10 - Problemas Geométricos e Matriciais

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Aula 10 – Problemas 
Geométricos e Matriciais 
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Sumário 
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS E MATRICIAIS ........................................................................................................ 3 
ÂNGULOS .......................................................................................................................................................... 3 
POLÍGONOS ....................................................................................................................................................... 8 
Retângulo ..................................................................................................................................................... 12 
Quadrado ...................................................................................................................................................... 14 
Trapézio ........................................................................................................................................................ 16 
Losango ........................................................................................................................................................ 18 
Paralelogramo ............................................................................................................................................... 19 
Triângulo ....................................................................................................................................................... 20 
Círculo ........................................................................................................................................................... 28 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE FIGURAS PLANAS ............................................................................................ 32 
Reta secante e tangente ................................................................................................................................ 32 
Circunferências concêntricas .......................................................................................................................... 33 
Figuras inscritas e circunscritas ....................................................................................................................... 34 
GEOMETRIA ESPACIAL .................................................................................................................................... 38 
Paralelepípedo............................................................................................................................................... 38 
Cubo ............................................................................................................................................................. 42 
Cilindro ......................................................................................................................................................... 44 
Cone ............................................................................................................................................................. 48 
Pirâmide........................................................................................................................................................ 52 
Prisma........................................................................................................................................................... 54 
Esfera............................................................................................................................................................ 56 
TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO (ÂNGULO AGUDO) ............................................................. 58 
Principais razões trigonométricas ................................................................................................................... 58 
Outras razões trigonométricas ....................................................................................................................... 64 
Relação fundamental da trigonometria .......................................................................................................... 64 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO .......................................................................................................................... 65 
Soma e subtração de ângulos ......................................................................................................................... 68 
Leis dos senos e cossenos ............................................................................................................................... 71 
Principais ângulos .......................................................................................................................................... 75 
Funções trigonométricas ................................................................................................................................ 76 
MATRIZES ........................................................................................................................................................ 77 
DETERMINANTES ............................................................................................................................................ 81 
Matriz de ordem 1 .......................................................................................................................................... 81 
Matriz de ordem 2 .......................................................................................................................................... 81 
Matriz de ordem 3 .......................................................................................................................................... 81 
Matriz de ordem 4 ou superior ........................................................................................................................ 83 
Propriedades dos determinantes .................................................................................................................... 86 
SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ................................................................................................................. 87 
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ................................................................................................. 95 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ...................................................................................................................... 166 
GABARITO ..................................................................................................................................................... 197 
RESUMO DIRECIONADO ................................................................................................................................ 198 
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Problemas Geométricos e Matriciais 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro: 
 
Problemas geométricos e matriciais. 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que 
desenvolvo: 
 
 
ÂNGULOS 
Ângulo é a medida de uma abertura delimitada por duas semi-retas. Veja na figura abaixo o ângulo A, 
que é a abertura delimitada pelas duas semi-retasdesenhadas: 
 
O ponto desenhado acima no encontro entre as duas semi-retas é denominado Vértice do ângulo. 
Um ângulo é medido de acordo com a sua abertura. Dizemos que uma abertura completa (isto é, uma 
volta completa), como a vista na figura abaixo, mede 360 graus (360º): 
A 
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Assim, aberturas inferiores a uma volta completa medirão valores entre 0 e 360 graus. Veja um 
exemplo: 
 
O ângulo da figura acima mede 30 graus, que equivale a 1/12 de 360 graus. Portanto, a soma de 12 
ângulos iguais a este equivale a uma volta completa (360º). É importante você conhecer alguns ângulos muito 
comuns. 
Como 360o representam uma volta completa, 180o representam meia-volta, como você pode ver abaixo: 
 
Por sua vez, 90o representa metade de meia-volta, isto é, ¼ de volta. Este ângulo é conhecido como 
ângulo reto, e tem uma representação bem característica: 
 
180o
30
o
 
A 
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Além do ângulo reto (90o), os ângulos podem ser classificados em: 
- Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o. Ex.: 30o, 45o, 60o. 
- Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o. Ex.: 100o, 120o, 140o. 
* os ângulos de 0 e 180o são denominados de ângulos rasos. 
 
Outra classificação de ângulos que você precisa conhecer é: 
- Ângulos congruentes: 2 ângulos são congruentes se possuem a mesma medida 
- Ângulos complementares: 2 ângulos são complementares se a sua soma é 90o 
- Ângulos suplementares: 2 ângulos são suplementares se a sua soma é 180o 
 
Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada Bissetriz: 
 
Quando duas retas se cruzam, formam-se ângulos interessantes, que você também deve conhecer: 
 
 
Note, na figura acima, que o vértice dos ângulos A, B, C e D é o mesmo (simbolizado pelo ponto). Os 
ângulos A e C são denominados ângulos opostos pelo vértice, e tem o mesmo valor. Da mesma forma, os 
ângulos B e D tem o mesmo valor, pois também são opostos pelo vértice: 
A = C 
B = D 
A C 
B 
D 
A/2 
A/2 
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A soma dos ângulos A e B é de 180o (ou seja, são suplementares), assim como a soma dos ângulos B e C, 
C e D, e D e A. 
Da mesma forma, quando uma reta transversal (simbolizada por “r” na figura abaixo) cruza duas retas 
paralelas (“x” e “y”), formam-se ângulos interessantes: 
 
Note que os ângulos A e C são iguais (pois são opostos pelo vértice), assim como B = D, E = G e F = H. 
Observe ainda que A + B = 180o (isto é, são suplementares). O mesmo ocorre com B+C, C+D, E+F etc. 
Os ângulos A e E possuem a mesma medida, sendo chamados de ângulos correspondentes. Veja que o 
mesmo ocorre entre C e G, B e F, D e H. 
Os ângulos A e H somam 180o (são suplementares), sendo chamados de ângulos colaterais externos 
(estão do mesmo lado da reta r, e externamente às retas x e y). O mesmo ocorre entre B e G. 
D+E = 180o também, assim como C+F. Estes são chamados de ângulos colaterais internos (estão do 
mesmo lado da reta r, e internamente às retas x e y). 
E+F e D+C também são suplementares (somam 180o), sendo chamados de ângulos alternos internos 
(estão em lados alternados da reta r, e internamente às retas x e y). 
Por fim, A+B e G+H somam também 180o e são chamados ângulos alternos externos. 
 Veja comigo essa questão: 
IDECAN – COREN/MA – 2013) No triângulo a seguir, o lado KL é paralelo ao segmento DE. 
 
A soma dos valores dos }ngulos “x” e “a” é 
A 
C 
E 
G 
B 
D 
H 
F 
r 
x 
y 
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A) 170°. 
B) 180°. 
C) 185°. 
D) 190°. 
E) 195°. 
RESOLUÇÃO: 
 Como os segmentos KL e DE são paralelos, então: 
 
 Assim, veja que podemos posicionar o mesmo }ngulo “a” na posiç~o em vermelho, pois temos ângulos 
correspondentes. Note ainda que, ao fazer isso, 
a + 115 = 180 
a = 65º 
 
 Também podemos colocar o ângulo de 55º na posição em vermelho, pois novamente temos ângulos 
correspondentes. Perceba que: 
x + 55 = 180 
x = 125º 
 
 Logo, x + a = 190º. 
Resposta: D 
 
Uma outra unidade de medida de }ngulos é chamada de “radianos”. Dizemos que 180o correspondem a 
 (“pi”) radianos. Com esta informaç~o em mãos, conseguimos converter qualquer outro ângulo de graus 
para radianos, ou vice-versa, utilizando uma regra de três simples. Exemplificando, vamos converter 30o para 
radianos: 
180o ----------------------------------------  radianos 
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30o---------------------------------------- X radianos 
Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
180 30
30 3
180 18
 radianos
6
X
X
X

 

  
 
 

 
Da mesma forma, você verá que 360 2 radianoso  . 
 
