analftica 
Func;:oes Transcendentes 
Toda funr;:ao que nao e algebrica se diz transcendente. As (micas funr;:oes transcendentes 
estudadas no OHculo sao as funr;:oes trigonometricas, trigonometricas inversas, exponenciais 
e logaritmicas. Nao partimos do pressuposto de que os estudantes tenham qualquer conhecimento 
previo dessas funr;:oes.Todas elas serao cuidadosamente explanadas em cap{tulos posteriores. 
Concluimos esta seyao com uma breve revisao de algumas funyoes importantes que aparecem 
na Geometria. Vma nipida compreensao das f6rmulas da Geometria dadas na Fig. 1.24 e essencial 
para enfrentar os muitos exemplos e problemas dos capJtulos seguintes . Essas f6rmulas, para a 
area e circunferencia do circulo , para 0 volume e area da super[{cie de uma esfera e para 0 volume 
e area da super[{cie lateral de urn cilindro e de urn cone , devem ser compreendidas e relembradas. 
Circulo 
A = 11"/" 1 
C = 211"r 
" 
----r--1 '- .... -:::;..-
Esfera 
v = 411"r 3 
A := -t;rr2 
Cilindro 
,. = .. r1" 
A = 2i1rh 
Figura 1.24 Formulas de Geometria 
Cone 
r·= ~ rrr2" 
A = 1I"rs 
Cada uma das quatro primeiras formulas, as do drculo e da esfera, define uma funyao da 
variavel independente r, em que urn dado valor positivo de r determina 0 valor correspondente 
da variavel dependente. 
Nossa atenyao neste livro sera dedicada a funr;:oes de uma (mica variavel independente, como 
foram previamente definidas e discutidas. Todavia, assinalamos que cada uma das Ultimas formulas 
da Fig. 1.24 define uma funr;:ao de duas variaveis r e h; essas variaveis sao chamadas independentes 
(uma da outra) porque 0 valor atribufdo a uma delas nao precisa estar relacionado com 0 valor 
atribufdo a outra. Em circunstancias especiais, uma funyao dessa natureza pode ser expressa como 
funyao de apenas uma variavel. Por exemplo , se a altura de urn cone e conhecida como sendo 0 
dobra do raio da base, de modo que h = 2r, entao podemos escrever a formula para esse volume 
como funr;:ao de r ou como funyao de h: 
ou 
Numeros, jUncoes e grtificos 45 
As formulas da Fig. 1.24 ilustram tambem a pnitica de se escolher letras para as variaveis de forma 
que tenham alguma relayao com as grandezas em questao , tais como A para area, V para volume , r 
para raio e assim por diante. 
Problemas 
1. Decida, em cada caso ,se a equayao determina ounaoy como funyao de x e,em caso afirmativo , 
ache urna formula para a funyao 
(a) 3x2 + y2 = I; 
(c) y + 1 = x; 
y-I 
(b) 3x2 + y = I; 
1 (d) x = y -- . 
y 
2. Separe, a equayao 2x2 + 2xy + y2 = 3 em duas equayoes, de modo que cada uma delas 
determine y como funyao de x. 
rodos os problemas seguintes envolvem Geometria. Ao trabalhar com tais problemas, faya 
sempre uma figura e use essa figura como fonte de ideias. 
3. Se urn trhingulo eqililatero tern lado x, exprima sua area como funyao de x. 
4 . Os lados iguais de urn trhingulo isosceles tern medida 2. Se x e a base, exprima a area como 
funyao de x. 
5. Se a aresta de urn cuba e x, exprima seu volume, a area de sua superficie e sua diagonal como 
. funyoes de x. . 
6. Urn retangulo, cuja base tern comprimento x, esta inscrito num circulo de raio a. Exprima 
a area do retangulo como funyao de x. 
