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Manual Solução circuitos elétricos

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1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO 
GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE 
COMPUTAÇÃO E AUTOMAÇÃO 
 
 
 
Disciplinas: 
Teoria de Circuitos - DCA 0105 
Circuitos Elétricos – ELE 0506 
MANUAL DE EXEMPLOS DE SOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS 
2a Avaliação 
Capítulo 6 
 
Período: 2014.1 
Professores: 
Crisluci Karina Souza Santos Cândido 
Manoel Firmino de Medeiros Júnior 
Ricardo Ferreira Pinheiro 
Francisco das Chagas Mota 
Apoio: 
Francisco Regis da Silva Pereira 
Franklin Hebert Silva do Nascimento 
Marcos Túlio Antunes Bezerra Segundo 
Iang da Silva Aquino 
Déborah Kalynne da Silva
2 
CAPÍTULO 6 
 
6.1 Desenvolver as equações de estado e escrevê-las na 
forma matricial, para o circuito cujo esquema está 
mostrado na figura abaixo. 
 
Solução: 
 
A resolução de um sistema por variáveis de estado tem o 
objetivo de facilitar a visualização das contribuições de cada elemento 
armazenador de energia sobre esse sistema, e isso se torna mais 
notório à medida que aumentamos o número de elementos 
armazenadores de energia no sistema, haja vista já uma certa 
dificuldade de representarmos um sistema por uma EDO de grau 2, 
muito mais se aumentarmos a ordem do sistema. 
Para resolvermos este problema, devemos escolher nossas 
variáveis de estado como sendo aquelas que causarão variação de 
energia nos elementos armazenadores como tensão no capacitor e 
corrente no indutor. 
Assim nossas variáveis de estado serão: 1cv , 2cv e 2i 
Sabemos que as expressões da tensão no indutor e da corrente 
no capacitor, respectivamente, são dadas por: 
 
 
cc
ll
v
i
Ci
Lv




.
 
 
Analisaremos o circuito abaixo: 
3 
 
 
 
Aplicando a Lei de Kirchoff das correntes ao nó 1: 
121 ciii  
 
Aplicando a Lei de Kirchoff das tensões à malha I: 
 
1
1
1
R
vE
i c

 
 
Assim, temos a seguinte igualdade e a desenvolveremos para 
obtermos 
1cv

: 
 
E
CR
i
C
v
CR
E
R
iv
R
C
R
vE
Ci
R
vE
ii
cc
cc
c
c
c
c
v
v
v
11
2
1
1
11
1
1
21
1
11
1
1
112
1
1
12
111
11











 
 
E
2
0
V 
R1 2i
C1 
L 
 1cv
1i
1ci
1 
 
2 
2 
 
2cv
2ci
R2 
3i
I II III ‘ 
C2 
4 
Para obtermos 
2i

, percorreremos a malha II aplicando a Lei de 
Kirchoff das tensões: 
 
212
212
221
11
0
cc
cc
cc
v
L
v
L
vvL
vLv
i
i
i






 
 
Por último, aplicamos Lei de Kirchoff das correntes ao nó 2, 
para obtermos 
2cv

: 
 
2
2
2
22
2
2
2
222
2
2
222
322
11
i
C
v
CR
R
v
iC
R
v
Ci
iii
cc
c
c
c
c
c
v
v
v







 
 
 
Finalmente, escrevemos nossas equações de estado na forma 
matricial abaixo: 
 
E
CR
i
v
v
LL
CCR
CCR
c
c
c
c
i
v
v






























































0
0
1
0
11
11
0
1
0
1
11
2
2
1
222
111
2
2
1
 
 
5 
6.2 Desenvolver as equações de estado e escrevê-las na forma 
matricial, para o circuito mostrado na figura abaixo. 
 
 
Solução: 
 
Para resolvermos esta questão, devemos inicialmente escolher 
quais variáveis serão nossas variáveis de estado. Idealmente 
escolhemos aquelas responsáveis pela variação da energia nos 
elementos armazenadores. Portanto escolhemos a corrente que passa 
pelo indutor e a tensão aplicada aos terminais do capacitor. 
Analisemos o circuito abaixo: 
 
 
 
Aplicando a Lei de Kirchoff das correntes ao nó 1: 
 
R
R 
L 
cv
Li
C 
ci
I 
1 
 
I II 
6 
 
I
C
i
C
iIC
CiI
iiI
Lc
Lc
cL
cL
v
v
v
11







 
 
Aplicando a Lei de Kirchoff das tensões à malha II: 
 
LcL
LcL
LLc
RLc
i
L
R
v
L
RivL
RiLv
vvv
i
i
i







1
 
 
Escrevendo as equações obtidas na forma matricial, temos: 
 
I
C
v
i
C
LL
R
L
c
L
cv
i







































1
0
0
1
1
 
 
6.3. Desenvolver as equações de estado e escrevê-las na 
forma matricial, para o circuito mostrado na figura abaixo.
 
7 
Solução: 
 
 Nossas variáveis de estado devem ser: 1Li , 2Li e Cv . 
 