POLÍGONOS 
Chamamos de Polígono qualquer figura geométrica fechada formada por uma série de segmentos de 
reta. Veja abaixo um exemplo de polígono: 
 
Note que uma figura como esta abaixo, apesar de formada por uma série de segmentos de reta, não é 
um polígono, pois não é fechada: 
 
Um polígono qualquer possui os seguintes elementos: 
- lados: são os segmentos de reta que formam o polígono (a figura abaixo, um pentágono, possui 5 
segmentos de reta, isto é, 5 lados). 
- vértices: são os pontos de junção de dois segmentos de reta consecutivos. Estão marcados com letras 
maiúsculas na figura abaixo. 
- diagonais: são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos, isto é, não devemos 
considerar que os lados do polígono são também diagonais. Na figura abaixo, estão pontilhados: 
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Além disso, ainda temos: 
- ângulos internos: são os ângulos formados nos vértices, entre dois lados consecutivos, na região 
interna ao polígono. Veja-os no triângulo abaixo: 
 
- ângulos externos: são os ângulos formados nos vértices, entre um lado e o prolongamento do outro 
lado, na região externa ao polígono. Veja um exemplo de ângulo externo: 
 
É bom você saber que: 
- o número de lados de um polígono é sempre igual ao número de vértices. Veja que o triângulo possui 3 
lados e 3 vértices, bem como o pentágono possui 5 lados e 5 vértices (o mesmo acontecendo com aquele 
polígono de 5 lados que fizemos no início deste tópico). 
- se um polígono possui n vértices (ou lados), então o número de diagonais é dado pela fórmula abaixo: 
( 3)
2
n n
D
 
 
A 
B 
C D 
E 
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Exemplificando, veja que o triângulo (n = 3) não tem nenhuma diagonal, e o pentágono (n = 5) possui 5 
diagonais. 
- a soma do ângulo interno e do ângulo externo de um mesmo vértice é igual a 180º; 
- a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é: 
( 2) 180oS n   
Usando a fórmula acima, você pode ver que no triângulo (n = 3) a soma dos ângulos internos é 180º, e 
nos quadriláteros (polígonos de 4 lados) esta soma é 360º. 
Veja uma questão onde trabalhamos com as fórmulas do número de diagonais e da soma dos ângulos 
internos: 
CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) A soma dos ângulos internos de um polígono regular que tem 20 
diagonais é 
a) 495 
b) 720 
c) 990 
d) 1080 
RESOLUÇÃO: 
 A fórmula das diagonais de um polígono nos permite descobrir o número de lados do polígono da 
questão.Veja: 
( 3)
2
n n
D
 
 
20 = 
𝑛2−3𝑛
2
 
20 x 2 = n² - 3n 
n² - 3n – 40 = 0 
𝑛 =
−(−3) ± (−3)2 − 4.1. (−40)
2.1
 
𝑛 =
3 ± 9 + 160
2
 
𝑛 =
3 ± 13
2
 
 Como “n” é o número de diagonais, só faz sentido pegarmos o resultado positivo da express~o acima, 
que é: 
𝑛 =
3 + 13
2
=
16
2
= 8 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 
 Aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono, temos: 
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( 2) 180oS n   
S = (8 – 2) x 180 
S = 1080 
Resposta: D 
 
Os polígonos podem ser classificados em côncavos ou convexos. Abaixo temos, da esquerda para a 
direita, um polígono convexo e outro côncavo, ambos com 5 lados: 
 
Veja que o polígono convexo possui todos os ângulos internos inferiores a 180º. Já o polígono côncavo 
possui pelo menos um ângulo interno maior que 180º (marquei-o na figura). Em outras palavras, o polígono 
côncavo possui uma ponta “para dentro”, o que n~o ocorre nos polígonos convexos. 
Chamamos de polígono regular aquele que possui todos os lados iguais e todos os ângulos internos 
iguais (isto é, congruentes). O polígono abaixo é chamado de Hexágono regular. Ele possui 6 lados iguais e 6 
ângulos internos também iguais: 
 
Em um polígono regular como este, é fácil calcular o valor de um ângulo interno. Basta lembrar que a 
soma dos ângulos internos é ( 2) 180
oS n   . Como neste caso n = 6, então S = 720º. Como temos 6 
ângulos internos iguais, basta dividir 720º por 6 e veremos que cada ângulo interno mede 120º. Além disso, é 
fácil calcular o valor de cada ângulo externo. Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo é 180º, 
então cada ângulo externo deve medir 60º. 
Finalizando essa parte introdutória, é válido você conhecer os nomes dos principais polígonos, bem 
como o número de lados de cada um deles: 
 
 
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Nº de lados Nome Nº de lados Nome 
3 Triângulo 9 Eneágono 
4 Quadrilátero 10 Decágono 
5 Pentágono 11 Undecágono 
6 Hexágono 12 Dodecágono 
7 Heptágono ... ... 
8 Octógono 20 Icoságono 
 
Agora vamos conhecer as principais figuras geométricas que podem cair em sua prova. Veremos 
também como calcular a área das mesmas. A área de uma figura nada mais é que o espaço na superfície por 
ela ocupado. 
Quanto ao perímetro, basta você saber o conceito: trata-se da soma dos comprimentos dos lados da 
figura. Faremos uma ressalva quando estivermos trabalhando com as circunferências. 
 
Retângulo 
Chamamos de paralelogramo qualquer quadrilátero (polígono de 4 lados) que possua os lados opostos 
paralelos*. O retângulo é um paralelogramo especial, onde, além dos lados opostos serem paralelos, todos os 
ângulos internos são iguais a 90º, isto é, são ângulos retos (de onde vem o nome retângulo). Chamamos o 
lado maior de base, e o lado menor de altura. Veja-o abaixo: 
 
*Obs.: você lembra que dois segmentos de reta são paralelos quando nunca se cruzam, isto é, seguem lado 
a lado “até o infinito”? 
A área do retângulo é dada pela multiplicação de sua base (b) pela sua altura (h), conforme a fórmula 
abaixo: 
A = b x h 
Num retângulo com 10 centímetros de lado e 3 centímetros de altura, a área será: 
b 
b 
h h 
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210 3 30A cm cm cm   
Note que, assim como multiplicamos o número 10 pelo 3, multiplicamos a unidade de comprimento 
“cm” pela unidade de comprimento “cm”, chegando { 2cm (centímetros quadrados), que neste caso é a 
unidade de área. Se a base e altura estiverem em unidades de comprimento diferentes, será preciso colocá-
las na mesma unidade de medida antes de efetuar o cálculo da área. 
Trabalhe comigo essa questão sobre retângulos: 
VUNESP – PM/SP – 2018) Uma praça retangular, cujas medidas em metros, estão indicadas na figura, tem 
160 m de perímetro. 
 
Sabendo que 70% da área dessa praça estão recobertos de grama, então, a área não recoberta com grama 
tem 
(A) 450 m2. 
(B) 500 m2. 
(C) 400 m2. 
(D) 350 m2. 
(E) 550 m2. 
RESOLUÇÃO: 
 Foi dado o perímetro dessa praça, que corresponde à soma de todos os lados. Logo: 
2x + 2(x + 20) = 160 
2x + 2x + 40 = 160 
4x = 120 
x = 30 m 
 A área, portanto, será: 
Área = 30 x (30 + 20) 
Área = 30 x 50 = 1500 m² 
 Como 70% está recoberta por grama, 100 – 70 = 30% não é recoberta. Logo: 
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Área não recoberta = 0,3 x 1500 = 450 m² 
Resposta: A 
Quadrado 
Trata-se de um retângulo onde a base e a altura tem o mesmo comprimento, isto é, todos os lados do 
quadrado tem o mesmo comprimento, que chamaremos de L. Veja: 
 
A área também será dada pela multiplicação da base pela altura (b x h). Como ambas medem L, 
teremos L x L, ou seja: 
2A L 
Veja essa questão sobre a área do quadrado: 
CESPE – IFF – 2018) Os lados de um terreno quadrado medem 100 m. Houve erro na escrituração, e ele foi 
registrado como se o comprimento do lado medisse 10% a menos que a medida correta. Nessa situação, 
deixou-se de registrar uma área do terreno igual a 
a) 20 m² 
b) 100 m² 
c) 1.000 m² 
d) 1.900 m² 
e) 2.000 m² 
RESOLUÇÃO: 
 A área de um quadrado é L². Inicialmente os lados do quadrado deveriam medir L = 100 m, portanto a 
área seria A = 100² = 10000 m². Porém, L foi registrado com 10% a menos, ou seja, 100 – 10% x 100 = 90 m. 
Logo, a área passou a ser 90² = 8100 m². 
 Então, a área que deixou de ser registrada foi de: 10000 – 8100 = 1900 m². 
Resposta: D 
 
É importante gravar também que um quadrado de lado L possui duas diagonais que medem 2L cada 
uma. Veja-as pontilhadas na figura abaixo: 
L 
L 
L L 
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Veja essa questão sobre a diagonal do quadrado: 
IDECAN – UFPB – 2016) Qual deve ser o valor de x para que o polígono apresentado seja um quadrado? 
 
 a) 1 cm. 
 b) 2 cm 
 c) √2 cm 
 d) 2√2 cm 
RESOLUÇÃO: 
 Queremos que a figura do enunciado seja um quadrado, com os quatro lados medindo 2cm. Em um 
quadrado, sabemos que: 
Diagonal = lado . 2 
 Note que a diagonal desta figura mede x + x = 2x. E o lado mede 2. Colocando isto na fórmula acima: 
2x = 2 . 2 
x = 2 
Resposta: C 
 
Outra informaç~o relevante sobre o quadrado: dado um perímetro “P”, o quadrado é o quadril|tero que 
apresenta a maior área. 
 