7. Urn fio de comprimento L e cortado em dois pedayos, e estes tomam a forma de urna 
circunferencia e de urn quadrado. Se x e 0 lado do quadrado, exprima a area total englobada 
pelas d,!as figuras como funyao de x. 
8. (a) A area de urn circulo e funyao do comprimento de sua circunferencia? Se for, qual e 
essa funyao? 
(b) A area de urn quadrado e funyao de seu perimetro? Se for, qual e essa funyao? 
(c) A area de urn triangulo e funyao de seu perimetro? Se for, qual e essa funyiIo? 
9. 0 volume de uma esfera e funyao da area de sua superficie? Ache uma formula para essa 
funyao. 
46 Ctilculo com Geometria Analftica 
10. Urn ci1indro esta inscrito numa esfera de raio a. Se h e a altura e r 0 raio da base do cilindro, 
exprima seu volume e a area da superficie total como funyoes de r e tambem como funyoes 
de h. 
11 . Urn cilindro esta circunscrito a uma esfera, sendo os respectivos volumes denotados por C 
e S. Ache C como funyao de S. 
12. Urn cilindro tern volume dado V. Exprima a area total de;! sua superf icie como funyao do raio 
r de sua base. 
13 . Urn cone dado tern altura H e raio da base R. Se urn cilindro com raio da base r e inscrito 
no cone, exprima 0 volume do cilindro como funyao de r. 
14. (a) Urn fazendeiro tern 100 metros de cerca para construir urn galinheiro retangular. Se x 
e 0 comprimento de urn lado do galinheiro, mostre que a area cercada e 
A = 50x - x 2 = 625 - (x - 25 )2. 
Use 0 resultado para achar a maior area cercada possivel e os comprimentos dos lados 
que dao essa maior area. 
(b) Suponha que 0 fazendeiro da questao (a) decida construir a cerca mas aproveitando 
a parede de urn celeiro, de modo que ele tera de cercar apenas tn!s lados. Se x e 0 
comprimento de urn lade perpendicular a pare de do celeiro, ache a area cercada como 
func;:ao de x. Ache tambem a maior area possivel e os comprimentos dos lados que 
Mo essa maior area. 
1.8 GRAFICOS DE FUNCOES 
Os chineses tern urn proverbio que exprime uma verdade fundamental ace rca do estudo da 
Matematica: "Uma boa figura vale mais que mil palavras". Em nosso estudo de func;:oes, ele 
se aplica a desenhar grd[icos. Acrescentamos que devemos cultivar 0 habito de pensar graficamente 
ate 0 ponto em que isto se tome automatico. 
Antes de descer aos detalhes de func;:oes especificas, enfatizamos que muitas vezes e possivel 
pensar no grafico de uma funyao y = [(x) muito concretamente, como a trajet6ria de urn ponto 
mOvel (Fig. 1.25). 
y 
Pont os altos --,. 
/<x,)') 
• ~ x 
Figura 1.25 
Numeros, funfoes e grdficos 47 
x 
A varia vel independente x pode ser visualizada como urn ponto m6vel ao longo do eixo x da 
esquerda para a direita; cada x deterrnina urn valor da variavel dependente y, que e a cota do 
ponto (x, y). 0 grafico da funyao e simplesmente a trajet6ria do ponto (x, y) quando ele se move 
por meio do plano carte siano , as vezes subindo e as vezes descendo, em geral variando a cota 
de acordo com a natureza da funyao em consideraij:ao. 0 gnifico como urn todo pretende dar urn 
retrato completo e claro dessa variayao. 0 grafico que se ve na Fig. 1.25 e uma curva lisa com 
dois pontos altos e urn ponto baixo (Picos), mas este e apenas urn exemplo, podendo ocorrer 
situaij:oes muito diversas das apresentadas. 
Discutiremos agora os graficos dos exemplos representativos dos tipos de funyao descritos 
na Seij:ao 1.7. 
