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Limites Infinitos Prof. Ronaldo Portela Prof. Ronaldo Portela 1 Limites Infinitos • Vamos analisar a seguinte função quando x se aproxima de 2. • Podemos observar que f (x) cresce indefinidamente quando aproximamos x de 2. 2 1 ( ) ( 2) f x x x f (x) 2,1 100 2,01 10.000 2,001 1.000.000 x f (x) 1,9 100 1,99 10.000 1,999 1.000.000 Prof. Ronaldo Portela 2 Limites Infinitos • Exemplo: Analise o limite da função abaixo quando x tende a 2. 2 1 ( ) ( 2) f x x Prof. Ronaldo Portela 3 Limites Infinitos • Definição: Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente no próprio ponto a. Quando x tende a a, f (x) cresce indefinidamente e escrevemos se para qualquer número N > 0, existir um δ > 0 tal que se 0 < |x – a| < δ então f (x) > N. lim ( ) x a f x Prof. Ronaldo Portela 4 Limites Infinitos • Definição: Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente no próprio ponto a. Quando x tende a a, f (x) decresce indefinidamente e escrevemos se para qualquer número N < 0, existir um δ > 0 tal que se 0 < |x – a| < δ então f (x) < N. lim ( ) x a f x Prof. Ronaldo Portela 5 Limites Infinitos Prof. Ronaldo Portela 6 Limites Infinitos • Teorema: Se r for um inteiro positivo qualquer, então 0 0 1 ) lim se for ímpar1 ) lim se for par r x r x i x r ii rx Prof. Ronaldo Portela 7 Limites Infinitos • Exemplo: Calcule os seguintes limites: 3 0 3 0 2 0 1 ) lim 1 ) lim 1 ) lim x x x a x b x c x Prof. Ronaldo Portela 8 Limites Infinitos • Exemplo: Calcule os seguintes limites: 2 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 ) lim 1 2 ) lim 1 2 ) lim 2 3 2 ) lim 5 6 x x x x x x a x x b x x x c x x x x d x x Prof. Ronaldo Portela 9 Limites Infinitos • Teorema: Prof. Ronaldo Portela 10 ) Se lim ( ) e lim ( ) (constante), então lim [ ( ) ( )] ) Se lim ( ) e lim ( ) (constante), então lim [ ( ) ( )] Também vale para quando " " e quando " ". x a x a x a x a x a x a i f x g x c f x g x ii f x g x c f x g x x a x a Limites Infinitos • Exemplo: Determine o seguinte limite: Prof. Ronaldo Portela 11 2 1 1 lim 2 2x x x Limites Infinitos • Teorema: Prof. Ronaldo Portela 12 Se lim ( ) e lim ( ) (constante não nula), então ) se 0, lim ( ) ( ) ; ) se 0, lim ( ) ( ) . Também vale para quando " " e quando " ". x a x a x a x a f x g x c i c f x g x ii c f x g x x a x a Limites Infinitos • Exemplo: Determine o seguinte limite: Prof. Ronaldo Portela 13 2 3 22 5 4 ) lim 43 3 1 ) lim ( 2) 1 x x x a xx x b x x Assíntota Vertical • Os limites infinitos são aplicados para encontrar as assíntotas verticais de um gráfico, se elas existirem. Assíntota vertical x = a. Prof. Ronaldo Portela 14 Assíntota Vertical • Definição: A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f, se PELO MENOS UMA das afirmativas for verdadeira: ) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( ) x a x a x a x a i f x ii f x iii f x iv f x Prof. Ronaldo Portela 15 Assíntota Vertical • Exemplo: Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da função definida 3 ( ) 3 f x x Prof. Ronaldo Portela 16 Referências Bibliográficas • LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 1994. • STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São Paulo, Thomsom Learning. 2006. Prof. Ronaldo Portela 17
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