ESPAÇO VETORIAL

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ESPAÇO VETORIAL
Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.1
Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a  () formam um espaço vetorial,2 por exemplo, assim como grupos de matrizes 3 e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.
DEFINIÇÃO
Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:
Um corpo  ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados deescalares.4 1 Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
Um conjunto  dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal ) de  em  Os elementos de  serão chamados de vetores.4 1
Uma operação  de  em 
Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma () e produto () para representar, em cada caso, duas funções distintas: para elementos de  não é o mesmo que  para elementos de  assim como  para elementos de  não é o mesmo que  quando  ∈  e  ∈  Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar  para as operações de  e  para as operações de  em  e de  em  Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos) 
Os seguintes axiomas (além de  ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:5 1
 para  (associatividade)
Há um elemento  ∈  tal que, para cada  ∈   (existência de elemento neutro)
Para cada  ∈  existe  ∈  tal que  (existência de elemento oposto)
Para cada  ∈   (comutatividade)
Para cada  ∈  e cada  ∈   (associatividade da multiplicação por escalar)
Se  é a unidade de  então, para cada  ∈   (existência do elemento neutro em )
Para cada  ∈  e cada  ∈   (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
Para cada  ∈  e cada  ∈   (distributiva da soma de escalares em relação à um vetor)
Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento   cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por 
O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto  é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo  e definir adição em  e multiplicação por escalar em  Então se  satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo 
Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em ) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:
Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de  Então, como  qualquer que seja , temos que , ou seja,  é o elemento neutro de 
Em , existe um elemento  tal que  Logo, , ou seja,  é o elemento oposto de 
EXEMPLOS
Seja  formado por um único elemento  Então, definindo-se  e  para todo elemento  de um corpo  temos que  é um espaço vetorial com como corpo de escalares. Obviamente, como  é o elemento neutro de  isto é,  este espaço vetorial é representado por 
Outro exemplo simples é considerar  e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
Seja  o conjunto dos pares ordenados de elementos de  Então, definindo-se  e , temos que  é um espaço vetorial.
Seja  um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de  em  é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função.
Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das categorias e o axioma da escolha.
PROPRIEDADES
Se  então 6 Isto é assim porque
Se  ∈   Isto é assim porque
Se  ∈  e  ∈  então 6 Isto é assim porque
TERMINOLOGIA
Um espaço vetorial sobre  o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
Um espaço vetorial sobre  o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vetorial normado.
TIPOS DE ESPAÇOS VETORIAIS
Espaço Vetorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno. 
Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo.
Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida.
Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma.
Espaço vetorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vetorial.