Polinomios 
Vimos que os polin6rnios mais simples sao as potencias de x com expoentes inteiros nao-
negativos: 
y = 1,x,x2,x3, . .. ,x", .... 
Como sabemos, 0 grafico de y = 1 e uma reta horizontal que passa pelo ponto (0, 1) e 0 
grafico de y = x e a reta que passa pela origem, com coeficiente angular 1 (Fig. 1.26a). Para 
valores maiores do expoente n, os graficos de y = 0 sao de dois tipos distintos, dependendo 
de ser n par ou {mpar: 
e 
48 Ctilculo com Geometria Analftica 
Esses tipos sao mostrados nos itens bee da Fig. 1.26. 
Y =x 
(a) 
Y = Xll, Il par 
e ll::::: 2 
(b) 
x 
Figura 1.26 Graficos de y = xn. 
Yl Y =x". n {mpax 
f en::::: 2 
x 
(c) 
Quando n cresce, essas curvas se tornam mais achatadas perto da origem e mais inclinadas fora do 
intervalo [- 1,1]. 
e 
Ja sabemos que os gnificos dos polinornios de primeiro e segundo graus tais como 
y = 2x - l 
y = 3x2 - 2x + 1, 
sao retas e panibolas. Esses gnlficos sao faceis de desenhar , sem ser ponto a ponto, baseando-se nas 
ideias das Seyoes 1.4 e 1.5 . 
Para nossa proxima observayao, precisamos de uma nova terrninologia. Uma raiz (ou urn 
zero) de uma funyao y = [(x) e uma .raiz da equayao correspondente [(x) = 0. Geometrieamente, 
os zeros dessa funyao (se e que ela tern algum) sao os valores de x em que 0 seu gnifico atravessa 
ou toea 0 eixo x. 
Consideramos agora 0 polinornio geral de segundo grau 
y = ax2 + bx + c, a oF o. (1) 
Como sabemos, 0 gnifico dessa funyao e uma parabola para todos os valores dos eoeficientes.Supondo-se que a > 0, de modo que a parabola se abre para eima, hi tres possibilidades para 0 
os zeros de (1), e estas sao mostradas na Fig. 1.27. 
Numeros, /U1Z{:oes e graficos 49 
y , y y \:7 ! Dois zeros 
x 
Figura 1.27 
Como as raizes da equac;:ao quadnitica ax2 + bx + c = 0 sao dadas pela formula 
- b ± ,JlJ2 - 4ac 
Xl 2 =------::----
, 2a 
x 
e claro que as tres possibilidades da Fig. 1.27 correspondem as condic;:oes algebricas 
b2 - 4ac > 0, b 2 - 4ac = 0, b2 - 4ac < O. 
o problema de construir os gnificos de polinornios de grau n ~ 3 nao e faci!o Nossa 
discussao dos exemplos seguintes sugere divers as ideias tlteis. 
Exemplo 1 0 grafico de 
Y = X3 - 3x (2) 
e mostrado na Fig. 1.28. 
y 
x 
(1, -2) 
Figura 1.28 
50 CiJlculo com Geometria Analftica 
Ate 0 presente momenta nao temos metodos disponiveis para descobrir facetas importantes dessa 
curva, como a localizas:ao precisa dos pontos altos e baixos (Picos). Isto vini mais tarde. Todavia, 
algumas observas:oes podem ser feitas , e estas darao ao menos alguns detalhes e uma impressao 
suficientemente boa da forma do gnifico , de modo que os estudantes sejam capazes de esbos:a-Io 
por si mesmos. 
Comes:amos destaqndo que se (2) for escrita na forma fatorada 
y = x (x 2 - 3) = x(x + 13)(x - 13), (3) 
entao seus zeros serao obviamente 0, - V3, ..[3. Esses tres numeros dividem 0 eixo x em quatro 
intervalos, como se ve na Fig. 1.29, e uma rapida inspes:ao de (3) revela que em cada intervalo y 
tern 0 sinal dado na figura. 