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Trapézio 
Trata-se de outro polígono com 4 lados, sendo 2 deles paralelos entre si, e chamados de base maior (B) 
e base menor (b). Identifique-os na figura abaixo: 
 
Para calcular a área de um trapézio, é preciso saber também a sua altura (h), que é a distância entre a 
base menor e a base maior. Veja-a pontilhada na figura abaixo: 
 
Conhecendo b, B e h, podemos calcular a área do trapézio através da fórmula abaixo: 
 
2
b B h
A
 
 
Vamos calcular a área do trapézio deste trapézio (m representa a unidade de comprimento metro): 
 
Veja que b = 3m, B = 4m e h = 2m. Utilizando a fórmula, temos: 
  23 4 2 14 7
2 2
A m
 
   
4m 
3m 
2m 
B 
b 
h 
B 
b 
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Vamos enfrentar um exercício juntos: 
FCC – SABESP – 2017) Um terreno tem a forma de um trapézio. Os lados não paralelos têm a mesma 
medida. A base maior desse trapézio mede 12 m,a base menor mede 6 m e a altura mede 4 m. A área e o 
perímetro desse terreno são, respectivamente, iguais a 
a) 32 m² e 28 m. 
b) 36 m² e 28 m. 
c) 36 m² e 24 m. 
d) 32 m² e 24 m. 
e) 36 m² e 26 m. 
RESOLUÇÃO: 
 Foram dadas B = 12 m, b = 6 m e H = 4m. Vamos chamar os lados n~o paralelos de “L”. Veja como fica 
esse trapézio: 
 
 Para descobrir o valor de L, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo lado L com 
a altura e o trecho de 3m. Veja: 
L² = 4² + 3² 
L² = 16 + 9 
L² = 25 
L = 5 m 
 O perímetro do trapézio é dado pela soma de seus quatro lados. Logo: 
L + L + 6 + 12 = 5 + 5 + 18 = 28 m 
 A área é dada por: 
 
2
b B h
A
 

 
A = (6 + 12).4/2 = 18.2 = 36 m² 
Resposta: A 
 
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Losango 
Trata-se de um polígono com 4 lados de mesmo comprimento. Veja abaixo: 
 
 
O quadrado é um caso particular de losango, onde todos os ângulos internos são iguais a 90º. 
Para calcular a área de um losango, precisamos conhecer as suas duas diagonais: maior (D) e menor (d). 
Veja-as na figura a seguir: 
 
Assim, a área do losango é dada pela fórmula abaixo: 
2
D d
A

 
Veja comigo essa questão: 
IDECAN – PREF. SANTO ANTÔNIO DE PÁDUA/RJ – 2013) A figura a seguir é composta por losangos cujas 
diagonais medem 6 cm e 4 cm. A área da figura mede 
 
A) 48 cm2. 
B) 50 cm2. 
C) 52 cm2. 
D) 60 cm2. 
L L 
L L 
D 
d 
L L 
L L 
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E) 64 cm2. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo D e d as diagonais de um losango, sua área é dada por: 
Área = D x d / 2 = 6 x 4 / 2 = 12cm2 
 
 Como ao todo temos 5 losangos, a área total é: 
5 x 12 = 60cm2 
Resposta: D 
 
Paralelogramo 
Como já disse acima, o paralelogramo é um quadrilátero com os lados opostos paralelos entre si. Esses 
lados opostos possuem o mesmo tamanho. Veja um exemplo: 
 
A área do paralelogramo também é dada pela multiplicação da base pela altura: 
A = b x h 
Repare que a altura não é igual ao lado menor (ela só será igual no retângulo, que é um caso especial de 
paralelogramo). Ela é o tamanho do segmento que une os dois lados opostos (b), sendo perpendicular* a eles. 
*Obs.: aqui vale a pena lembrar que dois segmentos de reta são perpendiculares quando se cruzam 
formando ângulos de 90º. 
Veja comigo esse exercício: 
CESPE – FUB – 2015) 
 
( ) Considere que, na figura III, estejam representados um losango e um trapézio (da esquerda para a direita); 
logo, é correto afirmar que essas duas figuras geométricas são paralelogramos. 
b 
b 
h 
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RESOLUÇÃO: 
 De acordo com o que vimos, apenas o losango é um paralelogramo (lados opostos paralelos). O trapézio 
possui apenas um lado paralelo a outro e não é paralelogramo. Item errado. 
Resposta: E 
 
Triângulo 
Trata-se de uma figura geométrica com 3 lados. Veja-a abaixo: 
 
Para calcular a área do triângulo, é preciso conhecer a sua altura (h): 
 
O lado “b”, em relaç~o ao qual a altura foi dada, é chamado de base. Assim, calcula-se a área do 
triângulo utilizando a seguinte fórmula: 
2
b h
A

 
 
Temos mais algumas considerações a fazer em relação ao triângulo. Primeiramente, lembre-se que a 
soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o: 
a c 
b 
h 
a c 
b 
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Assim, A + B + C = 180o. 
Existem os seguintes tipos de triângulos: 
- Triângulo equilátero: é o triângulo que tem todos os lados iguais. Consequentemente, ele terá todos os 
ângulos internos iguais: 
 
Como A + A + A = 180º, então A = 60º. Isto é, o triângulo equilátero possui três ângulos internos iguais a 
60 graus. 
Outra particularidade do triângulo equilátero é que temos a seguinte fórmula para calcular a sua altura: 
3
2
a
h  , onde “a” é a medida do lado 
Veja onde se localiza a altura h na figura abaixo: 
 
a 
a 
a 
h 
a a 
a 
A 
A 
A 
a b 
c 
B 
C 
A 
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Ainda, saiba que existe uma outra fórmula para calcular a área do triângulo equilátero usando apenas o 
valor da medida dos lados (a): 
2 3
4
a
A  
 
Veja comigo essa questão: 
 
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Em um triângulo equilátero de lado igual a 4 cm, a medida de sua altura é 
igual a: 
a) 2 cm 
b) √12 cm 
c) 8 cm 
d) 16 cm 
e) 10 cm 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que a altura de um tri}ngulo equil|tero com arestas medindo “a” é igual a: 
ℎ =
𝑎 3
2
 
 
 Sendo a = 4, temos: 
ℎ =
4 3
2
= 2 3 = 4.3 = 12 
Resposta: B 
 
- Triângulo isósceles: é o triângulo que tem dois lados iguais. Consequentemente, os 2 ângulos internos 
da base são iguais (simbolizados na figura pela letra A): 
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- Triângulo escaleno: é o triângulo que possui os três lados com medidas diferentes, tendo também os 
três ângulos internos distintos entre si: 
 
Você precisa conhecer um tipo particular de triângulo, que é aquele que possui um ângulo de 90º, isto é, 
um ângulo reto. Este é o triângulo retângulo. Veja-o no desenho abaixo: 
 
O }ngulo marcado com um ponto é o }ngulo reto (90º). Oposto a ele temos o lado “c” do tri}ngulo, que 
chamaremos de hipotenusa. J| os lados “a” e “b”, que s~o adjacentes ao }ngulo reto, s~o chamados de 
a c 
b 
B 
A 
a 
c 
b 
C 
B 
A 
a a 
c 
A 
C 
A 
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catetos. O Teorema de Pitágoras nos dá uma relação entre a hipotenusa e os catetos, dizendo que a soma dos 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: 
2 2 2a b c  
Existem dois tri}ngulos ret}ngulos muito “manjados” e frequentes em prova. Trata-se do triângulo com 
catetos 3 e 4, e hipotenusa 5 (veja que 52 = 32 + 42) e do triângulo com catetos 5 e 12, e hipotenusa 13 (veja que 
132 = 52 + 122). Chamamos esses triângulos de 3-4-5 e 5-12-13. 
Portanto, se você tem um triângulo retângulo com catetos 5 e 12, nem é preciso usar Pitágoras: você já 
sabe que a hipotenusa mede 13. Da mesma forma, se um triângulo retângulo tiver catetos medindo 10 e 24 (o 
dobro de 5 e 12, respectivamente), a hipotenusa medirá 26 (o dobro de 13). 
Veja comigo essa questão: 
VUNESP – TJ/SP – 2017) A figura seguinte, cujas dimensões estão indicadas em metros, mostra as regiões R1 
e R2, ambas com formato de triângulos retângulos, situadas em uma praça e destinadas a atividades de 
recreação infantil para faixas etárias distintas. 
 
