Aula 3 - Limites Infinitos

Prévia do material em texto

Limites Infinitos 
Prof. Ronaldo Portela 
Prof. Ronaldo Portela 1 
Limites Infinitos 
• Vamos analisar a seguinte função quando x se 
aproxima de 2. 
 
 
 
 
 
 
• Podemos observar que f (x) cresce indefinidamente 
quando aproximamos x de 2. 
2
1
( )
( 2)
f x
x


x f (x) 
2,1 100 
2,01 10.000 
2,001 1.000.000 
x f (x) 
1,9 100 
1,99 10.000 
1,999 1.000.000 
Prof. Ronaldo Portela 2 
Limites Infinitos 
• Exemplo: Analise o limite da função abaixo quando x 
tende a 2. 
2
1
( )
( 2)
f x
x



Prof. Ronaldo Portela 3 
Limites Infinitos 
• Definição: Seja f uma função definida em todo 
número de um intervalo aberto I contendo a, exceto 
possivelmente no próprio ponto a. Quando x tende a 
a, f (x) cresce indefinidamente e escrevemos 
 
 
 se para qualquer número N > 0, existir um δ > 0 tal 
que se 0 < |x – a| < δ então f (x) > N. 
lim ( )
x a
f x

 
Prof. Ronaldo Portela 4 
Limites Infinitos 
• Definição: Seja f uma função definida em todo 
número de um intervalo aberto I contendo a, exceto 
possivelmente no próprio ponto a. Quando x tende a 
a, f (x) decresce indefinidamente e escrevemos 
 
 
 se para qualquer número N < 0, existir um δ > 0 tal 
que se 0 < |x – a| < δ então f (x) < N. 
lim ( )
x a
f x

 
Prof. Ronaldo Portela 5 
Limites Infinitos 
Prof. Ronaldo Portela 6 
Limites Infinitos 
• Teorema: Se r for um inteiro positivo qualquer, então 
0
0
1
) lim
 se for ímpar1
) lim
 se for par
r
x
r
x
i
x
r
ii
rx




 
 
  
 
Prof. Ronaldo Portela 7 
Limites Infinitos 
• Exemplo: Calcule os seguintes limites: 
3
0
3
0
2
0
1
) lim
1
) lim
1
) lim
x
x
x
a
x
b
x
c
x






Prof. Ronaldo Portela 8 
Limites Infinitos 
• Exemplo: Calcule os seguintes limites: 
2
1
2
1
2
2
3
2
2
3
2
) lim
1
2
) lim
1
2
) lim
2 3
2
) lim
5 6
x
x
x
x
x x
a
x
x
b
x
x x
c
x x
x x
d
x x











 
 
 
 
Prof. Ronaldo Portela 9 
Limites Infinitos 
• Teorema: 
Prof. Ronaldo Portela 10 
) Se lim ( ) e lim ( ) (constante), então
lim [ ( ) ( )]
) Se lim ( ) e lim ( ) (constante), então
lim [ ( ) ( )]
Também vale para quando " " e quando " ".
x a x a
x a
x a x a
x a
i f x g x c
f x g x
ii f x g x c
f x g x
x a x a
 

 

 
  
  
  
  
 
Limites Infinitos 
• Exemplo: Determine o seguinte limite: 
Prof. Ronaldo Portela 11 
2
1 1
lim
2 2x x x
 
   
Limites Infinitos 
• Teorema: 
Prof. Ronaldo Portela 12 
Se lim ( ) e lim ( ) (constante não nula), então
) se 0, lim ( ) ( ) ;
) se 0, lim ( ) ( ) .
Também vale para quando " " e quando " ".
x a x a
x a
x a
f x g x c
i c f x g x
ii c f x g x
x a x a
 


 
  
   
   
 
Limites Infinitos 
• Exemplo: Determine o seguinte limite: 
Prof. Ronaldo Portela 13 
 
2
3
22
5 4
) lim
43
3 1
) lim
( 2) 1
x
x
x
a
xx
x
b
x x


 
 
  
  
   
Assíntota Vertical 
• Os limites infinitos são aplicados para encontrar as 
assíntotas verticais de um gráfico, se elas existirem. 
 
Assíntota vertical x = a. 
Prof. Ronaldo Portela 14 
Assíntota Vertical 
• Definição: A reta x = a será uma assíntota vertical do 
gráfico da função f, se PELO MENOS UMA das 
afirmativas for verdadeira: 
 
) lim ( )
) lim ( )
) lim ( )
) lim ( )
x a
x a
x a
x a
i f x
ii f x
iii f x
iv f x








 
 
 
 
Prof. Ronaldo Portela 15 
Assíntota Vertical 
• Exemplo: Ache a assíntota vertical e faça um esboço 
do gráfico da função definida 
3
( )
3
f x
x


Prof. Ronaldo Portela 16 
Referências Bibliográficas 
• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 
1994. 
 
• STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São 
Paulo, Thomsom Learning. 2006. 
 
Prof. Ronaldo Portela 17