+ + 
• • • 
-.../3 o ,fi 
Figura 1.29 
Sabemos , portanto, para cada intervalo, se 0 grafico de (2) esta acima ou abaixo do eixo x (veja 
Fig. 1.28). 
Nossa segunda observas:ao se refere ao comportamento do grafico de (2) quando x e 
numericamente grande, isto e, bern para a direita e bern para a esquerda na Fig. 1.28 . Escrevendo-
se (2) sob a forma 
Y = X3 (1-~) , 
x 2 
x =fo 0, 
vemos que, para grandes valores positiv~s ou negativos de x, a expressao entre parenteses esta perto 
de 1, e assim y esta perto de x 3 . Em linguagem geometrica, quando x e grande , 0 grafico de (2) 
esta perto do grafico de y = x 3 , como sugere a Fig. 1.28. Em particular, 0 grafico de (2) e 
crescente a dire ita e decrescente a esquerda . 
Os estudantes notarao que sempre poderao esbos:ar urn grafico , dispendendo muita energia, 
assinalando muitos pontos e unindo esses pontos por uma curva razoavel. Todavia, esse 
procedimento bern grosseiro deve ser adotado somente como Ultimo recurso, quando metodos 
mais imaginativos falharem. Os aspectos importantes das funs:oes e seus gnificos sao muito mais 
claramente revelados pelo enfoque qualitativo do esbos:o de curvas que tentamos sugerir e que 
continuaremos a enfatizar. 
Fun~oes Racionais 
Exemplo 2 A fun~ao raeional mais simples nao-polinomial e 
I Y=x· 
Numeros, ftlnfoes e grlificos 51 
(4) 
Examinando-se (4), notamos os seguintes fatos: y e indefinido para x = 0; y e positivo quando x e 
positivo ; e pequeno quando x e grande; e grande quando x esta perto do zero a direita;y e negativo 
quando x e negativo ; e pequeno quando x e grande e grande quando x esta pr6ximo de 0 a 
esquerda. 0 grafieo de (4) dado na Fig. l.30 e uma versao piet6riea direta dessas afirma~oes . 
Ct , 4) 
c-I.:1-
C-f,-4) 
Figura 1.30 
Nesse easo particular 0 grilleo e tambem faeil de esbo~ar assinalando alguns pontos, como mostra 
a figura. No en tanto , os estudantes terao muito maior proveito sirnplesmente visualizando 0 
comport amen to de tal fun~ao nas diversas partes de seu domfnio e desenhando 0 que veem. 
Uma reta ehama-se assintota de uma eurva se, quando urn ponto se move ao longo de uma 
parte extrema da curva, a distancia desse ponto a reta se aproxima de O. E claro que ambos os 
eixos x e y sao assintotas do grafieo mostrado na Fig. 1.30. 0 eomportamento da fun~ao (4) 
no ponto x = 0 e perto dele , isto e, 0 fato de que y nao esta definido em x = 0 e "torna-se 
infinito" perto de x = 0, e deserito dizendo-se que nesse ponto oeorre uma descontinuidade 
infinita da fun~ao. 
Exemplo 3 No caso da fun¢o 
x y=--
x -I ' 
(5) 
52 Calculo com Geometria AnaUtica 
e claro que 0 ponto x = 1 tern urn interesse particular, pois y nao esta definido em x = 1 e e grande 
quando x esta perto desse ponto (x = 1 e uma descontinuidade infinita). Tambem vemos que 
y esta perto de 1 e e urn pouco menor que 1 quando x e grande e negativo*. Essas observayoes 
sugerem desenhar as linhas verticais e horizontais mostradas na Fig. 1.31a. Observando-se que 
y = 0 quando x = 0 e dando atenyao ao sinal de y em cada urn dos intervalos - 00 < x < 0, 
0< x < 1 e 1 < x, entao 0 grafico dado na Fig. 1.31a fica muito facil de se esboyar. Ambas as 
retas x = 1 e y = 1 sao assintotas . 