Agora observemos o circuito abaixo: 
 
 
 
Aplicando a Lei de Kirchoff das correntes aos nós 1 e 3, 
obtemos as seguintes equações: 
212
11
L
L
iii
iiI


 
 
 Vamos encontrar uma equação para 
cv

. Observando o nó 2, 
verificamos que: 
 
2Li
C 
L2 
cv
1Li
ci
2 
2 3 ‘ 
 
R2 
2i
I 
II III 
L1 
1 
 
R1 
 
1i
I
8 
21
21
21
21
11
LL
LL
LLC
LCL
i
C
i
CC
ii
C
C
iii
iii
v
v






 
 
 Vamos encontrar uma equação para 2Li

. Observando a malha 
III, verificamos que: 
 
 
  
I
L
R
v
L
i
L
R
i
L
R
L
IRviRiR
L
L
iRiRIR
L
Lv
iiIR
L
Lv
iiR
L
Lv
iR
L
Lv
vvv
CLL
CLL
LLC
LLC
LC
C
RLC
i
i
i
i
i
i
2
2
2
2
2
2
1
2
2
222122
221222
2122
2122
222
22
1
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0













 
Vamos encontrar uma equação para 1Li

. Observando a malha 
I, verificamos que: 
 
9 
   
   
 
I
L
RR
v
L
i
L
R
i
L
RR
IRRviRiRRL
IRviRiRiIRL
LiRL
vvv
CLLL
CLLL
CLLLL
LL
LRL
i
i
i
ii
1
12
1
2
1
2
1
1
12
1
122211211
222121111
221111
211
)(1
0
0












 
 
Escrevendo as equações obtidas na forma matricial, temos: 
I
L
R
L
RR
v
i
i
CC
LL
R
L
R
LL
R
L
RR
C
L
L
c
L
L
v
i
i






































































0
0
11
1
1)(
2
1
2
2
1
12
2
1
22
2
2
2
11
2
1
21
 
 
6.4 Desenvolver as equações de estado e escrevê-las na 
forma matricial, para o circuito esquematizado abaixo: 
 
 
Solução: 
10 
Vamos identificar todas as tensões sobre os elementos de 
circuito e todas as correntes em cada ramo: 
 
 
Aqui vemos claramente que a corrente sobre o resistor 1 é a 
mesma sobre o indutor, e a tensão sobre o resistor 2 é exatamente a 
mesma sobre o capacitor: 
Assim, podemos escrever para a malha 1: 
 
1.021 eqvvvE L  
 
E para a malha 2: 
 
2.02
2
eqvv
vv
C
C


 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Como v2 = vC; 
 
3.
11
0
0
0
1
1
1
111
1
eqE
L
v
L
i
L
R
dt
di
EviR
dt
di
L
v
dt
di
LiRE
iiv
dt
di
LiRE
vvvE
CL
L
CL
L
C
L
L
LC
L
CL





 
 
Trabalhando a equação 2: 
 
4.0
0
22
2
eqviR
vv
C
C


 
 
A partir do circuito observamos que: 
 
5.2
2
eqiii
iii
CL
LC


 
 
Substituindo a equação 5 na equação 4: 
 
12 
 
6.
11
0
0
0
2
22
22
22
2
eqv
CR
i
Cdt
dv
viR
dt
dv
CR
v
dt
dv
CRiR
viRiR
viiR
CL
C
CL
C
C
C
L
CCL
CCL





 
 
Podemos agora montar a forma matricial das variáveis de 
estado do circuito da questão a partir das equações 3 e 6: 
 
EL
v
i
CRC
LL
R
dt
dv
dt
di
C
L
C
L









































0
1
11
1
2
1
 
 
6.5. Desenvolver as equações de estado e escrevê-las na 
forma matricial, para o circuito cujo esquema está mostrado 
na figura abaixo: 
 
Solução: 
13 
)(
1
1
)(
)(
1111
1
)(
)(
)(
1
)(
1111)(
)(
1
)(
1
)(
)(
)(
11
)(
)()(
)()()(
)(
0
)()()()(
)(
0)(
)(
)(
232
1
232
1
322
1
32
1
te
CR
L
tv
ti
RRCC
LL
R
dt
tdv
dt
tdi
te
CR
tv
RRCCdt
tdv
te
L
tv
L
ti
L
R
dt
tdi
tv
RR
ti
R
te
dt
tdv
C
tvtiRte
dt
tdi
L
R
tv
R
tvte
dt
tdi
Cti
tviR
dt
tdi
Lte
C
L
C
L
C
C
CL
L
CL
C
CL
L
CCL
L
CL
L


































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