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ESPAÇO VETORIAL Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.1 Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a () formam um espaço vetorial,2 por exemplo, assim como grupos de matrizes 3 e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais. DEFINIÇÃO Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos: Um corpo ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados deescalares.4 1 Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo. Um conjunto dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal ) de em Os elementos de serão chamados de vetores.4 1 Uma operação de em Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma () e produto () para representar, em cada caso, duas funções distintas: para elementos de não é o mesmo que para elementos de assim como para elementos de não é o mesmo que quando ∈ e ∈ Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar para as operações de e para as operações de em e de em Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos) Os seguintes axiomas (além de ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:5 1 para (associatividade) Há um elemento ∈ tal que, para cada ∈ (existência de elemento neutro) Para cada ∈ existe ∈ tal que (existência de elemento oposto) Para cada ∈ (comutatividade) Para cada ∈ e cada ∈ (associatividade da multiplicação por escalar) Se é a unidade de então, para cada ∈ (existência do elemento neutro em ) Para cada ∈ e cada ∈ (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores) Para cada ∈ e cada ∈ (distributiva da soma de escalares em relação à um vetor) Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo e definir adição em e multiplicação por escalar em Então se satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em ) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas: Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de Então, como qualquer que seja , temos que , ou seja, é o elemento neutro de Em , existe um elemento tal que Logo, , ou seja, é o elemento oposto de EXEMPLOS Seja formado por um único elemento Então, definindo-se e para todo elemento de um corpo temos que é um espaço vetorial com como corpo de escalares. Obviamente, como é o elemento neutro de isto é, este espaço vetorial é representado por Outro exemplo simples é considerar e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo. Seja o conjunto dos pares ordenados de elementos de Então, definindo-se e , temos que é um espaço vetorial. Seja um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de em é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função. Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das categorias e o axioma da escolha. PROPRIEDADES Se então 6 Isto é assim porque Se ∈ Isto é assim porque Se ∈ e ∈ então 6 Isto é assim porque TERMINOLOGIA Um espaço vetorial sobre o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real. Um espaço vetorial sobre o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo. Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vetorial normado. TIPOS DE ESPAÇOS VETORIAIS Espaço Vetorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno. Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo. Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida. Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma. Espaço vetorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vetorial.
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