Se a área de R1 é 54 m², então o perímetro de R2 é, em metros, igual a 
(A) 48. 
(B) 36. 
(C) 42. 
(D) 54. 
(E) 40. 
RESOLUÇÃO: 
 A área do triângulo R1 é: 
Área R1 = base . altura / 2 
54 = x . 9 / 2 
54 . 2 = 9x 
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108 = 9x 
x = 108 / 9 
x = 12 
 
 Assim, x+4 = 12+4 = 16. No triângulo retângulo R2, um cateto mede 12 e o outro 16. A hipotenusa pode 
ser encontrada pelo teorema de Pitágoras: 
H2 = 122 + 162 
H2 = 144 + 256 
H2 = 400 
H = 20 
 O perímetro é: 
Perímetro R2 = 12 + 16 + 20 = 48 
 
 Veja que não era preciso usar o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa. Bastava perceber 
que o triângulo R2 é um múltiplodo triângulo 3-4-5, bastando multiplicar data medida por 4 para obter 12-16-
20. 
Resposta: A 
 
 Para finalizar, vejamos o que é conhecido como “semelhança de tri}ngulos”. Tri}ngulos semelhantes 
são aqueles que possuem os mesmos ângulos internos (A, B e C). Podem ser de qualquer tipo: retângulos ou 
não; equiláteros, isósceles ou escalenos. Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus 
lados são proporcionais. Veja os dois triângulos abaixo: 
 
Esses triângulos são semelhantes se os ângulos internos forem iguais, isto é, se A = D, B = E e C = F. Se 
isso ocorrer, podemos montar proporções entre os lados correspondentes dos dois triângulos. Veja: 
a b c
d e f
  
a 
b 
c d 
e 
f 
C A 
B 
F D 
E 
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O lado “a” do primeiro tri}ngulo pode também ser chamado de BC , pois os ângulos B e C estão nas 
extremidades do lado “a”. Da mesma forma, o lado “d” do segundo triângulo pode ser chamado de EF . 
Portanto, a proporção acima também pode ser escrita na forma abaixo: 
BC AC AB
EF DF DE
  
Veja uma questão sobre semelhança de triângulos: 
IDECAN – COREN/MA – 2013) Observe os triângulos abaixo. 
 
Esses dois triângulos são semelhantes. Sendo assim, a soma dos valores de x e y é 
A) 32. 
B) 34. 
C) 36. 
D) 38. 
E) 40. 
RESOLUÇÃO: 
 Se os triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais: 
 
 
 Portanto, 
30 / 20 = x / 12 
x = 18cm 
 
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30 / 20 = 24 / y 
y = 16cm 
 Portanto, x + y = 34cm. 
Resposta: B 
 
Antes de passar para a próxima figura geométrica, vamos conhecer algumas relações métricas 
presentes no triângulo retângulo: 
 
Observe no triângulo acima que h é a altura do triângulo ABC, e que o lado a foi dividido em duas partes 
(m e n) pela altura h. Neste triângulo, acima, você deve saber as seguintes fórmulas, que podem auxiliar na 
resolução de algum exercício: 
‘
2
2
2
h m n
b m a
c n a
b c a h
 
 
 
  
 
Não vou demonstrar essas fórmulas aqui para não estender a aula demasiadamente. Entretanto, todas 
essas fórmulas podem ser obtidas através da comparação de 2 triângulos semelhantes: ACH e ABH. 
Para finalizar o estudo de triângulos, é bom voce saber a condição de existência de um triângulo. Se um 
triângulo tem lados de comprimento A, B e C, o comprimento do lado maior deve ser inferior à soma dos 
lados menores. Ex.: se alguém nos perguntasse se existe um triângulo com lados 5cm, 10cm e 22cm, diríamos 
que não, pois 22cm é maior que 5cm + 15cm. 
Voltaremos a falar de triângulos retângulos no estudo da Trigonometria, mais adiante. 
 
a 
c 
b h 
n m B 
A 
C 
H 
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Círculo 
Em um círculo (ou circunferência), todos os pontos se encontram à mesma distância do centro. Essa 
distância é chamada de raio, e na figura abaixo está simbolizada pela letra r: 
 
A área de uma circunferência é dada pela fórmula abaixo: 
2A r  
Nesta fórmula, a letra  (“pi”) representa um número irracional que é, aproximadamente, igual a 3,14. 
Exemplificando, vamos calcular a área de um círculo com 10 centímetros de raio: 
2
2
2
(10 )
100
A r
A cm
A cm



 
 
 
 
 
Substituindo  por 3,14, temos: 
2
2
3,14 100
314
A cm
A cm
 

 
 
Já o perímetro de uma circunferência, isto é, o comprimento da circunferência, é dado por: 
2P r   
 
Portanto, vamos calcular o perímetro daquela circunferência com 10cm de raio: 
2
2 (3,14) (10 )
6,28 10
62,8
P r
P cm
P cm
P cm
  
  
 

 
 
Vamos aplicar a fórmula do comprimento da circunferência em uma questão? 
r 
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FCC – SEC/BA – 2018) Atenção: Considere as informações e a figura abaixo para responder à questão. 
O estudo do mecanismo de transmissão de movimento em uma bicicleta pode ser significativo para a 
aprendizagem de conteúdos matemáticos relacionados com proporcionalidade e circunferência. 
Esquema de uma Bicicleta 
 
Dados: 
A coroa tem 42 dentes, a catraca tem 24 dentes e o diâmetro da roda traseira é igual a 40 cm. 
Na bicicleta indicada, 100 giros completos da catraca fazem com que a bicicleta se desloque, sobre uma pista 
retilínea, aproximadamente 
a) 12,56 km. 
b) 2,512 km. 
c) 251,2 m. 
d) 125,6 m. 
e) 1,256 km. 
RESPOSTA: 
 O diâmetro da roda traseira é de 40 cm. Logo, o raio é r = 20 cm = 0,2m. 
 Um giro completo dessa roda corresponde ao perímetro da circunferência. Portanto: 
Giro = 2 x π x r = 2 x 3,14 x 0,2 ≈ 1,256 m 
 Quando a roda dá um giro completo, a catraca (que é ligada a ela) também dá. Logo, em 100 giros da 
catraca essa bicicleta irá deslocar: 100 x 1,256 = 125,6 m. 
Resposta: D 
 
O diâmetro (D) de uma circunferência é um segmento de reta que liga um lado ao outro da 
circunferência, passando pelo centro. Veja que o diâmetro mede o dobro do raio: 
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As fórmulas da área e do comprimento da circunferência podem ser escritas em função do diâmetro, ao 
invés do raio. Como r = D/2, temos: 
2
4
D
A   
P D  
Imagine dois pontos quaisquer de uma circunferência, como A e B da figura abaixo. Veja que liguei-os ao 
centro da circunferência através dos segmentos de reta pontilhados, formando um ângulo entre estes 
segmentos: 
 
Repare que delimitamos uma certa região do círculo, compreendida entre as linhas pontilhadas. Uma 
região como esta é chamada de setor circular. Veja que destaquei o ângulo ACB (que simbolizei com a letra 
minúscula “a”). Ele é o ângulo central deste setor circular. Com base neste ângulo, conseguimos determinar a 
área do setor circular e o comprimento do segmento de círculo compreendido entre os pontos A e B. Para 
isso, vamos dizer que o raio deste círculo é “r”. 
Sabemos que o ângulo central de uma volta completa no círculo é 360º. E também sabemos a área 
desta volta completa, que é a própria área do círculo( 2r  ). A proporção abaixo nos permite calcular a área 
do setor circular, em funç~o do }ngulo central “a”: 
360º -------------------- 2r  
a ------------------------- Área do setor circular 
A 
B 
C 
a 
r D 
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Portanto: 
2Área do setor circular
360o
a
r  
Assim, se temos um setor circular com ângulo central igual a 180º, a área deste setor será: 
2
2180Área do setor circular
360 2
o
o
r
r

   
Isto é, a área do setor circular com ângulo central igual a 180º é exatamente a metade da área do círculo 
inteiro. 
De forma análoga, sabemos que o comprimento da circunferência inteira é 2 r . Portanto, o 
comprimento do segmento circular entre os pontos A e B, cujo }ngulo central é “a”, é obtido pela proporç~o 
abaixo: 
360º -------------------- 2 r 
a ------------------------- Comprimento do setor circular 
Logo, 
Comprimento do setor circular 2
360o
a
r  
Portanto, se a = 90º, então o comprimento do setor circular será igual a 
2
r
, que é exatamente um 
quarto do comprimento total da circunferência. 
Veja comigo essa questão: 
FCC – METRO/SP – 2015) A partir do centro de uma torta circular retira-se uma fatia (setor circular) que 
corresponde à 35% do total da torta. A fatia retirada é um setor circular de ângulo central igual a 
a) 70° 
b) 63°c) 145° 
d) 234° 
e) 126° 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um setor circular que corresponde a 35% do total da torta circular. Veja: 
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 Sabendo que 100% representa a torta inteira, vamos aplicar uma regra de três: 
100% --- 360 graus 
35% --- x graus 
100.x = 360.35 
x = 12600/100 = 126 graus 
Resposta: E 
 
Sobre circunferências, saiba ainda que denominamos Corda o segmento de reta qualquer ligando dois 
pontos da circunferência. O segmento AB da figura abaixo é um exemplo de corda: 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE FIGURAS PLANAS 
Reta secante e tangente 
Quando temos uma reta e um círculo, pode ser que esta reta passe pelo círculo dividindo-o em duas 
partes, e definindo uma corda. Trata-se de uma reta secante. Podemos ainda ter uma reta que passa por um 
círculo tocando-o em um único ponto. Neste caso, temos uma reta tangente ao círculo. Veja uma reta secante 
e outra tangente no desenho abaixo: 
A 
B 
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Note que a reta tangente forma ângulos de 90º com o raio R da circunferência no ponto de encontro: 
 
 
Umareta que não toca nem cruza a circunferência é denominada reta externa à circunferência. 
 