----------
Exemplo 4 A funyao 
1"---~------
(a) 
I 
I 
11 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
Figura 1.31 
x x y = = . 
x 2 - 3x + 2 (x - 1 )(x - 2) 
(b) 
12 
I in: I I I I 
I I 
I I 
I I 
--
(6) 
e semelhante a (5), mas urn pouco mais complicada. Aqui a forma fatorada do denominador revela 
duas descontinuidades infinitas: x = 1 e x = 2. De novo, y = ° quando x = 0 , mas dessa vezy e 
pequeno quando x e grande, pois 0 grau do denominador e maior que 0 do numerador. 
Combinando-se esses fatos com 0 sinal observavel de y em cada urn dos intervalos - 00 < x < 0, 
° < x < 1, 1 < x < 2 e 2 < x , entao e razoavelmente facil esboyar 0 grafico como na Fig. 1.31 b. 
E evidente que ha urn ponto alto entre 1 e 2 e urn ponto baixo a 'esquerda de 0, mas ate agora 
nao estamos capacitados a determinar a localizayao precisa desses pontos (eles ocorrem em 
x = Vi e x = -V2 ). 
10 
* Para ver isto, teste com valores especificos convenientes de x; assim, por exemplo, y = quando x = 10, 
10 9 
ey= - quando x = - lO, 
11 
Exemplo 5 A funyao 
1 y = x +-
x 
Numeros, funfoes e grdficos 53 
(7) 
tern descontinuidade infinita em x = 0 e e positiva ou negativa con forme x seja positiv~ ou 
negativo . Para x positiv~ pequeno, 0 primeiro termo a direita de (7) e desprezivel e 0 segundo 
termo e grande; para x positivo grande , 0 segundo termo e desprezivel eye aproxirnadamente 
igual ax. Logo , esboyamos a parte do grafico no semiplano dire ito como se segue: desenhamos 
a linha y = x (Fig. 1.32), colocamos as duas partes extremas da curva, aproximando-se dessa 
linha e do semi-eixo positiv~ dos y, como foi sugerido pelo comportamento previamente 
estabelecido, e ligamos essas partes extremas de mane ira razoavel, considerando que nessa parte 
o grafico tern obviamente urn ponto baixo. A funyao se comporta analogamente, com urn 
correspondente ponto alto para valores negativos de x. 0 eixo yea reta y = x sao ambas 
assintotas . 
Exemplo 6 0 denominador de 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
y 
, 
~: 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
// X 
~ 
Figura 1.32 
x 
y = x 2 + 1 (8) 
e positivo (de fato;;;;' 1) para todo x, assim y = 0 quando x = 0, y e positiv~ quando x e positivo 
eye negativo quando x e negativo. E, tambem,y e pequeno quando x e grande, porque 0 grau do 
)4 Cti[cu[o com Geometria Analftica 
denominador e maior que 0 do numerador*. Essas propriedades da funyao foryam 0 gnifico a ter 
a forma mostrada na Fig. 1.33 . 
Exemplo 7 Ao considerar a funyao 
e natural fatorar 0 numerador, obtendo 
Figura 1.33 
x 2 - 1 
y=--
x - I ' 
(x + I)(x - 1) 
y = x -I ' 
e entao cancelar 0 fator comum, 0 que nos da 
y = x + 1. 
(9) 
(10) 
Esse cancelamento e valido exceto quando x = 1. Nesse ponto 0 valor de (1 0) e 2, mas (9) nao tern 
valor (y = 0/0 , 0 que nao tern significado). Portanto , para esboyar 0 grafico de (9), desenhamos 
a reta (10) e retiramos 0 ponto (1 , 2) como na Fig. 1.34. 
/ 
~I 1 I I? t-- ~-
Figura 1.34 
* Observe que, quando