Cálculo Numérico - Lista de Exercícios 2 - Zapata

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Nume´rico
Lista de exerc´ıcios 1o/2015
1. Represente graficamente os sistemas na˜o lineares abaixo e utilize o me´todo de Newton para estimar
uma soluc¸a˜o aproximada, com precisa˜o de 10−2 partindo do ponto indicado.
a.
{
x21 + x
2
2 = 2
ex1−1 + x32 = 2
, x(0) = (1.5; 2.0)T
b.
{
10(x2 − x21) = 0
1− x1 = 0
, x(0) = (−1.2; 1)T
2. Considere o sistema na˜o linear:
{
ex1 − 1 = 0
ex2 − 1 = 0
A soluc¸a˜o deste sistema e´:
x∗ = (0; 0)T
a. Verifique que a matriz Jacobiana e´ invers´ıvel em x∗.
b. Resolva este sistema na˜o linear atrave´s do Me´todo de Newton, usando x(0) = (−10;−10)T .
3. Dada a tabela abaixo, calcule e3.1 usando um polinoˆmio de interpolador sobre treˆs pontos (use a forma
de Newton para o polinoˆmio interpolador) e deˆ um limitante superior para o erro cometido.
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
f(x) 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
4. Encontre um polinoˆmio p de grau no ma´ximo 2 que satisfac¸a as condic¸o˜es: p(−1) = −32, p(2) =
1, p(4) = 3.
5. Dados
x -1 2 4
f(x) -32 1 3
Calcule a tabela das diferenc¸as divididas de f nos pontos dados. Exiba a forma de Newton para o
polinoˆmio interpolador de f com no´s −1, 2 e 4.
6. Considere os pontos tabelados
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 0.91 1.43 1.58 1.55 1.44 1.30 1.18
a. Calcule o polinoˆmio interpolador de f nos pontos acima utilizando a forma de Lagrange.
b. Determine um valor aproximado da integral
∫ 7
1
f(x)dx utilizando
b1. regra dos trape´zios (repetida). Estime o erro.
b2. regra de Simpson (repetida). Estime o erro.
b3. o polinoˆmio interpolador de f nos pontos acima. Estime o erro.
7. Ajuste os dados da tabela abaixo a`s curvas: a) uma reta; b) uma para´bola, atrave´s do me´todo dos
quadrados mı´nimos. Qual das duas curvas melhor se a justa aos dados no sentido dos quadrados
mı´nimos?
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0.5 0.6 0.9 0.8 1.2 1.5 1.7 2.0
8. Considere a func¸a˜o f tabelada
x -2 -1 0 1 2
f(x) 3.7 -0.6 0.9 3.5 3.8
A esta func¸a˜o queremos ajustar a curva ϕ(x) = a1e
−x + a2 + a3ex. Obtenha os paraˆmetros a1, a2 e a3
atrave´s do processo dos quadrados mı´nimos.
9. Dados os seguintes pontos de uma func¸a˜o y = f(x)
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.78 2.04 3.71 4.11 3.89
a. Atrave´s do teste de alinhamento, escolha uma das famı´lias de func¸o˜es que melhor se ajuste aos
dados estes dados: aebx, 1a+bx ,
x
a+bx .
b. Ajuste os dados do item acima a` familia de func¸o˜es escolhida. Qual o res´ıduo minimizado?
10. Considere a tabela
x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(x) 1 1.2408 1.5735 2.0333 2.6965 3.7183
Supondo que a func¸a˜o f seja invers´ıvel, calcule uma aproximac¸a˜o para a inversa de f usando inter-
polac¸a˜o polinomial. Determine x tal que f(x) = 2.3.
11. Explique como funciona a regra do Trape´zio. Para isso, fac¸a a interpretac¸a˜o geome´trica utilizando um
gra´fico e explicando passo-a-passo cada etapa da construc¸a˜o.
12. Para as integrais a seguir, calcule uma aproximac¸a˜o pelas regras do Trape´zio e de Simpson, usando
quatro diviso˜es de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido em cada caso. Qual o
nu´mero mı´nimo de intervalos necessa´rios para que a aproximac¸a˜o tenha erro inferior a 10−8?
a)
∫ 4
1
√
xdx
b)
∫ 2
0
exp(x)dx;
c)
∫ 2
0
x3dx;
13. Calcule pela regra de Simpson, um valor aproximado da integral
∫ pi
4
0
tg(x)dx. Estime o erro.
14. Calcule uma aproximac¸a˜o para o comprimento do arco da curva determinada pela func¸a˜o y = x2, com
x ∈ [−1, 2]. Utilize um me´todo nume´rico e estime o erro.
15. Considere a func¸a˜o f(x) = e−x
2
. Calcule
∫ 1
0
f(x)dx aproximando f por uma func¸a˜o polinomial de grau
3.