Circunferências concêntricas 
Dizemos que duas circunferências são concêntricas quando compartilham o mesmo ponto central. Veja 
isso na figura abaixo: 
 
 
 
 
C 
tangent
e 
C 
90
o
 
90
o
 
A 
B 
C 
secante 
tangente 
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Figuras inscritas e circunscritas 
 
Observe a figura abaixo: 
 
Note que este é o maior quadrado que podemos ter dentro deste círculo, afinal ele toca as bordas do 
círculo. Neste caso, dizemos que o quadrado está inscrito no círculo. Também podemos dizer que o círculo 
está circunscrito ao quadrado, uma vez que este é o menor círculo capaz de envolver completamente o 
quadrado. 
Assim, dizemos que um polígono está inscrito em outro quando encontra-se completamente na região 
interna deste outro polígono, com os seus vértices tocando no polígono que o circunscreve. Quando temos 
polígonos inscritos/circunscritos, é fácil encontrar alguma relação entre as dimensões dos dois. Repare que 
neste caso, o diâmetro do círculo é exatamente igual à diagonal do quadrado: 
 
Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é igual a D, podemos calcular o valor do lado L do 
quadrado. A diagonal do quadrado forma, junto de outros dois lados, um triângulo retângulo: 
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Neste triângulo retângulo (marcado em vermelho), podemos usar o teorema de Pitágoras para dizer 
que: 
D2 = L2 + L2 
2D L 
Podemos dizer que 2 é, aproximadamente, igual a 1,41. Portanto, se soubermos que o diâmetro do 
círculo é D = 14,1cm, então o lado do quadrado será igual a 14,1 / 1,41 = 10cm. 
Veja comigo essas questões: 
ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez, 
está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L. 
a) 1,732 
b) 1,414 
c) 2 
d) 1,5 
e) 1,667 
RESOLUÇÃO: 
 Temos a seguinte disposição: 
 
L 
L D 
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 Observe que a diagonal do quadrado menor é igual ao diâmetro do círculo. Esta diagonal mede 1 2 , 
uma vez que cada lado do quadrado menor mede 1. Por sua vez, veja que o diâmetro do círculo é igual à 
medida do lado do quadrado maior: 
 
 
 Portanto, o lado L do quadrado maior mede 2 (aproximadamente 1,414). 
Resposta: B 
 
ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a 
razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito? 
a) 2 
b) 2 2 
c) 2 
d) 4 
e) 1 
RESOLUÇÃO: 
 Temos a seguinte disposição: 
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 Seja R o raio do círculo maior. Veja que o diâmetro do círculo maior (2R) é igual à diagonal do quadrado: 
 
 
 Sendo L o lado do quadrado, sabemos que sua diagonal é: 
2 2L R 
 
 Portanto, 
2
2
2
R
L R  
 
 Repare ainda que o lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo menor: 
 
 Assim, sendo 2r o diâmetro do círculo menor, então: 
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2
2 2
2
2
r L
r R
R
r



 
 A razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito é: 
2
2
R
razão
r


 
2
2
2
2
R
razão
R

 
 
 
 
2
2.2
4
R
razão
R
 
2razão  
Resposta: C 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
A geometria espacial estuda as figuras geométricas em três dimensões (altura, largura e profundidade). 
Em especial, você deve conhecer os poliedros, que são aquelas figuras espaciais formadas por várias faces, 
cada uma delas sendo um polígono como os que estudamos acima. Vamos passar rapidamente pelas 
principais figuras espaciais, destacando seus principais elementos constitutivos, além de áreas e volumes que 
podem ser pedidos em sua prova. 
 
Paralelepípedo 
No desenho abaixo temos um paralelepípedo de altura H, largura L e comprimento C: 
 
Repare que o paralelepípedo é uma figura espacial que possui todos os ângulos entre os segmentos de 
retas que o formam iguais a 90º. Estes segmentos de retas são denominados arestas. Aqui temos 12 arestas 
H 
L 
C 
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ao todo. Essas arestas se unem em “cantos” que denominamos de vértices. Esta figura acima possui 
exatamente 8 vértices. 
Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida entre quatro arestas, formando um 
plano. Repare que este paralelepípedo possui, ao todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler, 
que diz que, para qualquer poliedro convexo: 
Vértices + Faces = Arestas + 2 
Neste paralelepípedo, temos: 
8 + 6 = 12 + 2 
Pratique esta expressão comigo na próxima questão: 
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) A alternativa que apresenta o número total de faces, vértices e arestas de 
um tetraedro é: 
a) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas 
b) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas 
c) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas 
d) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas 
e) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas 
RESOLUÇÃO: 
A figura abaixo é um tetraedro (figura formada por 4 faces apenas): 
 
Temos 4 vértices A, B, C e V. Também sabemos que temos 4 faces. O número de arestas pode ser contado ou, 
então, obtido pela relação de Euler: 
V + F = A + 2 
4 + 4 = A + 2 
A = 6 arestas 
Resposta: D 
 
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Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma figura tridimensional como esta. O 
volume de um paralelepípedo, e de várias outras figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a 
área da base (Ab) e a altura (H): 
Volume = Ab x H 
A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. Neste caso, tanto a face superior 
quanto a face inferior poderiam ser consideradas “bases”. Repare que esta base é um ret}ngulo com 
dimensões C e L. Portanto, a áreada base é simplesmente a área do retângulo: Ab = C x L 
Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação das suas três dimensões: 
V = C x L x H 
No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões devem estar na mesma unidade de 
comprimento. Isto é, se temos C = 1m, L = 10cm e H = 0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m para 
depois efetuar a multiplicação. O resultado terá a unidade m3 (metro cúbico). 
Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície deste paralelepípedo. Ela nada mais é 
que a soma das áreas das faces. Todas as faces são retangulares, entretanto as duas faces das extremidades 
possuem área igual a L x H, outras duas faces possuem área igual a C x H, e outras duas possuem área igual a 
C x L. Se um exercício pedisse “qual a |rea de papel de presente que precisamos para embrulhar uma caixa de 
sapatos com dimensões C, H e L”, bastaria calcular esta |rea superficial. 
Vamos praticar um pouco? 
VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) Em um reservatório com a forma de paralelepípedo reto 
retângulo, com 2,5 m de comprimento e 2 m de largura, inicialmente vazio, foram despejados 4 m³ de água, e 
o nível da água nesse reservatório atingiu uma altura de x metros, conforme mostra a figura. 
 
Sabe-se que para enchê-lo completamente, sem transbordar, é necessário adicionar mais 3,5 m³ de água. 
Nessas condições, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, indicada por h na figura, é, em 
metros, igual a 
(A) 1,25. 
(B) 1,5. 
(C) 1,75. 
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(D) 2,0. 
(E) 2,5. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o volume total do reservatório é de 4 + 3,5 = 7,5m3. Este volume corresponde à multiplicação 
das dimensões, ou seja, 
Volume = comprimento x largura x altura 
7,5 = 2,5 x 2 x h 
3 = 2 x h 
h = 1,5m 
Resposta: B 
 
CESPE - CAGE/RS - 2018) O preço do litro de determinado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um 
recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam × 125 cm × 0,08 
hm, então o preço que se pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a 
A R$ 3,84. 
B R$ 38,40. 
C R$ 384,00. 
D R$ 3.840,00. 
E R$ 38.400,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos colocar todas as medidas na mesma unidade. Veja que: 
1,2 dam = 12m = 120dm = 1200 cm 
0,08hm = 0,8dam = 8m = 80dm = 800cm 
 Assim, o volume total é de: 
V = 1200 x 125 x 800 
V = 120.000.000 cm3 
V = 120.000 dm3 
V = 120.000 litros 
 Se cada litro custa 0,32 reais, o preço total será de: 
Preço = 0,32 x 120.000 
Preço = 38.400 reais 
Resposta: E 
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Cubo 
O cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as arestas têm a mesma medida. Isto é, C = L = 
H. Veja o cubo abaixo, cujas arestas medem A: 
 
Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim como o paralelepípedo. O seu volume 
também é dado pela multiplicação da área da base pela altura, de modo que teremos: 
Volume = Ab x H = (A x A) x A = A3 
Vamos para mais umas questões? 
VUNESP – Pref. Cotia/SP – 2017) Um recipiente R, na forma de prisma reto, tem uma base quadrada interna 
de lado medindo 4 cm e estava cheio de água, e um recipiente Q, na forma de cubo, de aresta interna 7 cm, 
estava vazio. Foi despejada uma quantidade de água do recipiente R para o recipiente Q até que ambos 
tivessem a mesma altura de coluna de água, conforme mostra a figura 
 
Se o recipiente Q ficou com 99 cm3 a mais de água que o recipiente R, a diferença de capacidade, em cm3, 
entre os recipientes Q e R, vale 
(A) 100. 
(B) 112. 
A 
A 
A 
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(C) 124. 
(D) 136. 
(E) 148. 
RESOLUÇÃO: 
A área da base de R é 4.4 = 16cm2. A área da base de Q é 7.7 = 49cm2. Sendo H a altura da água após 
igualarmos as alturas nos dois recipientes, os volumes de água em cada recipiente são: 
Volume em R = 16.H 
Volume em Q = 49.H 
 
Como o volume em Q é 99cm3 maior do que em R: 
49H = 16H + 99 
49H – 16H = 99 
33H = 99 
H = 99/33 
H = 3cm 
 
O volume total de água é 16H + 49H = 65H = 65.3 = 195cm3. Este era o volume de R quando estava cheio. 
Já o volume do cubo Q, com arestas medindo 7cm, é igual a 73, ou seja, 343cm3. 
A diferença entre os volumes dos sólidos é 343 – 195 = 148cm3. 
Resposta: E 
 
VUNESP – TJ/SP – 2017) As figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato 
cúbico e C com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são 
representados por VA, VB e VC. 
 
Se VA + VB = 1/2.VC, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a 
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(A) 11. 
(B) 12,5. 
(C) 16. 
(D) 15,5. 
(E) 14.. 
RESOLUÇÃO: 
Os volumes dos cubos A e B são: 
VA = 53 = 125 
VB = 103= 1000 
 Utilizando a relação fornecida no enunciado: 
VA + VB = VC/2 
125 + 1000 = VC/2 
1125 = VC/2 
VC = 2250 
 O volume de C é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja, 
VC = 18.10.h 
2250 = 18.10.h 
225 = 18h 
h = 225 / 18 
h = 12,5 
Resposta: B 
 
Cilindro 
Veja na figura abaixo um cilindro: 
 
R 
H 
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Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma altura H. Portanto, a área da base do 
cilindro é: 
2Ab R 
O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V Ab H  
A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que deve ser contada duas vezes, afinal 
temos esta área em cima e em baixo do cilindro) e a área lateral. 
Repare que se “desenrolarmos” a |rea lateral e “abrimos” todo o cilindro, temos o seguinte: 
 
O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o comprimento da circunferência da base, isto 
é, 2C R . 
Assim, a área lateral do cilindro é: 
2lateralA HxC Hx R  
A área total do cilindro será simplesmente: 
Área total = 2 x Abase + Alateral 
 
Veja comigo estes exercícios: 
FCC – SABESP – 2017) Um reservatório cilíndrico de altura h e raio R foi substituído por um novo reservatório 
também cilíndrico de altura h/2 e raio 2R. 
Sendo desprezíveis as espessuras das paredes dos dois reservatórios, é correto afirmar que a capacidade do 
novo reservatório é 
a) quatro vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
b) igual à capacidade do reservatório antigo. 
c) o dobro da capacidade do reservatório antigo. 
d) oito vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
e) metade da capacidade do reservatório antigo. 
R 
H H 
C 
R 
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RESOLUÇÃO: 
O volume de um cilindro é dado por: 
V Ab H  
O cilindro inicial possui raio R. Seu volume será: 
V1 = π x R² x h 
O cilindro que irá substituí-lo possui raio R e altura h/2. Logo: 
V2 = π x (2R)² x h/2 
V2 = π x 4R² x h/2 
V2 = π x 2R² x h = 2 x π x R² x h 
V2 = 2 x V1 
Portanto, o cilindro substituto terá o dobro da capacidade do antigo. 
Resposta: C 
 
CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) Sobre os cilindros, sólidos geométricos classificados como corpos 
redondos, pois, se colocados sobre uma superfície plana levemente inclinada, rolam, analise as afirmativas a 
seguir. 
I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes.II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos. 
III. A planificação do cilindro é 
IV. A área do cilindro é dada pela seguinte expressão: A = 2πr(h + r). 
V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da área da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h. 
Estão INCORRETAS apenas as afirmativas: 
A) I e III 
B) I e V 
C) II e V 
D) III e V 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar as afirmativas: 
 
I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes. 
Correto. Veja a indicação de cada elemento: 
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II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos. 
Correto. São estas duas formas, respectivamente: 
 
III. A planificação do cilindro é 
Errado. Faltou a planificação das bases, que são dois círculos. 
 
IV. A |rea do cilindro é dada pela seguinte express~o: A = 2πr(h + r). 
A área do cilindro é dada pela soma das duas bases circulares com a área lateral retangular (cuja largura é a 
altura desse cilindro e o comprimento, o perímetro da circunferência da base). Fica: 
A = 2 x π x r² + 2 π x r x h 
Colocando 2 π x r em evidência, temos: 
A = 2πr(r + h) 
Afirmação correta. 
 
V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da |rea da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h. 
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Volume de um cilindro é dado pela área da base multiplicada pela altura. Fica: 
V = π x r² x h = πr²h 
Alternativa errada. 
Resposta: D 
 
Cone 
O cone é uma figura com uma base circular, assim como o cilindro, porém com uma ponta na outra 
extremidade. Veja um exemplo: 
 
Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio R: 
2Ab R 
Dado que a altura do cilindro é H, então o seu volume é: 
3
Ab H
V

 
Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples multiplicação da área da base pela 
altura – foi preciso dividir esse produto por 3. Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e 
o prisma (que veremos a seguir). 
No cone, chamamos de geratriz o segmento de reta que liga a ponta até a extremidade da base. Veja-a 
marcada pela letra “G” na figura acima. 
Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um triângulo retângulo. Portanto, fica 
fácil calcular a geratriz com auxílio do teorema de Pitágoras: 
G2 = R2 + H2 
Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir: 
R 
 H G 
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Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à geratriz G. O comprimento deste setor 
circular (marcado em vermelho na figura acima) é igual ao comprimento da circunferência da base, isto é, 
2C R . Assim, podemos calcular a área deste setor circular a partir da seguinte proporção: 
 
Área do círculo de raio G --------------------------- Comprimento do círculo de raio G 
Área do setor circular --------------------------------- Comprimento do setor circular 
Isto é, 
 G2 ---------------------------- 2 G 
Área lateral do cone --------------------------2 R 
 
Portanto, podemos dizer que: 
Área lateral do cone =  xGxR 
Trabalhe um pouco mais esta figura geométrica. 
FAURGS – TJ/RS – 2017) Um cilindro reto de altura h tem volume V. para que um cone reto com base igual a 
desse cilindro tenha volume V, a sua altura deve ser igual a 
(A) 1h/3 
(B) 1h/2 
(C) 2h/3 
(D) 2h 
(E) 3h 
RESOLUÇÃO: 
Sendo Ab a área da base do cone e do cilindro, o volume V do cilindro é: 
V = área da base x altura 
V = Ab x h 
 
R 
G 
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No caso do cone, se sua altura for H, sabemos que seu volume é: 
Volume = área da base x altura / 3 
V = Ab x H / 3 
 
Para este volume ser igual ao anterior, então: 
Ab x H/3 = Ab x h 
H/3 = h 
H = 3h 
Resposta: E 
 
CESPE – PREVIC – 2011) 
 
O artista plástico estadunidense Richard Serra é notável por suas enormes esculturas em aço inspiradas em 
figuras geométricas. A figura acima mostra uma das salas do museu Guggenheim, em Bilbao, Espanha, com 
algumas de suas obras em exposição permanente. A escultura apontada pela seta, nessa figura, corresponde 
à superfície lateral de um tronco de cone circular reto, cuja área é dada pela diferença entre as áreas das 
superfícies laterais dos cones que o determinam. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
( ) Se o diâmetro da base maior medisse 5 m, o diâmetro da base menor medisse 3 m e a altura do tronco de 
cone fosse igual 3 m, teriam sido necessários mais de 36 m2 da lâmina de aço para construir essa escultura 
com a superfície lateral completamente fechada. 
RESOLUÇÃO: 
Veja abaixo uma figura que representa este tronco de cone: 
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Se abrirmos esta área lateral como uma folha de papel, teremos um trapézio como este: 
 
Veja que as dimensões deste trapézio são: 
Base menor = 2.  .1,5 = 3  = 3 x 3,14 = 9,42 
Base maior = 2.  .2,5 = 5  = 5 x 3,14 = 15,7 
Altura = 3m 
Portanto, fica fácil calcular a sua área, lembrando a fórmula da área do trapézio: 
Área do trapézio = (base menor + base maior) x altura / 2 
Área do trapézio = (9,42 + 15,7) x 3 / 2 
Área do trapézio = 37,68 m2 
Veja que a área lateral do tronco de cone já é maior que 36m2, o que permite marcar CORRETO neste item. 
Resposta: C 
 
 
 
 
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Pirâmide 
Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base retangular: 
 
Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por: 
3
Ab H
V

 
Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei em detalhes aqui. 
Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das faces laterais, que são triângulos. 
Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das áreas das faces laterais. 
Vamos exercitar um pouco? 
FUMARC - SEE/MG – 2018) Quando se coloca base a base duas pirâmides quadrangulares regulares, obtém-
se um octaedro regular que é um poliedro com 8 faces na forma de triângulo equilátero. Assim, todas as 12 
arestas do octaedro são congruentes. 
 
Uma peça de metal com formato de um octaedro de aresta 5 cm tem volume aproximadamente igual a 
(A) 29 cm³ 
(B) 59 cm³ 
(C) 70 cm³ 
(D) 35 cm³ 
(E) 63 cm³ 
C 
H 
L 
L 
H 
L L 
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RESOLUÇÃO: 
 Vamos visualizar o triângulo formado por metade da altura desse octaedro, metade da diagonal da base 
e uma aresta: 
 
 
 Por Pitágoras, achamos h: 
5² = h² +( 
5 2
2
 )² 
25 = h² + 
25 x 2
4
 
h² = 25 - 
25 
2
 
h² = 
25 
2
 
h = 
5 
 2
 = 
5 2
2
 
 
 Como a altura do octaedro é o dobro de h, temos H = 5 2. 
 O volume desse octaedro será dado por: 
V = 
Área da base x H
3
 
V = 
5² x 5 2
3
 
V ≅
125 x 1,41
3
 
V ≅ 59 cm³ 
Resposta: B 
 
 
 
 
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Prisma 
Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e outro com base retangular: 
 
Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é facilmente calculada. Além disso, 
você já sabe calcular a área da base de cada um deles. Assim, vocêconsegue calcular facilmente a área total 
de um prisma – mas não se esqueça de somar a área da base duas vezes, afinal temos essa área na 
extremidade inferior e superior das figuras. 
O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V = Ab x H 
Vejamos duas questões sobre Prisma: 
VUNESP – PM/SP – 2018) Um bloco maciço de argila tem a forma de um prisma reto de base retangular e 
altura igual a 24 cm, conforme mostra a figura. 
 
Sabendo que o volume desse bloco é 900 cm3, o perímetro da base indicada na figura mede 
(A) 20 cm. 
(B) 22 cm. 
(C) 15 cm. 
(D) 25 cm. 
(E) 18 cm. 
RESOLUÇÃO: 
C 
H 
L 
L 
H 
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O volume desse prisma é dado pelo produto de suas três dimensões. Portanto: 
V = x . 5 . 24 
900 = 120x 
x = 7,5 cm 
O perímetro da base será: 
P = 2x + 2.5 = 2.7,5 + 10 
P = 15 + 10 
P = 25 cm 
Resposta: D 
 
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base com medida A e 
aresta lateral com medida H, assinale a alternativa que apresenta a equação que identifica a área total desse 
prisma: 
a) Área total=3*A* (2*H+A √3) 
b) Área total=4*A* (2*H+A √3) 
c) Área total=5*A* (4*H+A √5) 
d) Área total=6*A* (3*H+A √3) 
e) Área total=3*A* (3*H+A √3) 
RESOLUÇÃO: 
O prisma citado pela questão assume a seguinte ilustração: 
 
Além disso, nota-se que as duas bases são hexágonos regulares, onde temos: 
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Repare que para calcular a área total desse prisma, devemos calcular a área lateral e a área da base, uma vez 
que a área total corresponde à soma da área lateral com as duas áreas da base, ou seja: Atotal = ALateral + 
2xAbase 
A área lateral é composta por seis retângulos de base A e altura L, portanto essa área corresponde a 6x(AxH). 
A área da base corresponde à área de um hexágono, o qual é composto por seis triângulos eqüiláteros de lado 
A, onde a área de cada triângulo eqüilátero equivale à expressão . Assim, a área da base resulta em 
2x(6x ) = 3x . 
Deste modo, a área total equivale a 
Atotal = ALateral + 2xAbase 
Atotal = 6x(AxH) + 3x 
Atotal = 3xA x (2H + ) 
Resposta: A 
 
Esfera 
A esfera é uma figura espacial formada por todos os pontos que se encontram à distância R de um ponto 
central C: 
 
O volume de uma esfera de raio igual a R é: 
C 
R 
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V = 4 R3/3 
A área da superfície da esfera é: 
A = 4 R2 
 
Veja uma questão interessante, que mistura o cone e a esfera: 
FUMARC - SEE/MG – 2018) Uma fábrica de sorvetes decidiu lançar o Kornetone: uma casquinha de sorvete 
de forma cônica com 6 cm de diâmetro e 10 cm de altura, totalmente preenchida com sorvete de chocolate, 
sem transbordar, e sobre o sorvete de chocolate, meia bola de sorvete de morango, formando uma 
semiesfera que se encaixa perfeitamente sobre a casquinha. 
 
Considerando π = 3,14, o volume de sorvete necess|rio para fabricar um Kornetone é de, aproximadamente, 
(A) 151 ml 
(B) 188 ml 
(C) 207 ml 
(D) 433 ml 
(E) 829 ml 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o volume do sorvete de morango, que equivale à metade do volume de uma esfera de 
raio = 3 cm (já que o diâmetro vale 6 cm): 
V = 
1 
2 
 x 
4 x π x r3
3 
 
V = 
2 x π x 33
3 
 
V = 2 x π x 3² 
V = 18 π 
 O volume do sorvete que preenche a parte cônica, será dado por: 
V = 
π x r2x h 
3 
 
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V = 
π x 32x 10 
3 
 
V = π x 3 x 10 
V = 30 π 
 O total de sorvete será a soma dos dois volumes: 
V total = 18 π + 30 π 
V total = 48 π = 48 x 3,14 
V total = 150,72 cm³ ≅ 151 ml 
Resposta: A 
 
TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO (ÂNGULO AGUDO) 
Principais razões trigonométricas 
A trigonometria trata das relações entre comprimentos de dois lados de um triângulo retângulo. Como 
você pode perceber, nos tópicos anteriores nós já tratamos sobre algumas dessas relações, ao explorar a 
semelhança de triângulos e o teorema de Pitágoras. 
Veja o triângulo retângulo abaixo: 
 
Além do ângulo reto temos os ângulos a e b. Além disso, temos os lados A, B e C, onde C é a hipotenusa 
e A e B são os catetos. Assim, podemos definir: 
Seno de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa: 
 
( )
Cateto Oposto
Sen Ângulo
Hipotenusa
 
Isto é, o seno do ângulo a é a razão entre A e C: sen(a) = A / C. De maneira análoga, podemos dizer que 
sen(b) = B / C. 
 
Cosseno de um ângulo: é a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa. 
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( )
Cateto Adjacente
Cos Ângulo
Hipotenusa
 
Repare que o cateto B é adjacente ao ângulo a. Portanto, cos(a) = B / C, e cos (b) = A / C, uma vez que o 
cateto A é adjacente ao ângulo b. 
 
Tangente de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um determinado ângulo. 
 ( )
( )
 ( )
Cateto Oposto Sen Ângulo
Tan Ângulo
Cateto Adjacente Cos Ângulo
  
Assim, como A é oposto ao ângulo a e B é adjacente a este mesmo ângulo, então tan(a) = A / B. Já tan(b) 
= B / A. Perceba ainda que tan(a) = sen(a) / cos(a), e tan(b) = sen(b) / cos(b). 
 
Veja comigo estes exercícios: 
FUNDATEC – CREA/PR – 2013) Para responder a essa questão, observe a figura a seguir: 
 
Suponha que a rampa do Palácio do Planalto, em Brasília, forma com o solo um triângulo retângulo de 
vértices A, B e C, conforme a figura. Se sua inclinação com relação ao solo é constante de 26° e a distância de 
sua base no ponto B até o ponto C é de 9m, a distância do ponto A ao ponto C é: 
(Considere: sen(26º) = 0,438; cos(26º) = 0,899 tan(26º) = 0,488) 
A) 3m 
B) 3,942m 
C) 4,392m 
D) 5m 
E) 8,091m 
RESOLUÇÃO: 
 Foi dito que BC = 9m, e que o ângulo B mede 26º. A definição de tangente nos diz que: 
Tangente de B = Cateto oposto / Cateto Adjacente 
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Tangente de B = AC / BC 
tan(26º) = AC / 9 
0,488 = AC / 9 
AC = 9 x 0,488 = 4,392 
Resposta: C 
 
VUNESP – OFICIAL PM/SP – 2017) Considere a elaboração, pelo Centro de Inteligência da Polícia Militar 
(CIPM), de um planejamento estratégico para a deflagração de uma operação policial ostensiva em uma 
região R, com alta incidência do tráfico de drogas. A questão tem como referência essa proposição. 
Na operação, está previsto o apoio aéreo de um helicóptero, que deve seguir um trajeto previamente 
determinado: partir de um ponto A, dirigir-se a um ponto B e, em seguida, deslocar-se até um ponto C, 
retornando depois ao ponto de partida. A rota do helicóptero está representada pelo triângulo retângulo ABC 
mostrado na figura. 
 
Sendo AC = 6 km, é correto afirmar que AB + BC + AC é, em quilômetros, igual a 
 a) 18√3 
 b) 6 + 10√3 
 c) 12√3 
 d) 6 + 6√3 
 e) 1 + 6√3 
RESOLUÇÃO: 
 O ângulo no vértice B do triângulo mede 180 – 120 = 60 graus. Oposto a esse segmento, temos o 
segmento AC, cuja medida é 6km. Sabendo que o seno de 60 graus é √3/2, podemos montar a seguinte 
proporção: 
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3 6
cos 60
2
3 12
12 12 3 12 3
4 3
33 3 3
CB
CB
CB
 

   
 
 A tangente de 60 graus é √3. Assim, temos: 
6
tan 60 3
6 6 3 6 3
2 3
333 3
AB
AB
 
   
 
 Assim, AB + BC + AC é, em quilômetros, igual a 2√3 + 4√3 + 6 = 6 + 6√3. 
RESPOSTA: D 
 
FCC – SEDU/ES – 2016) Uma rampa inclinada, com ângulo de inclinação de 12°, em relação ao solo, tem 25 m 
de comprimento. 
 
Na parte mais alta da rampa, sua altura em relação ao solo é, aproximadamente, igual a 
 Dados: 
sen 12° = 0,21 
cos 12° = 0,98 
tg 12° = 0,21 
a) 25,50 m. 
b) 24,50 m. 
c) 4,20 m. 
d) 5,25 m. 
e) 20,00 m. 
RESOLUÇÃO: 
O cateto oposto ao ângulo de 12º é h e a hipotenusa desse triângulo é 25 m. Aplicando o conceito de seno de 
um ângulo, temos: 
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sen 12° = cateto oposto/hipotenusa 
0,21 = h/25 
h = 0,21 x 25 
h = 5,25 m 
Resposta: D 
 
ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, z metros 
e (w – 2) metros. Sabendo-se que o ângulo oposto ao cateto que mede (w – 2) metros é igual a um ângulo de 
45°, então o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a 
a) z 2 (w – 2). 
b) z w (2 – 2 ). 
c) z w (2 + 2 ). 
d) (z + w) (z + w 2 ). 
e) z (2 + 2 ). 
RESOLUÇÃO: 
 Temos a seguinte disposição: 
 
 Veja que: 
tan(45º) = (w – 2) / z 
1 = (w – 2) / z 
z = (w – 2) 
 
 Veja ainda que: 
cos(45º) = z / h 
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2
2
z
h
 
.2
2
2
z
h z  
 
 Portanto, o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a: 
Perímetro = z + (w – 2) + h 
Perímetro = z + z + z 2 
Perímetro = 2.z + z 2 
Perímetro = z . (2 + 2 ) 
Resposta: E 
 
ESAF – DNIT – 2012) Suponha que um avião levanta voo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 2.800 
metros em linha reta sob o mesmo ângulo da decolagem, a altura em que o avião está do solo em relação ao 
ponto em que decolou é igual a: 
a) 1.400 metros 
b) 1.500 metros 
c) 1.650 metros 
d) 1.480 metros 
e) 1.340 metros 
RESOLUÇÃO: 
 Observe o triângulo retângulo abaixo, que representa a trajetória do avião em relação ao solo: 
 
 Assim, temos: 
sen(30o) = H / 2800 
½ = H / 2800 
H = 1400m 
Resposta: A 
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Outras razões trigonométricas 
Definimos ainda proporções derivadas das que já estudamos, que são: 
cossecante: inverso do seno. Isto é, cossec(a) = 1 / sen(a) 
secante: inverso do cosseno. Assim, sec(a) = 1 / cos(a) 
cotangente: inverso da tangente, ou seja, cot(a) = 1 / tan(a) 
 
Pelo que vimos acima, repare que, se a e b são ângulos agudos de um mesmo triângulo retângulo: 
sen(a) = cos(b) 
sen(b) = cos(a) 
tan(a) = 1 / tan(b) 
 
Como sabemos que os ângulos a, b e 90º somam 180º (por serem os ângulos internos de um triângulo), 
então b = 90º - a. Isto nos permite perceber que: 
sen(a) = cos(90º - a) 
tan(a) = 1 / tan(90º - a) 
 
Relação fundamental da trigonometria 
Podemos definir uma relação fundamental da trigonometria. Sendo sen2(a) o valor do quadrado do seno 
de a, e cos2(a) o valor do quadrado do cosseno de a, então: 
sen2(a) + cos2(a) = 1 
 
Isto vale para qualquer ângulo! Não demonstraremos essa propriedade para não perdermos tempo. Mas 
grave-a, pois ela será bastante utilizada. Antes de avançarmos, vejamos um exemplo numérico: 
 
A hipotenusa é lado de medida 5. O cateto de medida 3 é oposto ao ângulo a e adjacente ao ângulo b. Já 
o cateto de medida 4 é oposto ao ângulo b e adjacente ao ângulo a. Portanto, 
sen(a) = 3 / 5 = 0,6 
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cos(a) = 4 / 5 = 0,8 
tan(a) = 3 / 4 = 0,75 
sen(b) = 4 / 5 = 0,8 
cos(b) = 3 / 5 = 0,6 
tan(b) = 4 / 3 = 1,333… 
cossec(a) = 1 / sen(a) = 5 / 3 = 1,666… 
sec(a) = 1 / cos(a) = 5 / 4 = 1,25 
cot(a) = 1 / tan(a) = 4 / 3 = 1,333... 
 
Como você pode ver: 
sen(a) = cos(b) = cos (90º - a) = 0,6 
cos(a) = sen(b) = sen(90º - a) = 0,8 
tan(a) = 1 / tan(b) = 1 / tan(90º - a) = 0,75 
 
Observe ainda que a nossa propriedade fundamental é respeitada: 
sen2(a) + cos2(a) = 0,62 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1 
 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
O círculo trigonométrico é uma ferramenta didática utilizada para estender os conceitos vistos até aqui 
para todos os ângulos (e não apenas entre 0 e 90º, como temos em um triângulo retângulo). Veja abaixo um 
desenho deste círculo: 
 
Como você pode ver, trata-se de um círculo de raio unitário (r = 1). O ângulo a, formado entre o eixo 
horizontal e o segmento de reta em vermelho, no sentido anti-horário, tem o seu cosseno marcado no eixo 
horizontal e o seu seno marcado no eixo vertical. 
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Veja comigo essa questão: 
FCC – SEE/MG – 2012) No ciclo trigonométrico abaixo est~o localizados os }ngulos α e β. 
 
Nessas condições, está correto afirmar que 
a) sen α> cos α 
b) sen α> cos β 
c) sen β> cos β 
d) sen β> cos α 
RESOLUÇÃO: 
Veja, a seguir, os senos e cossenos dos ângulos marcados no círculo: 
 
Vamos analisar as alternativas. Lembre-se que o primeiro quadrante apresenta valores positivos para seno e 
cosseno e o terceiro quadrante, negativo para ambos. 
sen α > cos α  Errado. Analisando o tamanho das retas, concluímos que sen α < cos α. 
sen α > cos β  Correto. Veja que sen α > 0 e cos β < 0. 
 sen β > cos β  Errado. Veja que ambos s~o negativos e o módulo do sen β é maior do que cos β (analise os 
tamanhos das retas). Logo, sen β < cos β. 
 sen β > cos α  Errado. Vimos que sen β < 0 e cos α > 0. 
Resposta: B 
 
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Podemos ainda incluir um terceiro eixo neste desenho, para representar o valor da tangente do ângulo 
a. Veja: 
 
Repare que o cos(a) encontra-se entre a origem dos eixos (0) e 1. Isto é, este cosseno tem valor positivo, 
entre 0 e 1. O mesmo ocorre com sen(a). Entretanto, observe o que ocorreria se estivéssemos trabalhando 
com o ângulo a = 135º: 
 
Neste caso, o seno continua tendo sinal positivo, porém o cosseno toca na parte negativa (entre 0 e –1) 
do eixo horizontal, tendo por isso valor negativo. Repare ainda que o ângulo a = 225º teria seno e cosseno 
negativos: 
 
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E o ângulo a = 315º teria seno negativo e cosseno positivo: 
 
Assim, dependendo do quadrante em que se encontrar o ângulo, o seno e cosseno podem ter sinal 
positivo ou negativo. A tabela abaixo resume estes casos: 
Quadrante do ângulo Seno Cosseno Tangente 
Primeiro 
(de 0 a 90º) 
+ + + 
Segundo 
(90º a 180º) 
+ - - 
Terceiro 
(180º a 270º) 
- - + 
Quarto 
(270º a 360º) 
- + - 
Soma e subtração de ângulos 
Muitos exercícios fornecerão os senos, cossenos e/ou tangentes de dois ângulos a e b, e solicitarão o 
seno, cosseno ou tangente da soma ou subtração destes ângulos. Para isto, você precisa conhecer as fórmulas 
a seguir (que também não iremos demonstrar): 
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) 
sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) 
 
cos (a + b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b) 
cos (a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
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tan( ) tan( )
tan( )
1 tan( ).tan( )
a b
a b
a b

 

 
tan( ) tan( )
tan( )
1 tan( ).tan( )
a b
a b
a b

 

 
 
Sabendo as fórmulas acima, você não precisa